Chuyên đề Mặt cầu lớp 12

Định nghĩa 1: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi được gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R , kí hiệu S O R... CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH

CHƯƠNG II: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

BÀI 2: MẶT CẦU

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I MẶT CẦU KHỐI CẦU

1 Định nghĩa 1: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi được gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R , kí hiệu S O R  ; Như vậy: Mặt cầu S O R ; M OM R

2 Vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu:

Cho điểm A và mặt cầu S O R Ta có:  ; 

 Điểm A thuộc mặt cầu OAR

 Điểm A nằm trong mặt cầu OAR

 Điểm A nằm ngoài mặt cầu OAR

3 Định nghĩa 2:Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S O R cùng với các điểm nằm trong mặt  ; cầu đó được gọi là khối cầu S O R  ; 

R

O

Như vậy: Khối cầu S O R ; M OM R

II GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Cho mặt cầu S O R v mặt ph ng ;   P ọi H h nh chi u vuông góc c a O n mặt ph ng

 P hi đó hOH khoảng cách t O tới mặt ph ng P a có a trư ng hợp au:

1 N u hR: mặt ph ng  P không cắt mặt cầu

2 N u hR: mặt ph ng  P ti p xúc với mặt cầu tại điểm H Ta có OH  P

Điểm H gọi ti p điểm c a mặt cầu S O R v mặt ph ng  ;   P mặt ph ng  P gọi

mặt ph ng ti p c ha ti p iện c a mặt cầu ậ ta có:

Đi u kiện cần v đ để mặt ph ng  P ti p c với mặt cầu S O R ;  tại điểm H  P

vuông góc với án k nh OH tại điểm H đó

3 N u hR: mặt ph ng  P cắt mặt cầu theo đư ng tròn có bán kính r R2h 2

Đặc biệt khi h0 mặt ph ng  P cắt mặt cầu theo một đư ng tròn lớn có bán kính rR

III GIAO CỦA MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THẲNG TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU

Cho mặt cầu S O R ;  v đư ng th ng  ọi H h nh chi u vuông góc c a tâm O và

d OH khoảng cách t Ođ n 

ư ng t như trong trư ng hợp mặt cầu v mặt ph ng ta có a trư ng hợp au đâ :

1 N u d R đư ng th ng  cắt mặt cầu tại hai điểm M N ,

2 N u d R đư ng th ng  ti p xúc với mặt cầu tại một điểm H

(H gọi ti p điểm v đư ng th ng  gọi ti p tu n c a mặt cầu)

3 N u d R đư ng th ng  không cắt mặt cầu

P P

P

OH>R (P) v mặt cầu S(O; R) không có điểm chung

OH=R (P) ti p c với mặt cầu S(O; R) tại H

OH<R (P) cắt mặt cầu S(O; R)

O O

O

H

H

H

Đặc iệt, khi d0 th đư ng th ng  đi qua tâm O v cắt mặt cầu tại hai điểm ,A B hi đó

AB đư ng k nh c a mặt cầu

Nh n t: Ngư i ta ch ng minh được rằng:

a) ua một điểm A nằm tr n mặt cầu S O R ;  có vô ố ti p tu n c a mặt cầu đó t cả các

ti p tu n n đ u vuông góc với án k nh O c a mặt cầu tại A v đ u nằm tr n mặt ph ng ti p

c với mặt cầu tại điểm A đó

) ua một điểm A nằm ngo i mặt cầu S O R ;  có vô ố ti p tu n với mặt cầu đ cho Các ti p

tu n n tạo th nh một mặt nón đ nh A hi đó độ i các đoạn th ng k t A đ n các ti p

điểm đ u ằng nhau

Ch Ngư i ta nói mặt cầu nội ti p h nh đa iện n u mặt cầu đó ti p c với t t cả các mặt c a

h nh đa iện c n nói mặt cầu ngoại ti p h nh đa iện n u t t cả các đ nh c a h nh đa iện đ u nằm tr n mặt cầu

hi mặt cầu nội ti p (ngoại ti p) h nh đa iện ngư i ta c ng nói h nh đa iện ngoại ti p (nội ti p) mặt cầu

IV CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU

V MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

1/ C h i ni ơ n

 Định nghĩa ặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

Mặt cầu ngoại ti p hình chóp là mặt cầu đi qua các đ nh c a h nh chóp hi đó ta nói h nh chóp nội ti p mặt cầu

 Điều ki n hình chóp nội tiếp mặt cầu:

Hình chóp nội ti p được trong một mặt cầu khi và ch khi đá c a nó đa giác nội ti p một

H O

H O

 t k một điểm n o nằm tr n tr c c a đa giác th cách đ u các đ nh c a đa giác đó

 Đư ng tr ng tr a đ ạn th ng đư ng th ng đi qua trung điểm c a đoạn th ng v vuông

góc với đoạn th ng đó

 t k một điểm n o nằm tr n đư ng trung tr c th cách đ u hai đầu m t c a đoạn th ng

 Mặt tr ng tr a đ ạn th ng mặt ph ng đi qua trung điểm c a đoạn th ng v vuông góc

- Tâm tr ng với tâm đối ng c a h nh hộp ch nhật (h nh ập phư ng)

 âm I trung điểm c a A C

C I

D'

C' B'

C B

A

A

B D

A'

D A'

I

O'

D'

C' B'

A C

S

D S

ch ng hạn nhưmp SAO ta v đư ng trung tr c c a cạnh  SA

cắtSA tại M v cắt SO tại I I tâm c a mặt cầu

Cho h nh chóp S ABC .có cạnh nSAđá ABC v đá ABC nội ti p được trong đư ng

tr n tâmO âm v án k nh mặt cầu ngoại ti p h nh chópS ABC .được ác định như au:

- tâmOngoại ti p c a đư ng tr n đá ta v đư ng th ngdvuông góc vớimp ABC tạiO

g/Đư ng tr n ng ại tiế ột ố đa gi thư ng gặ

hi ác định tâm mặt cầu ta cần ác định tr c c a mặt ph ng đá đó ch nh đư ng th ng vuông góc với mặt ph ng đá tại tâm O c a đư ng tr n ngoại ti p đá o đó việc ác định tâm ngoại O u tố r t quan trọng c a i toán

B CÁC KĨ NĂNG CƠ BẢN

1 Ch ng inh ột t hợ điể ặt ầ

Phương pháp:

Ch y u ta s d ng 2 phư ng pháp

- Ch ng minh các điểm tr n cách đ u một điểm cố định cho trước

- Ch ng minh các điểm trên cùng nhìn một đoạn th ng cố định ưới 1 góc vuông

2 X định t n ính a ặt ầ ng ại tiế h nh h ng tr

a) Các khái ni m liên quan:

 đư ng tròn ngoại tiế đa gi thư ng gặp :

hi ác định tâm mặt cầu ta cần ác định tr c c a mặt ph ng đá đó ch nh đư ng th ng vuông góc với mặt ph ng đá tại tâm O c a đư ng tr n ngoại ti p đá o đó việc ác định tâm ngoại O u tố r t quan trọng c a i toán

∆ vuông O trung điểm

∆ đ u O giao điểm c a 2

đư ng trung tu n (trọng tâm)

∆ thư ng O giao điểm c a hai

đư ng trung tr c c a hai cạnh ∆

∆ đ u O giao điểm c a 2

đư ng trung tu n (trọng tâm)

 Tr đư ng tròn ngoại tiế đa gi : đư ng th ng đi qua tâm đư ng tròn ngoại ti p đá

và vuông góc với đa giác đó

 t k một điểm n o nằm tr n tr c c a đa giác th cách đ u các đ nh c a đa giác đó

Tính chất:  M : MAMBMC (V i  là tr đư ng tròn ngoại tiếp ABC )

Ngược lại : MAMBMC  M

 C ư định tr c:

- ước 1: ác định tâm H c a đư ng tròn ngoại ti p đa giác đá

- ước 2: Qua H d ng  vuông góc với mặt ph ng đá

VD: Một số ng hợ ặc biệt

a Tam giác vuông b am giác đ u c Tam giác b t kì

 Đư ng tr ng tr a đ ạn th ng đư ng th ng đi qua trung điểm c a đoạn th ng v

vuông góc với đoạn th ng đó

 t k một điểm n o nằm tr n đư ng trung tr c th cách đ u hai đầu m t c a đoạn th ng

 Mặt tr ng tr a đ ạn th ng mặt ph ng đi qua trung điểm c a đoạn th ng v vuông

góc với đoạn th ng đó

 t k một điểm n o nằm tr n mặt trung tr c th cách đ u hai đầu m t c a đoạn th ng

b) Phương h định t ặt ầ ng ại tiế h nh h

Ch yếu ta gặp 3 dạng toán sau : H1: H nh h ạnh n ng g i ặt h ng đ (Giả s SA vuông góc mặt ph ng đá )

AH

B

A

C H

ta ng đư ng trung tr c d c a cạnh SA cắt SA tại SA

(K trung điểm c a SA ) , đư ng th ng cắt  tại I

I tâm mặt cầu ngoại ti p h nh chóp

Tính bán kính mặt cầu:

TH3: Chóp có một mặt bên vuông góc v i đ

(Gi sử mặt bên  P vuông góc mặt đ  Q )

X định tâm mặt cầu ngoại tiếp

ư c 1: D ng đư ng th ng d là tr c đư ng tròn ngoại ti p mp đá 1  Q

ư c 2: D ng đư ng th ng d là tr c đư ng tròn ngoại ti p mặt bên 2  P

Gọi I  d1 d hi đó I tâm mặt cầu ngoại ti p khối chóp 2

Tính bán kính mặt cầu (Theo hình minh họa trên)

C CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH MẶT CẦU

4 Phương h gi i

Muốn ác định tâm và bán kính c a mặt cầu chúng ra cần d a vào các mệnh đ au đâ

a) Tập hợp t t cả nh ng điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng bằng R cho trước là mặt cầu tâm O bán kính R

b) Tập hợp t t cả nh ng điểm M nh n đoạn th ng AB cố định ưới một góc vuông là mặt cầu

J

I A

Ta có MA MB MCMD  4 4MG  4 MG1 (Với G là trọng tâm t diện ABCD)

Vậy tập hợp các điểm M trong không gian cách trọng tâm G một khoảng bằng 1 là mặt cầu tâm

Gọi I trung điểm c a cạnh AB , J trung điểm c a CD, K trung điểm IJ

Áp d ng định lý trung tuy n trong tam giác

L i gi i:

* t mặt cầu  S có tâm O, bán kính R v ti p c với a cạnh BC CA AB, ,

c a tam giác ABC tạiM , N,P H h nh chi u vuông góc c a

O trênmp ABC , tacó:  

OM ABBM AB (theo định a đư ng vuông góc)

ư ng t HNBC HP, AC

Ta có: OM ONOPR

hi đó OHM  OHN OHP

Suy ra HM HNHP

Ch ng tỏ H tâm đư ng tr n nội ti p tam giác ABC

ậ tâm O c a mặt cầu thuộc đư ng th ng d vuông góc vớimp ABC( ) tại tâm H c a đư ng

tr n nội ti p tam giác ABC

* điểm O thuộc tr c đư ng tr n nội ti p tam giácABC

Đư ng tr n nội ti p tam giác ABC ti p c với BC CA AB, , ần ượt tạiN P M, , , ta có:

 C và vuông góc với mặt ph ng  P ch a đư ng tròn  C

VẤN ĐỀ 2: TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU

6 8 63

a



343

a



383

a



3643

R



334

R



323

R



332

R



L i gi i:

 

2

2 3

Câu 12 [THPT Nguyễn Hu - Huế - Lần 1 - 2017]

Khối cầu  S có diện tích mặt cầu bằng 16 (đv t) nh thể tích khối cầu

Câu 15 [C m 7 - HCM - 2017] Một cái bồn ch a nước gồm hai n a hình cầu và một hình tr ( ì

vẽ) Đư ng sinh c a hình tr bằng hai lần đư ng kính c a hình cầu Bi t thể tích c a bồn ch a

VẤN ĐỀ 3: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP- LĂNG TRỤ

Ví 1 Cho h nh chóp S ABC có đá ABC tam giác vuông tại B , SA vuông góc với mặt ph ng

ABC và SC2a nh án k nh mặt cầu ngoại ti p h nh chóp S ABC

L i gi i + Ta có: BC AB

Ví 2 Cho h nh chóp S ABCD có đá ABCD h nh vuông tại, SA vuông góc với mặt ph ng ABCD

và SC2a nh án k nh mặt cầu ngoại ti p h nh chóp S ABC

L i gi i + Ta có: BC AB

2a

R= SC 2

A, B, D c ng nh n đoạn SC ưới 1 góc vuông

A, B c ng nh n đoạn SC ưới 1 góc vuông

R= SC 2

C A

B

B

A C

S

D S

2a

A

B

C S

2a

C B

S

B

A

B C

S

D S

SA R SO

(Chú ý: có thể s d ng cho trư ng hợp hình chóp có các cạnh đ u bằng nhau)

Ví 1 nh án k nh c a mặt cầu ngoại ti p h nh chóp tam giác đ u S ABC , i t các cạnh đá có độ i

ằng a cạnh n SAa 3

A C h nh vuông hoặc h nh ch nhật Hình chóp S.ABC có SA=SB=SC

H nh chóp đ u S A C

C

I M

O

I M

O A

B C

S

C S

D

2a

M

H C A

ọi H tâm c a tam giác đ u ABC , ta có SH (ABC) nên SH

tr c c a tam giác ABC ọi M trung điểm c a SA ,

trong mp(SAH) k trung tr c c a SA cắt SH tại O thì

OSOAOBOC nên O ch nh tâm mặt cầu ngoại ti p

hình chóp S ABC án k nh mặt cầu R SO

Vì hai tam giác SMO và SHA đồng ạng nên ta có SO SM

SA  SH Suy ra

Cho h nh chóp t giácđ u S ABCD ọi H tâm đá th SH

tr c c a h nh vuông ABCD ọi M trung điểm c a SD ,

trong mp (SDH) k trung tr c c a đoạn SD cắt SH tại O

thì OSOAOBOCOD nên O ch nh tâm c a

mặt cầu ngoại ti p h nh chóp S ABCD án k nh mặt cầu RSO

Ta có

2

SH

Phương h trắ nghi :

Gọi O là tâm c a tam giác ABC

Vì S ABC đ u nên SOABC

o đó án k nh c a mặt cầu ngoại ti p hình chóp S ABC là

Ví 4 Cho h nh chóp tam giác đ u S ABCD có ABa và cạnh bên SA2a Tính diện tích và thể tích

mặt cầu ngoại ti p hình chóp trên

L i gi i:

Gọi O là tâm c a hình vuông ABCD

Vì S ABCD đ u nên SOABCD

o đó án k nh c a mặt cầu ngoại ti p hình chóp S ABCD là

SA R SO

2

a a R

a



Vậy thể tích khối cầu là:

3 3

Ví 6 Cho hình chóp S ABC có đá ABC tam giác đ u cạnh bằng 1 Hình chi u c a đ nh S lên mặt

đá tr ng với tâm O c a đư ng tròn ngoại ti p tam giác ABC Bi t rằng bán kính mặt cầu ngoại

2a

a

O C A

B

D S

Vì hình chi u c a S trùng với tâm O c a đư ng tròn ngoại ti p tam giác ABC nên S cách đ u , ,

Cho h nh chóp S ABC .có cạnh nSAđá ABC v đá ABC nội ti p được trong đư ng

tr n tâmO âm v án k nh mặt cầu ngoại ti p h nh chópS ABC .được ác định như au:

- tâmOngoại ti p c a đư ng tr n đá ta v đư ng th ngdvuông góc vớimp ABC tạiO

- Trong mp d SA ,  ta ng đư ng trung tr c c a cạnhSA cắtSAtạiM cắt dtại I

S

C

S

D S

đ

R R  h

   

Ví 1 Cho hình chóp S ABCD có cạnh SA vuông góc với đá ABCD là hình ch nhật có đư ng chéo

dài a 5, SA2a Tìm bán kính c a mặt cầu ngoại ti p hình chóp S ABCD

Ví 3 Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vuông góc với đá ABC là tam giác vuông tại Avà BC2a

, SA2a Tính bán kính c a mặt cầu ngoại ti p hình chóp S ABC

22

Ví 5 Cho hình chóp S ABC có đá ABC là tam giác vuông tại B, ABa BC, 2a Cạnh bên SA

vuông góc với đá v SAa 3 Tính bán kính c a mặt cầu ngoại ti p hình chóp S ABC

24

đ

SA

R R  a

a 5 2a

C B

S

a

a a

2a

M A

B

C S

Ví 6 Cho h nh ng tr tam giác đ u ABC A B C    có t t cả các cạnh bằng nhau và bằng 2a Tính diện

tích c a mặt cầu ngoại ti p h nh ng tr đ cho

L i gi i:

Mặt cầu đ cho c ng mặt cầu ngoại ti p hình chóp A ABC nên với A A ABC ta có thể áp

d ng công th c

2 2

3

a

S  R  

Ví 7 Cho t diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc Bi t rằng , , OAa, OBb, OCc Tính

bán kính c a mặt cầu ngoại ti p t diện OABC

L i gi i:

Gọi H là trọng tâm c a tam giác ABC, ta có SHABC hay SHBCD

án k nh đư ng tròn ngoại ti p tam giác ABC bằng

+ ác định tr c  c a đư ng tròn ngoại ti p mặt bên vuông góc với đá

+ iao điểm I c a  và  là tâm mặt cầu ngoại ti p hình chóp

Ví d : Cho hình chóp có đá là tam giác vuông tại

Mặt bên và đ u Gọi lần ượt là trung

điểm c a

Ta có tâm đư ng tròn ngoại ti p (do )

D ng là tr c đư ng tròn ngoại ti p ( qua và song

O K

G M

S

C A

Gọi h là chi u cao hình chóp và R , b R là bán kính c a mặt bên, mặt đá đ GT độ dài giao

tuy n c a mặt bên vuông góc với đá th án k nh mặt cầu là:

2

4

đ b

T

R R  

Ví 1 Cho hình chóp S ABC có đá ABC tam giác đ u cạnh ằng 1 mặt n SAB tam giác đ u v

nằm trong mặt ph ng vuông góc với mặt ph ng đá nh thể t ch V c a khối cầu ngoại ti p h nh

ọi M là trung điểm c a AB thì SM  AB (vì tam giác SAB đ u) ặt khác o

SAB(ABC)nên SM (ABC)

Ví 2 Cho hình chóp S ABCD có đá ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đ u và nằm trong .

mặt ph ng vuông góc với đá nh thể tích mặt cầu ngoại ti p khối chóp S ABCD

Ví 4 Cho t diện ABCD có ABD tam giác đ u cạnh a, CDa và ABC  ABD Tính bán kính

mặt cầu ngoại ti p t diện ABCDtheo a

B

D S

2a

a a

A S

a a

Vì ABC  ABD nên có DH ABC với H trung điểm cạnh AB

Vì DADBDC nên H trùng với tâm O c a đư ng tròn

ngoại ti p tam giác ABC

Ví 5 Cho hình chóp S ABC có đá ABC tam giác đ u cạnh a , tam giác SAB đ u và nằm trong mặt

ph ng vuông góc với đá nh án k nh mặt cầu ngoại ti p hình chóp S ABC

Ví 6 Cho hình chóp S ABCD có đá ABCD hình vuông cạnh a , tam giác SAB đ u và nằm trong mặt

ph ng vuông góc với đá nh án k nh mặt cầu ngoại ti p hình chóp S ABCD

R a b c

Ví 1 Cho h nh ập phư ng có cạnh ằng 2a nh thể t ch khối cầu ngoại ti p h nh ập phư ng

.13

a



B.

27.3

a



C.17a2 D.7a2

L i gi i Chọn B.

Phương h t lu n

Gọi O1, O2 tâm đư ng tròn ngoại ti p ABC và A B C  

Gọi I trung điểm c a O O 1 2

Ví 3 Cho h nh ng tr đ ng ABC A B C    có đá tam giác vuông tại A, AB2a 3 Đư ng ch o

BC tạo với mặt ph ng AA C C   một góc ằng 60 ọi  S mặt cầu ngoại ti p h nh ng tr