Các tham số đo độ phân tán trong dạy học thống kê lớp 10

− Cách trình bày trong sách giáo khoa của cấp trung học phổ thông có ảnh hưởng gì đến việc học các tham số đặc trưng đo độ phân tán trong thống kê mô tả và ý nghĩa của nó ở học sinh?. Nh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi học tập và nghiên cứu về didactic toán trong suốt khóa học

- Ban giám hiệu và thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Hậu Nghĩa tỉnh Long An đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học

- Ban Giám hiệu cùng quý thầy, cô trong tổ toán Trường THPT Hậu Nghĩa, Trường THPT An Ninh và Trường THPT Đức Hòa đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt

Huỳnh Công Chức

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 6

I.1.Lý thuyết nhân chủng học 6

I.1.1.Tri thức và thể chế 6

I.1.2.Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân 7

I.1.3.Tổ chức toán học (OM) 8

I.2.Hợp đồng didactic 9

-CHƯƠNG II NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CÁC THAM SỐ ĐO ĐỘ PHÂN TÁN TRONG THỐNG KÊ MÔ TẢ 12

-II.1.Tri thức luận của tham số đo độ phân tán ở mức độ giáo trình thống kê của cấp đại học 13

II.2 Phân tích chương trình 15

II.2.1 Chương trình toán từ năm 1988 đến năm 2002 16

-II.2.2 Ch ương trình thí điểm (từ năm 2003 đến năm 2006) 17

-II.2.3 Chương trình hiện hành (từ năm 2006 đến thời điểm làm luận văn này) - 17 II.3 Phân tích sách giáo khoa 22

II.3.1 Sách giáo khoa Toán lớp 10 nâng cao (kí hiệu SGK1) 22

-II.2.4 Sách gi áo khoa Toán 10 (ký hiệu SGK2) 40

II.4 Kết luận chương II 53

CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM 56

III.1 Mục tiêu của thực nghiệm 56

III.2 Nội dung của thực nghiệm 57

-III.3 Phân tích a priori cho bài toán thực nghiệm 64

III.3.1 Phân tích a priori cho các bài toán trong phần 1 của thực nghiệm 64

-I II.3.2 Phân tích a priori cho bộ câu hỏi trong phần 2 của thực nghiệm 76

III.4.Phân tích a posteriori cho bài toán thực nghiệm 80

III.4.1.Phân tích a posteriori cho các bài toán ở phần 1 của thực nghiệm 80

III.4.2 Phân tích a posteriori cho bộ câu hỏi ở phần 2 của thực nghiệm 92

III.5 Kết luận cho thực nghiệm 100

PHẦN KẾT LUẬN 102 -TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài và câu hỏi ban đầu:

Trong cuộc sống hiện nay, chúng ta thường gặp trên các báo đài, truyền hình, trên các bản tin, …các thông tin có dạng như sau:

- Theo thống kê: ở Mỹ có khoảng 1,5 triệu người mắc bệnh lupus ban đỏ, trong

đó 90% là phụ nữ.[Trích từ báo Thuốc và Sức khỏe số 405]

- Các biểu đồ thống kê trên các báo chí, các cuộc triển lãm, …

Như vậy thống kê là gì? Nó có vai trò gì trong đời sống? Những thông tin dưới

dạng số liệu như trên rất phổ biến trong khoa học và đời sống, liệu chúng ta có một cách khách quan để rút ra được các tri thức, các thông tin chứa đựng trong các số liệu

đó Qua quá trình phân tích nghiên cứu các thông tin thu thập được giúp chúng ta biết được tình hình các hoạt động, diễn biến của các hiện tượng, từ đó dự đoán các khả năng có thể xảy ra, góp phần phục vụ lợi ích của con người ngày càng tốt hơn Thống

kê có thể được xem như là các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích và

Ở Việt Nam, trong một thời gian dài xác suất và thống kê chỉ được đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán ở cấp đại học Sau đó một bộ phận cơ bản của thống kê là thống kê mô tả (TKMT) được đưa vào chương trình toán ở cấp Trung Học cơ sở (lớp 9) kể từ năm 1989 Từ năm học 2003-2004 một số yếu tố cơ bản của thống kê mô tả được đưa vào giảng dạy ở lớp 7 tại tất cả các trường Trung Học cơ sở và đồng thời một

số kiến thức và kỹ năng của thống kê mô tả cũng được đưa vào lớp 10 theo chương trình thí điểm phân ban Khoa Học Tự Nhiên và Khoa Học Xã Hội tại một số trường Trung Học Phổ Thông (THPT) Đến năm học 2006-2007 thì thống kê mô tả được đưa vào giảng dạy ở lớp 10 tại tất cả các trường THPT trong cả nước Việt Nam cho cả hai chương trình chuẩn và chương trình nâng cao

Vì vậy chúng tôi càng quan tâm hơn đến vấn đề này và quyết định chọn nghiên cứu việc dạy-học đối tượng thống kê ở bậc THPT

Chúng tôi hy vọng rằng những nghiên cứu nhỏ trong luận văn này có thể giúp thấy được phần nào thực tế của việc dạy-học đối tượng thống kê trong chương trình toán ở cấp Trung học phổ thông bằng cách tìm ra các yếu tố trả lời cho các câu hỏi ban đầu đưới đây:

− Các khái niệm của thống kê mô tả được đưa vào trong chương trình, trong sách giáo khoa toán cấp THPT Việt Nam như thế nào?

− Các tham số đặc trưng đo độ phân tán trong thống kê mô tả được thể hiện ra sao trong trong sách giáo khoa, sách bài tập?

− Cách trình bày trong sách giáo khoa của cấp trung học phổ thông có ảnh hưởng gì đến việc học các tham số đặc trưng đo độ phân tán trong thống kê

mô tả và ý nghĩa của nó ở học sinh?

− Tại sao trong sách giáo khoa toán lớp 10 chỉ đưa vào phương sai và độ lệch chuẩn để đo độ phân tán?

− Hoạt động dạy-học các tham số đặc trưng đo độ phân tán ở cấp THPT như thế nào?

2 Khung lý thuyết tham chiếu

Nhằm tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi ban đầu đặt ra ở trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong khuôn khổ của lý thuyết didactic toán, cụ thể

là lý thuyết nhân chủng học và khái niệm hợp đồng didactic

3.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu và mục đích nghiên cứu

Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời chúng chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này:

Q1 Các khái niệm của thống kê mô tả được đưa vào chương trình, SGK toán ở Việt Nam từ năm 2006 như thế nào?

Q2 Những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến các tham số đặc trưng đo độ phân tán của thống kê mô tả trong SGK được ưu tiên đưa ra trong chương trình toán lớp 10? Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh qua quá trình dạy-học các tham số đặc trưng đo độ phân tán?

Q3 Cách trình bày trong SGK có ảnh hưởng gì đến việc học các tham số đặc trưng đo độ phân tán và ý nghĩa của nó ở học sinh?

Q4 Việc dạy-học các tham số đặc trưng đo độ phân tán trong chương trình toán lớp 10 hiện hành có cần thiết hay không ?

4.Cấu trúc luận văn và phương pháp luận

Từ các câu hỏi nghiên cứu ở trên chúng tôi rút ra được cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu và 3 chương:

Chương I Cơ sở lý thuyết

Trình bày một cách ngắn gọn những cơ sở lý thuyết mà chúng tôi phải dựa vào

nó để phân tích bao gồm:

- Lý thuyết nhân chủng học

- Hợp đồng didactic

Chương II Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng các tham số đặc

trưng đo độ phân tán trong thống kê mô tả

Chúng tôi nghiên cứu chương trình, tài liệu hướng dẫn giáo viên, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập từ đó rút ra các kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật tương ứng với các kiểu nhiệm vụ đó, … có mặt trong phần các khái niệm trong thống kê mô tả Đồng thời tìm ra các quy tắc hợp đồng liên quan đến việc dạy-học các tham số đặc trưng đo

độ phân tán

Nghiên cứu này giúp chúng tôi xác định rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng các tham số đặc trưng đo độ phân tán đồng thời cho phép chúng tôi trình bày một số giả thuyết công việc, giả thuyết nghiên cứu để trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra

Tài liệu: SGK, SGV và sách bài tập toán lớp 10 của NXB-GD xuất bản năm

2006, gồm hai bộ (chương trình chuẩn và chương trình nâng cao)

Chương III Thực nghiệm

Các giả thuyết nghiên cứu ở chương II cần phải được kiểm tra bằng thực nghiệm

Ở dây chúng tôi chọn tiến hành làm thực nghiệm trên các đối tượng chủ yếu của việc dạy-học là học sinh và giáo viên dạy toán của một số Trường THPT

- Thực nghiệm đối với học sinh lớp 10 sau khi học xong chương thống kê được tiến hành dưới dạng bộ câu hỏi điều tra, với mục đích kiểm tra tính xác đáng của các

giả thuyết nghiên cứu, chúng tôi có thể đặt học sinh vào những tình huống khác nhau nhằm kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu cũng như các tình huống phá vỡ quy tắc hợp đồng didactic

- Thực nghiệm đối với giáo viên được tiến hành dưới dạng bộ câu hỏi điều tra nhằm mục đích tìm hiểu các ứng xử của giáo viên trong quá trình day học các tham số đặc trưng trong thống kê mô tả

Kết luận: Tổng kết lại những gì đã làm được, chưa làm được cũng như hướng

mở rộng nghiên cứu cho luận văn

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Nhằm tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi ban đầu đặt ra ở trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong khuôn khổ của lý thuyết didactic toán, cụ thể

là lý thuyết nhân chủng học và khái niệm hợp đồng didactic

I.1.Lý thuyết nhân chủng học

Ở đây, chúng tôi chỉ nêu ngắn gọn các khái niệm cần tham chiếu của lý thuyết nhân chủng học

Từ đó ta có mệnh đề sau:

- Mỗi tri thức đều là tri thức của một thể chế,

- Cùng một đối tượng tri thức có thể sống trong những thể chế khác nhau,

- Để có thể sống trong một thể chế, mỗi tri thức đều phải tuân theo một số ràng buộc nào đó Điều đó kéo theo việc tri thức phải bị biến đổi, nếu không thì nó không thể đứng vững trong thể chế

Đặc trưng này của các tri thức trong các thể chế dẫn đến việc phân biệt nhiều kiểu thao tác liên quan đến tri thức :

- tạo ra tri thức

- sử dụng tri thức

- dạy học tri thức

- thao tác chuyển hóa cho phép một tri thức chuyển từ một thể chế này sang một thể chế khác : thể chế thực hiện sự chuyển hóa là một thể chế được che dấu,

không nhìn thấy được, mà Chevallard gọi là « noosphère » (1985)

Didactic của các tri thức là lý thuyết nghiên cứu một cách có hệ thống những tình huống trong đó một cá nhân cố ý tìm cách biến đổi mối quan hệ với tri thức của một cá nhân khác

Chúng ta sẽ nói đến chuyển hóa sư phạm nếu thể chế đích là một thể chế dạy học Lý thuyết chuyển hóa sư phạm vạch rõ:

- vấn đề hợp pháp của các đối tượng tri thức được dạy: tri thức được dạy

được hợp pháp hóa như thế nào ? tri thức tham chiếu nào ? cái gì quyết định sự hiện diện ở đấy của tri thức này, mà không phải của tri thức khác ?

- việc xuất hiện một cách có hệ thống sự chênh lệch giữa một tri thức được dạy với tri thức tham chiếu hợp pháp hóa nó (sự chênh lệch sinh ra do những

ràng buộc trên hoạt động của hệ thống dạy học): đó là sự chênh lệch nào ?

những ràng buộc nào có thể giải thích cho những chênh lệch này ?

I.1.2.Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân

- R(P,O) : quan hệ cá nhân của P với O ↔ P biết O

Cá nhân P đến trong I (chiếm vị trí, vai trò gì đó trong thể chế I) thì quan hệ giữa cá nhân P đối với O là cách mà P nghĩ về O, P sử dụng O, cách P thao tác trên O Quan hệ giữa P và O được ký hiệu : R(P,O)

- R(I,O) : quan hệ thể chế I với đối tượng O ↔ I biết O

Thể chế I, đối tượng tri thức O tồn tại trong I thì quan hệ của I đối với O được

ký hiệu là R(I,O)

Học là cách làm thay đổi mối quan hệ của P đối với O

Dạy là giúp cho người học xây dựng hoặc thay đổi quan hệ của P đối với O

I.1.3.Tổ chức toán học (OM)

Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động xã hội, việc làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế I với đối tượng tri thức O được nghiên cứu là một vấn

đề cần được giải quyết thông qua câu hỏi được phát biểu như sau : những đối tượng

liên quan đến cùng một tri thức khác nhau như thế nào từ thể chế này sang thể chế khác ?

Bosch và Chevallard (1999) giới thiệu khái niệm praxéologie như câu trả lời cho câu hỏi này :

phép mô tả và nghiên cứu các điều kiện để thực thi Những phát triển mới đây theo hướng lý thuyết hóa cho phép giải quyết khiếm khuyết này Khái niệm chìa khóa là khái niệm tổ chức praxéologie hay ngắn gọn là praxéologie »

Thuyết nhân học của didactic xem mỗi hoạt động của con người như là việc thực hiện một nhiệm vụ t thuộc kiểu T nào đó, nhờ vào kỹ thuật τ, được giải thích bởi công nghệ θ Đồng thời, công nghệ này cho phép xác định kỹ thuật, thâm chí tạo ra nó,

và đến lượt mình, công nghệ lại giải thích được nhờ vào lý thuyết Θ

Một praxéologie là một bộ bốn phần tử [T,τ,θ,Θ] Khi T là kiểu nhiệm vụ toán học thì praxéologie này gọi là praxéologie toán học, ký hiệu : OM Khi T là kiểu nhiệm

vụ dạy học thì praxéologie này gọi là praxéologie didactique hay tổ chức sư phạm, ký hiệu : OD

Ngoài ra một praxéologie còn có thể được chia ra làm hai khối

− Khối kỹ năng (thực hành) [T,τ]

− Khối lý thuyết [θ,Θ]

Do đó việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức O

cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân P (chiếm vị trí, vai trò nào đó trong I) với đối tượng O là cách mà P nghĩ về O, P sử dụng O và P thao tác trên O

Việc chỉ rõ các tổ chức toán học liên quan đến tri thức O cũng giúp chúng ta xác định được một số quy tắc của hợp đồng didactic : xác định quyền được làm hay không được làm của cá nhân đối với việc sử dụng tri thức

I.2.Hợp đồng didactic

Theo quan điểm didactic, mục đích chung của giáo viên và học sinh trong một buổi học là tri thức, nhưng kế hoạch của mỗi bên đối với tri thức này là rất khác nhau cũng như trách nhiệm của mỗi bên trong tình huống giảng dạy cũng không giống nhau: giáo viên phải có kế hoạch giảng dạy cái gì đó bằng một cách nào đó, còn học sinh thì phải học để biết cái gì đó và biết như thế nào đó

Những gì mà mỗi bên có quyền làm hay không làm đối với một tri thức được chi phối bởi một tập hợp các quy tắc tường minh hay ngầm ẩn, thường là ngầm ẩn

Hợp đồng dạy học là một sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với các đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy Sự

mô hình hóa này do nhà nghiên cứu lập ra G Brousseau (1980) đã trình bày khái niệm này như sau:

“Trong một buổi học có mục đích là dạy cho học sinh một kiến thức nhất định, học sinh hiểu tình huống được giới thiệu, những câu hỏi đặt ra, những thông tin được cung cấp, những ràng buộc áp đặt, tùy theo những gì giáo viên thực hiện, có ý thức hay không, một cách lặp đi lặp lại trong thực tiễn giảng dạy của mình Trong các thói quen này, ta quan tâm đặc biệt hơn đến những gì là đặc thù cho kiến thức giảng dạy: ta gọi hợp đồng didactic là tập hợp những cách

ứng xử (chuyên biệt) của thầy được học sinh trông đợi và tập hợp những ứng xử của học sinh

mà thầy trông đợi”

Ta nói hợp đồng didactic là tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán được giảng dạy

Những điều khoản của hợp đồng không bao giờ được công bố hoặc nếu có thì cũng không ở dạng toàn văn vì thực tế chúng không thuộc loại công bố được, tổ chức nên mối quan hệ mà thầy và trò nuôi dưỡng đối mặt với tri thức

Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và các đánh giá sư phạm Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc

vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích Nó

là quy tắc giải mã cho những hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua Nói cách khác, khái niệm hợp đồng didactic cho phép chúng ta “giải mã” các ứng xử của giáo viên và học sinh và tìm ra nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành Từ đó có thể giải thích một cách hợp lí những sự kiện quan sát được trong lớp học

Tóm lại, mọi tri thức đều là tri thức của một thể chế, nó được sinh ra và phát triển trong một thể chế và bị ràng buộc của thể chế đó Một tri thức có thể tồn tại trong nhiều thể chế khác nhau và để tồn tại được trong một thể chế thì tri thức cần phải có sự biến đổi cho phù hợp với những ràng buộc của thế chế đó

Để phân tích mối quan hệ của một thế chế với một đối tượng tri thức chúng ta

có thể thực hiện như sau:

• Phân tích chương trình: đây là cách tiếp cận sinh thái học, là cách tiếp cận thừa

nhận quan điểm: mỗi đối tượng tri thức O tồn tại trong một thể chế I đều có mối quan hệ với đối tượng khác và muốn tồn tại thì phải thỏa mãn một số điều kiện ràng

buộc Để làm điều đó chúng ta phải trả lời câu hỏi: « Trước đối tượng O là gì? Sau

đối tượng O là gì?» Từ đó suy ra vị trí của đối tượng O trong thể chế I và vai trò

của đối tượng O trong thể chế I

• Phân tích sách giáo khoa: nhằm xác định đối tượng O xuất hiện như thế nào trong thể chế I và vai trò của đối tượng O trong I (O tồn tại trong I như thế nào?)

− Về góc độ chuyển hóa didactic: đối tượng O được trình bày ra sao?

− Phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng O, tìm ra các kiểu nhiệm vụ có mặt trong O và không có mặt trong O, cũng như kiểu nhiệm vụ được ưu tiên Từ đó rút ra sự tồn tại của một đối tượng O trong thể chế I và các mối quan hệ của đối tượng đó với các đối tượng khác trong cùng một thể chế Cách tiếp cận này là cách tiếp cận các praxéologie, trong đó thừa nhận hai mệnh đề:

Mệnh đề 1 Mọi hoạt động của con người đều có thể phân tích thành một dãy các

kiểu nhiệm vụ

Mệnh đề 2 Đối với một kiểu nhiệm vụ bao giờ cũng có một kỹ thuật cho phép giải

quyết kiểu nhiệm vụ đó

•Thực hiện quan sát lớp học: nhằm tìm hiểu các hoạt động dạy-học giữa giáo viên

và học sinh trong việc xây dựng một đối tượng và mối quan hệ của nó với các đối tượng khác trong cùng một thể chế

• Ngoài ra chúng ta có thể nhìn sang một thể chế khác I’ để xem đối tượng O tồn tại như thế nào trong I’

CHƯƠNG II NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CÁC THAM SỐ ĐO ĐỘ PHÂN TÁN TRONG THỐNG KÊ MÔ TẢ

Trong chương I, chúng tôi đã trình bày lý thuyết nhân chủng học và hợp đồng didactic,

đó là những lý thuyết cơ sở để dựa vào đó mà chúng tôi tìm ra các yếu tố trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra Cụ thể, chúng tôi sẽ làm rõ các vấn đề sau :

• Các khái niệm của thống kê mô tả được đưa vào chương trình, SGK toán ở Việt Nam từ năm 2006 như thế nào?

• Những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến các tham số đặc trưng đo độ phân tán của thống kê mô tả trong SGK, sách bài tập được ưu tiên đưa ra trong chương trình lớp 10? Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh qua quá trình dạy-học các tham số đặc trưng đo độ phân tán?

• Cách trình bày trong SGK có ảnh hưởng gì đến việc học các tham số đặc trưng đo

độ phân tán và ý nghĩa của nó ở học sinh?

• Việc dạy-học các tham số đặc trưng đo độ phân tán trong chương trình toán lớp

10 hiện hành có cần thiết hay không?

Trong chương II, trên cơ sở lý thuyết đã chọn chúng tôi cần làm rõ mối quan hệ thể chế I (thể chế dạy học môn toán ở Việt Nam) với đối tượng O các tham số đặc trưng đo độ phân tán trong thống kê mô tả, thông qua việc phân tích chương trình, sách giáo viên, SGK, sách bài tập, nhằm mục đích tìm ra các yếu tố trả lời cho các câu hỏi trên

Ở Việt Nam, từ năm học 2006-2007, chương trình và SGK mới được áp dụng trong tất cả các trường trung học phổ thông nên chúng tôi lưu ý đến việc phân tích hai

bộ sách giáo khoa toán lớp 10 của chương trình chuẩn và chương trình nâng cao

II.1.Tri thức luận của tham số đo độ phân tán ở mức độ giáo trình thống kê của cấp đại học

Tài liệu phân tích:

• Lý thuyết xác suất và thống kê (2000), Đinh Văn Gắng, NXB Giáo dục

• Xác suất thống kê và Quá trình ngẫu nhiên (2008), Nguyễn Chí Long, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh

Trong phần này chúng tôi chỉ phân tích các tham số thống kê liên quan đến việc đo độ phân tán, nó được giới thiệu trong chương Lý thuyết mẫu như sau:

Giả sử Ω là một đám đông, (X1, X2, …, Xn) là mẫu quan sát kích thước n của đặc tính X

Tương tự như các biến ngẫu nhiên, với các mẫu ta cũng xét các đặc trưng

a Phương sai mẫu có hai dạng:

s

1

2 1 2

)(

1

1

1 2

1

2

)(

1

X X X X n X X n S

n i i n

X n

i

i n X n

X n

X

1 1

11

là trung bình mẫu

- Khi n đủ lớn thì 2 2

S và

)(

1

µ

- Nhận xét: Mômen trung tâm mẫu cấp 2 chính là phương sai và Mômen trung tâm mẫu cấp 1 luôn luôn bằng 0 Mômen trung tâm mẫu cấp 3 (µ3) đặc trưng tính đối

xứng của phân phối với kỳ vọng và Mômen trung tâm mẫu cấp 4 (µ4) đặc trưng cho độ nhọn

c Hệ số tương quan mẫu:

Xét (X1, X2, …, Xn) là mẫu của đặc tính X trên đám đông Ω và (Y1, Y2, …, Yn) là mẫu của đặc tính Y trên Ω

n

m

1

2 2

- Hệ số tương quan mẫu có dạng *

2

* 1

Về ý nghĩa của nó được trình bày trong chương: Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

“P hương sai cũng như độ lệch quân phương là đại lương đặc trưng cho mức độ tập trung quanh kỳ vọng (trung bình) EX của các giá trị của biến ngẫu nhiên X Phương sai càng nhỏ thì nhìn chung các giá trị của X càng gần với giá trị trung bình EX; phương sai càng lớn thì các giá trị của X càng phân tán xa EX.”

[Lí thuyết xác suất và thống kê (2000), Đinh Văn Gắng, Tr.105]

“H ệ số tương quan là số đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa hai biến ngẫu nhiên Nếu |r| càng gần 1 thì mức độ phụ thuộc giữa chúng càng chặt Nếu r > 0, X, Y có liên hệ thuận chiều; nếu r < 0, X, Y có liên hệ ngược chiều; r càng gần 0 thì sự phụ thuộc càng lỏng lẻo Nếu hai biến độc lập thì r = 0.”

[Lí thuyết xác suất và thống kê (2000), Đinh Văn Gắng, Tr.114]

Như vậy, trong giáo trình thống kê của cấp đại học đã đưa ra hai tham số đo độ phân tán của một mẫu là phương sai và độ lệch quân phương (độ lệch chuẩn), còn để so sánh mức độ phụ thuộc tuyến tính của hai biến ngẫu nhiên có đặc tính X, Y trong cùng một đám đông thì ta dùng hệ số tương quan r

Ngoài ra, trong giáo trình Lý thuyết thống kê (dùng cho các trường cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp khối kinh tế) (2008), Phạm Ngọc Kiểm-Nguyễn Công Nhự, Nhà xuất bản giáo dục còn trình bày thêm các tham số đo độ phân tán như sau:

- Khoảng biến thiên/biên độ (R): R = Xmax – Xmin

- Độ lệch tuyệt đối trung bình: ∑

để đo độ phân tán như sau:

• Phương sai và độ lệch chuẩn

• Hệ số tương quan

• Khoảng biến thiên/biên độ

• Độ lệch tuyệt đối trung bình

Trong các tham số đo độ phân tán này thì chỉ có hệ số tương quan được dùng để so sánh mức độ phụ thuộc tuyến tính của hai dấu hiệu điều tra Còn các độ phân tán khác (phương sai, độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, độ lệch tuyệt đối trung bình) có ý nghĩa

là đo mức độ phân tán của các giá trị số liệu quanh giá trị trung bình của một dấu hiệu điều tra

II.2 Phân tích chương trình

Như chúng ta đã biết, năm 1975 đất nước thống nhất, nhưng ở Việt Nam việc dạy học vẫn được tiến hành theo hai hệ thống khác nhau và sử dụng hai chương trình, hai bộ SGK khác nhau: hệ 10 năm và hệ 12 năm Nhằm thống nhất chương trình trên toàn quốc và cho nó cập nhật thích hợp với sự phát triển của khoa học-kỹ thuật, bắt đầu

từ năm 1980 có một sự thay đổi chương trình và SGK theo kiểu cuốn chiếu từ lớp 1 đến lớp 12 Trong giai đoạn này một bộ phận cơ bản của thống kê là thống kê mô tả được đưa vào chương trình toán ở cấp Trung học cơ sở (lớp 9) từ năm học 1988-1989 Đến năm học 2003-2004 một số yếu tố cơ bản của thống kê mô tả được đưa vào giảng dạy ở lớp 7 tại tất cả các trường Trung học cơ sở và đồng thời một số kiến thức và kỹ năng của thống kê mô tả cũng được đưa vào lớp 10 theo chương trình thí điểm phân ban Khoa Học Tự Nhiên và Khoa Học Xã Hội tại một số trường Trung Học Phổ Thông (THPT) Đến năm học 2006-2007 thì thống kê mô tả được đưa vào giảng dạy ở lớp 10

tại tất cả các trường THPT trong cả nước Việt Nam cho cả hai chương trình chuẩn và chương trình nâng cao

Như vậy trong phần này chúng tôi xét ba chương trình toán được đưa vào giảng dạy ở Việt Nam liên quan đến phần thống kê mô tả như sau:

II.2.1 Chương trình toán từ năm 1988 đến năm 2002

Trong chương trình này đã đưa vào một cách có hệ thống những kiến thức về thống kê mô tả trong một chương của Đại số lớp 9

Trong chương IV-MỞ ĐẦU VỀ THỐNG KÊ MÔ TẢ đã trình bày nội dung trong 4 bài như sau:

§1 Một vài khái niệm

Trình bày về tập hợp thống kê, mẫu, phần tử, dấu hiệu, giá trị biến lượng, tần số

và tần suất

§2 Biểu diễn số liệu bằng bảng và biểu đồ

Trình bày bảng phân phối thực nghiệm, bảng phân phối ghép lớp, biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, hình quạt và biểu đồ đường gấp khúc

§3 Giá trị trung bình của biến lượng

Trình bày cách tìm giá trị trung bình và ý nghĩa của giá trị trung bình

§4 Phương sai

Nêu ra công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn và cách nhận xét độ phân tán của mẫu số liệu

[SGK Đại số 9 (2002), Ngô Hữu Dũng-Trần Kiều, NXB Giáo Dục]

Như vậy trong chương trình này đã xuất hiện những kiến thức cơ bản về thống

kê mô tả được trình bày một cách có hệ thống trong một chương và có sự xuất hiên của nhóm các tham số đo độ phân tán: phương sai và độ lệch chuẩn Đồng thời cũng nêu lên ý nghĩa của phương sai, độ lệch chuẩn về việc so sánh tính đồng đều của hai mẫu

số liệu

II.2.2 Chương trình thí điểm (từ năm 2003 đến năm 2006)

Chương trình thí điểm ở bậc Trung học phổ thông là một sự nối tiếp của chương trình trước, được thí điểm trong 3 năm và nó là bước khởi đầu cho chương trình hiện hành (từ năm 2006 đến thời điểm thực hiện luận văn này)

Trong chương trình thí điểm này, thống kê mô tả được đưa vào ở lớp 10 và dành một chương để trình bày nội dung theo ba vấn đề cơ bản sau:

• Các khái niệm cơ bản trong thống kê mô tả

• Các cách biểu diễn số liệu: giới thiệu bảng phân phối thực nghiệm ghép lớp, các dạng biểu đồ hình cột, hình quạt, đường gấp khúc tần số

• Các tham số đặc trưng của mẫu số liệu: các tham số định tâm (số trung bình cộng, số mốt và số trung vị) và các tham số đo độ phân tán (phương sai, độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên)

Mục tiêu đưa ra khi giảng dạy chương này là:

“Tiếp tục cung cấp cho học sinh một cách có hệ thống những kiến thức và phương pháp ban đầu về các phương pháp sau đây của thống kê mô tả:

- Phương pháp trình bày dãy số liệu thống kê

- Phương pháp thu gọn các số liệu thống kê nhờ vào các tham số đặc trưng của bảng phân phối thực nghiệm

- Và góp phần giáo dục ý thức, kỹ năng vận dụng thống kê vào cuộc sống”.

[SGV Toán lớp 10, bộ 1, 2 trang 144]

Theo chương trình thí điểm thì thống kê được đưa vào lớp 10 trong một chương

và các tham số đặc trưng đo độ phân tán cũng được đưa vào trong cả hai ban khoa học

tự nhiên và ban khoa học xã hội

II.2.3 Chương trình hiện hành (từ năm 2006 đến thời điểm làm luận văn này)

Trong chương trình toán Việt Nam hiện hành, kiến thức thống kê mô tả được đưa vào qua các bậc học: tiểu học, trung học cơ sở và trung học phổ thông với các nội dung cụ thể và được xây dựng một cách rời rạc qua từng bài, từng chương

Ở bậc tiểu học (từ lớp 1 đến lớp 5): Thống kê mô tả được tổ chức thành một bài

ở học kì II trong chương trình toán lớp 3 – Bài: “Làm quen với số liệu thống kê”

Mục tiêu của bài này:

− “Giúp học sinh làm quen với dãy số liệu

− Biết xử lí số liệu ở mức độ đơn giản và lập dãy số liệu

− Nắm được các khái niệm cơ bản của bảng số liệu thống kê: hàng, cột

− Biết cách đọc số liệu của một bảng

− Biết cách phân tích số liệu của bảng.”

[SGV Toán lớp 3, trang 216, 217]

Bài học này giới thiệu dãy số liệu và bảng thống kê ở mức độ rất đơn giản Trong phần bài tập cũng chỉ yêu cầu học sinh kỹ năng đọc được số liệu, so sánh, sắp xếp các số trong dãy số liệu hay trong bảng thống kê, điền số liệu cho sẵn vào vị trí thích hợp trong bảng mà không yêu cầu học sinh phải tự lập được bảng thống kê

Bậc trung học cơ sở (từ lớp 6 đến lớp 9): trong chương trình toán lớp 7, thống

kê mô tả được tổ chức thành 1 chương riêng biệt ở đầu học kì II Nội dung được trình

bày trong bốn bài và phần ôn tập với thời lượng là 10 tiết được phân bố như sau:

§1 Thu thập số liệu thống kê, tần số (2 tiết)

§2 Bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu (2 tiết)

§3 Biểu đồ (2 tiết)

§4 Số trung bình cộng, mốt của dấu hiệu (2 tiết)

có 1 tiết ôn tập và 1 tiết kiểm tra

Về kỹ năng:

• Biết tiến hành thu thập số liệu từ các cuộc điều tra nhỏ

• Biết cách tìm các giá trị khác nhau trong bảng số liệu thống kê và tần số tương ứng Lập được bảng tần số, biểu diễn được bằng cột đứng các mối liên hệ nói trên và nhận xét sơ bộ sự phân phối các giá trị của dấu hiệu

• Biết tính số trung bình cộng, tìm mốt của dấu hiệu.”

[SGV toán 7, tập hai, trang 3]

Thống kê mô tả trong chương trình toán ở bậc Trung học cơ sở được trình bày trong một chương ở lớp 7 với những kiến thức toán học đơn giản và hầu như không có mối liên hệ trực tiếp với các chương khác

Bậc trung học phổ thông (từ lớp 10 đến lớp 12): Thống kê mô tả xuất hiện

trong chương trình toán lớp 10, ở chương V–Thống kê trong cả hai chương trình chuẩn

và chương trình nâng cao

 Nội dung trong chương trình nâng cao gồm 3 bài, được thực hiện trong 9 tiết

và được phân phối cụ thể như sau:

§1 Một vài khái niệm mở đầu (1 tiết)

§2 Trình bày mẫu số liệu (3 tiết)

§3 Các số đặc trưng của mẫu số liệu (3 tiết)

Có 1 tiết ôn tập và 1 tiết kiểm tra

Với mục tiêu của chương trình toán lớp 10 nâng cao trong chương Thống kê như sau:

o Biết trình bày một mẫu số liệu dưới dạng một bảng phân bố tần số-tần suất, bảng phân bố tần số-tần suất ghép lớp (cho trước các lớp ghép)

o Biết vẽ các biểu đồ tần số, tần suất hình cột, biểu đồ tần suất hình quạt, đường gấp khúc tần số-tần suất

o Biết tính số trung bình cộng, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn.”

[SGV Đại số 10 nâng cao, trang 215]

 Nội dung trong chương trình chuẩn gồm 4 bài, được thực hiện trong 7 tiết và

được phân phối cụ thể như sau:

§1 Bảng phân bố tần số và tần suất (1 tiết)

§2 Biểu đồ (1 tiết)

§3 Số trung bình cộng Số trung vị Mốt (2 tiết)

§4 Phương sai và độ lệch chuẩn (1 tiết)

Có 1 tiết ôn tập và 1 tiết kiểm tra

Với mục tiêu và những yêu cầu của chương trình chuẩn toán lớp 10 ở phần thống kê như sau:

“Về mục tiêu:

− Cung cấp cho học sinh một cách hệ thống những kiến thức, kĩ năng ban đầu về phương pháp trình bày các số liệu thống kê, phương pháp thu gọn các số liệu thống kê nhờ các số đặc trưng

− Góp phần giáo dục ý thức và kĩ năng vận dụng thống kê vào cuộc sống.”

“ Về yêu cầu:

− Biết lập và đọc các bảng phân bố tần số và tần suất, bảng phân bố tần suất,bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, bảng phân bố tần số ghép lớp, bảng phân bố tần suất ghép lớp; các biểu đồ đã học

− Không yêu cầu học sinh nhận biết được khi nào phải lập bảng phân bố ghép lớp, cách phân lớp, khi lập loại bảng này

− Với biểu đồ hình quạt, chỉ yêu cầu học sinh đọc được biểu đồ này (không yêu cầu vẽ)

− Bước đầu hiểu nội dung, ý nghĩa và biết cách tính các số đặc trưng của các bảng phân bố.”

[SGV Đại số 10, trang 122, 123]

Có thể thấy rằng đối với chương trình Toán THPT hiện hành thì Thống kê mô tả thật sự là một phần kiến thức được quan tâm, chiếm một thời lượng nhất định là 9 tiết trên 94 tiết Đại số của chương trình nâng cao và 7 tiết trên 66 tiết Đại số của chương trình chuẩn Nội dung chủ yếu xoay quanh ba vấn đề sau:

- Đọc bảng thống kê số liệu

- Trình bày mẫu số liệu: lập bảng phân bố tần số, bảng phân bố tần suất và vẽ biểu đồ

- Các số đặc trưng của mẫu số liệu: số định tâm (số trung bình, trung vị, mốt),

số đo độ phân tán (phương sai và độ lệch chuẩn) và ý nghĩa của nó

Tóm lại, qua việc phân tích chương trình, phần thống kê mô tả được đưa vào chương trình toán hiện hành (áp dụng từ năm 2006 ở lớp 10) và được xây dựng qua từng cấp học từ Tiểu học, Trung học sơ sở và Trung học phổ thông với nội dung cụ thể

và được trình bày trong một chương (lớp 7 và lớp 10), nhưng về phần kiến thức thì hầu như không có mối quan hệ trực tiếp với các chương khác và nó sử dụng các kiến thức toán học khá đơn giản

Các số đo độ phân tán được đưa vào ở chương trình lớp 10 hiện hành với yêu

cầu: “bước đầu hiểu nội dung, ý nghĩa và biết cách tính các số đặc trưng” nhưng nó

được vận dụng trong hoạt động dạy-học như thế nào? được thể hiện cụ thể hơn trong việc phân tích sách giáo khoa

II.3 Phân tích sách giáo khoa

Với mục đích nghiên cứu mối quan hệ của thể chế dạy học ở Việt Nam với đối tượng các tham số đặc trưng đo độ phân tán trong TKMT, chúng tôi sẽ phân tích hai bộ SGK hiện hành như sau:

• Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao (2006), Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC (SGK1)

• Sách giáo khoa đại số 10 (2006), Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC (SGK2)

Với mỗi sách giáo khoa chúng tôi chọn một sách giáo viên tương ứng được ký hiệu SGV1 và SGV2

Tài liệu phân tích: Đại số 10 nâng cao (2006), Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nhà xuất bản giáo dục

Chương 5: Thống kê gồm 3 bài:

§1: Một vài khái niệm mở đầu

§2: Trình bày một mẫu số liệu

§3: Các số đặc trưng của mẫu số liệu

Bài 1 Một vài khái niệm mở đầu

SGK1 nêu khái niệm thống kê:

“Thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích và xử lí số liệu.”

“Một tập hợp con hữu hạn các đơn vị điều tra gọi là mẫu Số phần tử của một mẫu gọi là kích thước mẫu Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu được gọi là mẫu số liệu (mỗi giá trị như thế còn gọi là một giá trị của mẫu).”

[SGK1, trang 160]

SGK1 cũng chú ý phân biệt giữa điều tra toàn bộ và điều tra mẫu:

“Nếu thực hiện điều tra trên mọi đơn vị điều tra thì đó là điều tra toàn bộ Nếu chỉ điều tra trên một mẫu thì đó là điều tra mẫu.”

Đồng thời cũng giải thích lí do tại sao trong thống kê thường chỉ điều tra mẫu:

“Điều tra toàn bộ đôi khi không khả thi vì số lượng đơn vị điều tra quá lớn hoặc vì muốn điều tra phải phá hủy đơn vị điều tra.Chúng ta thường chỉ điều tra mẫu và phân tích xử lí mẫu số liệu thu được.”

[SGK1, trang 160]

Có thể thấy SGK1 đã có sự chú ý đến việc cho học sinh tiếp cận với khái niệm mẫu trong thống kê, đồng thời cũng nêu lên được ý nghĩa, sự cần thiết của việc phải làm việc trên mẫu thay vì điều tra trên tổng thể, đây là một khía cạnh rất quan trọng và

cơ bản trong quá trình cho học sinh tiến hành tiếp cận với kiến thức thống kê

Bài 2 Trình bày một mẫu số liệu

Trong bài này SGK1 nêu những phương pháp trình bày một mẫu số liệu Nội dung tập trung vào hai phương pháp: phương pháp dùng bảng và phương pháp dùng biểu đồ

Đối với phương pháp dùng bảng, SGK1 đưa ra bảng phân bố tần số-tần suất

Về hình thức thì không khác gì so với bảng tần số đã học ở lớp 7, tuy nhiên trong bảng

có thêm cột tần suất Tần suất được định nghĩa:

“Tần suất f i của giá trị x i là tỉ số giữa tần số n i và kích thước mẫu N

N

n

f i

i =

Người ta thường viết tần suất dưới dạng phần trăm

[…] bảng phân bố tần số - tần suất (gọi tắc là bảng tần số-tần suất) sau đây

[…] có thể viết bảng tần số - tần suất dưới dạng “ngang” như trên hoặc dưới dạng “dọc” (chuyển hàng thành cột).”

[SGK1, trang 162]

Bên cạnh đó SGK1 cũng đưa vào bảng phân bố tần số-tần suất ghép lớp ( gọi

tắt là bảng tần số - tần suất ghép lớp) Lí do xuất hiện xuất hiện dạng bảng này được giải thích là

“ Để trình bày mẫu số liệu (theo một tiêu chí nào đó) được gọn gàng, xúc tích, nhất là khi có nhiều số liệu, ta thực hiện ghép số liệu thành các lớp.”

[SGK1, trang 163]

Kỹ thuật phân lớp mẫu số liệu không được đề cập đến, toàn bộ các lớp cần phân chia đều được SGK1 nêu ra sẵn Phương pháp xác định mỗi số liệu thuộc vào lớp nào hoàn toàn dựa vào kiến thức về tập hợp số Có thể khái quát như sau:

[ ] [ )

Về biểu đồ, SGK1 lựa chọn đưa vào biểu đồ tần số-tần suất hình cột, đường gấp

khúc tần số-tần suất và biểu đồ tần suất hình quạt

SGK1 nhấn mạnh biểu đồ hình cột là một cách thể hiện rất tốt cho bảng phân bố tần số (hay tần suất) ghép lớp Các bước tiến hành để vẽ biểu đồ được giới thiệu thông qua một ví dụ vẽ biểu đồ tần số hình cột cho bảng 4

Ví dụ 3:

“H ình 5.1 là biểu đồ tần số hình cột thể hiện bảng 4 với cách vẽ như sau:

 Vẽ hai đường thẳng vuông góc

 Trên đường thẳng nằm ngang (dùng làm trục số), ta đánh dấu các đoạn xác định lớp, bắt đầu từ đoạn [160 ; 162] cho tới đoạn [172 ; 174]

 Tại mỗi đoạn, ta dựng lên một cột hình chữ nhật với đáy là đoạn đó, còn chiều cao bằng tần số mà đoạn đó xác định

Hình thu được đó là biểu đồ tần số hình cột.”

[SGK1, trang 165]

Đối với cách ghép lớp bằng nửa khoảng như ở bảng 6, biểu đồ hình cột cũng được xây

dựng tương tự, chỉ khác là giữa các cột không có “khe hở”

Biểu đồ tần suất hình cột cũng được vẽ theo cách như trên, tất nhiên trong trường hợp này cột hình chữ nhật sẽ có chiều cao bằng tần suất

Ngoài ra bảng phân bố tần số ghép lớp cũng có khi được thể hiện bằng đường gấp khúc tần số Cũng giống như trên, những bước tiến hành vẽ biểu đồ dạng này cũng được đưa ra qua một ví dụ cụ thể

Ví dụ 4:[…]

 Ta vẽ hai đường thẳng vuông góc Trên đường thẳng nằm ngang (dùng làm trục số), ta đánh dấu các điểm A A A A A1; 2; 3; 4; 5 ở đó A i là trung điểm của đoạn (hoặc nửa khoảng) xác định thứ i (i = 1, 2, 3,…,5)

 Tại mỗi điểm A i , ta dựng đoạn thẳng A M i i vuông góc với đường thẳng nằm ngang và độ dài bằng tần số của lớp thứ i ; A M1 1=6, ,A M5 5 =3

 Vẽ các đoạn thẳng M M M M M M M M1 2, 2 3, 3 4, 4 5 tađược một đường gấp khúc Đó là đường gấp khúc tần số thể hiện bảng 4

 Nếu độ dài các đoạn thẳng A M i i được lấy bằng tần suất của lớp thứ i thì khi vẽ các đoạn thẳng M M M M M M M M1 2, 2 3, 3 4, 4 5 ta được một đường gấp khúc gọi là đường gấp khúc tần suất

Sau khi hoàn thành ta được biểu đồ

[SGK1, trang 166]

Biểu đồ tần suất hình quạt được đưa vào như là một công cụ thích hợp để thể hiện bảng phân bố tần suất ghép lớp Trong đó, hình tròn được chia thành những hình quạt Mỗi lớp được tương ứng với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất

của lớp đó Từ ví dụ cụ thể (Ví dụ 5 Trang: 167), SGK1 đã trình bày cách vẽ biểu đồ hình quạt

CHÚ Ý

“Các biểu đổ hình cột và biểu đồ hình quạt được sử dụng không chỉ nhằm minh họa bằng hình ảnh bảng phân bố tần số-tần suất ghép lớp mà còn được sử dụng rộng rãi trong việc minh họa các số liệu thống kê ở các tình huống khác.”

[SGK1, trang 167]

Bài 3 C ác số đặc trưng của mẫu số liệu

SGK1 đề cập đến các số định tâm: số trung bình, số trung vị, mốt và các số đo

độ phân tán: phương sai và độ lệch chuẩn

Đối với số trung bình Ngoài việc nhắc lại công thức tính số trung bình cộng và

ý nghĩa của số này như đã xuất hiện ở lớp 7, SGK1 cũng đưa ra công thức tính xấp xỉ

số trung bình cộng trong trường hợp mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng phân bố tần

số ghép lớp

“Giả sử mẫu số liệu có kích thước N được cho dưới dạng bảng tần số ghép lớp Các số liệu được chia thành m lớp ứng với m đoạn hoặc nửa khoảng Ta gọi trung điểm x i của đoạn (hay nửa khoảng) của ghép lớp thứ i là giá trị đại diện của lớp ghép đó

[…] số trung bình của mẫu số liệu này được tính xấp xỉ theo công thức

1

1 m

i i i

N =

[SGK1, trang 171]

Số trung vị được giới thiệu như là một số đại diện cho mẫu số liệu trong trường

hợp các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch rất lớn đối với nhau Vì khi đó số trung

bình không thể đại diện tốt cho các số liệu trong mẫu Lí do tồn tại của số trung vị được minh họa thông qua ví dụ:

“Ví dụ 2:Một nhóm 11 học sinh tham gia một kì thi Số điểm thi của 11 học sinh đó được sắp xếp từ thấp đến cao như sau (thang điểm 100):

0 ; 0 ; 63 ; 65 ; 69 ; 70 ; 72 ; 78 ; 81 ; 85 ; 89.”

[SGK1, trang 172]

Với các điểm số như trên thì số trung bình x ≈61,09, trong 11 học sinh có đến

9 học sinh có điểm vượt trên số trung bình, trong khi 2 học sinh còn lại thì 0 điểm Như vậy, số trung bình này không phản ánh đúng trình độ của học sinh Trong trường hợp

này, có một số đặc trưng khác thích hợp hơn đó là số trung vị

Từ việc so sánh sự chênh lệch giữa các giá trị trong mẫu với nhau, các giá trị trong mẫu với số trung bình đã ngầm ẩn hình thành một kỹ thuật nhận xét tính đồng đều của mẫu số liệu:

- So sánh các giá trị trong mẫu với nhau hoặc các giá trị trong mẫu với số trung bình

- Nếu có sự chêch lệch lớn/rất lớn thì mẫu số liệu là không đồng đều

Phương pháp tìm số trung vị của mẫu số liệu được SGK1 trình bày như sau:

“Giả sử ta có một mẫu số liệu kích thước N được sắp xếp theo thứ tự không giảm Nếu N là một số lẻ thì số liệu đứng thứ 1

2

N+

(số liệu đứng chính giữa) gọi là số trung vị

Trong trường hợp N là một số chẵn, ta lấy trung bình cộng của hai số liệu thứ ; 1

Khái niệm mốt của một mẫu số liệu được SGK1 trình bày như sau:

“Cho một mẫu số liệu dưới dạng bảng phân bố tần số Ta đã biết giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu và ký hiệu là M o ”

[SGK1, trang 173]

và giới thiệu trường hợp một mẫu số liệu có nhiều mốt

“Ví dụ 5 Một cửa hàng bán 6 loại quạt với giá tiền là 100, 150, 300, 400, 500 (đơn vị nghìn đồng) Số quạt cửa hàng bán ra trong mùa hè vừa qua được thống kê trong bản sau:

Phương sai và độ lệch chuẩn là hai số đặc trưng được đưa vào trong SGK1,

với mục đích đo độ phân tán của các giá trị số liệu so với số trung bình

Từ một ví dụ cụ thể, SGK1 đã cho thấy được sự cần thiết của phương sai và độ lệch chuẩn

“Ví dụ 6:Điểm trung bình từng môn học của hai học sinh An và Bình trong năm học vừa qua được cho trong bảng sau:

Môn Điểm của An Điểm của Bình

Toán Vật lí Hóa học Sinh học Ngữ văn Lịch sử Địa lí Tiếng anh Thể dục Công nghệ Giáo dục công dân

8 7,5 7,8 8,3

7

8 8,2

9

8 8,3

9

8,5 9,5 9,5 8,5

5 5,5

6

9

9 8,5

10

Tính điểm trung bình (không kể hệ số) của tất cả các môn học của An và của Bình, Theo em bạn nào học khá hơn?”

[SGK1, trang 174]

Hai học sinh này có điểm trung bình gần sấp xỉ nhau x1 =8,1 và x2 ≈8,091, tuy nhiên nhìn vào bảng điểm chúng ta có nhận xét là An học đều các môn, còn Bình thì không

Sự chênh lệch, biến động giữa các điểm của An thì ít, của Bình thì nhiều Để có thể đánh giá được học sinh nào học đều các môn hơn người ta sử dụng phương sai hoặc độ lệch chuẩn

SGK1 cung cấp công thức để tính phương sai và độ lệch chuẩn:

“Để đo mức độ chênh lệch giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số trung bình, người ta đưa

ra hai số đặc trưng là phương sai và độ lệch chuẩn

Giả sử một mẫu số liệu có kích thước N là {x x1, 2, ,x N} Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là 2

s , được tính bởi công thức sau

( )2 2

1

1 N

i i

N =

= ∑ − t rong đó x là số trung bình của mẫu số liệu

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là s

( )2 1

1 N

i i

Trong trường hợp số liệu được cho dưới dạng bảng phân bố tần số thì phương

sai được tính bởi công thức:

Còn đối với bảng phân bố tần số ghép lớp thì SGK1 nêu ra như sau:

“Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng phân bố tần số ghép lớp Các số liệu được chia thành m lớp ứng với m đoạn (hoặc nửa khoảng) Gọi x i là gi á trị đại diện của lớp thứ i Khi

đó, phương sai của mẫu số liệu này được tính xấp xỉ theo công thức trên.”

[SGK1, trang 177]

Nhìn vào công thức tính phương sai, nó là trung bình cộng của tổng bình

phương các khoảng cách từ mỗi số liệu đến số trung bình Vì vậy, phương sai còn

được gọi là độ lệch bình phương trung bình Khi số liệu có đơn vị thì đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị của số liệu

Trong trường hợp mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số ghép lớp, phương sai có thể tính (xấp xỉ) bằng cách lấy trung bình cộng hai giá trị đầu mút của mỗi lớp làm đại diện Sau đó, chúng ta coi giá trị đại diện này có tần số bằng tần số của lớp ghép đó và việc tính phương sai theo cách này gần đúng với cách tính theo định nghĩa từ các số liệu ban đầu (vì chúng ta đã thế các giá trị trong lớp bằng giá trị đại diện) Cách tính này có sai số khá nhỏ, chấp nhận được Đây là một công thức để tính phương sai trong trường hợp mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số ghép lớp

Trong phần nêu ý nghĩa của phương sai, độ lệch chuẩn, SGK1 nhận xét:

“… phương sai là trung bình cộng của bình phương khoảng cách từ mỗi số liệu tới số trung bình Như vậy, phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán càng lớn”

[SGK1, trang 175]

Ý nghĩa này được làm rõ thông qua một ví dụ 6 ở trên về điểm toán của hai học sinh:

“Phương sai và độ lệch chuẩn điểm các môn học của An là:

556 , 0

; 309 , 0

s Phương sai và độ lệch chuẩn điểm các môn học của Bình là:

663 , 1

; 764 , 2

s […]

Phương sai điểm các môn học của Bình gấp gần 9 lần phương sai điểm các môn học của An Điều đó phù hợp với nhận xét Bình học lệch hơn An.”

[SGK1, trang 176]

Ngoài ra, trong SGK1 còn hướng dẫn cho học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn

Bài đọc thêm: Sử dụng máy tính bỏ túi trong thống kê

“Đối với máy tính CASIOfx-500MS, để tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn, chúng

ta cần làm trình tự theo các bước sau:

1)Đầu tiên, để vào tính toán thống kê, ta ấn

2)Giả sử mẫu số liệu là x 1 , x 2 , …, x n Để nhập số liệu, ta ấn

x 1 x 2 … x n

Để nhập mẫu số liệu x 1 , x 2 , …, x m , trong đó x i có tần số n i (i=1, 2, …m), ta ấn

x 1 n 1 ; x 2 n 2

x m n m 3)Nhập dữ liệu xong, để tính số trung bình x , ta ấn

tử đại diện cho mỗi lớp trước Trong thực tế máy tính bỏ túi có thể cho chúng ta nhập

dữ liệu để tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn với giả thiết là bảng

phân bố tần suất Từ đó cho chúng ta thấy được: khi yêu cầu tính phương sai độ lệch

chuẩn thì SGK1 chọn mẫu số liệu có dạng dãy số liệu thô hoặc bảng phân bố tần số

Như vậy, trong một chương SGK1 đã tổ chức đưa vào một lượng kiến thức đầy

đủ về cả phần kỹ thuật trình bày số liệu cũng như các số đặc trưng của mẫu số liệu Trong những số đặc trưng cho mẫu số liệu cũng đã có mặt các số định tâm (trung bình cộng, trung vị, mốt) và các số đo mức độ phân tán (phương sai, độ lệch chuẩn) cùng với ý nghĩa của nó Từ cách trình bày trong SGK1 đã cho thấy sự cần thiết của các số

đo độ phân tán cũng như kỹ thuật so sánh “tính đồng đều” của hai mẫu số liệu có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau Bên cạnh đó, qua ví dụ để giới thiệu số trung vị:

“Ví dụ 2: Một nhóm 11 học sinh tham gia một kì thi Số điểm thi của 11 học sinh đó được sắp xếp từ thấp đến cao như sau (thang điểm 100):

0 ; 0 ; 63 ; 65 ; 69 ; 70 ; 72 ; 78 ; 81 ; 85 ; 89.”

[SGK1, trang 172]

Với các điểm số như trên thì số trung bình là x ≈61,09 và số học sinh có điểm trên trung bình là 9, trong khi 2 học sinh còn lại có điểm 0

SGK1 đã ngầm ẩn nêu lên độ phân tán của mẫu số liệu thông qua sự chênh lệch

của các giá trị số liệu so với số trung bình hoặc các giá trị số liệu với nhau

Phân tích các bài tập trong SGK1 liên quan đến đối tượng các tham số đo

độ phân tán

SGK1 đã đưa ra 11 bài tập liên quan đến các số đo độ phân tán trong đó có 4 bài

tập trong phần ôn tập chương Các bài tập này đều cho mẫu số liệu dưới dạng dãy số

liệu thô hoặc bảng phân bố tần số hoặc bảng phân bố tần số ghép lớp, trong đó số bài

tập cho giả thiết một mẫu số liệu và yêu cầu tính số trung bình, phương sai/độ lệch chuẩn là 10 bài (không yêu cầu nhận xét về độ phân tán); có 1 bài cho giả thiết là hai mẫu số liệu có cùng dấu hiệu điều tra và có yêu cầu so sánh về độ phân tán

“Bài 15 Trên hai con đường A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tốc độ (km/h) của 30 chiếc ôtô trên mỗi đường như sau:

Con đường A: 60 65 70 68 62 75 80 83 82 69 73 75 85 72 67

88 90 85 72 63 75 76 85 84 70 61 60 65 73 76 Con đường B: 76 64 58 82 72 70 68 75 63 67 74 70 79 74 69

80 73 75 71 68 72 73 79 80 63 62 71 70 60 63 a) Tìm số trung bình, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn của tốc độ ôtô trên mỗi con đường A, B

b) Theo em thì xe chạy trên con đường nào an toàn hơn?”

[SGK1, trang 179]

Sách bài tập Đại số 10 nâng cao đã đưa vào một bài tập như sau:

“5.17 Người ta chọn một số bút bi của hai hãng sản suất A và B và thử xem sử dụng một bút bao nhiêu giờ thì hết mực Kết quả như sau (đơn vị giờ):

Loại bút A: 23 25 27 28 30 35

Loại bút B: 16 22 18 33 46

a)Tính số trung bình và độ lệch chuẩn về thời gian sử dụng của mỗi loại bút

b)Giả sử hai loại bút A và B có cùng một giá Dựa vào sự khảo sát trên, ta nên quyết định mua loại bút nào?”

[Sách bài tập Đại số 10 nâng cao, trang 179]

Lời giải được mong đợi như sau:

“Loại bút A: số trung bình là 28 giờ; độ lệch chuẩn là 3,83 giờ

Loại bút B: số trung bình là 29 giờ; độ lệch chuẩn là 10,24 giờ

Loại bút B có thời gian sử dụng trung bình lâu hơn Tuy nhiên, do độ lệch chuẩn lớn hơn nên chất lượng bút B không đồng đều Nếu không may bạn có thể mua phải chiếc bút có thời gian sử dụng rất thấp.”

[Sách bài tập Đại số 10 nâng cao, trang 188]

Trong bài tập này chúng tôi thấy được số trung bình của hai mẫu số liệu là

liệu đó Như vậy chúng tôi tự hỏi: “Khi so sánh tính đồng đều của hai mẫu số liệu có nhất thiết là hai mẫu số liệu có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau hay không?”