vấn đề chọn mẫu trong dạy học thống kê lớp 10

 Về thực tế dạy học TK ở THPT Việt Nam hiện nay: Điểm qua nội dung TK được trình bày trong cả hai bộ sách cơ bản và nâng cao dành cho khối lớp 10, ta hẳn nhận thấy các ví dụ và bài tập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :

PGS.TS LÊ TH Ị HOÀI CHÂU

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2013

L ỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các thầy cô đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tôi trong suốt thời gian học cao học

Cảm ơn phòng sau đại học và các chuyên viên đã tổ chức và tạo điều kiện tốt

nhất cho việc học tập và công tác của chúng tôi trong suốt khóa học

Cảm ơn các thầy cô chuyên ngành Didactic, các thầy cô đã truyền thụ cho chúng tôi một tri thức tương đối mới trong bối cảnh nền giáo dục Việt Nam hiện tại Didactic mang đến cho chúng tôi một công cụ mới trong việc nghiên cứu, cũng như nền tảng lý luận giải thích cho một số vấn đề về việc dạy và học lấy kiến

Xin cảm ơn những người bạn đã cùng học với tôi trong suốt khóa học này, chúng

ta đã là một tập thể đoàn kết, có nhiều kỷ niệm đẹp rất đáng trân trọng Chúc cho các bạn luôn vững vàng và thành công trong cuộc sống các bạn nhé!

Xin cảm ơn ban lãnh đạo và các đồng nghiệp ở TTGDTX thị xã Tây Ninh vì đã

tạo điều kiện để tôi được tham gia khóa học cũng như chia sẻ những kinh nghiệm

giảng dạy và có những góp ý cho việc thực hiện luận văn của tôi

Cuối cùng, những người mà tôi muốn cảm ơn là gia đình tôi Cảm ơn Ba mẹ, các

em và ông xã vì đã luôn động viên, chia sẻ công việc cùng tôi Cảm ơn hai bé con của mẹ, “nguồn rắc rối” và là động lực lớn nhất để mẹ có thể tiếp tục hoàn thiện luận văn cũng như luôn cố gắngphấn đấu trong công việc

Đinh Thị Mạnh

Thống kê

Thống kê mô tả Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 10 Trung học phổ thông môn Toán học Giáo viên

Học sinh

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 2

M ỤC LỤC 3

M Ở ĐẦU 5

1 Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 5

2 Ph ạm vi lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu 9

3 M ục đích và phương pháp nghiên cứu 10

4 T ổ chức của luận văn 11

CHƯƠNG 1: MỘT PHÂN TÍCH NHỎ VỀ VAI TRÒ CỦA MẪU TRONG NGHIÊN C ỨU THỐNG KÊ 12

1.1 Vai trò c ủa mẫu trong nghiên cứu thống kê 12

1.2 Các bài toán th ống kê thể hiện vai trò của mẫu 16

1.2.1 Bài toán ước lượng 16

1.2.2 Bài toán kiểm định giả thuyết thống kê 18

1.3.T ổng kết chương 1 19

CHƯƠNG 2: VAI TRÒ CỦA MẪU TRONG DẠY HỌC THỐNG KÊ L ỚP 10 20

2.1 Phân tích chương trình 20

2.2 Phân tích sách giáo khoa 21

2.2.1 Phần lý thuyết 21

2.2.2 Các kiểu nhiệm vụ và tổ chức toán học tương ứng 26

2.3 K ết luận chương 2 39

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM 41

3.1 M ục đích thực nghiệm 41

3.2 Xây d ựng thực nghiệm 41

3.2.1 Tình huống thực nghiệm 41

3.2.2.Phân tích tiên nghiệm tình huống 42

3.2.3 Dàn dựng kịch bản 50

3.2.4 Phân tích hậu nghiệm tình huống 54

K ẾT LUẬN CHUNG 68 DANH M ỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

PH Ụ LỤC 71

tập dữ liệu khác nhau liên quan đến cùng vấn đề cần nghiên cứu; đưa ra những

dự báo ngắn hạn trong tương lai;… trên cơ sở đó đưa ra những kế sách và chiến lược hợp lý Việc trang bị những hiểu biết về TK cần thiết không chỉ đối với các

nhà lãnh đạo, mà như dự báo của H.G.Well: “Trong một tương lai không xa, kiến

th ức Thống kê và tư duy Thống kê sẽ trở thành một yếu tố không thể thiếu được trong h ọc vấn phổ thông của mỗi công dân, giống như là khả năng biết đọc biết

vi ết vậy” Vai trò của khoa học Thống kê vì thế trở thành lý do đểcàng ngày càng

có nhiều quốc gia xem nội dung này là một trong những nội dung trọng tâm của chương trình giảng dạy ngay từ bậc phổ thông

Nói về dạy học TK, David Moore- Chủ tịch Hiệp hội thống kê Mĩ cho rằng:

“Th ống kê đòi hỏi phải là một phương pháp cơ bản để khám phá, một cách tư duy

t ổng quát quan trọng hơn bất kì kĩ thuật cụ thể nào tạo nên môn học.”

(Hoàng Nam Hải, 2013, tr.18)

Thế nên, dạy học TK không phải chỉ nhằm trang bị các công thức hay rèn luyện

kỹ năng tính toán dựa vào các công thức đó; mà quan trọng hơn, việc dạy học TK

phải nhằm vào xây dựng ở học sinh các năng lực về “hiểu biết thống kê, suy luận

th ống kê và tư duy thống kê” (Hoàng Nam Hải, 2013, tr.18)

Quan điểm này là một điểm mấu chốt trong dạy học TK của nhiều quốc gia trên

thế giới Chẳng hạn như ở Bỉ hay ở Pháp:

“Đào tạo công dân: mọi người đều phải đối diện với vô vàn thông tin khác nhau;

D ạy học Thống kê phải phát triển ở họ những khả năng phân tích và tổng hợp thông tin, cho phép họ có một cái nhìn phán xét về những thông tin này.”

(Duperret, 2002, trích theo Lê Th ị Hoài Châu, 2012, tr.70)

Mục tiêu xây dựng năng lực tư duy TK cũng chính là nâng cao năng lực hiểu biết toán, vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề của thực tiễn, từ đó đào tạo nên những “công dân có tinh thần xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh”, theo quan điểm của chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA

Để mục tiêu trên có thể đạt được, việc dạy học TK cần phải hướng đến các cấp

độ (CĐ) cụ thể sau (xem thêm (Lê Thị Hoài Châu, 2012, tr.70)):

• CĐ1: “ý thức được tác động của sự biến đổi thông tin”: mọi hoạt động

thống kê đều diễn ra trên cơ sở mẫu dữ liệu ban đầu, do đó kết quả của quá trình phụ thuộc hoàn toàn vào nó Việc chọn mẫu đóng một vai trò quan

trọng vì đằng sau nó là hệ quả về tính biến động của kết quả nhận được, là

những nguy cơ có thể xảy ra khi suy rộng kết quả cho toàn thể Điều này là

một tất yếu nhưng lại không sẵn có trong nhận thức của mỗi người chúng

ta Nếu không ý thức được chúng ta sẽ dễ dàng bị đánh lừa trước những thông tin sai lệch, dễ đưa ra những nhận xét chủ quan, phiến diện về hiện tượng Do đó dạy học TK cần thiết phải làm cho học sinh nhận thức rõ điều này Qua đó hình thành thái độ cẩn trọng, biết cân nhắc khi làm việc với các

mẫu dữ liệu, biết nhận thức kết quả thu được từ mẫu nhận được có hợp lý

và phản ánh chính xác hiện tượng cần quan sát hay không

• CĐ2: “Biết so sánh các dãy dữ liệu” dựa trên biểu đồ hoặc các số đặc trưng

của mẫu số liệu

• CĐ3: “Biết chuyển vào TK suy diễn”: biết ước lượng và kiểm tra các giả thuyết TK Cấp độ này đặt ra vấn đề lựa chọn và xây dựng mô hình toán

học cho các bài toán thực tế liên quan đến TK Và như vậy cấp độ này chỉ

có thể đạt được khi học sinh được trang bị tốt cấp độ 1

Liên quan đến vấn đề về chọn mẫu, ta còn bắt gặp ý kiến sau của ủy ban Kahane

về việc sử dụng TK và xác suất trong dạy học các môn học ở trường phổ thông:

“Trong d ạy học môn sinh vật, nói riêng về dạy học ở phổ thông, cần cho học sinh làm quen với sự ngẫu nhiên, nhất là các hiện tượng tiếp diễn, làm cho học sinh ý

th ức về sự biến động của việc chọn mẫu, khởi động vấn đề dự đoán trước và làm

(Vũ Như Thư Hương, 2009, tr.349)

Tóm lại, mục đích của dạy học TK là xây dựng cho học sinh các năng lực về

“hi ểu biết thống kê, suy luận thống kê và tư duy thống kê” Các năng lực này

được hình thành dần qua 3 cấp độ, trong đó cấp độ đầu tiên cần thiết phải đạt được là ý thức được về hệ quả của việc chọn mẫu

 Về thực tế dạy học TK ở THPT Việt Nam hiện nay:

Điểm qua nội dung TK được trình bày trong cả hai bộ sách (cơ bản và nâng cao) dành cho khối lớp 10, ta hẳn nhận thấy các ví dụ và bài tập đều được trình bày trên cơ sở mẫu số liệu được cho sẵn, tuân thủ theo đúng tinh thần của các nhà biên soạn chương trình:

“…Các n ội dung trong sách được trình bày trên cơ sở đã cho trước một mẫu số

li ệu.”(TLBDGVT, tr.209)

Một số nghiên cứu đã chỉ rõ các kiểu nhiệm vụ có mặt trong dạy học TK lớp 10:

“Các ki ểu nhiệm vụ hiện diện tập trung chủ yếu vào việc rèn luyện kĩ năng tính toán và mô tả dãy số liệu bằng bảng hay biểu đồ Những tổ chức cho phép tiếp xúc

tr ực tiếp với mẫu, nhận xét hay so sánh các phân bố còn rất hạn chế.”

“… học sinh đánh đồng thống kê với toán học và chờ đợi trọng tâm sẽ là các số và

“Học sinh không có nhiệm vụ kiểm tra tính hợp lý của những kết quả tính được khi

gi ải toán thống kê.”

(Quách Hu ỳnh Hạnh, 2009, tr.42)

Như vậy, so với những mục tiêu dạy học TK mà các nhà nghiên cứu đề ra thì sự

lựa chọn của chương trình và sách giáo khoa phổ thông của chúng ta, đặc biệt là

khối lớp 10 là không thỏa đáng Trong 3 cấp độ cần đạt được, chúng tôi nhận

thấy rằng cấp độ 1 và cấp độ 3 hoàn toàn bị lờ đi; trong khi đó cấp độ 2 cũng chỉ

tập trung rèn luyện kĩ năng tính toán một số tham số đặc trưng của mẫu số liệu, chưa chú trọng nhiều đến việc so sánh các dãy dữ liệu với nhau

 Từ những ghi nhận về mục tiêu dạy học TK trong đó có mục tiêu gắn với

vấn đề chọn mẫu tuy được các nhà nghiên cứu đặt ra nhưng lại không được thể

hiện trong dạy học TK ở trung học phổ thông, cụ thể là ở lớp 10 nên chúng tôi

lựa chọn “Vấn đề chọn mẫu trong dạy học Thống kê lớp 10” làm đề tài nghiên

việc tìm kiếm câu trả lời cho các vấn đề trên Cụ thể như sau :

Về vai trò của mẫu : chúng tôi đặt ra 2 câu hỏi :

1 Vai trò của mẫu là gì ? vai trò đó thể hiện trong những bài toán TK nào ?

2 Vai trò của mẫu được thể hiện như thế nào trong dạy học TK lớp 10 ?

Về sự cần thiết của việc chọn mẫu : Theo chúng tôi, sự cần thiết này xuất phát từ

hệ quả của sự biến đổi thông tin trên mẫu Nhưng như đã ghi nhận, dạy học TK

lớp 10 đã không làm cho học sinh ý thức được về hệ quả này, tức không ý thức được những rủi ro của các kết luận suy ra từ mẫu Điều này dẫn đến kết quả học sinh sẽ không thấy được sự cần thiết của việc chọn mẫu.Vì thế, liên quan đến vấn

đề này, chúng tôi xây dựng một đồ án nhằm làm cho học sinh ý thức được những

rủi ro của các kết luận suy ra từ mẫu, từ đó thấy được sự cần thiết của việc chọn

mẫu trong nghiên cứu TK

2 Ph ạm vi lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu

Nghiên cứu được tiến hành trên nền tảng lý thuyết Didactic Toán Với những lý thuyết được lựa chọn như: Quan hệ thể chế, Tổ chức toán học và Lý thuyết tình

hu ống

Chúng tôi sẽ không nhắc lại ở đây những khái niệm cơ bản của các lý thuyết này,

vì chúng đã hiện diện trong nhiều luận văn được thực hiện tại Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Dưới đây chúng tôi chỉ giải thích một cách ngắn gọn sự

cần thiết của các công cụ lý thuyết trên đối với nghiên cứu của mình

O- « mẫu » là đối tượng trong nghiên cứu của chúng tôi, O được xét trong thể

chế dạy học TK lớp 10 (I) Thông qua việc phân tích mối quan hệ thể chế R(I ; O) này, chúng tôi có thể biết được O hiện diện như thế nào trong I ; thể chế I quan tâm như thế nào đến O ; có thể kết luận hay dự đoán mối quan hệ cá nhân

giữa O với học sinh Trong việc phân tích mối quan hệ thể chế đó, chúng tôi phải

chỉ ra những kiểu nhiệm vụ cũng như những yếu tố công nghệ và lý thuyết biện minh cho kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ đó, vì thế tổ chức toán học hiển nhiên là một công cụ lý thuyết cần thiết cho nghiên cứu của chúng tôi

Với mục đích xây dựng thực nghiệm, chúng tôi sử dụng lý thuyết tình huống vào xây dựng tình huống dạy học dựa trên việc lựa chọn các biến didactic Thêm nữa,

lý thuyết này còn giúp chúng tôi phân tích tiên nghiệm tình huống, chỉ ra các chiến lược và những câu trả lời có thể của học sinh, để từ đó xây dựng một kịch

huống đặt ra, để kiểm tra xem thực nghiệm đã đạt được điều gì, cũng như còn

hạn chế, cần thiết bổ sung cái gì cho hoàn chỉnh

Trên cơ sở khung lý thuyết tham chiếu và các câu hỏi xuất phát, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu của mình như sau :

3 M ục đích và phương pháp nghiên cứu

3.1 M ục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi được đặt ra ở phần trên, cụ thể là tìm câu trả lời cho hai câu hỏi sau :

Ngoài ra, mục đích của chúng tôi còn nhằm xây dựng một đồ án giúp học sinh ý

thức được về những rủi ro của những kết luận suy ra từ mẫu, từ đó thấy được sự

cần thiết của việc chọn mẫu

3.2 Phương pháp nghiên cứu

Để trả lời cho những câu hỏi đã đặt ra cũng như để xây dựng thực nghiệm, phương pháp nghiên cứu của chúng tôi như sau :

Tham khảo một số tài liệu và giáo trình viết về TK, qua đó thực hiện một phân tích nhỏ về vai trò của mẫu, chỉ ra một số bài toán TK mà ở đó có sự hiện

diện của mẫu Phân tích này sẽ trả lời cho câu hỏi Q1 và được chúng tôi trình bày trong chương 1 của luận văn

Thực hiện phân tích chương trình và sách giáo khoa, chỉ ra các tổ chức toán

học hiện diện trong dạy học TK lớp 10 Từ đó xem xét việc có hay không những

Nội dung phân tích này được chúng tôi trình bày ở chương 2 và nhằm trả lời cho câu hỏi Q2

Áp dụng lý thuyết tình huống vào xây dựng và triển khai một đồ án dạy học

nhằm đạt mục đích cho học sinh thấy được sự cần thiết của chọn mẫu trong nghiên cứu TK

4 T ổ chức của luận văn

Trên cơ sở các câu hỏi nghiên cứu đã nêu và phương pháp nghiên cứu, luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và các chương sau:

Chương 1: Một phân tích nhỏ về vai trò của mẫu trong nghiên cứu thống

kê

Chương 2: Vai trò của mẫu trong dạy học thống kê lớp 10

Chương 3: Thực nghiệm

CHƯƠNG 1: MỘT PHÂN TÍCH NHỎ VỀ VAI TRÒ CỦA

Chương này thực hiện một phân tích nhỏ về vai trò của mẫu trong nghiên cứu

TK và chỉ ra một số bài toán TKthể hiện vai trò đó của mẫu Với mục đích tìm

kiếm câu trả lời cho câu hỏi Q1.Vai trò của mẫu trong nghiên cứu thống kê là

Chúng tôi lựa chọn tham khảo các tài liệu và giáo trình dưới đây, với lý do dựa trên cơ sở các quyển sách này viết về đề tài Xác Suất - Thống Kê và được xuất

bản từ những nhà xuất bản có uy tín, điều đó cho thấy sự đáng tin cậy của các

kiến thức được trình bàyở bên trong

1) Lê Thị Hoài Châu (2012), Dạy học Xác suất- thống kê ở trường phổ thông,

Nxb ĐHSP Tp Hồ Chí Minh

2) Đào Hữu Hồ (2007), Giáo trình thống kê xã hội học, Nxb Giáo dục

3) Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông (2006), Sách hướng dẫn học tập

xác su ất thống kê (tài liệu lưu hành nội bộ), Hà Nội

4) Phạm Xuân Kiều (2004), Giáo trình xác suất và thống kê, Nxb Giáo dục

5) Hoàng Ngọc Nhậm (2007), Lý thuyết xác suất và thống kê toán, NxbĐHQG

Tp HCM

6) Ngô Văn Thứ (2005), Phương pháp chọn mẫu và lý thuyết điều tra chọn mẫu,

Nxb Khoa Học Và Kỹ Thuật

Bên cạnh đó, chúng tôi tham khảo tài liệu sau, được viết từ chính người đã đề

xuất phương pháp mẫu đại diện trong nghiên cứu TK

7) A N Kiaer (1976), The representative method of statistical surveys, Central

Bureau of statistics of Norway

1.1 Vai trò c ủa mẫu trong nghiên cứu thống kê

Để tìm hiểu về mặt lượng của một hiện tượng nào đó trong mối liên hệ với mặt

chất của nó, người ta sử dụng các phương pháp của lý thuyết thống kê Hiển

phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó yếu tố bắt buộc là phải thực hiện điều tra trên toàn bộ các đối tượng cấu thành nên hiện tượng (tập hợp gồm các đối tượng này còn được gọi là tổng thể) Khi đó, công việc thống kê đơn giản chỉ là thu

thập và biểu diễn số liệu Như vậy, chỉ với thống kê mô tả, người ta sẽ có cái nhìn chuẩn xác về hiện tượng cần quan sát Và do đó, người ta cũng không cần thiết phải đưa vào khái niệm mẫu hay mẫu dữ liệu

Thế nhưng, khi các quốc gia ngày càng gia tăng về dân số ; phạm vi lãnh thổ ngày càng được mở rộng thì kích thước tổng thể, quy mô của các cuộc điều tra cũng ngày một lớn; thêm nữa, sự phát triển của nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật, công nghệ sản xuất kéo theo sự đa dạng, phong phú của nhiều chủng loại hàng hóa cung cấp ra thị trường Vấn đề chất lượng sản phẩm đòi hỏi phải có những

cuộc kiểm nghiệm nghiêm ngặt, nhưng với những cuộc kiểm tra như vậy các sản

phẩm lại vô tình bị phá hủy Điều tra toàn bộ lúc này bộc lộ nhiều điểm hạn chế

do không phải lúc nào cũng có tính khả thi trong thực tế, chẳng hạn như ở các trường hợp sau :

− Các trường hợp tổng thể điều tra quá rộng, dẫn đến khi điều tra tốn kém nhiều về nhân vật lực : điều tra về số nhân khẩu thường trú trong một tỉnh hoặc thành phố, điều tra về năng suất, sản lượng sản xuất của một ngành sản xuất nào

đó, …

− Các trường hợp không thể xác định được hết các đơn vị của tổng thể, dẫn đến không thể tiến hành điều tra toàn bộ : điều tra về số người nghiện ma túy, điều tra về mức độ ô nhiễm của các sông, hồ, …

− Các trường hợp điều tra dẫn đến phá hủy các đơn vị điều tra : như các cuộc

kiểm tra chất lượng hàng hóa, kiểm tra hải quan, xét nghiệm máu, …

Với những nỗ lực khắc phục những hạn chế của điều tra toàn bộ, vào thế kỷ 17 phương pháp điều tra chọn mẫu ra đời Mầm mống nảy sinh từ những ý đồ ngoại suy đầu tiên của nhà kinh tế học người Anh William Petty (1623- 1687), sau đó được phát triển và hoàn thiện cơ sở lý luận Tư tưởng của phương pháp này như

“Từ tổng thể ta chọn ra n phần tử và tiến hành thu thập thông tin trên chúng, n

ph ần tử này lập nên một mẫu Số phần tử của mẫu được gọi là kích thước mẫu Thông thường kích thước mẫu nhỏ hơn nhiều so với kích thước của tổng thể nên

vi ệc tổ chức thu thập và xử lý thông tin trên mẫu là dễ dàng và nhanh chóng Kết

qu ả thu được sau đó sẽ được dùng để suy rộng cho tổng thể nhờ vào các phương pháp toán học (đặc biệt là lý thuyết xác suất).”

(Hoàng Ng ọc Nhậm, 2007, tr.150)

Sự ra đời của phương pháp mẫu là một thành tựu lớn trong lịch sử phát triển của khoa học TK Cùng với sự phát triển của lý thuyết Xác Suất đã cung cấp nên nền

tảng lý luận biện minh cho phương pháp này Thay vì làm việc trên một tổng thể

rộng lớn (thậm chí đôi khi không thể xác định chính xác các đơn vị của nó), người ta chỉ cần làm việc trên một tập con nhỏ nào đó của tổng thể mà các phần

tử của nó được chọn một cách ngẫu nhiên (và từ đây xuất hiện khái niệm mẫu,

mẫu dữ liệu), các cuộc điều tra vì thế trở nên dễ dàng và tiết kiệm hơn rất nhiều Sau đó, bằng cách áp dụng lý thuyết Xác Suất, người ta có thể suy rộng kết quả thu được trên mẫu cho toàn bộ tổng thể với một độ tin cậy và một mức chính xác

có thể chấp nhận được Lúc này khoa học thống kê có thêm một nhánh mới là

thống kê suy diễn, với chức năng là suy diễn trên cơ sở mô tả một mẫu nhỏ, thậm chí trên những mẫu có kích thước nhỏ hơn 30

Như vậy, mẫu thay thế cho tổng thể trong những trường hợp mà người ta không

thể tiến hành điều tra toàn bộ Dựa trên quan sát mẫu, người ta có thể suy đoán cho bức tranh tổng thể

Mẫu chỉ là một bộ phận của tổng thể, và từ tổng thể ban đầu có thể tạo ra được

rất nhiều mẫu Vấn đề nằm ở chỗ kết quả thu được trên các mẫu là khác nhau,

thậm chí trái ngược nhau hoàn toàn giữa hai mẫu nào đó Hệ quả của sự thay đổi thông tin trên mẫu này là những rủi ro, những sai lầm có thể gặp phải khi đưa ra

những kết luận cho tổng thể dựa vào quan sát mẫu Hiển nhiên những rủi ro, sai

lầm này không thể loại bỏ, nhưng có thể khắc phục đến một mức nào đó Điều này đòi hỏi mẫu phải đại diệnđược cho tổng thể Năm 1895, tại hội thảo Berne được tổ chức bởi Viện thống kê quốc tế, Anders Nicolai Kiaer (Na Uy, 1838-

1919), giám đốc Văn phòng thống kê trung ương Na Uy đã trình bày những báo cáo của mình và qua đó trở thành người đi tiên phong đề xuất sử dụng mẫu đại

diện thay cho tổng thể trong nghiên cứu thống kê ( Kiaer gọi phương pháp này là

The representative method of statistical surveys – Phương pháp đại diện của điều tra thống kê) Ông đặt vấn đề về mẫu quan sát:

… m ột thống kê với tư cách là đại diện phải được thực hiện như thế nào để nó là hình ảnh thu nh ỏ chính xác đến mức có thể được của toàn thể xã hội

(Droesbeke J-J et Tassi P.,1990, tr.46, trích theo Lê Th ị Hoài Châu (2012), tr.14)

Quan điểm của ông gặp rất nhiều phản đối từ những người khác, tuy nhiên ông

vẫn kiên trì và tiếp tục bảo vệ quan điểm của mình ở các kì hội thảo tiếp theo

Tại hội thảo năm 1897, thông qua kết quả một số cuộc điều tra được thực hiện ở

Na Uy, ông khẳng định:

… m ặc dù có thể dự kiến những khác biệt nhất định xuất hiện, tất cả các khía cạnh quan

tr ọng của bức tranh tổng thể sẽ xuất hiện như nhau cho dù là điều tra dân số đầy đủ hay

m ẫu đại diện được lựa chọn

(A N Kiaer (1976), tr.48)

Tác giả Đào Hữu Hồ cũng đưa ra mô tả:

M ẫu đại diện là hình ảnh thu nhỏ của tổng thể chung một cách tương đối trung thực (Đào Hữu Hồ (2007), tr.59)

Một điều chúng tôi nhận thấy khi điểm qua một số giáo trình viết về TK là các tác giả không đưa ra một định nghĩa tường minh nào cho khái niệm mẫu đại diện,

mà chỉ là những mô tả như đã dẫn ra ở trên Một cách trực giác, người đọc có thể

hiểu mẫu đại diện như là một tổng thể thu nhỏ đến một kích thước nào đó, đảm

bảo tỷ lệ phân bổ của các thành phần có mặt trong tổng thể ban đầu Khi đó,

những tính toán trên mẫu này có thể phản ánh tương đối trung thực cho tổng thể

mà từ đó đã sản sinh ra mẫu

Việc thu nhỏ tổng thể như đã nêu, tức chọn ra một mẫu đại diện được cho tổng

thể không phải là một việc làm đơn giản Vì thế, các nhà TK tìm cách xây dựng

và phát triển các nguyên tắc cũng như các phương pháp chọn mẫu nhằm đạt được

mục tiêu chọn ra mẫu đại diện Trong thực tế có rất nhiều cách chọn mẫu khác

nhau, tuy nhiên do không phải mục tiêu chính cần nghiên cứu nên luận văn sẽ không trình bày về các kỹ thuật này

1.2 Các bài toán th ống kê thể hiện vai trò của mẫu

Trong TK có ba bài toán cơ bản: bài toán chọn mẫu, bài toán ước lượng và bài toán kiểm định giả thuyết thống kê Trong đó hai bài toán ước lượng và kiểm định là các bài toán mà việc giải quyết đặt hoàn toàn trên cơ sở quan sát một mẫu

cụ thể

1.2.1 Bài toán ước lượng

Như đã nêu ở phần trên, điều tra toàn bộ bộc lộ những hạn chế của mình khi tổng

thể trở nên quá rộng lớn hoặc khó xác định chính xác các đơn vị cần điều tra Khi

đó, để tìm hiểu một dấu hiệu nào đó của tổng thể, người ta căn cứ trên một mẫu

nhỏ rồi dùng các phương pháp toán học để suy rộng kết quả đó cho tổng thể Bài toán như thế gọi là bài toán ước lượng

Ví dụ: điều tra về trình độ học vấn của người dân một nước; điều tra về năng suất cây trồng; điều tra về sở thích, … là những vấn đề thực tế mà muốn giải quyết được ta phải áp dụng bài toán ước lượng

Khi muốn nghiên cứu về dấu hiệu X∗ của một tổng thể bằng cách ước lượng,

người ta mô hình hóa dấu hiệu X∗ bằng một đại lượng ngẫu nhiên X (X là giá trị

của X∗ đo được trên một phần tử) Khi đó bài toán ước lượng có thể được phát

biểu như sau:

“Cho đại lượng ngẫu nhiên X có th ể đã biết hoặc chưa biết qui luật phân phối xác suất và chưa biết tham số θ nào đó của nó Hãy ước lượng θ bằng phương pháp mẫu.” (Hoàng Ngọc Nhậm, 2010, tr.178)

Giá trị của θ có thể được ước lượng bằng một trong hai cách:

• Ước lượng điểm chỉ ra một con số cụ thể làm giá trị ước lượng củaθ (con

số này là giá trịcủa hàm ước lượng tính được trên một mẫu cụ thể nào đó được

chọn ra từ tổng thể) Để đánh giá chất lượng của ước lượng điểm, người ta đưa ra nhiều tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng, trong số đó có thể kể đến một số tiêu

vững, … chẳng hạn, người ta đã chứng minh được (tham khảo thêm (Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông, 2006, tr.105)):

− Trung bình mẫu ngẫu nhiên ( )X là ước lượng không chệch, hiệu quả và

vững của trung bình tổng thể ( ) µ

− Phương sai mẫu ngẫu nhiên 2

(S )là ước lượng không chệch và vững của phương sai tổng thể 2

(σ )

− Tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên (F n)là ước lượng không chệch, hiệu quả và vững

của tỷ lệ tổng thể (p)

Bàn về các ước lượng trên, tác giả Đào Hữu Hồ khẳng định:

Vì vậy xin khẳng định với bạn đọc là: ba ước lượng điểm nói trên là các ước lượng

t ốt (thậm chí là tốt nhất) theo mọi tiêu chuẩn được xây dựng trong Thống kê Toán học Vì vậy ở góc độ ứng dụng chúng ta yên tâm sử dụng chúng Nếu bạn thấy băn khoăn, nghi ngờ về kết luận đưa ra, thì trước tiên hãy kiểm tra lại tính trung thực và khách quan của mẫu đại diện mà bạn đã dùng (Đào Hữu Hồ, 2007, tr.86)

Khẳng định trên của tác giả cho thấy: nếu mẫu đã chọn không đảm bảo được tính đại diện thì dù cho các hàm ước lượng được chọn thỏa mãn các tiêu chuẩn đặt

ra, kết quả ước lượng vẫn sẽ không thể phản ánh đúng thực tế Hơn nữa, việc xem xét mẫu đã dùng đại diện được cho tổng thể đến mức độ nào không phải

một việc dễ dàng Do đó, ta thường không thể xác định được độ tin cậy hay độ chính xác của ước lượng điểm Nói một cách khác, ước lượng điểm luôn chứa đựng những rủi ro mà ta rất khó “đo” được

• Ước lượng khoảng không đưa ra một số cụ thể như ước lượng điểm, nhưng

chỉ ra một khoảng (gọi là khoảng tin cậy) chứa giá trị cần ước lượng Với phương pháp này, ta có thể xác định được độ tin cậy cũng như độ chính xác của ước lượng; hơn nữa ta còn có thể kiểm soát được chất lượng của ước lượng bằng cách chọn một mẫu có kích thước đảm bảo đạt được độ tin cậy và độ chính xác cho trước Tuy nhiên, khi ta nói rằng ước lượng này có độ tin cậy 1−α, thì cũng đồng nghĩa với khẳng định ước lượng này có độ rủi ro là α

1.2.2 Bài toán ki ểm định giả thuyết thống kê

Trong thực tế, ta thường nhận được những nhận định về một hiện tượng hay vấn

đề nào đó Chẳng hạn như một giám đốc khẳng định sản phẩm của công ty anh ta chiếm 80% thị phần cả nước, hay như quảng cáo về một loại kem dưỡng da “làm

trắng da trong vòng 7 ngày”, hoặc quảng cáo về một loại nước chấm “không

chứa chất 3-mcpd”, … thế nhưng những nhận định này có phản ánh đúng thực tế hay không, đó là điều mà người ta phải kiểm tra Khi đó, các nhận định được đưa

ra và cần phải kiểm chứng được gọi là các giả thuyết; còn việc kiểm tra xem có

thể chấp nhận hay bác bỏ các nhận định đó được gọi là kiểm định giả thuyết Nếu

giả thuyết liên quan đến các số đặc trưng của tổng thể hay quy luật phân phối xác

suất của các tham số này thì ta có khái niệm giả thuyết thống kê (còn được goi là

giả thuyết không và thường được kí hiệu là H0) và kiểm định khi đó được gọi là

kiểm định giả thuyết thống kê

Với giả thuyết H0, người ta có thể đưa vào một mệnh đề đối lập với nó (mệnh đề này được gọi là đối thuyết và được kí hiệu là H1) Khi đó, việc kiểm định H0

tương đương với việc xây dựng một quy tắc (còn gọi là tiêu chuẩn kiểm định) cho phép chấp nhận H0 (tức bác bỏ H1), hoặc bác bỏ H0 (tức chấp nhận H1) Tương tự như ước lượng, kiểm định thống kê được tiến hành dựa trên quan sát

mẫu Chi tiết hơn, tiêu chuẩn kiểm định cho phép xác định một miền W nào đó (còn gọi là miền bác bỏ giả thuyết H0) Từ một mẫu cụ thể người ta tính được giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn kiểm định Nếu giá trị này thuộc vào miền W thì ta bác bỏ giả thuyết H0 và thừa nhận đối thuyết H1; ngược lại, ta xem như

chấp nhận giả thuyết H0

Do kiểm định dựa trên quan sát mẫu nên bao giờ cũng có thể xảy ra sai lầm Trong kiểm định giả thuyết thống kê có thể gặp phải các sai lầm sau:

Sai lầm loại 1: bác bỏ giả thuyết H0 trong khi thực tế thì H0 đúng

Sai lầm loại 2: chấp nhận giả thuyết H0 trong khi thực tế thì H0 sai

Hai loại sai lầm trên đều có thể gây ra những tác hại nghiêm trọng, nhưng nếu ta

cố tìm cách giảm thiểu sai lầm loại này thì cũng đồng thời làm tăng nguy cơ mắc

phải sai lầm loại kia Tuy nhiên, các chuyên gia thống kê nhận định rằng sai lầm

loại 1 nghiêm trọng hơn sai lầm loại 2 Vì vậy, các kiểm định giả thuyết thống kê thông dụng đều xác định ngay từ đầu giá trị α để hạn chế sai lầm loại 1

1.3.T ổng kết chương 1

Từ sự bất lực của các nhà nghiên cứu thống kê trong nghiên cứu các hiện tượng

lớn và phức tạp, khái niệm mẫu và lý thuyết điều tra mẫu ra đời Dựa trên kết quả quan sát mẫu cụ thể, bằng cách áp dụng các phương pháp toán học, đặc biệt là lý thuyết xác suất, người ta có thể đưa ra các kết luận cho tổng thể rộng lớn

Kết luận suy ra từ mẫu chỉ mang tính tương đối và luôn ngầm chứa những rủi ro,

những sai lầm nào đó Để hạn chế những rủi ro và sai lầm đó đòi hỏi mẫu phải đại diện được cho tổng thể, tức mẫu phải có cấu trúc tương tự như tổng thể chứa

nó Và do đó, cần thiết phải tiến hành chọn mẫu để nhằm bảo đảm tính đại diện

của mẫu, tức đảm bảo cho tính hợp lý của các suy luận thống kê dựa trên quan sát mẫu

Ước lượng và kiểm định giả thuyết là hai bài toán lớn của thống kê cho thấy vai trò của mẫu, chịu tác động trực tiếp từ quan sát mẫu Vì thế kết quả của chúng luôn có khả năng mắc phải những rủi ro hoặc sai lầm nào đó

CHƯƠNG 2: VAI TRÒ CỦA MẪU TRONG DẠY HỌC

TH ỐNG KÊ LỚP 10

Trong chương này, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và sách giáo khoa

lớp 10 để tìm hiểu về vai trò của mẫu, chỉ ra các tổ chức toán học và các kiểu nhiệm vụ tương ứng, từ đó tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi Q2 Trong dạy học

Khối lớp 10 hiện đang sử dụng hai bộ sách: một bộ cho chương trình chuẩn và

một bộ cho chương trình nâng cao Qua tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy nội dung

TK trình bày trong bộ sách nâng cao tương đối đầy đủ hơn, đặc biệt là có trình bày các khái niệm cơ bản về mẫu số liệu và điều tra mẫu Vì thế chúng tôi lựa

chọn phân tích bộ sách nâng cao Để cho tiện trong việc trình bày, chúng tôi dùng các kí hiệu thay thế sau (xem bảng 2.1)

B ảng 2.1 các kí hiệu thay thế cho tên sách giáo khoa lớp 10

Sách bài tập Đại số 10 nâng cao

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực

hiện chương trình, sách giáo

khoa lớp 10 THPT mon toán học

Đoàn Quỳnh Đoàn Quỳnh Nguyễn Huy Đoan

Nội dung TK được trình bày trong chương V, bao gồm 3 bài và được dự kiến

giảng dạy trong 9 tiết học

Về mức độ yêu cầu đặt ra trong chương, chúng tôi nhận thấy yêu cầu cơ bản mà chương trình cần ở học sinh chỉ đơn giản là “về thực hành dựa vào các cách làm

hoặc công thức đã biết” (TLBDGV, tr.208)

Cụ thể như sau:

a Về trình bày một mẫu số liệu, yêu cầu học sinh:

− Hi ểu và biết cách lập bảng phân bố tần số, bảng phân bố tần suất (nếu là

b ảng phân bố tần số- tần suất ghép lớp thì phải cho trước cách chia lớp)

− D ựa vào bảng phân bố tần số (tần suất) ghép lớp, vẽ được biểu đồ tần số (t ần suất) hình cột; biết cách vẽ đường gấp khúc tần số (tần suất) và biểu

đồ tần suất hình quạt

b Về các số đặc trưng của mẫu số liệu, yêu cầu học sinh:

− Hi ểu ý nghĩa và biết cách tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai

và độ lệch chuẩn của một mẫu số liệu

− Trong trường hợp mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số ghép lớp, biết tính xấp xỉ số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn (TLBDGV, tr.209)

Như vậy, với những yêu cầu mà chương trình đặt ra cho dạy học TK ở lớp 10, chúng tôi hoàn toàn không tìm thấy yêu cầu nào gắn liền với vai trò của mẫu 2.2 Phân tích sách giáo khoa

2.2.1 Ph ần lý thuyết

Kiến thức TK được trình bày ở chương V, bao gồm 3 bài, với các nội dung cơ

bản có thể được tóm tắt như sau (xem bảng 2.2)

B ảng 2.2 bảng tóm tắt nội dung các bài học trong chương V

1 Một vài khái niệm mở

đầu

1 Định nghĩa TK

2 Các khái niệm: mẫu số liệu, kích thước

mẫu, điều tra toàn bộ và điều tra mẫu

2 Trình bày một mẫu số liệu 3 Bảng phân bố tấn số - tần suất

4 Bảng tần số - tần suất ghép lớp

5 Các loại biểu đồ:

− Biểu đồ tần số, tần suất hình cột

− Đường gấp khúc tần số, tần suất

− Biểu đồ tần suất hình quạt

3 Các số đặc trưng của mẫu

số liệu

1 Số trung bình

2 Số trung vị

3 Mốt

4 Phương sai và độ lệch chuẩn

Bài 1 M ột vài khái niệm mở đầu

Bài học được bắt đầu bằng câu hỏi « Thống kê là gì ? », câu hỏi đó được trả lời

Như vậy, ngay từ đầu chương SGK đã ngầm ẩn nêu lên chức năng của TK Ngoài chức năng mô tả, “phân tích số liệu một cách khách quan”; TK còn có

chức năng suy diễn, “ đưa ra những dự báo và quyết định đúng đắn” trên cơ sở

của TK mô tả

Các khái niệm về dấu hiệu, đơn vị điều tra, giá trị của dấu hiệu không được SGK nêu lại một cách tường minh mà thông qua một ví dụ cụ thể

Tiếp theo, SGK giới thiệu:

Một tập con hữu hạn các đơn vị điều tra được gọi là một mẫu Số phần tử của một

m ẫu được gọi là kích thước mẫu Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu được

g ọi là một mẫu số liệu (mỗi giá trị như thế còn gọi là một số liệu của mẫu) (SGK, tr.160)

Như vậy, khái niệm “mẫu” và “mẫu số liệu” đã được SGK định nghĩa một cách tường minh Và ở đây, mẫu được hiểu như là “một tập con hữu hạn các đơn vị điều tra” Tuy nhiên, vai trò của mẫu chưa được SGK đề cập đến

Về các loại điều tra TK, SGK trình bày:

Nếu thực hiện điều tra trên mọi đơn vị điều tra thì đó là điều tra toàn bộ Nếu chỉ

điều tra trên một mẫu thì đó là điều tra mẫu (SGK, tr.160)

SGK cũng đưa ra một vài trường hợp phải tiến hành điều tra mẫu:

Điều tra toàn bộ đôi khi không khả thi vì số lượng các đơn vị điều tra quá lớn hoặc

vì khi mu ốn điều tra thì phải phá hủy đơn vị điều tra Chúng ta thường chỉ điều tra mẫu và phân tích xử lý mẫu số liệu thu được (SGK, tr.160)

Trình bày trên đã giúp học sinh nhận ra vai trò của mẫu: mẫu thay thế cho tổng

thể trong những trường hợp không thể tiến hành điều tra toàn bộ; kết quả trên

mẫu có thể được dùng để suy rộng cho tổng thể Tuy nhiên, các phương pháp

chọn mẫu và cách chọn sao cho mẫu đại diện được cho tổng thể đã không được xem xét

Bài 2 Trình bày m ột mẫu số liệu

Ngoài khái niệm tần số mà học sinh đã được biết từ năm lớp 7, SGK cũng định nghĩa khái niệm tần suất một cách tường minh:

T ần suất f i c ủa giá trị x i là t ỉ số giữa tần số n i và kích thước mẫu N (SGK, tr.162)

SGK cũng đưa vào: “Người ta thường viết tần suất dưới dạng phần trăm” Tuy nhiên tại sao phải viết ở dạng phần trăm lại không được làm rõ

Với hai khái niệm tần số và tần suất trên, SGK tập trung khai thác các cách trình bày một mẫu số liệu theo hai dạng (được trình bày thông qua các ví dụ cụ thể):

− Dạng bảng: bảng tần số, bảng tần số- tần suất (có ghép lớp hoặc không)

− Dạng biểu đồ: biểu đồ tần số (tần suất) hình cột, biểu đồ tần suất hình

quạt, đường gấp khúc tần số (tần suất)

Như vậy, ở bài này học sinh được trực tiếp làm việc trên các mẫu dữ liệu, nắm được các kỹ thuật trình bày mẫu dữ liệu đó theo dạng bảng hoặc bằng biểu đồ

hoàn toàn không được đặt trước những tình huống đòi hỏi phải tiến hành chọn

mẫu

Bài 3 Các s ố đặc trưng của mẫu số liệu

V ề các tham số định tâm:

SGK đưa ra công thức tính số trung bình trong cả hai trường hợp mẫu số liệu thô

và mẫu số liệu được thu gọn thành dạng bảng, đồng thời cũng trình bày ý nghĩa

của số trung bình:

S ố trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu Nó

là một đặc trưng quan trọng của mẫu số liệu (SGK, tr.172)

Tuy nhiên, SGK cũng nói rõ:

… khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch rất lớn đối với nhau thì số trung bình chưa đại diện tốt cho các số liệu trong mẫu (SGK, tr.172)

Sau đó, SGK đưa ra một ví dụ minh họa cho câu nói trên, đồng thời dẫn đến sự đưa vào khái niệm mới là số trung vị

Ý nghĩa của số trung vị không được SGK nêu một cách tường minh, nhưng thông qua ví dụ dẫn đến sự đưa vào khái niệm này thì có thể hiểu số trung vị được dùng làm đại diện cho các số liệu trong mẫu thay cho số trung bình “khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch rất lớn đối với nhau”

Khái niệm mốt được SGK nhắc lại:

“… giá tr ị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu” (SGK, tr.173)

SGK cũng chú ý “Một mẫu số liệu có thể có một hay nhiều mốt”

V ề các tham số đo độ phân tán:

Khái niệm phương sai và độ lệch chuẩn được đưa vào sau một ví dụ và hoạt động

về quan sát và so sánh sự chênh lệch, biến động của các số liệu trong hai mẫu với nhau

Giả sử ta có một mẫu số liệu kích thước N là {x1 , …, x N} Phương sai của mẫu số

liệu này, kí hiệu là s 2, được tính bởi công thức sau:

= ∑ − , (3) trong đó x là s ố trung bình của mẫu số liệu

2 1

Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn được SGK nêu một cách tường minh:

… phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán càng

SGK cũng đưa ra công thức sử dụng để tính phương sai trong trường hợp mẫu số

liệu được cho bởi bảng phân bố tần số và bảng tần số ghép lớp

thức đã học mà chỉ cần biết các thao tác nhập số liệu và gọi các hàm trả về kết

vào trình bày các kỹ thuật biểu diễn mẫu số liệu (luôn được cho sẵn) và tính toán các tham số trên mẫu (mặc dù các tham số này có thể dễ dàng tìm được bằng kỹ thuật dùng máy tính bỏ túi) Trong khi đó, vấn đề khai thác các kết quả, “đưa ra

nh ững dự báo và quyết định đúng đắn” dựa trên quan sát mẫu hoàn toàn không

được SGK đề cập đến Vì thế nên tính chất đại diện của mẫu cũng như những rủi

ro có thể gặp phải khi đưa ra những dự báo hay quyết định cũng hoàn toàn vắng

mặt trong SGK

2.2.2 Các ki ểu nhiệm vụ và tổ chức toán học tương ứng

Trên cơ sở quan sát các ví dụ, hoạt động và bài tập trình bày trong SGK và SBT, chúng tôi nhận thấy có các tổ chức toán học gắn liền với các kiểu nhiệm vụ sau:

D.

X DHDT

T Xác định dấu hiệu điều tra

Kỹ thuật: Căn cứ vào vấn đề mà người điều tra quan tâm

Công nghệ: Định nghĩa dấu hiệu điều tra

D.

X DVDT

T Xác định đơn vị điều tra

Kỹ thuật: Xác định đối tượng điều tra

Công nghệ: Định nghĩa đơn vị điều tra

T Xác định các giá trị khác nhau của mẫu số liệu

Kỹ thuật: Ghi ra từng giá trị của mẫu số liệu, mỗi giá trị chỉ ghi một lần Có

n f

Kỹ thuật τLB TSO. : kỹ thuật lập bảng tần số được SGK minh họa bằng một ví

dụ cụ thể, theo đó kỹ thuật này gồm các bước:

− Lập bảng gồm 2 dòng (hoặc 2 cột): giá trị - tần số

− Ghi các giá trị khác nhau của mẫu số liệu vào dòng (cột) 1

− Đếm số lần xuất hiện của mỗi giá trị và điền vào dòng (cột) tần số tương ứng với giá trị đó Ô cuối cùng của dòng (cột) tần số ghi kích thước mẫu N

Công nghệ: cách lập bảng tần số

.

LB TSO TSU GL

T − − Lập bảng tần số- tần suất ghép lớp

Kỹ thuật: SGK không trình bày một cách tường minh, nhưng thông qua ví

dụ cụ thể thì kỹ thuật này gồm các bước:

− Tạo một bảng có 3 cột: lớp – tần số - tần suất

− Ghi các lớp vào cột đầu tiên theo chiều dọc

− Đếm số phần tử có mặt trong mỗi lớp và ghi vào cột 2 tần số n i của

lớp thứ i tương ứng, ô cuối cùng của cột 2 ghi kích thước mẫu N

− Tính tần suất lớp thứ i theo dạng phần trăm bởi công thức i 100

i

n f N

=

và ghi vào cột 3

Công nghệ: Cách lập bảng tần số- tần suất

Đặc điểm của kiểu nhiệm vụ này là các lớp ghép luôn có độ dài bằng nhau và được SGK hoặc SBT chỉ định sẵn, học sinh hoàn toàn không có trách nhiệm trong việc phân lớp

.

VBD TSOHC

T Vẽ biểu đồ tần số hình cột

Kỹ thuật: Kiểu nhiệm vụ này cũng được giải quyết thông qua một ví dụ như

đã trình bày ở phần phân tích lý thuyết, theo đó học sinh có thể thực hành

bằng kỹ thuật tổng quát sau:

− Lập bảng tần số bằng kỹ thuật τLB TSO. (nếu đề chưa cho bảng tần số)

− Vẽ hai đường thẳng vuông góc, đường nằm ngang được dùng làm trục

số

− Trên đường nằm ngang, ta đánh dấu các đoạn (nửa khoảng) xác định

lớp Bắt đầu từ đoạn (nửa khoảng) đầu tiên cho đến hết

− Tại mỗi đoạn (nửa khoảng) ta dựng lên một cột hình chữ nhật với đáy

là đoạn (nửa khoảng) đó, còn chiều cao bằng tần số của lớp tương ứng

số theo kỹ thuật sau:

− Lập bảng tần số bằng kỹ thuật τLB TSO. (nếu chưa có bảng tần số)

− Vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau

− Trên đường nằm ngang, đánh dấu các điểm A ilà trung điểm của đoạn (nửa khoảng) xác định lớp thứ i

− Tại các điểm A i, lần lượt dựng các đoạn thẳng A i M i vuông góc với

đường nằm ngang và có độ dài bằng tần số của lớp thứ i

− Vẽ các đoạn thẳng SGKM 2 , M 2 M 3 , M 3 M 4, … ta được đường gấp khúc

tần số của bảng số liệu đã cho

Công nghệ: cách vẽ đường gấp khúc tần số minh họa cho ví dụ 4 trang 166

Công nghệ: cách vẽ biểu đồ tần suất hình quạt

Qua quan sát các ví dụ và bài tập thể hiện trong SGK và SBT, kiểu nhiệm vụ vẽ

biểu đồ thường nối tiếp sau kiểu nhiệm vụ lập bảng tần số (tần suất hoặc bảng tần

số - tần suất), hoặc đã có sẵn các bảng Do đó bước 1 thường không được thực

hiện Chỉ có duy nhất bài tập 5.22 trang 180 trong SBT là học sinh phải lập bảng

• Mẫu số liệu chưa được thu gọn: áp dụng công thức :

1

1

i i

N +

Công nghệ: định nghĩa số trung vị

Quan sát các ví dụ và hoạt động được đưa ra đối với yêu cầu tìm số trung vị, chúng tôi nhận thấy các mẫu số liệu đều đã được sắp sẵn thứ tự, điều này có nghĩa là trong cách giải sẽ không thể hiện bước 1 trong kỹ thuật nêu trên Hệ quả

của vấn đề này là dẫn đến tồn tại một hợp đồng dạy học, ở đó học sinh không có trách nhiệm sắp xếp mẫu số liệu (tức không cần thực hiện bước 1) mà chỉ cần áp

dụng ngay công thức để tìm số trung vị (Kết quả đạt được trong luận văn Thạc sĩ

của Phạm Thị Tú Hạnh, thực hiện năm 2012) Một điều đáng lưu ý khác về kiểu nhiệm vụ này là SGK cũng như SBT không hề đề cập đến việc tính số trung vị trong trường hợp mẫu số liệu được cho ở dạng bảng có phân lớp (mặc dù điều

T M

T Tính mốt

Kỹ thuật: tìm giá trị có tần số lớn nhất, đó là mốt của mẫu số liệu

Công nghệ: định nghĩa mốt của mẫu số liệu

N i i

m

i i i

− Lấy căn bậc hai của phương sai, đó là độ lệch chuẩn s cần tìm

Công nghệ: công thức tính độ lệch chuẩn

Như trong phần phân tích lý thuyết có đề cập, đối với kiểu nhiệm vụ tính các tham số đặc trưng của mẫu số liệu, ngoài các kỹ thuật đã chỉ ra thì học sinh còn

có thể sử dụng một kỹ thuật khác là dùng máy tính bỏ túi (không áp dụng để tìm

mốt và trung vị) Theo đó học sinh sẽ có phản ứng là không cần học các công

thức lý thuyết, chỉ cần biết thao tác trên máy tính bỏ túi là được Về vấn đề này, chúng tôi tìm được thông tin sau:

Giáo viên hướng dẫn học sinh tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn trên máy tính bỏ túi Khi giải một số bài toán tính phương sai, độ lệch chuẩn, giáo viên

c ần yêu cầu học sinh phải trình bày đầy đủ các bước tính toán theo như mẫu trong sách giáo khoa, không được chỉ ghi đáp số (SGV, tr.230)

Như vậy, mặc dù là một kỹ thuật rất có giá trị, đặc biệt khi mà vấn đề thời gian là

một trong những vấn đề luôn được đặt lên hàng đầu trong nghiên cứu TK, thì kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi lại không được thể chế ưu tiên và chỉ được xem là

một kỹ thuật hỗ trợ tính toán để ra đáp số

YNTS

T Nêu ý nghĩa của các tham số định tâm như số trung bình, trung vị và mốt

Kỹ thuật: kiểu nhiệm vụ này được thể hiện trong bài tập sau:

Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toán (thang điểm là 20) Kết quả được cho trong bảng sau đây:

Lời giải như sau:

Me = 15,5 (vì số liệu đứng thứ năm mươi là 15, số liệu đứng thứ năm mươi mốt là 16) M ốt là 16 Như vậy, có khoảng một nửa số học sinh có điểm dưới 15,5 và số học sinh đạt 16 điểm là nhiều nhất (SGV, tr.230)

Chúng tôi nhận thấy: trong phần lý thuyết, số trung vị chỉ được biết đến với nghĩa đại diện cho mẫu số liệu khi các số liệu có sự chênh lệch lớn đối với nhau Nhưng ở đây, lời giải đã trình bày một nghĩa khác của số trung vị (số trung vị là giá trị chia mẫu số liệu thành hai phần bằng nhau: một nửa mẫu số liệu có giá trị

bé hơn và nửa còn lại có giá trị lớn hơn số trung vị Xét về mặt lý thuyết, nghĩa

này được suy ra từ định nghĩa số trung vị, nhưng SGK đã không có một hoạt động nào nhằm làm cho học sinh thấy được điều đó.)

Công nghệ: ý nghĩa của các số định tâm

.

XD PPDT

T Lựa chọn phương pháp điều tra

Kỹ thuật: kiểu nhiệm vụ này được thể hiện qua hoạt động sau:

H1 Người điều tra phải kiểm định chất lượng các hộp sữa của một nhà máy chế

bi ến sữa bằng cách mở hộp sữa để kiểm tra Có thể điều tra toàn bộ hay không? (SGK, tr.160)

Dựa trên điều kiện “mở các hộp sữa để kiểm tra”, học sinh sẽ thấy rằng không thể tiến hành điều tra toàn bộ vì như thế sẽ phá hủy tất cả các sản

phẩm, do đó chỉ có thể tiến hành điều tra mẫu Nghĩa là chỉ lấy ra một số

sản phẩm nào đó để kiểm tra Như vậy thay vì làm việc trên tổng thể thì học sinh thấy rằng chỉ cần làm việc trên một mẫu

Công nghệ: các trường hợp dẫn đến điều tra mẫu

Từ việc giải quyết hoạt động nêu trên, học sinh thấy được một trong những trường hợp tiến hành điều tra mẫu; hơn nữa họ còn nhận ra được vai trò của mẫu:

mẫu thay thế cho tổng thể trong những trường hợp không thể tiến hành điều tra toàn bộ Điều này cho thấy mặc dù không được thể hiện một cách rõ ràng và tường minh, nhưng vai trò của mẫu cũng được khai thác một cách ngầm ẩn qua

việc giải quyết kiểu nhiệm vụ đang xét

.

SS TS

T So sánh số trung bình với số trung vị của cùng một mẫu số liệu

Kỹ thuật:

− Tìm số trung bình và số trung vị của mẫu số liệu đã cho

− So sánh hai kết quả trên

Công nghệ: Quan hệ thứ tự trong tập hợp số thực

− Mẫu nào có phương sai (độ lệch chuẩn) nhỏ hơn thì các số liệu trong

mẫu đó đồng đều hơn, do đó mức độ “an toàn” sẽ cao hơn Đây là

mẫu mà ta nên lựa chọn

Công nghệ: ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Chúng ta cùng tham khảo một bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này như sau:

15 Trên hai con đường A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tốc độ (km/h) của 30 chiếc ô tô trên mỗi con đường như sau:

Con đường A: 60 65 70 68 62 75 80 83 82 69 73 75 85 72 67 88 90 85

72 63 75 76 85 84 70 61 60 65 73 76

Con đường B: 76 64 58 82 72 70 68 75 63 67 74 70 79 80 73 75 71 68

72 73 79 80 63 62 71 70 74 69 60 63

a Tìm s ố trung bình, trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn của tốc độ ô tô trên

m ỗi con đường A, B

b Theo em thì xe ch ạy trên con đường nào an toàn hơn?

(SGK, tr.179)

Kiểu nhiệm vụ mà chúng ta đang xét thể hiện ở câu b của bài tập trên Lời

giải được thể hiện như sau:

a Trên con đường A: x ≈ 73, 63 km/h ; M e =73 km/h

Nhận định đưa ra ở câu b cho thấy ở đây có sự ước lượng kết quả của mẫu cho

tổng thể Như vậy qua câu hỏi này, vai trò của mẫu được bổ sung một cách hoàn thiện hơn Hơn nữa, đối với kiểu nhiệm vụ này, học sinh có cơ hội làm việc với hai mẫu khác nhau phản ánh cùng một hiện tượng Tuy nhiên, hoạt động chỉ

dừng lại ở việc so sánh độ phân tán của các số liệu trong cùng mẫu để chọn ra

qua) quan sát sự biến động của kết quả trên mẫu Dẫn đến họ không ý thức được

kết quả suy ra từ mẫu bao giờ cũng có những rủi ro nhất định

CTSDD

T Chọn lựa tham số đại diện cho mẫu số liệu

Kỹ thuật: căn cứ vào đề bài:

• Nếu các số liệu bình thường, không có sự chênh lệch lớn thì chọn số trung bình

• Nếu các số liệu có sự chênh lệch lớn đối với nhau thì chọn số trung vị

• Nếu ta quan tâm đến giá trị có tần số lớn nhất thì chọn mốt

Công nghệ: ý nghĩa của các số đặc trung của mẫu số liệu như trung bình, trung vị, mốt

.

NX BD

T Nhận xét xu thế phân bố của các số liệu dựa vào biểu đồ tần số hình cột

và đường gấp khúc tần số

Kỹ thuật: kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này được tìm thấy trong lời giải

của một bài tập có trong SBT: (kiểu nhiệm vụ này nằm ở câu c)

5.22 Chiều cao của một mẫu gồm 120 cây được trình bày trong bảng phân bố tần

số ghép lớp sau đây (đơn vị: m):

L ớp T ần số [1,7; 1,9) 4 [1,9; 2,1) 11 [2,1; 2,3) 26 [2,3; 2,5) 21 [2,5; 2,7) 17 [2,7; 2,9) 11 [2,9; 3,1) 7 [3,1; 3,3) 6 [3,3; 3,5) 7 [3,5; 3,7) 3

Sau khi đã thực hiện câu a và b (tham khảo thêm SBT, tr.189-190), phần lời

giải câu c được SBT trình bày như sau:

c Nhìn vào b ảng trên ta thấy: chiều cao của cây nằm trong khoảng từ 1,7m đến 4,1m có 53,34% s ố cây có chiều cao từ 2,1m đến 2,7m và có 88,34% số cây có chiều cao từ 1,9m đến 3,5m

T Xác định phần tử có giá trị nhỏ nhất trong tốp nào đó được chọn ra

Kỹ thuật: kiểu nhiệm vụ này được thể hiện ở bài tập sau:

5.2 Điều tra về số tiền mua sách trong một năm của 40 sinh viên ta có mẫu số liệu sau (đơn vị: nghìn đồng)

viên nữa trong nhóm thứ 5, nhóm tiêu tiền trong đoạn [400; 499]; năm số liệu trong nhóm này là 498; 489; 440; 425 và 404 Do đó, người mua ít nhất là 425 nghìn đồng (SBT, tr.185)

Công nghệ: giá trị nhỏ nhất của một tập hợp

.

XD MSL

T Tìm mẫu số liệu thỏa tiêu chuẩn cho trước

Kỹ thuật: kiểu nhiệm vụ này được thể hiện trong bài tập sau:

5.23 Trong tất cả các mẫu số liệu có kích thước 5 với trung vị là 12 và số trung bình là 10, hãy tìm m ột mẫu số liệu có biên độ nhỏ nhất (biên độ của mẫu số liệu là hiệu giữa giá trị lớn nhất và bé nhất của mẫu số liệu) (SBT, tr.181)

Kỹ thuật giải được trình bày như sau:

Gi ả sử a≤ ≤ ≤ ≤b m c d là m ẫu số liệu kích thước 5 và có số trung bình là 10 và

s ố trung vị là 12 Từ giả thiết suy ra m = 12 và a + b + c + d = 38

Vì c + d ≥ 12 + 12 = 24 nên a + b = 38 – (c + d) 38 – 24 = 14 Vì a≤b nên suy

ra 2a≤ + ≤a b 14 V ậy a≤7 Khi đó, biên độ B= − ≥d a 12 7− =5

M ẫu số liệu {7; 7; 12; 12; 12} có số trung bình là 10 và số trung vị là 12 với biên

độ 5 Đó chính là mẫu số liệu có biên độ bé nhất trong số các mẫu số liệu kích thước 5 với số trung bình 10 và số trung vị 12 (SBT, tr.190)

Công nghệ: không được đề cập

Theo chúng tôi, kiểu nhiệm vụ này giống như kiểu nhiệm vụ tìm một dãy số gồm

5 số hạng thỏa một số điều kiện cho trước, với kỹ thuật đòi hỏi học sinh phải sử

dụng nhiều kiến thứ số học và các suy luận dựa trên các bất đẳng thức (nhưng đây lại là một phần không dễ đối với đa số học sinh)

Sau đây chúng tôi sẽ thống kê số lượng các câu hỏi tương ứng với các kiểu nhiệm vụ đã chỉ ra (xem bảng 2.3): (chúng tôi quy ước trong mỗi bài tập, mỗi

kiểu nhiệm vụ cần giải quyết được xem như một câu hỏi riêng biệt)

B ảng 2.3 bảng thống kê các câu hỏi theo từng kiểu nhiệm vụ

SBT

Tổng Tỷ lệ %

Ví dụ Hoạt động Bài tập Bài tập