Vật xạ ảnh và vật nội xạ của phạm trù các môđun không ổn định trên đại số steenrod

MỞ ĐẦUĐối đồng điều kì dị của một không gian tôpô X, ngoài cấu trúc vành thông thường, các môđun không ổn định trên đại số Steenrod đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứuđối đồng điều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Nhật Loan

VẬT XẠ ẢNH VÀ VẬT NỘI XẠ CỦA PHẠM TRÙ

CÁC MÔĐUN KHÔNG ỔN ĐỊNH TRÊN

ĐẠI SỐ STEENROD

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHAN HOÀNG CHƠN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu và kết quảnêu trong luận văn này là trung thực và chưa từng được công bố trong một công trìnhnào khác.

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã được cám ơn

và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc rõ ràng và được phépcông bố

Học viên thực hiện

Nguyễn Nhật Loan

Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, độngviên từ quý thầy cô, gia đình và bạn bè Vì vậy, trước tiên tôi xin chân thành cảm ơn TS.Phan Hoàng Chơn đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Phan Hoàng Chơn đã dành nhiều thời gianquý báu để đọc và đóng góp ý kiến cho luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán - Tin học, Phòng Sau Đại học,Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tôi thực hiện tốt luận văn

Tôi xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc và góp ý giúp choluận văn được hoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư phạmthành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt nhữngnăm học vừa qua, tạo cho tôi một nền tảng vững chắc để thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp Đại số và líthuyết số K25 đã hết lòng ủng hộ và động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũngnhư quá trình thực hiện luận văn này

Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên luận văn còn nhiều hạn chế và không tránh khỏinhững sai sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và cácbạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Chân thành cảm ơn

Học viên thực hiện

Nguyễn Nhật Loan

Lời cam đoan .

Lời cảm ơn

Mục lục

Các ký hiệu

Trang MỞ ĐẦU 1 1 ĐẠI SỐ STEENROD VÀ A MÔĐUN KHÔNG ỔN ĐỊNH 2 1.1 Đại số Hopf 2

1.2 Đại số phân bậc 3

1.3 Đại số Steenrod 4

1.4 Đối ngẫu của đại số Steenrod 7

1.5 Môđun không ổn định trên đại số Steenrod 7

1.6 Đại số không ổn định trên đại số Steenrod 8

2 VẬT XẠ ẢNH CỦA PHẠM TRÙ U 9 2.1 Điều kiện không ổn định và quan hệ Adem 9

2.2 Cấu trúc của môđun F (n) 10

2.3 Tính noether địa phương của phạm trù U 15

3 VẬT NỘI XẠ CỦA PHẠM TRÙ U 18 3.1 Tổng quát 18

3.2 Vật biểu diễn của hàm tử biểu diễn được 20

3.3 Đại số song bậc Miller 26

Kết luận 28

A Đại số Steenrod modulo 2

MỞ ĐẦU

Đối đồng điều (kì dị) của một không gian tôpô X, ngoài cấu trúc vành thông thường,

các môđun không ổn định trên đại số Steenrod đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứuđối đồng điều của các không gian tôpô, cũng như trong lý thuyết đồng luân

Xây dựng một cách tường minh các vật xạ ảnh và vật nội xạ của phạm trù các môđun

trực tiếp đến các bài toán xác định giải xạ ảnh, giải nội xạ cho các môđun không ổn định;

và bài toán xác định nhóm mở rộng của các môđun không ổn định

Hiểu được cấu trúc của các vật xạ ảnh, vật nội xạ giúp học viên hiểu được cấu trúc

hàm tử đa thức chặt Hơn nữa, cấu trúc của các vật xạ ảnh, vật nội xạ còn là nền tảng cơbản giúp học viên tiếp cận được các bài toán quan trọng trong nghiên cứu đối đồng điềucủa không gian tôpô, cũng như bài toán phân loại kiểu đồng luân của các không gian này.Nội dung luận văn gồm ba chương

Trong Chương 1, tôi trình bày các kiến thức cơ bản về Đại số Steenrod, đối ngẫu củađại số Steenrod, môđun không ổn định trên đại số Steenrod, đại số không ổn định nhằmphục vụ cho các chương tiếp theo

nghĩa và các ví dụ; điều kiện không ổn định và quan hệ Adem, cấu trúc của môđun F (n),

cấu trúc của môđun Brown-Gitler, đại số song bậc Miller

Chương 1

MÔĐUN KHÔNG ỔN ĐỊNH

1.1 Đại số Hopf

Cho A và B là các k-không gian véctơ

Để thuận lợi, chúng ta ký hiệu k là một trường cho trước Tích tenxơ sẽ được thựchiện trên k; tích tenxơ của A và B được kí hiệu đơn giản là A ⊗ B

Một đại số trên k là một k-không gian véctơ A cùng với hai ánh xạ tuyến tính

µ : A ⊗ A → A và u : k → A,(tương ứng được gọi là phép nhân và đơn vị) thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1 Tính kết hợp Phép nhân µ có tính kết hợp nếu biểu đồ

(trong đó s là phép nhân vô hướng) giao hoán.

Đại số A được gọi là giao hoán nếu phép nhân có tính giao hoán, nghĩa là biểu đồ

số n là những số nguyên Nếu A, B là các k-không gian véctơ phân bậc; f : A → B là

đó n được gọi là bậc của x Bất kì phần tử y thuộc A đều có thể viết duy nhất như một

thuần nhất của y

Một đại số phân bậc A trên k là một k-không gian véctơ phân bậc cùng với các ánh

xạ tuyến tính µ và u thỏa mãn các tính chất như trong Mục 1.1 Nói cách khác, đại sốphân bậc là một không gian véctơ phân bậc cùng với một cấu trúc đại số trên nó.Đại số phân bậc A được gọi là giao hoán phân bậc nếu phép nhân µ thỏa mãn biểu đồgiao hoán sau

(hai phía) sinh bởi các phần tử, còn được gọi là các quan hệ Adem,

điều tác động một cách tự nhiên và ổn định lên đối đồng điều (modulo 2) của các khônggian tôpô Các toán tử này được xây dựng bởi Steenrod [8]; sau đó Cartan và Serre, dựatrên các tính toán trên đối đồng điều của không gian Eilenberg-MacLane, đã chứng tỏ

điều tự nhiên, ổn định modulo 2

Cấu trúc của đại số Steenrod được nhiều tác giả nghiên cứu Trước tiên, ta xét cấutrúc nhân tính của chúng

hết m

Khi đó, áp dụng quan hệ Adem, ta nhận được

Như vậy Bổ đề đã được chứng minh.

Sử dụng Bổ đề 1.3.2 ta nhận được định lý sau đây

, h ≥ 0, lập thành một hệ các phần tử sinh nhân

Hệ các phần tử sinh mà chúng ta vừa miêu tả là một hệ sinh tối tiểu

Tiếp theo, ta sẽ tìm hiểu cấu trúc cộng tính của Đại số Steenrod Để làm được điều

đó, ta cần một số kí hiệu sau đây

1 ≤ h ≤ n − 1

đều nhỏ hơn mômen của I Do đó, bằng phép quy nạp trên mômen, ta nhận được tập

Để chứng minh tập các đơn thức chấp nhận được là độc lập tuyến tính, ta cần các kếtquả sau

trái Như vậy

Đại số Steenrod có cấu trúc của một đại số Hopf đối giao hoán, liên thông, có kiểuhữu hạn với đối tích được cho bởi

i+j=n

1.4 Đối ngẫu của đại số Steenrod

Cấu trúc của đối ngẫu của đại số Steenrod được nghiên cứu bởi Milnor trong [6]

đối tích ψ được cho bởi

Cơ sở nói trong mệnh đề trên được gọi là cơ sở Milnor của A

1.5 Môđun không ổn định trên đại số Steenrod

Cho X là một không gian tôpô bất kì, đối đồng điều (modulo 2) của X được kí hiệu

sau đây, được gọi là điều kiện không ổn định

Kết quả trên đã gợi ý cho ta định nghĩa phạm trù các môđun không ổn định trên đại

tính chất không ổn định ở trên

không âm Do đó, từ đây về sau ta sẽ không quan tâm đến các bậc âm khi nghiên cứu

không ổn định”

1.6 Đại số không ổn định trên đại số Steenrod

định nghĩa đại số không ổn định trên đại số Steenrod như sau:

A-đại số bậc không Để thuận tiện, ta thường viết “A-đại số không ổn định” là “đại sốkhông ổn định”

Chương 2

2.1 Điều kiện không ổn định và quan hệ Adem

Quan hệ Adem được sử dụng rất phổ biến trong các phần sau Tuy nhiên, một số trong

họ rút gọn trong tính chất của môđun không ổn định M Chúng ta giới thiệu toán tử

(ΦM )n= Mn/2 nếu n chẵn,

Các phần tử của ΦM được kí hiệu là Φx, trong đó x ∈ M Dễ dàng thấy rằng

|Φx| = 2|x| với mọi x ∈ M Tác động của đại số Steenrod lên ΦM được cho bởi công thức

nghĩa như sau:

Với mỗi môđun không ổn định M ta định nghĩa môđun ΣM như sau:

2.2 Cấu trúc của môđun F (n)

bởi

tử sinh có bậc n

Với dãy chấp nhận được I = (i1, , in), ta định nghĩa trội của I bởi

Mệnh đề 2.2.1 và Mệnh đề 2.2.2 được chứng minh

vậy, vì t ≤ [k/2] ≤ k/2 nên k − 2t ≥ 0, nên

u

Ngược lại, áp dụng quan hệ Adem cho Sqk+i 1 −tSqJ t,u như trên.

phải dừng sau hữu hạn bước

Z/2 được sinh bởi các lớp

Mệnh đề 2.2.4 Mỗi môđun không ổn định M đều là thương của một tổng trực tiếp của

M

i∈I

tiếp, ta có điều cần chứng minh

môđun không ổn định với tác động đường chéo được cho bởi

tác động trên F (1)⊗n bằng cách hoán vị các tọa độ Dễ thấy lớp không tầm thường bậc

Để chứng minh Mệnh đề 2.2.5 ta cần các kết quả sau đây

Chứng minh Để chứng minh mệnh đề ta sử dụng cơ sở của F (n) được mô tả trong Mệnh

I chấp nhận được và e(I) ≤ n

độc lập tuyến tính trong F (n) nên nó là đơn ánh

thường

Chứng minh Mệnh đề 2.2.5 Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n

Nhận thấy rằng Φ giao hoán với tích tenxơ và với phép lấy bất biến Xét biểu đồ giaohoán

hàng thứ hai của biểu đồ trên khớp (lưu ý là điều này không đúng trước khi lấy bất

chúng chỉ tập trung tại bậc không Như vậy, khi n ≥ 1 thì chúng tầm thường Nghĩa là

xuất bên trái đầu tiên của Ω và mọi hàm tử dẫn xuất tiếp theo là tầm thường

Chú ý rằng, chúng ta làm việc trong đối đồng điều nên hàm Σ có phụ hợp trái thay

vì có phụ hợp phải như trong tôpô

Chứng minh Xét một giải thức tự do của M :

trong đó Pi là tổng trực tiếp của các F (n) Khi đó, ta có biểu đồ giao hoán sau:

Tính toán trực tiếp bằng cách “săn trên biểu đồ”, ta kiểm tra được hàng cuối cùng

Như vậy, mệnh đề đã được chứng minh

2.3 Tính noether địa phương của phạm trù U

Nhắc lại, một vật trong phạm trù aben là noether nếu nó thỏa mãn tính chất dâychuyền tăng, nghĩa là, bất kì dãy tăng của các vật con đều dừng (ổn định)

Một phạm trù là noether địa phương nếu nó có một họ các phần tử sinh noether

Định lý 2.3.1 suy ra ra rằng, F (n) là noether Hơn nữa, từ Mệnh đề 2.2.4 suy ra rằng

Chứng minh Định lý 2.3.1 Vì thương của một môđun hữu hạn sinh là hữu hạn sinh, nên

minh mọi môđun con của F (n), n > 0, đều hữu hạn sinh như mộtA-môđun.

Ta sẽ chứng minh kết quả này bằng quy nạp theo n, dùng Mệnh đề 2.2.6 Cho M là

Chứng minh Bổ đề 2.3.2 Chọn các phần tử a1, , at∈ M là các phần tử biểu diễn của

Thật vậy, nhận thấy rằng Ω(Cokerf ) = 0 vì Ω(f ) là toàn ánh và Ω là hàm tử khớp phải

Và vì Cokerf liên thông nên suy ra Cokerf = 0

Từ Định lý 2.3.1 ta nhận được hệ quả sau đây

Bây giờ ta sẽ chứng minh kết luận thứ nhất của hệ quả Từ Mệnh đề 2.2.5 và Định lý

hữu hạn sinh

Chương 3

(ii) Môđun Carlsson;

(iii) Tích tenxơ của môđun Brown-Gitle và môđun Carlsson

Mục tiêu của chương này là nghiên cứu các vật nội xạ Brown-Gitler, là các vật đối

Nghĩa là mọi cấu xạ từ M vào I đều có thể mở rộng lên được thành cấu xạ từ N vàoI

Ví dụ: Trong phạm trù của các nhóm aben, các nhóm chia được là nội xạ

chúng là đặc biệt hóa các tính chất của các vật nội xạ trong một phạm trù aben nóichung Chúng ta tra cứu [2] hay [3] để biết thêm chi tiết

Để thuận tiện, ta sẽ thường viết tắt “A-môđun nội xạ không ổn định” thành “U-nộixạ”.

con M bất kì của F (n)

Chứng minh Điều kiện cần của bổ đề này là hiển nhiên đúng Ta chỉ cần chứng minhđiều kiện đủ

Dễ thấy kết luận của bổ đề đúng cho tổng trực tiếp của các F (n)

Như vậy, bổ đề đã được chứng minh

quả sau đây

Hơn nữa, ta còn có kết quả sau.

Mệnh đề đã được chứng minh

3.2 Vật biểu diễn của hàm tử biểu diễn được

Những hàm tử này là biểu diễn được Khi chúng là hàm tử khớp thì các môđun biểu diễn

gọi là hàm tử biểu diễn được

Bổ đề 3.2.1 Hàm tử (phản biến) R là biểu diễn được nếu và chỉ nếu nó là khớp trái vàbiến tổng trực tiếp thành tích trực tiếp

Chứng minh Ta chỉ chứng minh phần điều kiện đủ, vì điều kiện cần là hiển nhiên.Chúng ta cần xây dựng một môđun không ổn định B(R) và một phép biến đổi tự

có biểu đồ giao hoán sau

cấu

giả thiết của Bổ đề 3.2.1 Do đó tồn tại vật biểu diễn trongU, mà chúng ta gọi nó làΘN ,e

Ví dụ 3.2.3 Hàm Σ và Φ thỏa mãn những giả thiết của Hệ quả 3.2.2, nên chúng có các

trong M

f

e

dãy khớp sau đây

Rõ ràng, đây là hàm tử phản biến, khớp trái và biến tổng trực tiếp thành tích trựctiếp Do đó, theo Bổ đề 3.2.1, nó là hàm tử biểu diễn được.

Định nghĩa 3.2.5 Với mọi n ≥ 0, môđun Brown-Gitler thứ n, kí hiệu là J (n), là

Một vài tính chất sau có thể được suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Từ mệnh đề trên ta nhận được hệ quả sau đây.

Mệnh đề 3.2.9 (Dãy khớp của Mahowald) Dãy cácA-môđun sau đây là khớp

n/2

−−−−→ J(n/2) → 0

Từ đó, ta nhận được kết luận của mệnh đề

Định giá v(M ) của một môđun không ổn định M là số nguyên dương nhỏ nhất n sao

nguyên không âm n Gọi α(n) là tổng của các hệ số của khai triển 2-adic của n Nói cáchkhác α(n) là số chữ số 1 trong khai triển 2-adic của n Khi đó ta có mệnh đề sau đây.Mệnh đề 3.2.10 Với mọi n ≥ 0, định giá v(J (n)) của J (n) là α(n)

Chứng minh Từ dãy khớp của Mahowald ta có:

minh α(n) = α(n − 1) + 1 Điều này dễ nhận được từ định nghĩa của α(n).

Nếu n chẵn, thì α(n) = α(n/2) và α(n − 1) + 1 ≥ α(n) Theo dãy khớp Malhowald,

3.3 Đại số song bậc Miller

Để hiểu rõ hơn về cấu trúc của các môđun Brown-Gitler, Miller [5] xét vật song bậc

là kxk,

Steenrod giữ nguyên bậc thứ hai và tăng bậc thứ nhất

nguyên bậc thứ nhất và làm giảm bậc thứ hai Tác động này là không ổn định theo

(iii) Tác động trái và phải giao hoán với nhau

hoán, kết hợp, có đơn vị, song bậc

(v) Công thức Cartan thỏa mãn cho cả hai tác động Trong trường hợp tác động bênphải, công thức Cartan thỏa mãn nghĩa là biểu đồ sau đây giao hoán

(vi) Ánh xạ A-tuyến tính (tương ứng với tác động trái) kí hiệu là Λ, xác định bởi

đối với tác động phải Nghĩa là ta nhận được (v)

Từ (v), ta nhận được, ánh xạ Λ là nhân tính Và (vi) nhận được từ (vi) và tính nhântính của Λ

thức Cartan, và

Hơn nữa ta có biểu đồ sau giao hoán với mọi n

Λ //J∗

quy nạp trên n

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, tôi đã tập trung tìm hiểu và trình bày lại các nội dung cơ bản

kiến thức cơ bản về Đại số Steenrod, đối ngẫu của đại số Steenrod, môđun không ổn địnhtrên đại số Steenrod, đại số không ổn định; điều kiện không ổn định và quan hệ Adem,

Brown-Gitler, đại số song bậc Miller Từ đó nhận được một số tính chất quan trọng vềcấu trúc của phạm trù này, đặc biệt như tính Noether địa phương Việc nghiên phạm trùcác môđun không ổn định trên đại số Steenrod giúp chúng ta tiếp cận việc nghiên cứuđồng điều của không gian tôpô và tiến đến việc phân loại kiểu đồng luân của các khônggian này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 J.F.Adams, C.W.Wilkerson (1980), Finite H-spaces and algebras over the Steenrodalgebra, Ann of Math.111, pp 95-143

2 N.Bourbaki (1980), Algèbre, Chapitre 10, Paris, Hermann

3 P Gabriel (1962), Des catégories abéliennes, Bull Soc Math France 90

1-31

4 J.Milnor (1958), The Steenrod algebra and its dual, Ann of Math.67, pp 150-171

5 HR Miller (1984), The Sullivan conjecture on maps from classifying spaces, Ann ofMath.67, pp 120, 39-87

6 L Schwartz (1994), Unstable Modules over the Steenrod Algebra and Sullivan’s FixedPoint Set Conjecture, London

7 N E Steenrod (1947), Products of cocycles and extensions of mappings, Ann of Math

48, 290–320

Ann of Math 48, 290–320