Về phép biến đổi xạ ảnh của đường cônic và đường thẳng trong p2

Trong khoá luận tốt nghiệp này, với đề tài: “Phép biến đổi xạ ảnh của chất của phép biến đổi xạ ảnh, phép đối hợp của đờng cônic và đờng thẳng trong P2,.... Phép biến đổi xạ ảnh của đờn

Trêng §¹i häc vinh

khoa to¸n nguyÔn viÖt hoa

PGS.TS nguyÔn h÷u quang

sinh viªn thùc hiÖn:

nguyÔn viÖt hoa

líp 43b - khoa to¸n

Vinh - 2006

Mục lục

Trang

Lời nói đầu 1

Đ1 ánh xạ xạ ảnh 2

1.1 ánh xạ xạ ảnh 2

1.2 ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm 5

1.3 Đờng bậc hai trong P2(R) 7

1.4 Một số định lý cơ bản trong P2 7

Đ2 Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng cônic 12

2.1 Phép biến đổi xạ ảnh của đờng cônic (S) 12

2.2 Định lý Frêgiê 12

Đ3 Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng 15

3.1 Định nghĩa 15

3.2 Định lý 15

3.3 Định lý (về điểm bất động của phép đối hợp) 16

3.4 Hệ quả 16

3.5 Định lý (về sự xác định một phép đối hợp) 17

3.6 Mệnh đề 17

3.7 Một số ví dụ áp dụng 18

Kết luận 29

Tài liệu tham khảo 30

Lời nói đầu

Hình học xạ ảnh là một môn học quan trọng trong chơng trình học ở các ờng Đại học s phạm ngành toán và là một bộ phận của hệ thống kiến thức Hìnhhọc cao cấp, nó có quan hệ mật thiết với Hình học sơ cấp Về đề tài “các phép biến đổi xạ ảnh trên không gian xạ ảnh có số chiều hữu hạn”, đã đợc trình bày

tr-trong nhiều tài liệu viết về Hình học cao cấp của các tác giả nh: Văn Nh Cơng,Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Cảnh Toàn,

Trong khoá luận tốt nghiệp này, với đề tài: “Phép biến đổi xạ ảnh của

chất của phép biến đổi xạ ảnh, phép đối hợp của đờng cônic và đờng thẳng trong

P2, nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu các mục sau

Đ2 Phép biến đổi xạ ảnh của đờng cônic

Mục này chúng tôi trình bày các khái niệm, định lý về phép biến đổi xạ ảnh,phép đối hợp của đờng cônic (S), định lý Frêgiê thuận và đảo (có chứng minh), bàitoán vận dụng

Đ3 Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng

Mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm, định lý, mệnh đề (có chứngminh) và các ứng dụng của phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng

Khoá luận tốt nghiệp này đợc hoàn thành với sự hớng dẫn của thầy giáoPGS.TS - Nguyễn Hữu Quang Nhân đây, chúng tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơnchân thành đến thầy và các thầy, cô giáo trong khoa - trờng đã giúp tôi hoànthành khoá luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Ngời thực hiện

Đ1: ánh xạ xạ ảnh

1.1 ánh xạ xạ ảnh :

1 Định nghĩa: Cho 2 không gian xạ ảnh thực (P,p,V ) và (P',p',V') Một

ánh xạ f : P→ P’ đợc gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính ϕ : V →V’sao cho nếu vectơ x ∈ V là đại diện của điểm X∈P thì vectơ ϕ(x) ∈ V’ là đạidiện cho điểm f(X) ∈ P’

Khi đó, ta nói rằng ánh xạ tuyến tính ϕ là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f

2 Định lý: Giả sử {S0, S1,…,Sn; E} là mục tiêu trong Pn và { , ' , , ' ; ' }

e e

0 , E’ ↔ ∑

=

= n

i i

e e

0

' '

Ta có: ϕ : e  e'

⇒ f : E  E’

* Chứng minh sự duy nhất:

Giả sử có ánh xạ f’ thoả mãn các yêu cầu của định lý Ta cần chứng minh:f’≡ f

n 0

e e

' e

' e

⇒ ( ) ( ' )

n n

' 0 0

' n

' 0

α λ

Một đẳng cấu xạ ảnh f: Pn→ Pn của không gian xạ ảnh Pn lên chính nó đợcgọi là phép biến đổi xạ ảnh của Pn Phép biến đổi xạ ảnh này có nền ϕ là phépbiến đổi tuyến tính: Vn+1 →Vn+1.

- Hoặc hai bộ (n+2) điểm S0, , Sn, E và S , , S ' , E '

5 Phơng trình của phép biến đổi xạ ảnh

Gọi f : Pn → Pn là phép biến đổi xạ ảnh cảm sinh bởi phép biến đổi tuyếntính ϕ:Vn+1 → Vn+1

Trong Pn ta chọn một mục tiêu xạ ảnh {Si; E} (i =0 , n) và trong Vn+1 ta cócơ sở tơng ứng là {ei} Với mỗi điểm X ∈ Pn gọi X = (x0,x1,…,xn) và X'=f(X)=(

Tập hợp các điểm thuộc một đờng thẳng gọi là một hàng điểm Nếu đờngthẳng đó ký hiệu là s thì hàng điểm cũng ký hiệu là s.

1 Định nghĩa: Trong P2 cho hai hàng điểm s và s' Song ánh f : s → s' làmột ánh xạ xạ ảnh khi và chỉ khi nó bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm bất kỳ trên s

2 Định nghĩa: Trong P2 cho hai hàng điểm thẳng hàng phân biệt s, s' vàmột điểm P không thuộc chúng ánh xạ f : s → s' biến mỗi điểm M∈s thành điểm

M' = s' ∩ PM gọi là phép chiếu xuyên tâm từ s đến s' Điểm P gọi là tâm củaphép f

phÐp chiÕu f.

1.3 đờng bậc hai trong p 2 (R):

i ij i j

0 x x

a (ở đây aij = aji và aij không đồng thời bằng 0)

đợc gọi là một siêu mặt bậc 2 trong Pn

Phơng trình của S đợc viết dới dạng ma trận : [x]*A[x] = 0

S trong P2 đợc gọi là đờng bậc hai.

2 Phân loại : Trong P2 ta có 5 loại đờng bậc hai sau :

1) x x x 2 0

2

2 1

m EM

b) Ngợc lại: Cho ánh xạ xạ ảnh f: {S1}→{S2} giữa hai chùm phân biệt{S1}và {S2} Nếu f không là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp giao điểm của các

đờng thẳng tơng ứng là một đờng cônic

Chứng minh :

a.

Gọi d0 là đờng thẳng đi qua S1 và S2, d1 và d2 lần lợt

là tiếp tuyến của cônic tại S2 và S1, S0 = d1∩ d2 Lấy

điểm E cố định trên cônic khác với S1 và S2

Nếu chọn {S0, S1, S2; E} làm mục tiêu xạ ảnh thì phơng trình của cônic là:

Nếu điểm M(x0, x1, x2) nằm trên cônic, khác với S1 và S2 thì toạ độ của nó

thoả mãn phơng trình đó; và x0≠ 0 và do đó, x1≠ 0 Bởi vậy :

1

0 0

2

x

x x

x

= .

Gọi a = S1E, a’ = S2E, m = S1M, m’ = S2M thì ta có:

d0

a m

Gọi d0 là đờng thẳng đi qua S1 và S2, f(d0) = d1, f-1(d0) = d2

Vì f không phải là phép chiếu xuyên trục nên d0 không tự ứng; do đó d0, d1,

d2 đôi một phân biệt Vì vậy, ba điểm S0 = d1∩ d2, S1, S2 độc lập

Gọi a là đờng thẳng của chùm {S1} khác với d0 và d2, a’ = f(a), và

Nh ta đã biết một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt có thứ tự A1, A2, A3, A4, A5,

A6 gọi là một hình 6 đỉnh Ký hiệu : A1A2A3A4A5A6

(còn gọi là hình 6 đỉnh nội tiếp đờng cônic đó) thì giao điểm các cặp cạnh đối

A3 tự ứng)

⇒ các đờng thẳng MA2, A4N, RQ đồng quy Nói cách khác: P, Q, R thẳnghàng

P

3 Định lý Briăngsông :

Đối ngẫu với mục 2, ta có các khái niệm và định lý sau:

Hình 6 cạnh là tập hợp có thứ tự gồm 6 đờng thẳng a1, a2, a3, a4, a5, a6

Ký hiệu: a1a2a3a4a5a6

Định lý Briăngsông: Nếu một hình sáu cạnh có 6 cạnh phân biệt cùng tiếp

với một đờng cônic (còn gọi là hình lục giác ngoại tiếp cônic đó) thì các đờng

thẳng nối các đỉnh đối diện đồng quy

a 2

a 1 a 3

a 5

Đ2 phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng cônic

Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D nằm trên đờng cônic (S), M là một điểmthay đổi trên (S) Khi đó tỷ số kép [MA, MB, MC, MD] có giá trị không phụ thuộcvào M (theo định lý Stâyne thuận) Tỷ số kép đó đợc gọi là tỷ số kép của 4 điểm

A, B, C, D trên (S), ký hiệu là: [A,B,C,D](S)

2.1 phép biến đổi xạ ảnh của đờng cônic (S)

1 Định nghĩa: Một song ánh f: (S) → (S) đợc gọi là một biến đổi xạ ảnh của (S) nếu f bảo tồn tỷ số kép của bốn điểm bất kỳ trên (S).

2 Định lý: Cho f: (S) → (S) là phép biến đổi xạ ảnh khác đồng nhất của ờng cônic (S) Khi đó, với bất kỳ hai điểm phân biệt M, N của (S) và ảnh củachúng M’ = f(M) và N’ = f(N) thì giao điểm của MN’ và M’N luôn nằm trên một đ-ờng thẳng cố định

đ-Chứng minh: Giả sử trên (S) lấy 3 điểm phân biệt P, Q, R và gọi P’, Q’, R’

lần lợt là ảnh của chúng qua f

áp dụng định lý Paxcan cho lục giác PR’QP’RQ’ nội tiếp (S), ta có giao

điểm của các cặp cạnh đối diện PR’ ∩ P’R, R’Q ∩ RQ’, Q’P ∩ QP’ nằm trên một

đờng thẳng d

Giả sử M là một điểm bất kỳ thuộc (S) và M’ = f(M)

Vì f là phép biến đổi xạ ảnh nên f bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm bất kỳ trên(S) Ta có: [P, Q, R, M](S) = [P’, Q’, R’, M’](S)

Một biến đổi xạ ảnh f : (S) → (S) của cônic (S) gọi là phép đối hợp của (S)

nếu f2 =Id(S) hay f = f-1

Nếu f : (S) → (S) là phép đối hợp của (S), M và M’ là cặp điểm tơng ứng của

f, ta có: M = f(M’) và M’ = f(M)

2 Định lý Frêgiê :

khác với phép đồng nhất, thì đờng thẳng nối hai điểm tơng ứng bất kỳ luôn đi quamột điểm cố định, gọi là điểm Frêgiê của f

⇒ Đờng thẳng MM’ đi qua điểm F là điểm đối cực của đờng thẳng d

* Định lý đảo: Cho một điểm F cố định không nằm trên cônic (S) Với mỗi

điểm M ∈ (S) ta lấy điểm M’ ∈ (S) sao cho F, M, M’ thẳng hàng Khi đó, ánh xạ

f : (S) → (S) mà f(M) = M’ là một phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của (S)

Chứng minh:

Gọi M, N là 2 điểm bất kỳ của (S) và M’=f(M), N’=f(N)

Khi đó có phép biến đổi xạ ảnh duy nhất f’ sao cho f’(M) = M’, f’(N) = N’,f’(M’) = M

⇒ f’ là phép đối hợp với điểm Frêgiê là F và f’≡f

Bài toán (áp dụng định lý Frêgiê): Nếu f1, f2 là các phép đối hợp của (S)

t-ơng ứng với các điểm Frêgiê F1,F2 thì f1.f2 = f2.f1 khi và chỉ khi F1, F2 liên hợp vớinhau đối với (S)

Giải: Lấy M ∈ (S)

Gọi M1 = f1(M), M2 = f2(M), M1’ =f2.f1(M), M2’ = f1.f2(M)

2 thì EMM2M1F2M'

2 là hình bốn cạnh toàn phần Theotính chất của hình bốn cạnh toàn phần thì đờng chéo EF2 cắt các đờng chéo M'

2

M2, MM1 tại A, B sao cho [M'

2 , M2, F1, A] = [M, M1, F1, B] = -1

⇒ A, B thuộc đờng thẳng đối cực của F1 đối với cônic (S)

Do đó EF2 là đờng thẳng đối cực của F1 đối với (S)

Vậy F1 và F2 liên hợp với nhau đối với (S)

Điều kiện đủ: Giả sử F1 và F2 liên hợp với nhau đối với (S), ta cần chứngminh: f1.f2 = f2.f1

Gọi E1 = M1M2 x MM'

1 thì đờng thẳng E1F2 cắt MM1 tại B sao cho[M,M1,F1,B] = -1 Suy ra B và F1 liên hợp với nhau đối với (S) Do vậy F2E1 là đ-ờng thẳng đối cực của F1 đối với (S)

F2B

Đ3 : phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng

: s → s đợc gọi là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp (gọi tắt là phép đối hợp) của s

nếu: f2=Id(S)

Ta thấy rằng: Với mỗi cặp điểm M, M’ tơng ứng đối với f ta đều có:f(M) = M’; f(M’) = M

đồng nhất f : s → s là phép đối hợp của s khi và chỉ khi có hai điểm phân biệt M,

M’ sao cho f(M) = M’, f(M’) = M

Chứng minh :

* Điều kiện cần: Do f là phép biến đổi xạ ảnh nên f song ánh.

⇒∃ M’ ∈ s sao cho M’ = f(M), với ∀M ∈ s

3.3 Định lý: (về điểm bất động của phép đối hợp)

Cho phép đối hợp f : s → s của đờng thẳng s khác phép đồng nhất Nếu f cómột điểm bất động P thì nó còn có một và chỉ một điểm bất động nữa Q khác P, vànếu điểm M của s có ảnh M’ khác M thì [P, Q, M, M’] = -1

Chứng minh:

* Do f ≠ IdS nên ∃A ∈ s sao cho A ≠ A’ = f(A)

Giả sử X là điểm bất động của f

thì hoặc f không có điểm bất động nào hoặc có đúng 2 điểm bất động

Nếu f không có điểm bất động nào thì ta gọi là phép đối hợp eliptic.

Nếu f có hai điểm bất động thì ta gọi là phép đối hợp hypebolic.

* Nếu A’≡A, B’≡B thì f là phép đối hợp hypebolic (theo định nghĩa).

⇒ ảnh của điểm M ∈ s là điểm M’ ∈ s sao cho [A,B,M,M’] = -1

Vậy M’ đợc xác định qua f

* Nếu A’ ≠ A, B’ ≠ B

Không mất tính tổng quát, giả sử A’≠A

Khi đó có một phép biển đổi xạ ảnh duy nhất của s biến A thành A’, biếnA’ thành A, biến B thành B’

Đó là phép đối hợp f đã cho

biến đổi là A Phép biến đổi xạ ảnh f gọi là đối hợp khi và chỉ khi có một số k ≠ 0sao cho AA = kI

' 2

2 1

' 1

dx cx mx

bx ax

b a

Do f đối hợp nên có f(M’) = M, hay:

'2

'11

dx cx nx

bx ax

1 2

2 1 2

1 1

x m

d x m

c d x m

b x m

a c nx

x m

d x m

c b x m

b x m

a a nx

+ +

= +

+ +

22

21

12

12

mnx x)

d bc ( x) cd ac (

mnx x)

bd ab ( x) bc a(

+ +

2

1 2

1 2

2

x

x mn 0

0 mn x

x d bc cd ac

bd ab bc a

+ +

mn 0

0 mn d

bc cd ac

bd ab bc a

0 1 mn d

'2

21

'1

dx cx kx

bx ax kx

thì f là phép đối hợp khác phép đồng nhất của s khi và chỉ khi a+d =0

Giải:

Gọi A là ma trận của s

b a

+ +

1 0

0 1 k d bc cd ac

bd ab bc a

= +

+

= + 0 cd ac

0 bd ab

d bc bc

= +

±

=

0 c) d a(

0 b ) d a(

d a

0 d

0 c

0 b

0 d a

⇔ a +d = 0 (do f khác phép đồng nhất)

Bài toán 2: Cho phép biến đổi xạ ảnh f : s → s của đờng thẳng s; A là matrận của f Khi đó:

Nếu f là phép đối hợp eliptic thì |A| > 0

Nếu f là phép đối hợp hypebolic thì |A| < 0

Giải: Trên đờng thẳng s chọn mục tiêu xạ ảnh {A1, A2; E} sao cho f:s→s

có biểu thức toạ độ:

21

'1

dx cx x

bx ax x

⇒ A=ac db

Gọi λ là giá trị riêng của f thì λ là nghiệm của phơng trình : |A - λI|= 0

d c

b a

=

−

−

λ λ

Bài toán 3: Cho 4 điểm A, A’, B, B’ trên đờng thẳng s và f: s → s là phép

đối hợp mà f(A) = A’, f(B) = B’ Khi đó:

Nếu f là phép eliptic thì [A, A’, B, B’] < 0

Nếu f là phép hypebolic thì [A, A’, B, B’] > 0

Giải: Do f là phép đối hợp, theo bài toán 1 thì f có biểu thức toạ độ:

2 1 1

ax cx kx

bx ax kx

, (a,b,c ≠ 0)

Chän môc tiªu x¹ ¶nh {A, B; E} th× A(1,0), B(0,1).

Do f(A) = A’ ⇒ = 1 k 1 

c

; k

a '

Do f(B) = B’ ⇒ = 2 −k 2 

a

; k

b '

'B

'A n A m

B

2 2

1 1

=

1 1 2 2

2

2

1 1 1 1

k

c , k

a n ) 0, 1(

m k

a n ) 0, 1(

2

1

1

1 1 1

k

cn

k

a

k

anm

bca

⇒ [A, A’, B, B’] = 2 2

1

2 1 2 2

1

1 2

2 1

1 2

2

a

bc a c a c

k c k ak

c k

bc a m

n n

m n

m : n

Chứng minh rằng ánh xạ f: d → d

M  M’

là một biến đổi xạ ảnh của không gian xạ ảnh một chiều d Tìm điều kiệncủa a, b, d để f có hai điểm bất động phân biệt duy nhất (tức là f thuộc loạihypebolic)

⇒ h và g là biến đổi xạ ảnh của d

⇒ f là biến đổi xạ ảnh của d

Khi N ≡ O, ta có: f(A) = A.

Khi N ≡ B, ta có: f(B) = B

Vậy A, B là hai điểm bất động

Suy ra: f có hai điểm bất động khi và chỉ khi a, b, d không đồng quy;

f có một điểm bất động khi và chỉ khi a, b, d đồng quy

Bài toán 5: Trong P2 cho ta cặp cạnh đối diện của một hình bốn cạnh toànphần giao với một đờng thẳng tuỳ ý tại ba cặp điểm tơng ứng của một phép biến

đổi xạ ảnh đối hợp trên đờng thẳng đó

ảnh của đờng thẳng s đợc xác định bởi 3 cặp điểm đó

Gọi T = SP ∩ RQ

Theo tính chất tỷ số kép của chùm bốn đờng thẳng ta có:

[SA, SA’, SB, SC] = [A, A’, B, C]

[SA, SA’, SB, SC] = [T, A’, R, Q]

⇒ [A, A’, B, C] = [T, A’, R, Q] (2)

[PA, PA’, PR, PQ] = [A, A’, C’, B’]

[PA, PA’, PR, PQ] = [T, A’, R, Q]

⇒ [A, A’, C’, B’] = [T, A’, R, Q] (3)

Từ (2) và (3) suy ra: [A, A’, B, C] = [A, A’, C’, B’]

⇒ [A, A’, B, C] = [A’, A, B’, C’]

Từ đó ta thấy f biến A thành A’, biến A’ thành A, biến C thành C’ nên f làmột phép biến đổi xạ ảnh biến A thành A’, biến A’ thành A Do đó, theo định lý3.2 ta suy ra f là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp

Bài toán 6: Trên 3 đờng thẳng không đồng quy a, b, c lần lợt lấy 3 điểm A,

B, C

Nếu: f1: a → b là phép chiếu xuyên tâm, với tâm C

f2: b → c là phép chiếu xuyên tâm, với tâm A

f3: c → a là phép chiếu xuyên tâm, với tâm B

thì tích f3.f2.f1 là một phép đối hợp của đờng thẳng a

Do f1, f2, f3 là phép chiếu xuyên tâm nên f1, f2, f3 là các ánh xạ xạ ảnh, suy ra

f3.f2.f1 là một ánh xạ xạ ảnh của đờng thẳng a lên chính nó nên f3.f2.f1 là một biến

đổi xạ ảnh của đờng thẳng a

Gọi M = a ∩ c, M1 = b ∩ c, M’ = a ∩ b

Ta có: f1(M) = M1, f2(M1)=M1, f3(M1)=M’

⇒ f3.f2.f1(M) = M’

Mặt khác: f1(M’) = M’, f2(M’) = M, f3(M) = M

⇒ f3.f2.f1(M’) = M.

Do 3 đờng thẳng a, b, c không đồng quy nên M, M’ phân biệt

Nh vậy ta thấy có 2 điểm phân biệt M, M’ sao cho: f3.f2.f1(M) = M’ và

f3.f2.f1(M’) = M Theo định lý 3.2, f3.f2.f1 là một phép đối hợp của đờng thẳng a

Bài toán 7: Cho 4 điểm A, B, C, D của đờng thẳng d sao cho [A,B,C,D]=

nB mA

b a T

' 2

2 1

' 1

dx cx kx

bx ax

a km

mk1

m k km T

1 1

2

2 1

1 2

k n k kmn

0 mn k km

1

k n k kmn

n k km

1

n

k k

n k km

n 2mn

0 n

m

2 2

⇒ T’2 =

2 3

0 m

0 n 4

0 1 n

.Vậy f2 là một phép đối hợp

Bài toán 8: Cho đờng thẳng xạ ảnh d, bốn điểm A, A’, B, B’ trên d mà

trong 2 điểm A, A’ không có điểm nào trùng với B và B’ Chứng minh rằng có mộtbiến đổi xạ ảnh đối hợp duy nhất f: d → d thoả mãn: f(A) = A’, f(B) = B’

Chứng minh: Nếu A ≡ A’, B ≡ B’ thì có biến đổi xạ ảnh đối hợp duy nhất

f: d → d

M  M’

xác định bởi [A, B, M, M’] = -1 (theo định lý 3.3)

Nếu A ≠ A’ hoặc B ≠ B’, chẳng hạn A ≠ A’ thì có biến đổi xạ ảnh đốihợp duy nhất f: d→ d sao cho A  A’, A’  A, B  B’

Vì f(A) = A’, f(A’) = A nên nếu M’ = f(M), M’’ = f(M’) thì

[A, A’, M, M’] = [A’, A, M’, M’’] = [A, A’, M’’, M’]

Suy ra M’’ = M, tức f là phép đối hợp

Bài toán 9: Trong P2 cho 3 cặp đờng thẳng phân biệt (a, a’), (b, b’), (c, c’)

mà trong 6 đờng thẳng a, b, c, a’, b’, c’ không có 3 đờng nào đồng quy Một đờngthẳng d cắt 3 cặp đờng thẳng nói trên lần lợt tại các cặp điểm (A, A’), (B, B’),(C, C’) Chứng minh rằng có một biến đổi xạ ảnh đối hợp f: d → d thoả mãn f(A)