Đường cong elliptic trên trường hữu hạn

Đối với cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên Q cũng như tính chất của các điểm xoắn trên chúng được mô tả qua các Định lý Mordell-Weil, Mazur và Nagell-Lut

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

_

Nguyễn Quốc Hưng

ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

Chuyên ngành: Hình học và tôpô

Mã số: 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHAN DÂN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

LỜI CÁM ƠN

Trước hết, tôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Phan Dân - giảng viên trường đại học Ngân hàng TPHCM - người đã lên ý tưởng chọn đề tài, cho tôi tiếp cận những nguồn tài liệu cần thiết và chỉ bảo tận tình cả về nội dung lẫn hình thức trình bày cho luận văn Dù rất bận rộn nhưng Thầy vẫn dành thời gian quý báu để đọc và chỉnh sửa giúp tôi hoàn thành luận văn này

Kế đến, tôi xin tri ân các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, trường đại học Sư phạm TPHCM, đặc biệt là các thầy trong Bộ môn Hình học đã dày công đào tạo, trang bị kiến thức, luôn giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình theo học tại trường

Tôi cũng tri ân đến Ban giám hiệu và Phòng Đào tạo sau đại học trường đại học Sư phạm TPHCM đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành việc học và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến các anh, chị, các bạn trong lớp chuyên ngành Hình học và tôpô khóa 24 đã động viên tôi rất nhiều trong xuyên suốt quá trình làm luận văn

TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2015

Nguyễn Quốc Hưng

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 4

DANH MỤC KÝ HIỆU 9

BẢNG CHÚ GIẢI CÁC THUẬT NGỮ KHOA HỌC 11

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 13

1.1 Nhóm abel hữu hạn sinh 13

1.2 Một số kết quả quen biết về lĩnh vực đại số và lý thuyết số 15

1.2.1 Lĩnh vực lý thuyết số 15

1.2.2 Xác định X : sự phân chia bằng bậc 16

1.3 Đa tạp afin - đa tạp xạ ảnh 19

1.3.1 Đa tạp afin 19

1.3.2 Đa tạp xạ ảnh 21

1.4 Đường cong elliptic 23

1.4.1 Giống (loại) của đường cong 23

1.4.2 Các định nghĩa đường cong elliptic 24

1.4.3 Điểm kỳ dị 24

1.4.4 Bậc của ánh xạ giữa các đường cong elliptic 25

1.4.5 Isogeny và dual isogeny 25

1.4.6 Đường cong elliptic thông thường và siêu kỳ dị 27

Chương 2 CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTICTRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN 29

2.1 Tổng quan về đường cong dạng weierstrass 29

2.1.1 Mô tả đường cong dạng Weierstrass 29

2.1.2 Dạng Legendre 37

2.2 Luật nhóm 39

2.2.1 Luật nhóm 39

2.2.2 Ví dụ về luật nhóm 44

2.3 Ánh xạ hữu tỉ và đồng cấu frobenius 45

2.3.1 Ánh xạ hữu tỉ giữa các đa tạp 45

2.3.2 Đồng cấu Frobenius 49

2.3.3 Cấu trúc nhóm của đường cong elliptic trên trường hữu hạn 51

2.4 Các điểm của đường cong elliptic trên các trường hữu hạn 52

2.4.1 Định lý Hasse 52

2.4.2 Phỏng đoán Weil 55

2.4.3 Bất biến Hasse 61

2.4.4 Thuật toán Schoof 66

2.4.5 Lớp các đường cong 2 3 2 y  x t x trên trường hữu hạn F 70 q KẾT LUẬN 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

LỜI NÓI ĐẦU

I MỞ ĐẦU

I.1 Lý do chọn đề tài

Trong lý thuyết các đường cong Elliptic, vấn đề về số các điểm hữu tỷ trên các đường cong và cách xác định các điểm đó là một trong những vấn đề hết sức quan trọng Đối với cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên Q cũng như tính chất của các điểm xoắn trên chúng (được mô tả qua các Định lý Mordell-Weil, Mazur và Nagell-Lutz) là những kết quả rất đẹp cho phép mô tả khá chi tiết cấu trúc nhóm các điểm hữu tỷ của đường cong - mà một trong những kết quả nổi tiếng nhất có thể kể tới là kết quả của Faltings khẳng định

về mối liên hệ giữa các điểm hữu tỷ của đường cong đại số và định lý lớn của Fermat Khi đường cong elliptic được định nghĩa trên trường hữu hạn thì người ta

có cách tiếp cận, mô tả và nghiên cứu theo hướng khác và bằng các công cụ khác, chủ yếu là Lý thuyết số Trong trường hợp này thì tập các điểm hữu tỷ như vậy cũng chỉ có lực lượng hữu hạn và có cấu trúc nhóm nhưng việc tính toán cũng không phải dễ dàng Một mặt khác, trong thời gian gần đây lý thuyết về các đường cong Elliptic không còn là lĩnh vực nghiên cứu riêng của các nhà Hình học hay các nhà nghiên cứu thuộc lĩnh vực Hình học Đại số Một trong những ứng dụng được quan tâm phát triển rất mạnh hiện nay là “sử dụng các kết quả nghiên cứu về đường cong elliptic trên trường hữu hạn vào lĩnh vực bảo mật, mã hoá thông tin”

Vì vậy, có một vấn đề tiếp theo được đặt ra rất tự nhiên là thử tìm hướng tiếp cận đến một số thuật toán tính toán để xác định các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn

Chúng tôi lựa chọn đề tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tiếp cận và giới thiệu một số kiến thức chuyên môn về “Lý thuyết về các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn” cùng với việc xét tính chất của một số họ

đường cong cụ thể để thực hiện việc mô tả cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỉ trên chúng và xây dựng thuật toán tính toán tương ứng

Vì vậy, Luận văn có tên gọi là:

“Đường cong elliptic trên trường hữu hạn”

I.2 Lịch sử của vấn đề

Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu cũng như phương pháp giải quyết vấn đề trong Luận văn dựa trên một số kết quả sau đây:

a) Định lý Hasse mô tả cận trên của lực lượng nhóm E F của đường  q

cong elliptic trên trường hữu hạn F q

b) Các kết quả và phương pháp mô tả luật nhóm trên nhóm các điểm hữu

tỷ trên các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn

Luận văn của chúng tôi tập trung giải quyết một số vấn đề về: xác định nhóm các điểm hữu tỉ trên một số họ đường cong trên trường F (còn được gọi là q

Trường Galois, gồm q phần tử, với q là một lũy thừa của số nguyên tố p ) được

cho dưới dạng Weierstrass: 2 3

y x AxB Trong trường hợp đường cong được xét trên trường p thì vấn đề được xét sẽ là các thuật toán xác định nhóm các điểm hữu tỉ và tập các điểm trên đường cong Một số kết quả nghiên cứu thuộc các hướng này đã và đang được tiếp tục phát triển trong thời gian gần đây bởi nhiều tác giả, và là đề tài thường trực trong các Hội nghị Khoa học về “Lý thuyết trường hữu hạn và ứng dụng” – một trong các vấn đề rất được chú trọng trong Lý thuyết

mã hóa thông tin

I.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu cấu trúc của nhóm các điểm trên một số họ đường cong elliptic dưới dạng Weierstrass trên trường hữu hạn

- Xét một số họ các đường cong có phương trình dạng trên F khi q A0hoặc B0, nhằm mục đích là mô tả nhóm các điểm hữu tỉ trên chúng

Đề tài chỉ giới hạn trong phạm vi xét các đường cong Elliptic E không kỳ dị trên trường hữu hạn F với ý tưởng là mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỉ

 

E F và mô tả các thuật toán tính toán khác nhau đã nêu (với F như đã mô tả ở trên)

I.4 Mục đích nghiên cứu

- Mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E F của đường cong  

Elliptic không kỳ dị E trên trường hữu hạn F

- Mô tả các điểm hữu tỉ trên một số lớp đường cong Elliptic: các đường

cong y2 x3t x trên trường 2 F q

Trình bày phương pháp chứng minh một số định lý mô tả cách xác định các đối tượng đã liệt kê ở trên đối với các họ đường cong tổng quát

I.5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các kết quả tổng quát đã biết về tính chất của các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn để mô tả và xác định nhóm các điểm hữu tỉ trên các

họ đường cong được xét

- Sử dụng các phương pháp, công cụ của Đại số và Lý thuyết số để giải quyết bài toán xác định nghiệm của phương trình đồng dư trên trường hữu hạn, cùng với kết quả của Định lý Hasse về khoảng giới nội của lực lượng của nhóm E F để  

xây dựng các thuật toán tính toán Đây là một số hướng nghiên cứu và các phương pháp được dùng khá phổ biến trong việc nghiên cứu các đường cong elliptic trên trường hữu hạn Các phương pháp nghiên cứu và các kỹ thuật cũng như các thuật toán được dùng trong Luận văn này dựa trên những công cụ nghiên cứu đã được

sử dụng trong [1], [2], [6], [7]

II NỘI DUNG

Chương 1: Kiến thức cơ bản

Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã được công bố trong nhiều tài liệu về các chuyên ngành Toán:

- Các định lí cơ bản mô tả cấu trúc của nhóm hữu hạn

- Một số kết quả quen biết về lĩnh vực Lý thuyết số và Đại số có liên quan tới nội dung của Luận văn, bao gồm Lý thuyết trường hữu hạn, Các ánh xạ đồng cấu

- Thuật chia, Phép đồng dư vá các thuật toán trong các trường hữu hạn

- Một số kiến thức cơ bản và kỹ thuật tính toán, một số thuật toán liên quan thuộc về Hình học Đại số, trích dẫn từ [1], [2], [5], [6], [7]

- Các khái niệm, các kết quả nghiên cứu cơ bản về đường cong elliptic trên trường số hữu hạn

Chương 2: Các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn

1 Tổng quan về các đường cong dạng Weierstrass trên trường hữu hạn F

Các đường cong elliptic dạng Weierstrass trên các trường hữu hạn Phương pháp

mô tả và cách tiếp cận

Luật nhóm trên đường cong E F Các ví dụ về luật nhóm  

Các hàm hữu tỉ và cấu trúc nhóm trên E F  

- Các hàm hữu tỉ, các lớp đẳng cấu, đồng cấu Frobenius

- Cấu trúc nhóm và thuật toán xác định số các phần tử trên đường cong

 

E F

2 Các điểm trên các đường cong elliptic trên các trường hữu hạn

- Cách xác định điểm của đường cong elliptic trên trường hữu hạn

- Số các điểm trên các đường cong elliptic y2 x3t x 2

- Định lý Hasse về xấp xỉ của tập các điểm trên E F  

Tuy đã rất cố gắng nhưng do trình độ của bản thân còn non trẻ và một số yếu tố khác nên luận văn này khó tránh khỏi những sai sót Rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô cùng sự góp ý của các bạn để bổ khuyết đề tài này được hoàn thiện hơn

TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2015

Nguyễn Quốc Hưng

O Điểm tại vô cực (tọa độ 0 :1: 0 ) 

 Đối đẳng giống của đẳng giống 

BẢNG CHÚ GIẢI CÁC THUẬT NGỮ KHOA HỌC

Isogeny 25

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH

Định nghĩa 1.1.1 (Nhóm abel hữu hạn sinh) Nhóm abel A được gọi là hữu hạn

sinh nếu tồn tại hữu hạn các phần tử a a1, 2, ,a nA sao vho với mọi xA, tồn



 Khi n1, A được gọi là nhóm cyclic

Định nghĩa 1.1.2 (Nhóm con xoắn) Cho A là một nhóm abel Nhóm con xoắn

của , A ký hiệu là T A là tập:  ,

    /  : 0 

Nếu T A    0 thì ta nói nhóm abel A được gọi là không xoắn

Bổ đề 1.1.3 Cho A là một nhóm abel Khi đó A T A là không xoắn  

Định nghĩa 1.1.4 (Nhóm abel tự do) n    

(n lần) được gọi là nhóm abel tự do hạng n

Định lý 1.1.5 Nếu A là một nhóm abel không xoắn hữu hạn sinh mà có một tập

nhỏ nhất các phần tử sinh gồm n phần tử, thì A đẳng cấu với nhóm abel tự do

hạng n

CHỨNG MINH Áp dụng phương pháp quy nạp trên số phần tử sinh nhỏ nhất của

A Nếu A là nhóm cyclic, thì khi đó A

Giả sử rằng kết quả trên đúng với tất cả các nhóm abel không xoắn hữu hạn sinh với một tập hợp các phần tử sinh nhỏ nhất có số phần tử ít hơn n phần tử Giả sử

rằng A là không xoắn và a a1, 2, ,a n là một tập nhỏ nhất các phần tử sinh của

A

Nếu T A a 1  0 thì khi đó A a là không xoắn và được sinh bởi 1 n1 phần

tử thì kết quả được suy ra từ phép quy nạp và a1  Nếu T A a 1  không là

nhóm tầm thường thì có một nhóm con BA sao cho T A a 1  B a 1

Như vậy với bất kỳ phần tử bB mà b0, tồn tại một số nguyên i0 sao cho

Vì vậy, nếu B là hữu hạn sinh (vì là một vành Noether) thì B là cyclic Thật

vậy, giả sử B b1, ,b m , khi đó:

   1 ; ;  m  1 1; ; m m

là một nhóm con của nhóm cyclic 1 i1 i m do đó nó là cyclic

Nếu B A thì A tự do được sinh bởi một phần tử Nếu không thì:

Do đó, A B là không xoắn và được sinh bởi nhiều nhất n1 phần tử, nên A B là

nhóm abel tự do có hạng mn bằng phương pháp quy nạp Điều đó dẫn đến

m

A B sao cho B A m và là hữu hạn sinh Khi đó, B là cyclic nên ta có

điều phải chứng minh Chú ý rằng m n 1 vì n là cực tiểu

Định nghĩa 1.1.6 (Tổng trực tiếp trong) Cho A là một nhóm abel và , B C là các

nhóm con của A Ta nói rằng A là tổng trực tiếp trong của B và C ký hiệu ,

,

A B C nếu A B C và B C  0 , với B C bc b/ B  c C

1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ QUEN BIẾT VỀ LĨNH VỰC ĐẠI SỐ VÀ LÝ

degX deg f max i j a: ij 0

Một điểm K -hữu tỉ (hoặc gọi tắt là K -điểm ) trên X là một điểm  a b với tọa ,

độ thuộc K sao cho f x y , 0. Tập tất cả các điểm K -hữu tỉ trên X được ký

Vấn đề đặt ra là: Liệu có tồn tại một thuật toán mà khi ta cho một đường cong

phẳng X trên thì ta có thể xác định X , hoặc ít nhất xác định được X 

có khác rỗng hay không? Mặc dù X  không nhất thiết phải hữu hạn, nhưng ta thấy rằng, nó luôn luôn tồn tại một sự mô tả hữu hạn, vì thế vấn đề về sự xác định

 

X có thể được xác định rõ ràng bằng cách sử dụng máy Turing (xem [HU])

về mối quan hệ giữa câu hỏi trên và bài toán số của Hilbert, xem [Po2]

Bài toán hiện tại là liệu rằng có tồn tại các phương pháp xác định X  khi ta

cho một đường cong X cụ thể, mặc dù hiện tại ta chưa chứng minh được những

phương pháp đó có thể dùng trong trường hợp tổng quát Chính vì vậy , có những vấn đề mà chưa tìm ra câu trả lời:

(1) Có tồn tại thuật toán mà khi cho một đa thức bậc bốn: f x   x thì

ta có thể xác định những điểm 2  

y  f x là điểm hữu tỷ hay không?

(2) Có tồn tại thuật toán mà khi cho một đa thức bậc ba: f x   x y, thì

ta có thể xác định những điểm f x y , 0 là điểm hữu tỷ hay không?

Thực ra, ta có thể nhận thấy rằng các vấn đề (1) và (2) là tương đương

1.2.2 Xác định X : sự phân chia bằng bậc

Trở lại vấn đề xác định tập hợp các điểm hữu tỷ X  với X là một đường cong

afin phẳng f x y , 0 trên hoặc trên bao đóng xạ ảnh của nó Cho d deg f

Ta sẽ xem xét bài toán bằng việc cho tăng dần giá trị của d

 Bậc d 1: X là đường thẳng Ta đã biết cách tham số hóa các điểm hữu tỷ

trên đường thẳng ax by  c 0, với a b c, ,  và a b c, , 0

 Bậc d 2 : X là đường conic Legendre đã chứng minh rằng các đường conic thỏa mãn nguyên lý Hasse Điều này nghĩa là: X có một -điểm

nếu và chỉ nếu X có một -điểm và một p-điểm với mỗi số nguyên tố

p Vì một đường conic xạ ảnh được mô tả bởi một dạng bậc hai 3 biến, do

đó kết quả của Legendre có thể được xem như một trường hợp đặc biệt của định lý Hasse-Minkowski [Ser1], khẳng định rằng một dạng toàn phương n

biến trên biểu diễn 0 nếu và chỉ nếu nó biểu diễn 0 trên và p với mọi p

Định lý của Legendre dẫn đến một thuật toán để xác định sự tồn tại của một điểm trên đường conic X Thuật toán: bổ sung chính phương, nhân một hằng số

-và thu về các biến, để rút gọn thành 2 2 2

0

aX bY cZ  trong 2

, với , ,a b c0,không chính phương có quan hệ từng đôi nguyên tố với nhau Khi đó ta có thể chứng minh rằng tồn tại một -điểm nếu và chỉ nếu , ,a b c đều không cùng dấu

với các phương trình đồng dư

2 2 2

của đường thẳng sao cho t (hoặc có thể là ) Ngược lại, cho t , định lý Bézout bảo đảm rằng đường qua P với hệ số góc t sẽ cắt đường conic tại một 0

điểm khác (miễn là đường này không tiếp xúc với conic tại P và đây sẽ là một 0),điểm hữu tỷ

đến X và ánh xạ ngược: điều đó có nghĩa

là khi ta bỏ đi một số hữu hạn các tập con có chiều nhỏ hơn (có thể chỉ là một vài điểm), thì các ánh xạ được cho bởi các hàm hữu tỷ của các biến mà cảm sinh một song ánh giữa các -điểm trên mỗi chiều Những ánh xạ song hữu tỉ được định nghĩa trên ; các hệ số của các hàm hữu tỉ thuộc , vì thế chúng cũng cảm sinh

một song ánh giữa các -điểm Đặc biệt, tập hợp những nghiệm hữu tỉ của đường tròn 2 2

Hình 1.1 Tham số hóa hữu tỉ của một đường tròn

 Bậc d 3 : X là các đường phẳng bậc 3 Lind [Lin] và Reichardt [Rei] đã

nhận thấy rằng nguyên lý Hasse có thể không đúng với các đường cong phẳng bậc ba Xét một phản ví dụ: theo Selmer [Sel] thì đường cong

3 3 3

3X 4Y 5Z 0 trong 2 có một -điểm

1 3

4:1: 03

-điểm với mỗi số nguyên tố ,p nhưng nó không có -điểm Vì p5 nên

sự tồn tại các p-điểm có thể được chứng minh bằng cách sử dụng bổ đề Hensel [Kob] để chứng minh sự tồn tại của các nghiệm đồng dư modulo p

Với p2,3,5, dạng tổng quát hơn của của bổ đề Hensel [Kob] có thể được

sử dụng Sự không tồn tại của các -điểm khó thiết lập hơn

Bài toán liệu một đường cong phẳng bậc ba có điểm hữu tỷ hay không hiện tại là một bài toán chưa được giải quyết Do đó ta sẽ chú ý đến những đường cong phẳng bậc ba mà có một điểm hữu tỉ Những đường này được gọi là các đường cong elliptic

1.3 ĐA TẠP AFIN - ĐA TẠP XẠ ẢNH

Cho K x K x 1; ;x n là một vành đa thức n biến và một ideal I K x Khi  

đó, mỗi ideal I như vậy liên kết với một tập con của không gian afin n

Định nghĩa 1.3.1.2 (Tập đại số afin) Một tập đại số (afin) là tập có dạng V nói I

trên Nếu V là một tập đại số thì ideal của V có dạng

    /   0, 

I V  f K x f P   P V

Định nghĩa 1.3.1.3 (Đa tạp afin) Một tập đại số afin V được gọi là một đa tạp

afin nếu I V là ideal nguyên tố của   K x  

Ví dụ 1.3.1.4 Một đa tạp tuyến tính là tập nghiệm của một hệ tuyến tính l1, , l k

Nếu X Z l1, ,l k khác rỗng và các phương trình tuyến tính xác định là độc lập,

khi đó số chiều của X là n k và số đối chiều của X là:

codimX dim ndimX k

Việc định nghĩa về số chiều của các đa tạp tuyến tính có thể được lấy từ đại số tuyến tính Trong trường hợp các đa tạp không tuyến tính ta dựa vào một khái niệm trực giác về số chiều

Ví dụ 1.3.1.6 Một siêu mặt trong 2

A là một đường cong đại số phẳng Một

parabol có thể được cho bởi tham số hóa  2

y x K x y Không phải mọi đường cong phẳng đều có một tham số hóa

Ví dụ 1.3.1.7 Một cubic xoắn là một đường cong trong 3

được cho bởi tham số

Định nghĩa 1.3.1.8 (Số chiều) Cho V là một đa tạp Số chiều của V là bậc siêu

việt của K x trên K , ký hiệu   dim V  

Định nghĩa 1.3.1.9 (Đa tạp không kỳ dị) Cho V là một đa tạp, P V và

i

i m j

j n

f P

2 3

1:

V y  x x và V2:y2 x3x2 Dựa vào định nghĩa kỳ dị, ta có các điểm kỳ dị của V và 1 V có tọa độ lần lượt 2

P K ) trên K là tập hợp các lớp tương đương của bộ n1-phần tử của K mà

tất cả không đồng thời bằng 0, với quan hệ tương đương , ở đây

a0; ;a n  b0; ;b n nếu có một hằng số khác 0, K sao cho

P của một đa thức bất kỳ f K x 0; ;x n không được

định nghĩa tốt Nhưng nó được định nghĩa tốt nếu f là một đa thức thuần nhất, vì

khi đó

 ; ;  d  ; ; 

Định nghĩa 1.3.2.2 (Ideal thuần nhất) Ideal I K x 0; ;x n là thuần nhất nếu

nó được sinh ra bởi các đa thức thuần nhất

Tổng, tích và giao của các ideal thuần nhất lại là một ideal thuần nhất Hơn thế

nữa, nếu một ideal thuần nhất I không là nguyên tố thì có các đa thức thuần nhất

,

f g sao cho fgI nhưng f g, I

Bây giờ, ta cho V là một ideal thuần nhất của K x Mỗi ideal I như vậy  

tương ứng một tập con của n

Định nghĩa 1.3.2.3 (Tập đại số xạ ảnh) Một tập đại số (xạ ảnh) là tập có dạng V I

nói trên Nếu V là một tập đại số xạ ảnh thì ideal (thuần nhất) của V , ký hiệu

 

I V , là một ideal của K x sinh bởi  

f K x / f P   0, P V, f thuần nhất

Định nghĩa 1.3.2.4 (Đa tạp xạ ảnh) Một tập đại số xạ ảnh V được gọi là một đa

tạp xạ ảnh nếu ideal thuần nhất I V của nó là ideal nguyên tố của   K x  

Ta luôn có thể nhúng một không gian afin vào không gian xạ ảnh có cùng số chiều với ví dụ như sau:

Khi đó, V là đa tạp trong 2

P cho bởi phương trình thuần nhất

A  P sao cho V A n   Số chiều của V cũng chính là số chiều của V A n

Định nghĩa 1.3.2.7 (Trường các hàm) Trường các hàm của một đa tạp xạ ảnh V

là trường của các hàm hữu tỉ F x  f x   /g x sao cho:

(i) f và g là các ánh xạ thuần nhất có cùng bậc

(ii) gI V 

(iii) Hai hàm f1/g và 1 f2/g là đồng nhất nếu 2 f g1 2 f g2 1I V 

1.4 ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

1.4.1 Giống (loại) của đường cong

Cho X là đường cong xạ ảnh không kỳ dị trên một trường đầy đủ K Giống của

X là một số nguyên không âm g để đo độ phức tạp hình học của X Nó có các .định nghĩa tương đương sau:

(a) g dimK, ở đây  là không gian vectơ của vi phân chính quy trên X .(Chính quy có nghĩa là “không cực điểm” Nếu K  thì chính quy có nghĩa là chỉnh hình.)

(b) g là giống tôpô của mặt Riemann compact X  (định nghĩa này chỉ có

nghĩa nếu K nhúng được vào )

1.4.2 Các định nghĩa đường cong elliptic

Cho K là một trường hoàn chỉnh Một đường cong elliptic trên K có thể được

định nghĩa bằng một trong những cách sau:

(1) Bao đóng xạ ảnh của một đường cong không kỳ dị được định nghĩa bởi một phương trình Weierstrass (ta sẽ trình bày cụ thể ở chương 2) như sau:

y a xya yx a x a xa , với a a a a a1, 2, 3, 4, 6K

Nếu đặc số của K khác 2 và 3, người ta có thể hạn chế sự chú ý tới các bao đóng

xạ ảnh của các đường cong 2 3

Nếu  0;0 là một điểm trên đường cong afin f x y ; 0 trên K Khi đó  0;0 là

một điểm kỳ dị nếu cả hai f x

 và f y



 triệt tiêu tại  0;0

Một đường cong afin là không kỳ dị nếu nó không chứa điểm kỳ dị nào cả Một đường cong xạ ảnh F X Y Z ; ; 0 là không kỳ dị nếu “các mảnh afin” của nó

 ; ;1 0,  ;1;  0, 1, ,  0

1.4.4 Bậc của ánh xạ giữa các đường cong elliptic

Mệnh đề 1.4.4.1 Cho C là đường cong elliptic, n

t f là chính quy tại P và tn f j  P 0, suy ra  chính quy tại P

Định nghĩa 1.4.4.2 (Bậc của ánh xạ giữa hai đường cong elliptic) Cho

: C C

  là ánh xạ của các đường cong elliptic được định nghĩa trên K Nếu 

là ánh xạ hằng thì ta quy ước bậc của  bằng 0 Ngược lại, ta nói  là một ánh xạ

hữu hạn và ta định nghĩa bậc của nó là

 1  2

deg  K C : * K C 

Ta nói rằng  là tách được, không tách được, hoặc không tách được thuần túy nếu

trường mở rộng K C 1 / * K C 2 có tính chất tương ứng Ta ký hiệc bậc tách được và không tách được của sự mở rộng lần lượt bởi degs và degi

1.4.5 Isogeny và dual isogeny

Định nghĩa 1.4.5.1 (Isogeny) Cho E và 1 E là các đường cong elliptic Một 2isogeny từ E vào 1 E là một đồng cấu 2

: E E

  thỏa mãn  O O Hai đường cong elliptic E và 1 E là isogeny nếu có một isogeny từ 2 E vào 1 E mà 2

   E1 O

Ví dụ 1.4.5.2 Với mỗi m ta định nghĩa isogeny nhân bởi m

với phép toán  và  sẽ được trình bày trong phần luật nhóm ở chương sau

Định nghĩa 1.4.5.3 (Nhóm con m -xoắn) Cho E là một đường cong elliptic và

m , m1 Nhóm con m -xoắn của E , ký hiệu là E m , là tập hợp các điểm  

Việc tồn tại isogeny  được chứng minh rõ trong ([5], III.6.1/81) Ta sẽ thừa nhận định lý sau mà không trình bày chứng minh

Định lý 1.4.5.5 Cho : E1E2 là một isogeny

(a) Nếu mdeg thì

 m

   trên E và    m trên E

(b) Nếu : E2 E3 là isogeny thì

    (c) Nếu  : E1E2 là một isogeny khác thì

     

(d) Với mọi m ,

deg m m (e) deg deg

(f)  

1.4.6 Đường cong elliptic thông thường và siêu kỳ dị

Trước hết, ta thừa nhận bổ đề sau

Bổ đề 1.4.6.1 Cho E là đường cong elliptic trên trường F Khi đó, ánh xạ p  n là

tách được nếu và chỉ nếu n không chia hết cho p

Từ bổ đề này, ta thấy rằng hạt nhân của ker p là   E p hoặc là nhóm  

cyclic cấp p hoặc là tầm thường

Định nghĩa 1.4.6.2 (Đường cong elliptic thông thường và siêu kỳ dị) Đường

cong elliptic E được gọi là thông thường nếu E p  / p , được gọi là siêu kỳ

dị nếu E p  0

Định lý 1.4.6.3 Cho : E1E2 là một isogeny Khi đó, E là siêu kỳ dị khi và 1

chỉ khi E siêu kỳ dị (tương tự, 2 E là thông thường khi và chỉ khi 1 E thông 2

thường)

CHỨNG MINH Giả sử p1End E1 và p2End E2 lần lượt là các ánh xạ

nhân bởi p trên E và 1 E Vì isogeny 2  là một đồng cấu nhóm nên

Do đó, E là siêu kỳ dị nếu và chỉ nếu 1 degi p1  1 degi p2 nếu và chỉ nếu E 2

cũng là siêu kỳ dị Từ đó suy ra, E là thông thường nếu và chỉ nếu 1 E thông 2

thường

Chương 2 CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

2.1 TỔNG QUAN VỀ ĐƯỜNG CONG DẠNG WEIERSTRASS

2.1.1 Mô tả đường cong dạng Weierstrass

Đối tượng cơ bản mà ta nghiên cứu là đường cong elliptic Bằng việc chọn mục tiêu thích hợp, phương trình của đường cong elliptic có dạng:

Ở đây, O0 :1: 0 là điểm nền và a1, ,a6K Kể từ đây, ta sẽ nghiên cứu

những đường cong được cho bởi phương trình Weierstrasss

Để đơn giản ký hiệu, ta viết lại phương trình Weierstrass của đường cong elliptic theo toạ độ không thuần nhất bằng cách đặt x X Z và / yY Z , ta được: /

a a K thì ta nói E được định nghĩa trên K

Nếu char K 2 thì bằng phép biến đổi:

Hình 2.1 Các đường cong elliptic

Định nghĩa 2.1.1.1 (Biệt thức, j -bất biến, vi phân bất biến) Lượng  là biệt

thức của phương trình Weierstrass, lượng j là j -bất biến của đường cong elliptic,

và  là vi phân bất biến liên kết với phương trình Weierstrass

Ví dụ 2.1.1.2 Ta dễ dàng phác thảo quỹ tích của một phương trình Weierstrass

như trong hình 3.1 Nếu  0 thì đường cong đó là kỳ dị, lúc đó sẽ xảy ra một trong hai trường hợp như hình 3.2

Từ những ví dụ này, ta đưa ra trường hợp tổng quát Cho Px y là 0; 0

điểm có toạ độ thỏa mãn phương trình Weierstrass sau:

Định nghĩa 2.1.1.3 (Điểm nút, điểm lùi) Với ký hiệu như trên, điểm kỳ dị P là

điểm nút nếu   Trong trường hợp này, các đường thẳng

Giả sử rằng đường thẳng ở vô cực là Z 0 trong P giao với E tại duy 2

nhất điểm 0 :1: 0 , khi đó bằng phép biến đổi 

2 3

''

(a) Đường cong cho bởi phương trình Weierstrass thoả mãn:

(i) Là không suy biến nếu và chỉ nếu  0

(ii) Có một điểm nút nếu và chỉ nếu  0 và c4 0

(iii) Có một điểm lùi nếu và chỉ nếu  c4 0

Trong trường hợp (ii) và (iii), có duy nhất một điểm kỳ dị trên đường cong

(b) Hai đường cong elliptic là đẳng cấu nhau trên K nếu và chỉ nếu chúng có cùng

nên O là điểm không kỳ dị của E

Tiếp theo, giả sử E suy biến và điểm P0 x y0; 0 Phép biến đổi

0 0

''

không làm thay đổi các lượng  và c Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử E 4

suy biến tại  0;0 Khi đó,

Ta hoàn tất chứng minh (ii) và (iii) Cuối cùng, ta đi chứng minh (i) Nhắc lại rằng,

nếu E không suy biến thì  0 Để đơn giản tính toán, ta giả sử char K 2 và

(b) Nếu hai đường cong elliptic đẳng cấu nhau, thì phép biến đổi

chỉ ra rằng chúng có cùng j -bất biến Ngược lại, giả sử char K 5, E và E có '

cùng j -bất biến và có phương trình Weierstrass lần lượt là

 

3 0 3

 



j j

Vậy ta được điều cần chứng minh

Mệnh đề 2.1.1.5 Nếu một đường cong E cho bởi phương trình Weierstrass suy

biến, thì tồn tại một ánh xạ hữu tỉ bậc một 1

:

 EP , tức là đường cong E song

hữu tỉ vào 1

P

CHỨNG MINH Với phép biến đổi tuyến tính, ta giả sử rằng điểm kỳ dị là

   x y;  0;0 Kiểm tra các đạo hàm riêng tại  0;0 , ta có phương trình

2.1.2 Dạng Legendre

Có một dạng phương trình Weierstrass đặc biệt sẽ thuận tiện cho chúng ta rất nhiều trong nghiên cứu

Định nghĩa 2.1.2.1 (Dạng Legendre) Phương trình Weierstrass có dạng Legendre

nếu nó được viết dưới dạng

8

2 2

12

(c) Dựa vào mệnh đề (III.1.4b), ta có thể dùng j -bất biến để phân loại đường

cong elliptic đẳng cấu nhau Giả sử j E   j E  , thế thì E E , khi đó các 

phương trình Weierstrass (dạng Legendre) của chúng sai khác nhau một phép biến đổi

2 3

''

Cuối cùng, nếu char K 3 thì các giá trị  này trùng nhau và phương trình

P , khi đó vì phương trình đã cho có bậc ba nên đường thẳng L cắt E tại đúng

ba điểm , ,P Q R (trường hợp L tiếp xúc với E thì , , P Q R không nhất thiết phải

phân biệt)

Ta định nghĩa luật hợp thành  trên E bởi quy tắc sau:

Luật hợp thành 2.2.1.1 Cho ,P QE , L là đường thẳng qua P và Q (nếu



P Q thì L là tiếp tuyến của E tại P ), và R là giao điểm còn lại của L và E

Gọi 'L là đường thẳng qua R và O , thế thì ' L cắt E tại , R O và một điểm thứ ba

nữa mà ta ký hiệu nó là P Q 

Các ví dụ khác nhau của luật hợp thành được minh hoạ bởi hình sau

Hình 2.3 Luật hợp thành

Mệnh đề 2.2.1.2 Luật hợp thành có những tính chất sau: