Hạng của đường cong elliptic trên trường hữu tỉ

Lý thuyết về các đa tạp, các đường cong đại số và các điểm hữu tỷ trên chúng, các hàm elliptic, các dạng modular,… là các khái niệm rất quan trọng và các kết quả nghiên cứu có liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHAN DÂN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016

LỜI CÁM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy TS Phan Dân, người đã đưa ra ý tưởng của đề tài và trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi với những chỉ dẫn khoa học quý giá trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn Tôi cũng xin chân thành cảm ơn đến các thầy trong Khoa Toán – Tin của trường đại học Sư phạm TPHCM, đặc biệt là các thầy trong Bộ môn Hình học

đã trực tiếp giảng dạy và truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm khoa học về chuyên ngành cho tôi trong suốt thời gian học ở trường

Đồng thời cũng xin gửi lời cám ơn đến BGH trường Đại Học Sư Phạm, phòng Đào tạo sau đại học và các phòng ban chức năng của trường Đại Học Sư Phạm đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tôi xin cám ơn các anh chị, các bạn trong lớp chuyên ngành Hình học và tôpô khóa 24 đã luôn giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hồ Chí Minh, ngày 22 tháng 04 năm 2016

Nguyễn Ngọc Phúc

MỤC LỤC

TRANG PHỤ BÌA

LỜI CÁM ƠN i 

MỤC LỤC ii 

DANH MỤC KÝ HIỆU v 

MỞ ĐẦU 1 

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 6 

1.1 Các định nghĩa và định lí cơ bản 6 

1.1.1 Định nghĩa nhóm aben hữu hạn sinh 6 

1.1.2 Định nghĩa nhóm con xoắn 6 

1.1.3 Định nghĩa tổng trực tiếp trong 6 

1.1.4 Định lí 6 

1.1.5 Định nghĩa nhóm Aben tự do 7 

1.1.6 Định lí 8 

1.1.7 Định lí 8 

1.1.8 Định lí 8 

1.1.9 Định lí 10 

1.2 Một số kết quả trong Đại số và Lí thuyết số 10 

1.2.1 Định nghĩa 10 

1.2.2 Định nghĩa 11 

1.2.3 Bổ đề 11 

1.2.4 Định lí 12 

1.2.5 Định lí Bezout 13 

1.2.6 Định lí 13 

1.2.7 Định nghĩa mở rộng trường 14 

1.2.8 Định nghĩa mở rộng trường bậc hữu hạn 14 

1.2.9 Định nghĩa nhóm Galois 14 

1.2.10 Định nghĩa mở rộng Galois 14 

1.2.11 Kí hiệu Legrendre 14 

1.2.12 Định nghĩa và tính chất của chuẩn 15 

1.3 Các đa tạp xạ ảnh và đa tạp affine 16 

1.3.1 Định nghĩa về đa tạp affine 16 

1.3.2 Định nghĩa về đa tạp xạ ảnh 18 

1.4 Tổng quan về đường cong elliptic trên trường K 19 

1.4.1 Các khái niệm và định nghĩa về đường cong elliptic 19 

1.4.2 Một số định lí cơ bản 26 

Chương 2 CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG WEIERSTRASS TRÊN  37 

2.1 Tổng quan về đường cong elliptic dạng Weierstrass trên  37 

2.1.1 Định nghĩa về đường cong elliptic trên trường hữu tỉ 37 

2.1.2 Một số hình ảnh ví dụ về đường cong elliptic 37 

2.1.3 Các j – bất biến 39 

2.1.4 Định lí tương đương của các đường cong elliptic 42 

2.2 Các điểm đặc biệt và hạng của đường cong elliptic trên  42 

2.2.1 Các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên  42 

2.2.2 Các điểm xoắn của đường cong elliptic trên  44 

2.2.3 Định nghĩa hạng của đường cong elliptic 44 

2.2.4 Luật cộng trên nhóm E  đối với đường cong elliptic dạng   2 3 y x  px với p là số nguyên tố 44 

2.2.5 Luật cộng trên nhóm E  đối với đường cong elliptic dạng      2 2 y x x p x  với p là số nguyên tố 45 

2.3 Hạng của đường cong elliptic y2 x3 px với p là số nguyên tố thuộc một lớp xác định 46 

2.3.1 Nhận xét sơ bộ về hạng của đường cong elliptic E y: 2 x3 px với p là số nguyên tố thuộc một lớp xác định 46 

2.3.2 Cơ sở lí thuyết của việc tìm hạng của đường cong elliptic

DANH MỤC KÝ HIỆU

 

T G : Nhóm con xoắn của nhóm aben G

/

L K : L là trường mở rộng của trường K

L K : :  Bậc của mở rộng trường của trường L trên trường K

P Q : Giao điểm của đường thẳng  qua hai điểm ,P Q và

đường cong elliptic E

O : Điểm vô cùng của đường cong elliptic E

 0;0

A B : :  Chỉ số của hai nhóm Aben A và B

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong lịch sử phát triển của Toán học có rất nhiều giả thuyết và nhiều bài toán mở mà sự tồn tại suốt một thời gian dài đã từng làm cho nhiều thế hệ các nhà Toán học dồn nhiều công sức, niềm say mê nghiên cứu và đặc biệt hơn là hầu hết những bài toán đó đều có cách đặt vấn đề và mô tả rất đơn giản – chẳng hạn như bài toán chia ba một góc bằng thước và compa, bài toán tô màu bản đồ, các bài toán của Hilbert, bài toán chứng minh Định lý lớn Fermat, …Riêng bài toán chứng minh Định lý lớn Fermat (còn được gọi là Định lí Fermat-Wiles) là một trong những vấn đề thời sự của Toán học trong suốt ba thế kỷ qua và mới được giải quyết trọn vẹn vào năm 1994 bởi Wiles và Taylor có lẽ là vấn đề thuộc loại thú vị và được các nhà khoa học quan tâm nhiều nhất Đây là một Bài toán thuộc về lĩnh vực Lý thuyết số nhưng đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà khoa học Điều đặc biệt là trong quá trình tìm kiếm lời giải cho giả thuyết Fermat, người ta đã phải sử dụng tới rất nhiều kiến thức và kỹ thuật cũng như phương pháp nghiên cứu của rất nhiều ngành khoa học khác nhau như Lý thuyết số, Đại số giao hoán, Giải tích, Giải tích phức, Hình học, Hình học Đại số, Lý thuyết Galois,…, và trong số đó có sự đóng góp rất quan trọng của ngành Hình học Đại số Lý thuyết về các đa tạp, các đường cong đại

số và các điểm hữu tỷ trên chúng, các hàm elliptic, các dạng modular,… là các khái niệm rất quan trọng và các kết quả nghiên cứu có liên quan là những tiệm cận theo nhiều hướng khác nhau của lời giải bài toán Fermat

Đề tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tìm hiểu và giới thiệu một số các kiến thức cơ bản về “Lý thuyết về các đường cong Elliptic” cùng với việc mô tả sự phân bố của nhóm các điểm hữu tỷ trên chúng

Trong phạm vi đề tài, tôi chỉ nghiên cứu các đường cong Elliptic trên trường các số hữu tỷ được mô tả dưới dạng Weierstrass

Vì vậy đề tài được mang tên:

“Hạng của đường cong Elliptic trên trường hữu tỷ”

2 Lịch sử của vấn đề

Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu vấn đề “Nhóm các điểm hữu tỷ của

đường cong Elliptic trên trường hữu tỷ ” , cũng như phương pháp giải quyết vấn đề nêu ra trong Luận văn dựa trên một số kết quả sau đây:

a) Một là: Các kết quả mô tả tập các điểm hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q , nhờ vào:

- Định lí Mordell-Weil khẳng định rằng tập các điểm hữu tỷ trên một đường cong elliptic trên  là một nhóm aben hữu hạn sinh

- Định lí Mazur mô tả cấu trúc của nhóm các điểm có cấp hữu hạn (nhóm con xoắn) trong tập các điểm hữu tỷ

- Định lý Nagell-Lutz mô tả đặc trưng của nhóm các điểm xoắn hữu tỷ của họ các đường cong Elliptic dạng Weierstrass: y2 x3ax b với a b, 

Từ kết quả này ta nhận được một thuật toán xác định các điểm xoắn hữu tỷ b) Hai là: Các kết quả và phương pháp mô tả luật nhóm của nhóm các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic

c) Ba là: Xuất phát từ một kết quả rất thú vị về tính chất tách trực tiếp một nhóm aben hữu hạn sinh bất kỳ (nghĩa là các  -môđun hữu hạn sinh) thành phần xoắn và không có xoắn của nó, và mỗi một phần đó là tổng trực tiếp của các nhóm aben cyclic không thể tách được (Định lí cơ bản của Đại số)

Về mặt lý thuyết, việc tiếp cận và nghiên cứu các điểm hữu tỷ trên các đường cong như vậy được tách thành hai phần Một là lớp bài toán nghiên cứu

về cấu trúc của các phần tử xoắn Hai là lớp các bài toán nghiên cứu về các phần tử không xoắn - và gắn với vấn đề này chính là bài toán xét hạng của

đường cong Elliptic Trong đề tài này chúng tôi tập trung mô tả các khái niệm, một số kết quả nghiên cứu về nhóm các điểm hữu tỷ và cho một số mô tả các kết quả thuộc lớp bài toán thứ hai- nghĩa là trình bày các vấn đề liên quan tới hạng của đường cong elliptic trên 

Một số kết quả nghiên cứu thuộc hướng này đã và đang tiếp tục được phát triển trong thời gian gần đây bởi nhiều tác giả trong và ngoài nước

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu mô tả cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên một số họ

đường cong Elliptic dưới dạng Weierstrass trên trường  (Định lý Weil)

Mordell-Mặc dù không có thuật toán chung để xác định hạng của đường cong đối với trường hợp tổng quát, trong phạm vi luận văn này sẽ xét các bài toán cụ thể sau:

- Xét một số họ các đường cong có phương trình dạng:y2x3 px , với p

là số nguyên tố thuộc một lớp xác định, nhằm mục đích là xác định hạng của các đường cong này

- Xét các đường cong dạng y2 x x p x   2 với p là số nguyên tố

thuộc một lớp xác định và giải quyết bài toán mô tả hạng của đường cong này.

4 Mục đích nghiên cứu

- Mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E  của đường cong  

Elliptic E trên 

- Mô tả nhóm con không có xoắn của E  đối với một số lớp đường cong  

Elliptic (bài toán tìm hạng của đường cong)

- Sử dụng các j-bất biến để phân lớp các họ đường cong mô tả theo dạng phương trình Weierstrass, liên quan tới khái niệm hạng của đường cong

Xác định các mối liên hệ, các kết quả trong phần này với những vấn đề tổng quát hơn được xét đối với các lớp đường cong Elliptic trên 

5 Phương pháp nghiên cứu

Cơ sở xuất phát là dựa trên sự kết hợp hai kết quả cơ bản (đã trình bày ở trên) về :

- Cấu trúc của các nhóm aben hữu hạn sinh

- Cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ (Định lý Mordell-Weil) và sử dụng các công cụ nghiên cứu cơ bản của Đại số - Lý thuyết số và Hình học để nghiên cứu, phân loại các đối tượng đang xét

Kết hợp các kết quả này với Định lí Nagell-Lutz và Định lí Mazur để xác định các điểm xoắn trên một số họ đường cong được xét Tiếp theo đó là việc đề cập đến các j-bất biến trên các họ đường cong Đây là một số hướng nghiên cứu

và các phương pháp được dùng khá phổ biến trong việc nghiên cứu các đường cong Elliptic Các hướng nghiên cứu này đã và đang được sử dụng và phát triển bởi nhiều tác giả trong nhiều năm gần đây Các phương pháp nghiên cứu và các

kỹ thuật cũng như các thuật toán được dùng trong Luận văn này dựa trên những công cụ nghiên cứu đã được sử dụng trong [1], [2], [5], [6]

Dựa trên các cách tiếp cận khác nhau của Định lí Nagell-Lutz về mô tả nhóm các điểm xoắn hữu tỷ để lựa chọn phương pháp giải quyết các bài toán cụ thể được xét

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ bản

Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã được công bố trong nhiều tài liệu về các chuyên ngành Toán:

- Các định lí cơ bản mô tả sự tách trực tiếp các nhóm aben hữu hạn sinh

- Một số kết quả quen biết về lĩnh vực Lý thuyết số và Đại số có liên quan tới nội dung của Luận văn

Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trên 

- Tổng quan về các đường cong dạng Weierstrass trên  Các j-bất biến

y x x p x  với p là số nguyên tố thuộc một lớp xác định

- Xác định hạng của đường cong thuộc họ y2 x3 px hoặc

y x x p x  với p là số nguyên tố thuộc một lớp xác định

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Các định nghĩa và định lí cơ bản

1.1.1 Định nghĩa nhóm aben hữu hạn sinh

Một nhóm G được gọi là nhóm Aben hữu hạn sinh nếu G là nhóm Aben và tập sinh của nó có hữu hạn phần tử Có nghĩa là trong nhóm Aben G tồn tại hữu hạn các phần tử a a1, , ,2 a sao cho với bất kì n x G tồn tại các số nguyên

x k a



1.1.2 Định nghĩa nhóm con xoắn

Cho G là một nhóm Aben, khi đó T G được gọi là nhóm con xoắn của   G

với

T G  x G  n  nxMột nhóm Aben G được gọi là nhóm không có xoắn nếu T G    0

Chú ý: Cho G là một nhóm Aben thì G T G là không có xoắn  

1.1.3 Định nghĩa tổng trực tiếp trong

Cho A là một nhóm Aben và B C, là các nhóm con của A khi đó ta nói

rằng A là tổng trực tiếp trong của B C, kí hiệu là A B C  nếu A B C  và

Mặt khác, A là một nhóm hữu hạn sinh nên A T A là hữu hạn sinh Do  

đó, ta có thể chọn x x1, , ,2 x m là một tập hợp tối tiểu các phần tử sinh cho

1 Nếu  : AA T A  là đồng cấu thương và : A T A  được cho A

bởi   x i x i khi đó   là đồng cấu đồng nhất của A T A và    là một đơn cấu

2 Nếu A là nhóm Aben hữu hạn sinh thì T A là nhóm hữu hạn sinh  

1.1.5 Định nghĩa nhóm Aben tự do

Một nhóm Aben F được gọi là nhóm Aben tự do nếu F là tổng trực tiếp của các nhóm xyclic có cấp vô hạn Nói rõ hơn, tồn tại một tập hợp X F gồm các phần tử có cấp vô hạn (gọi là cơ sở của F) sao cho

1.1.6 Định lí

Mọi nhóm Aben hữu hạn sinh không có xoắn đều là nhóm Aben tự do

Nhận xét: Theo định lí trên nếu A là nhóm aben hữu hạn sinh thì ta có

Chứng minh: Giả sử A là nhóm aben hữu hạn với cấp n Khi đó A  n

và nA 0 Nếu n là số nguyên tố thì A A n   nên định lí là hiển nhiên

Do đó giả sử n m m ' trong đó m m, ' và 1 m m, ' 1

Ta chứng minh rằng A B C  trong đó B C, là nhóm con của A có cấp

lần lượt là m m, '

Vì m m, ' nên tồn tại 1 r s,  sao cho mr sm ' 1

Khi đó A mrA sm A mA m A  '   '  A hay A mA m A  '  1

Lấy x mA m A  ' thì x mA nên x my y A , 

Do đó m x m my'  '   m m y ny'    0

Tương tự, ta chứng minh được mx0

Bây giờ ta cần chứng minh A m  và m A m' m'

Giả sử n được phân tích thành thừa số nguyên tố như sau 1 2

Vì vậy theo quy nạp ta chứng minh được

 1  2  k

A A p  A p   A p

1.1.9 Định lí

Cho A là nhóm aben cấp A  p p1 .2 p k trong đó p p1, , ,2 p là các số k

nguyên tố đôi một khác nhau Khi đó

f x a x  a x  a K x khi đó ta có định nghĩa

biệt thức của đa thức f x như sau:  

Ví dụ 2: Cho hai đa thức f x  x21 và g x  x3 x 1 Khi đó, ta có:

Cho f g K x,   là hai đa thức có cấp lần lượt là ,m n Thì f và g có một

nhân tử chung khác hằng nếu và chỉ nếu tồn tại các đa thức khác không

 

   sao cho deg m, deg  và n g  f

Chứng minh: Giả sử f và g có một nhân tử chung khác hằng là h thì

f h và gh Do đó g       h   h  h   h  f

Chứng minh ngược lại, giả sử rằng g  f (ở đây ta không xét trường hợp   x   x vì trường hợp này là hiển nhiên f x  g x  là nhân tử

chung) thì khi đó nhân tử của g chỉ có thể là ước  hoặc f

Nếu nhân tử của g là ước của f thì định lí hiển nhiên đúng

Giả sử nhân tử của g là ước của  thì ta có g .h với h là ước của  Giả sử   'h (hai đa thức h h, ' không có nhân tử chung)

Từ g  f hh f' h h f ' Điều này suy ra h là nhân tử của f

g x b x



thì ,f g có một nhân tử chung khác hằng khi và chỉ khi R f g ,  0

Ta có thể mở rộng định lí trên cho các đa thức đồng nhất sau:

Giả sử F G K X Y Z,   , ,  là hai đa thức đồng nhất có cấp lần lượt là ,m n

với A B i, jK X Y ,  là các đa thức đồng nhất có cấp tương ứng là ,i j

Nếu F0,0,1  G 0,0,1 thì ta có 0 R F G, X Y của ,  F và G ứng với Z là

0 hoặc đa thức đồng nhất có cấp mn (tương tự cho R F G, X Z và ,  R F G, Y Z ) , thì khi đó F G, có một nhân tử chung khi và chỉ khi có ít nhất một trong ba đa thức R F G, X Y , ,  R F G, X Z và ,  R F G, Y Z bằng ,  0

Hệ quả định lí Bezout: Giả sử K là trường đại số đóng và F K X Y Z  , , 

là một đa thức thuần nhất cấp d Giả sử C F X Y Z:  , ,  là đường cong xạ 0

ảnh cấp d và L là đường thẳng không chứa trong C thì L C  có chính xác d

điểm đếm được với bội

1.2.7 Định nghĩa mở rộng trường

Nếu K là một trường con của trường L thì L được gọi là một mở rộng

trường của trường K và kí hiệu là L K

1.2.8 Định nghĩa mở rộng trường bậc hữu hạn

Cho L là một mở rộng của trường K , khi đó L được xem như không gian vecto trên K Nếu L là không gian vecto hữu hạn chiều trên K thì L được gọi

là một mở rộng bậc hữu hạn của K Số chiều của không gian vecto L trên K

được gọi là bậc mở rộng của L trên K , kí hiệu là L K: 

1.2.9 Định nghĩa nhóm Galois

Cho L là một mở rộng của trường K , đẳng cấu : L  được gọi là L K -

tự đẳng cấu nếu với mọi a K thì   a  Tập hợp tất cả các a K - tự đẳng

cấu của L lập thành một nhóm với phép nhân ánh xạ được gọi là nhóm Galois của L trên K , kí hiệu là G L K  

Cho L là một mở rộng của trường K , L là một mở rộng Galois của K nếu

L là một mở rộng bậc hữu hạn của K và bậc của mở rộng L trên K bằng cấp

11

khi p a a

a p khi a k mod p p

a

a mod p p

1.2.12 Định nghĩa và tính chất của chuẩn

Cho p là số nguyên tố và x* thì chúng ta có thể viết được e a

x p

b

Với a b, , /p ab và  a b,  , chúng ta có 1 v x p ord x p  e

 v x p  nếu và chỉ nếu p chỉ là ước của mẫu số của x 0

Ta định nghĩa ánh xạ sau:

 

 

:0

chuẩn p adic

Tính chất: Cho p là số nguyên tố thì ta có

 v xy p v x p v y p 

 v x y p  min v x v y p   , p  dấu bằng xảy ra khi v x p v y p 

1.3 Các đa tạp xạ ảnh và đa tạp affine

K là một trường hoàn hảo có nghĩa là mỗi mở rộng đại số của K là tách được

K là trường đóng đại số cố định của K

K K

G là nhóm Galoa của K K

1.3.1 Định nghĩa về đa tạp affine

1.3.1.1 Không gian affine

Không gian affine n- chiều n ( hoặc n K ) trên trường K là tập hợp các n – bộ của các phần tử của K

1.3.1.3 Định nghĩa đa tạp bất khả quy

Một đa tạp X   là bất khả quy nếu nó không là hợp hữu hạn của các đa n

tạp con thực sự, nghĩa là đối với các đa tạp X X1, 2   sao cho n X  X1X2

dẫn đến X  X1 và X  X2

1.3.1.4 Mệnh đề

Bất kì một đa tạp X nào cũng có thể phân tích thành hợp hữu hạn của các

đa tạp con bất khả quy X  X1X2  X m với X i  X j với mọi i j Phép phân tích trên là duy nhất sai khác một phép hoán vị

Ví dụ 1: Giả sử , n

X Y   với X Z f f 1, , ,2 f k và Y Z g g 1, , ,2 g lthì khi đó

1.3.2.1 Định nghĩa không gian xạ ảnh

Không gian xạ ảnh n - chiều n (hoặc n K ) trên K là tập hợp các lớp tương đương của n - bộ của các phần tử của 1 K, không bằng 0 , với quan

hệ tương đương “  ”, ở đây a a0, , ,1 a n  b b0, , ,1 b n nếu có hằng số  K

sao cho b i a i với i0, ,n

n

tọa độ thuần nhất của p

Một tập không trong n của một đa thức bất kì f K x 0, ,x n không

được định nghĩa tốt Nhưng nó được định nghĩa tốt nếu f là một đa thức thuần

nhất, vì khi đó  0, 1, ,  d  0, , ,1 

f p p p  f a a a với d là bậc của f

1.3.2.2 Định nghĩa ideal thuần

Một ideal I K x x 0, , ,1 x n là thuần nhất nếu nó được sinh ra bởi các đa

thức thuần nhất

Tổng, tích và giao của các ideal thuần nhất lại là một ideal thuần nhất Hơn thế nữa, nếu một ideal thuần nhất I không là nguyên tố thì có các đa thức thuần nhất f g, sao cho fg I nhưng f g I, 

Bây giờ, ta cho V là một ideal thuần nhất của K x Mỗi ideal   I như vậy tương ứng một tập con của P n có dạng:

 

I

1.3.2.3 Định nghĩa đa tạp đại số xạ ảnh

Một tập đại số (xạ ảnh) là tập có dạng V nói trên Nếu V I là một tập đại số

xạ ảnh thì ideal (thuần nhất) của V, ký hiệu I V , là một ideal của K x sinh  bởi f K x / f P   0, P V, f thuần nhất

Một tập đại số xạ ảnh V được gọi là một đa tạp xạ ảnh nếu ideal thuần

nhất I V  của nó là ideal nguyên tố của K x  

Ta luôn có thể nhúng một không gian affine vào một không gian xạ ảnh có cùng số chiều với ví dụ như sau:

  với p p1, , ,2 p n  1:p p1: 2: :p n

Nói cách khác một không gian xạ ảnh có số chiều n có thể bị phủ bởi n1

biểu đồ affine hay

1.4 Tổng quan về đường cong elliptic trên trường K

1.4.1 Các khái niệm và định nghĩa về đường cong elliptic

1.4.1.1 Định nghĩa về đường cong elliptic

Trong không gian xạ ảnh 2 ta định nghĩa đường cong elliptic là đường cong có dạng phương trình bậc 3 như sau:

Dùng phép biến đổi tọa độ x X

Tuy nhiên, tùy vào hệ số đặc trưng của trường số K mà ta có thể có các

dạng đường cong Elliptic trên Ktheo phương trình Weierstrass như sau:

Nếu char K  ta có thể đổi trục như sau: 2

'

1'

Khi đó, ta nhận được một phương trình Weierstrass được gọi là có dạng

y x a x a x a Nếu char K  ta lại dùng công thức đổi trục như sau: 3

' 2

1'

3'

Khi đó, ta nhận được một phương trình nhận được là phương trình

y x a x a

1.4.1.2 Định nghĩa đường cong elliptic chính quy và không chính quy

Một đường cong Elliptic trên K được gọi là chính quy nếu với mọi

E P x E P y

1.4.1.4 Mô tả chung về luật nhóm trên E K  

Cho  là một đường thẳng trong 2 K thì ta có E tại ba điểm ,P Q

và R Giả sử P Q E K,    ta kí hiệu giao điểm thứ ba của đường thẳng  đi qua ,

P Q với E là P Q *

Định nghĩa luật cộng  trên E K  

Ta định nghĩa luật cộng  trên E K như sau:  

Cho P Q E K,    ta đặt PQ:P Q* *O Định nghĩa trên có nghĩa là

để tìm P thì đầu tiên chúng ta vẽ đường thẳng Q  đi qua ,P Q (khi P Q )

hoặc tiếp tuyến (khi P Q ) và đặt *P Q là giao điểm thứ ba của đường thẳng

 với E K Sau đó, ta vẽ đường thẳng   ' đi qua *P Q và O và nhận được

giao điểm thứ ba của ' E K   là P Q

Một số tính chất của luật cộng  trên E K  

Cho E là đường cong elliptic trên trường K thì ta nhận được E K là một  nhóm có phép toán là luật cộng  , với phần tử đơn vị là O0 :1: 0 Khi đó với mọi P Q R E K, ,    ta có một số tính chất sau:

1.4.1.5 Định nghĩa nhóm con xoắn trên đường cong elliptic E

Một điểm P x y trên  , E K được gọi là điểm xoắn nếu nó là một phần tử  xoắn của nhóm E K , có nghĩa là tồn tại số nguyên n0 sao cho nP0 Tập

hợp tất cả các điểm xoắn của E K  là nhóm con aben của E K , kí hiệu là

 

tors

E K

1.4.1.6 Định nghĩa nhóm m - xoắn trên đường cong elliptic

Một điểm P x y trên đường cong elliptic  , E được gọi là điểm m - xoắn

nếu mP0 Tập hợp tất cả các điểm m - xoắn của E K  là nhóm con aben của

 

E K , kí hiệu là E tors K m 

1.4.1.7 Định lí

Cho E là một đường cong elliptic trên K Tồn tại các hàm ,x y trên

trường K sao cho  x y,  Ta xét ánh xạ E :E 2 được định nghĩa như sau

được gọi là tọa độ Weierstrass của đường cong elliptic E

Ngược lại, một đường cong trơn bậc ba C cho bởi phương trình

Do đó, ngoại trừ isogeny không (được định nghĩa bởi  0 P    ) , P E1

thì mỗi isogeny đều là một ánh xạ hữu hạn của đường cong vì vậy nó cảm sinh

ra một đơn ánh trên trường:

1.4.1.9 Định nghĩa dual isogeny

Cho : E1E2 là một isogeny thì dual isogeny với  là một isogeny



:E E

  sao cho    m trên E và 1    m

Ví dụ: Cho hai đường cong elliptic được định nghĩa trên  như sau:

Và khi đó ánh xạ  là một isogeny và ánh xạ  là một dual isogeny

Tính chất: Cho : E1E2 là một isogeny

1 Giả sử m deg   thì    m trên E và 1    m trên E 2

2 Giả sử : E2 E3 là một isogeny khác thì khi đó        

3 Giả sử  : E1E2 là một isogeny khác thì khi đó        

4 Với mọi m thì    m  m và deg m    m2

5 Ta có deg   deg   và   

1.4.1.10 Định nghĩa không gian thuần nhất

Cho E K là một đường cong elliptic Một không gian thuần nhất trên  

3 Với mọi p q C,  tồn tại duy nhất P E thõa mãn p P,  q

1.4.1.11 Định nghĩa nhóm Weil – Chaatelet của đường cong elliptic E

Cho E là một đường cong elliptic trên trường K Hai không gian thuần

Cho đường cong elliptic E trên trường hữu tỉ  có dạng y2x3ax b

Đường thẳng này giao với E khi:

Chứng minh: Giả sử P có cấp là n2 Nếu x  thì tồn tại số nguyên tố

p sao cho ord x p p x 0

Suy ra rằng ord x p p x  2k với k 1 Vì vậy, trong cái lọc p - adic

Vì vậy k5k điều này là vô lí

Trường hợp 2: /p n Khi đó, chúng ta thay điểm P bởi điểm Qn p P

là điểm có cấp là p Khi đó, ta nhận được v pu p   1 k 5k

Điều này cũng sẽ dẫn đến mâu thuẫn nên ta chứng minh xong vế 1

Bây giờ, ta chứng minh vế 2, giả sử rằng P x y, với x y,   có cấp hữu hạn

Nếu n2 thì y Ta xét trường hợp 0 n3 và 2P0 Mà 2P có cấp hữu hạn nên theo chứng minh trên 2P có tọa độ nguyên

2

82

H x khi P x y h

b

 và  a b,  1

Độ cao chính tắc trên E  : Cho   E là đường cong elliptic trên , ta định nghĩa hàm số độ cao chính tắc trên E là hàm số như sau h E:    

4

n n

1 h là một định nghĩa tốt và  h P  với mọi điểm 0 P E  

2 Tồn tại một hằng số c0 0 sao cho với mọi P E   thì

h P h P  c

3 Với mọi 0c thì tập hợp P E   :h P c là hữu hạn

4 Với mọi 1m , với mọi P E   thì h mP m h P2 

5 Ta có h P Q  h P Q  2h P 2h Q  với h P  và 0với mọi P Q E,    thì P có cấp hữu hạn

Định nghĩa: Cho S là tập hợp hữu hạn các số nguyên tố, khi đó ta đặt

con chuẩn tắc của * chứa các phần tử đơn vị có dạng bình phương

Chú ý: Giả sử đường cong elliptic E trên trường  có một điểm

2 - xoắn là e thì khi đó đường cong elliptic E có dạng:

:

E y  x e x ax b với a b e, , 

Nếu ta đổi hệ trục tọa độ bằng cách chuyển điểm 2 - xoắn thành điểm

 0,0

O thì khi đó đường cong elliptic E có dạng E y: 2 x x 2ax b  với

,

a b và  b a2 24b0 Do đó, khi chứng minh định lí Mordell – Weill

ta chỉ sử dụng đường cong elliptic này

Bổ đề 1: Cho E y: 2 x x 2ax b và E y: 2 x x 2ax b với  a 2a

và hai ánh xạ  và  đã được định nghĩa Khi đó, với Q x y ', 'E K  thì

 

Q E K nếu và chỉ nếu ' 0x  và 'b là một số chính phương trong K*

hoặc 'x là một số chính phương trong K*

Chứng minh bổ đề 1: Giả sử P x y, E K  và Q  P  x y', ' thì theo định nghĩa của  thì 'x là một số chính phương trong K*

Ngược lại, giả sử Qx y', 'E K  và 'x là một số chính phương trong

Bổ đề 2: Cho E y: 2x x 2ax b  là đường cong elliptic trên K Giả sử

Ker   E K ta chứng minh hai tập hợp bằng nhau

Theo định nghĩa thì ta có  0  Do đó, để chứng 1  là một đồng cấu nhóm thì chúng ta cần chứng minh P P1  2 P O3 thì    P1  P2  P3  1Giả sử nếu tất cả P O i  thì điều này là hiển nhiên

Nếu có một P O i  và ta giả sử là P O1 thì khi đó P2  P3 và khi đó

1 2 3

x x x  là một số chính phương trên c K

nên    P1  P2  P3  1