Đường cong elliptic trên trường hữu hạn

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Nhóm abel hữu hạn sinh

Nhóm abel A được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một số hữu hạn các phần tử a1, a2, , an thuộc A, sao cho với mọi x thuộc A, tồn tại các số nguyên k1, k2, , kn để x có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử này.

 Khi n  1 , A được gọi là nhóm cyclic Định nghĩa 1.1.2 (Nhóm con xoắn) Cho A là một nhóm abel Nhóm con xoắn của A, ký hiệu là T A   , là tập:

Nếu T A      0 thì ta nói nhóm abel A được gọi là không xoắn

Bổ đề 1.1.3 khẳng định rằng nếu A là một nhóm abel, thì A T A   không xoắn Định nghĩa 1.1.4 mô tả nhóm abel tự do hạng n, được ký hiệu là n     (n lần) Theo định lý 1.1.5, nếu A là một nhóm abel không xoắn hữu hạn sinh với một tập hợp nhỏ nhất gồm n phần tử sinh, thì A đẳng cấu với nhóm abel tự do hạng n.

CHỨNG MINH Áp dụng phương pháp quy nạp trên số phần tử sinh nhỏ nhất của

A Nếu A là nhóm cyclic, thì khi đó A

Giả sử rằng kết quả trên áp dụng cho tất cả các nhóm abel không xoắn hữu hạn sinh, với một tập hợp các phần tử sinh nhỏ nhất có số lượng ít hơn n Gọi A là nhóm không xoắn và {a1, a2, , an} là tập hợp nhỏ nhất các phần tử sinh của A.

Nếu T A a(1) = {0}, thì A a 1 không xoắn và được sinh bởi n-1 phần tử, kết quả này được suy ra từ phép quy nạp và a 1 ≈ Nếu T A a(1) không phải là nhóm tầm thường, thì tồn tại một nhóm con B ⊆ A sao cho T A a(1) ≈ B a 1.

Như vậy với bất kỳ phần tử bB mà b0, tồn tại một số nguyên i0 sao cho

 1 ib a Nhưng ta lại có ib ja 1 với j Khi đó, ta định nghĩa ánh xạ:

 (và f   0  0). Ánh xạ này là một phép đồng cấu được xác định trên các nhóm abel, có hạt nhân tầm thường và do đó là một đơn ánh nên B  f B  

Vì vậy, nếu B là hữu hạn sinh (vì là một vành Noether) thì B là cyclic Thật vậy, giả sử B b 1 , ,b m , khi đó:

    1 ; ;   m  1 1; ; m m f B f b f b j i j i là một nhóm con của nhóm cyclic 1 i 1 i m do đó nó là cyclic

Nếu BA thì A tự do được sinh bởi một phần tử Nếu không thì:

Do đó, A B không xoắn và được sinh bởi tối đa n-1 phần tử, cho thấy A B là nhóm abel tự do có hạng m nhỏ hơn n theo phương pháp quy nạp.

Để chứng minh rằng B là nhóm cyclic và A là tổng trực tiếp trong của B và C, cần lưu ý rằng m = -n + 1, với n là giá trị cực tiểu Định nghĩa 1.1.6 nêu rõ rằng A là một nhóm abel, và B, C là các nhóm con của A.

Một số kết quả quen biết về lĩnh vực đại số và lý thuyết số

1.2.1 Lĩnh vực lý thuyết số

Cho K là một trường (chẳng hạn như , , , Q p , F q ) Cho K là một bao đóng đại số của K

Một đường cong phẳng X trên K được xác định bởi phương trình f x y   ,  0, ở đây f x y   ,   a x y ij i j  K x y   , là bất khả quy trên K Ta định nghĩa bậc của

degX = deg f = max(i + j) với a: ij ≠ 0 Một điểm K-hữu tỉ (hay K-điểm) trên X là một điểm (a, b) với tọa độ thuộc K sao cho f(x, y) = 0 Tập hợp tất cả các điểm K-hữu tỉ trên X được ký hiệu là X(K).

Ví dụ 1.2.1.1 Phương trình x y 2 6y 2  11 0 xác định một đường cong phẳng X trên bậc ba và 5; 1  

Vấn đề được đặt ra là liệu có tồn tại một thuật toán cho phép xác định đường cong phẳng X, hoặc ít nhất là xác định xem X có khác rỗng hay không Mặc dù X không nhất thiết phải hữu hạn, nhưng luôn có một mô tả hữu hạn cho nó, do đó, vấn đề xác định vẫn tồn tại.

X có thể được xác định một cách rõ ràng thông qua máy Turing, liên quan đến câu hỏi và bài toán số của Hilbert.

Hiện nay, thách thức lớn là xác định các phương pháp để nhận diện một đường cong X cụ thể, mặc dù vẫn chưa có bằng chứng cho thấy những phương pháp này có thể áp dụng trong trường hợp tổng quát Điều này dẫn đến nhiều vấn đề chưa được giải đáp.

(1) Có tồn tại thuật toán mà khi cho một đa thức bậc bốn: f x      x thì ta có thể xác định những điểm y 2  f x   là điểm hữu tỷ hay không?

(2) Có tồn tại thuật toán mà khi cho một đa thức bậc ba: f x      x y , thì ta có thể xác định những điểm f x y   ,  0 là điểm hữu tỷ hay không?

Thực ra, ta có thể nhận thấy rằng các vấn đề (1) và (2) là tương đương

1.2.2 Xác định X   : sự phân chia bằng bậc

Để xác định tập hợp các điểm hữu tỷ X trên đường cong phẳng f(x, y) = 0, chúng ta cần xem xét các điểm nằm trên hoặc trong bao đóng của hình ảnh của nó, với d = deg.f.

Ta sẽ xem xét bài toán bằng việc cho tăng dần giá trị của d

 Bậc d 1: X là đường thẳng Ta đã biết cách tham số hóa các điểm hữu tỷ trên đường thẳng ax by  c 0, với a b c, ,  và a b c, , 0.

Bậc d = 2, đường conic X được Legendre chứng minh thỏa mãn nguyên lý Hasse, nghĩa là X có một -điểm nếu và chỉ nếu X có một -điểm và một p -điểm với mỗi số nguyên tố p Đường conic xạ ảnh được mô tả bởi dạng bậc hai của 3 biến, do đó kết quả của Legendre có thể xem như một trường hợp đặc biệt của định lý Hasse-Minkowski, khẳng định rằng một dạng toàn phương n biến biểu diễn 0 nếu và chỉ nếu nó biểu diễn 0 trên và p với mọi số nguyên tố p Định lý của Legendre dẫn đến thuật toán xác định sự tồn tại của một -điểm trên đường conic X, bằng cách bổ sung chính phương, nhân một hằng số và thu về các biến, rút gọn thành aX² + bY² + cZ² = 0 với a, b, c ≠ 0, không chính phương có quan hệ từng đôi nguyên tố với nhau Từ đó, có thể chứng minh rằng tồn tại một -điểm nếu và chỉ nếu a, b, c đều không cùng dấu với các phương trình đồng dư.

  có thể giải được trong tập Hơn nữa, trong trường hợp này, aX 2 bY 2 cZ 2 0 luôn có một nghiệm nguyên không tầm thường X Y Z, , thỏa mãn

Trong trường hợp đường conic X có một điểm P0, việc mô tả tập hợp tất cả các điểm trở thành một thách thức Để giải quyết, ta vẽ một đường thẳng đi qua P0 và một điểm P trên X, với hệ số góc t thuộc khoảng (hoặc có thể là vô cực) Theo định lý Bézout, nếu t thuộc tập hợp số thực, đường thẳng này sẽ cắt đường conic tại một điểm khác, miễn là nó không tiếp xúc với conic tại P0, và điểm cắt này sẽ là một điểm hữu tỷ.

Ví dụ 1.2.2.1 Nếu X là đường tròn x 2  y 2 1 và P 0 1,0 thì:

Ánh xạ song hữu tỷ từ 1 đến X và ánh xạ ngược có thể được xác định bằng cách loại bỏ một số hữu hạn tập con có chiều nhỏ hơn Điều này cho phép tạo ra một song ánh giữa các -điểm trên mỗi chiều thông qua các hàm hữu tỷ Các ánh xạ song hữu tỷ được định nghĩa trên và các hệ số của chúng thuộc , do đó chúng cũng tạo ra một song ánh giữa các -điểm Đặc biệt, tập hợp những nghiệm hữu tỷ của đường tròn x² + y² = 1 là 2 2 2 { ( ) }.

Hình 1.1 Tham số hóa hữu tỉ của một đường tròn

Bậc d = 3 đề cập đến các đường cong phẳng bậc ba Lind và Reichardt đã chỉ ra rằng nguyên lý Hasse có thể không áp dụng cho các đường cong này Một phản ví dụ được nêu ra bởi Selmer cho thấy sự không chính xác của nguyên lý Hasse trong trường hợp các đường cong phẳng bậc ba.

Mỗi số nguyên tố \( p \) lớn hơn 5 đều có thể được chứng minh tồn tại các \( p \)-điểm thông qua bổ đề Hensel, nhằm chứng minh sự tồn tại của các nghiệm đồng dư modulo \( p \).

Với p2,3,5, dạng tổng quát hơn của của bổ đề Hensel [Kob] có thể được sử dụng Sự không tồn tại của các -điểm khó thiết lập hơn

Bài toán xác định xem một đường cong phẳng bậc ba có điểm hữu tỷ hay không vẫn chưa được giải quyết Vì vậy, chúng ta sẽ tập trung vào các đường cong phẳng bậc ba có ít nhất một điểm hữu tỷ, được gọi là các đường cong elliptic.

Đa tạp afin - đa tạp xạ ảnh

Chúng ta nghiên cứu trên trường K và nếu không ghi chú gì thêm thì K là trường đóng đại số Định nghĩa 1.3.1.1 (Không gian afin) Không gian afin n-chiều A n (hoặc

A n K ) trên trường K là tập hợp các bộ n phần tử của K

Một phần tử P p 1; ;p n A n được gọi là một điểm, các p i là các tọa độ afin của P

Ta ký hiệu K x  1; ;x n  là vành đa thức trên K với n biến Các phần tử của

Cho K x  K x  1; ;x n  là một vành đa thức n biến và một ideal I K x   Khi đó, mỗi ideal I như vậy liên kết với một tập con của không gian afin A n

V I  PA f P   f I Định nghĩa 1.3.1.2 (Tập đại số afin) Một tập đại số (afin) là tập có dạng V I nói trên Nếu V là một tập đại số thì ideal của V có dạng

I V  f K x f P   P V Định nghĩa 1.3.1.3 (Đa tạp afin) Một tập đại số afin V được gọi là một đa tạp afin nếu I V   là ideal nguyên tố của K x  

Ví dụ 1.3.1.4 Một đa tạp tuyến tính là tập nghiệm của một hệ tuyến tính l 1 , , l k

Nếu X Z l  1, ,l k  khác rỗng và các phương trình tuyến tính xác định là độc lập, khi đó số chiều của X là nk và số đối chiều của X là: codimX dim n dimX k.

Số chiều của các đa tạp tuyến tính được xác định dựa trên lý thuyết đại số tuyến tính, trong khi đối với các đa tạp không tuyến tính, chúng ta dựa vào khái niệm trực giác về số chiều.

Ví dụ 1.3.1.5 Một siêu mặt X  n là một đa tạp được cho bởi phương trình

X Z f Nó là một đa tạp của đối chiều 1 Nếu n3, siêu diện được gọi là một mặt

Cho f   x 2  y 2  z 2   z   1  K x y z  ; ;  Khi đó, Z f    3 là khả quy bao gồm hai thành phần: một hình nón qua O có phương trình x 2  y 2 z 2 0 và mặt phẳng z1

Ví dụ 1.3.1.6 Một siêu mặt trong A 2 là một đường cong đại số phẳng Một parabol có thể được cho bởi tham số hóa t   t t , 2 hoặc đơn giản là

2 , y x K x y Không phải mọi đường cong phẳng đều có một tham số hóa

Ví dụ 1.3.1.7 Một cubic xoắn là một đường cong trong 3 được cho bởi tham số hóa t  t t t , , 2 3  hay được cho bởi hai phương trình f 1  y x 2 và

Số chiều của một đa tạp V, ký hiệu là dim(V), được định nghĩa là bậc siêu việt của K x trên K Một đa tạp không kỳ dị là một đa tạp mà tại mỗi điểm P thuộc V, các điều kiện nhất định được thỏa mãn, đảm bảo tính liên tục và khả năng phân tích của nó.

1, , m f f K x là tập các phần tử sinh của I V   Thế thì, V là không kỳ dị

(hoặc trơn) tại P nếu ma trận cấp m n

  có hạng n  dim   V Nếu V không kỳ dị tại mọi điểm thì ta nói V không kỳ dị

Ví dụ 1.3.1.10 Cho hai đa tạp

V y  x x và V 2 :y 2 x 3 x 2 Dựa vào định nghĩa kỳ dị, ta có các điểm kỳ dị của V 1 và V 2 có tọa độ lần lượt thỏa mãn sing 2

Do đó, V 1 là không kỳ dị, còn V 2 có một điểm kỳ dị là   0;0

Hình 1.2 Từ trái sang: đường cong trơn và đường cong kỳ dị

1.3.2 Đa tạp xạ ảnh Định nghĩa 1.3.2.1 (Không gian xạ ảnh) Không gian xạ ảnh n-chiều P n (hoặc

P n K ) trên K là tập hợp các lớp tương đương của bộ  n  1 -phần tử của K mà tất cả không đồng thời bằng 0, với quan hệ tương đương , ở đây

 a 0 ; ; a n    b 0 ; ; b n  nếu có một hằng số khác 0, K sao cho

Một phần tử P p 0 : :p n P n được gọi là một điểm Các p i là các tọa độ thuần nhất của P

Tập hợp các nghiệm bằng không trong không gian P n của một đa thức f thuộc K[x; 0; x n] không được xác định một cách chính xác Tuy nhiên, khi f là một đa thức thuần nhất, tập hợp này sẽ được xác định rõ ràng.

 0; ; n  d  0; ; n  f p p  f a a , d là bậc của f Định nghĩa 1.3.2.2 (Ideal thuần nhất) Ideal I K x  0; ;x n  là thuần nhất nếu nó được sinh ra bởi các đa thức thuần nhất

Tổng, tích và giao của các ideal thuần nhất tạo thành một ideal thuần nhất Hơn nữa, nếu một ideal thuần nhất I không phải là nguyên tố, thì tồn tại các đa thức thuần nhất f và g sao cho tích fg thuộc I, nhưng cả f và g đều không thuộc I.

Bây giờ, ta cho V là một ideal thuần nhất của K x   Mỗi ideal I như vậy tương ứng một tập con của P n có dạng

Tập đại số xạ ảnh được định nghĩa là tập có dạng V I, trong đó V là một tập đại số xạ ảnh Ideal (thuần nhất) của tập V được ký hiệu để thể hiện mối quan hệ giữa các thành phần trong tập đại số này.

I V , là một ideal của K x   sinh bởi

Một tập đại số xạ ảnh V được gọi là một đa tạp xạ ảnh nếu ideal thuần nhất I_V của nó là ideal nguyên tố trong K[x].

Ta luôn có thể nhúng một không gian afin vào không gian xạ ảnh có cùng số chiều với ví dụ như sau:

Nói một cách khác, một không gian xạ ảnh có số chiều n có thể bị phủ bởi

Khi đó, một phép đẳng cấu U i n được mô tả như sau:

Ví dụ 1.3.2.5 Cho đa tạp xạ ảnh

Khi đó, V là đa tạp trong P 2 cho bởi phương trình thuần nhất

Đa tạp này còn có một điểm ở vô cực là 0 :1: 0 Do đó, 

V  x y A y x   Định nghĩa 1.3.2.6 (Số chiều của đa tạp xạ ảnh) Cho V K/ là đa tạp xạ ảnh và n n

Trong không gian V, nếu A là một tập con của V và giao của V với A n không rỗng, thì số chiều của V tương đương với số chiều của giao V và A n Định nghĩa 1.3.2.7 mô tả trường các hàm của một đa tạp xạ ảnh V, được định nghĩa là tập hợp các hàm hữu tỉ F x, với F x = f x / g x, trong đó f x và g x là các hàm số xác định trên V.

(i) f và g là các ánh xạ thuần nhất có cùng bậc

(iii) Hai hàm f 1 /g 1 và f 2 /g 2 là đồng nhất nếu f g 1 2 f g 2 1I V  .

Đường cong elliptic

1.4.1 Giống (loại) của đường cong

Cho X là đường cong xạ ảnh không kỳ dị trên một trường đầy đủ K Giống của

X là một số nguyên không âm g để đo độ phức tạp hình học của X Nó có các định nghĩa tương đương sau:

(a) g dim K , ở đây  là không gian vectơ của vi phân chính quy trên X.

(Chính quy có nghĩa là “không cực điểm” Nếu K  thì chính quy có nghĩa là chỉnh hình.)

(b) g là giống tôpô của mặt Riemann compact X   (định nghĩa này chỉ có nghĩa nếu K nhúng được vào )

Các số hạng của các kỳ dị liên quan đến đường cong phẳng bậc d song hữu tỉ với X, trong đó X có thể là một điểm kỳ dị Ví dụ, một đường cong phẳng bậc 3 không kỳ dị có giống là 1.

1.4.2 Các định nghĩa đường cong elliptic

Cho K là một trường hoàn chỉnh Một đường cong elliptic trên K có thể được định nghĩa bằng một trong những cách sau:

(1) Bao đóng xạ ảnh của một đường cong không kỳ dị được định nghĩa bởi một phương trình Weierstrass (ta sẽ trình bày cụ thể ở chương 2) như sau:

Nếu đặc số của K khác 2 và 3, người ta có thể hạn chế sự chú ý tới các bao đóng xạ ảnh của các đường cong y 2 x 3 AxB

Chúng ta có thể khẳng định rằng phương trình x³ + Ax + B không kỳ dị nếu và chỉ nếu nó có các nghiệm khác biệt trong trường K, điều này xảy ra khi và chỉ khi biệt thức của phương trình thỏa mãn một điều kiện nhất định.

(2) Một đường cong giống một xạ ảnh không kỳ dị trên K được trang bị với một điểm K-hữu tỉ 0

(3) Một đa tạp nhóm xạ ảnh một chiều trên K

Nếu  0;0 là một điểm trên đường cong afin f x y   ;  0 trên K Khi đó   0;0 là một điểm kỳ dị nếu cả hai f x

Một đường cong afin được coi là không kỳ dị khi không có điểm kỳ dị nào Đối với một đường cong xạ ảnh F(X, Y, Z) = 0, nó sẽ không kỳ dị nếu tất cả các "mảnh afin" của nó đều không chứa điểm kỳ dị.

1.4.4 Bậc của ánh xạ giữa các đường cong elliptic

Mệnh đề 1.4.4.1 khẳng định rằng nếu C là một đường cong elliptic, V là một đa tạp trong P n, P là một điểm trơn thuộc C, và có ánh xạ hữu tỉ  từ C đến V, thì ánh xạ  là chính quy tại điểm P Đặc biệt, trong trường hợp C là đường cong trơn, ánh xạ  sẽ trở thành một đồng cấu.

CHỨNG MINH Giả sử  f 0; ;f N  với f i K C  , và chọn trước một cái đơn trị hóa t  K C   cho C tại P Đặt

  ord P t  n f i 0 với mọi i và ord P  t  n f j   0 cho một vài j nào đó

Vậy mọi t  n f i là chính quy tại P và  t  n f j    P  0 , suy ra  chính quy tại P Định nghĩa 1.4.4.2 (Bậc của ánh xạ giữa hai đường cong elliptic) Cho

Ánh xạ   là ánh xạ của các đường cong elliptic trên trường K Nếu  là ánh xạ hằng, bậc của nó được quy ước là 0 Ngược lại, nếu  không phải là ánh xạ hằng, nó được coi là một ánh xạ hữu hạn và bậc của nó được định nghĩa tương ứng.

Trong lý thuyết trường, một trường mở rộng K có thể được phân loại là tách được, không tách được hoặc không tách được thuần túy dựa trên tính chất của trường Để ký hiệu bậc tách được và không tách được của sự mở rộng này, ta sử dụng deg s  và deg i  tương ứng.

1.4.5 Isogeny và dual isogeny Định nghĩa 1.4.5.1 (Isogeny) Cho E 1 và E 2 là các đường cong elliptic Một isogeny từ E 1 vào E 2 là một đồng cấu

Hai đường cong elliptic E 1 và E 2 là isogeny nếu có một isogeny từ E 1 vào E 2 mà

Ví dụ 1.4.5.2 Với mỗi m ta định nghĩa isogeny nhân bởi m

Trong phần luật nhóm ở chương sau, phép toán cộng và trừ sẽ được trình bày Định nghĩa 1.4.5.3 về nhóm con m-xoắn cho biết rằng, cho đường cong elliptic E và m thuộc số thực với m lớn hơn hoặc bằng 1, nhóm con m-xoắn của E, ký hiệu là E m, là tập hợp các điểm của E có cấp m.

Nhóm con xoắn của E, ký hiệu là E tors , là tập hợp các điểm của E có cấp hữu hạn, tức là

Nếu E được định nghĩa trên K, thì E tors(K) là tập hợp các điểm có cấp hữu hạn của E Định nghĩa 1.4.5.4 (Isogeny đối) cho rằng nếu có một isogeny : E1 → E2, thì isogeny đối của  là isogeny bậc m.

(Ở đây, giả sử     0 Nếu     0 thì ta quy ước     0 )

Việc tồn tại isogeny  được chứng minh rõ trong ([5], III.6.1/81) Ta sẽ thừa nhận định lý sau mà không trình bày chứng minh Định lý 1.4.5.5 Cho :E 1 E 2 là một isogeny

    (c) Nếu  :E 1 E 2 là một isogeny khác thì

1.4.6 Đường cong elliptic thông thường và siêu kỳ dị

Trước hết, ta thừa nhận bổ đề sau

Bổ đề 1.4.6.1 Cho E là đường cong elliptic trên trường F p Khi đó, ánh xạ   n là tách được nếu và chỉ nếu n không chia hết cho p

Hạt nhân của ker   p là E p   hoặc là nhóm cyclic cấp p hoặc là tầm thường Đường cong elliptic E được gọi là thông thường nếu E p    / p, và được gọi là siêu kỳ dị nếu E p      0 Định lý cho biết rằng nếu :E 1 E 2 là một isogeny, thì E 1 là siêu kỳ dị khi và chỉ khi E 2 cũng siêu kỳ dị, tương tự, E 1 là thông thường khi và chỉ khi E 2 thông thường.

CHỨNG MINH Giả sử p 1End  E 1 và p 2End  E 2 lần lượt là các ánh xạ nhân bởi p trên E 1 và E 2 Vì isogeny  là một đồng cấu nhóm nên

E 1 được coi là siêu kỳ dị khi và chỉ khi deg i(p1) = 1 và deg i(p2) cũng bằng 1, điều này đồng nghĩa với việc E 2 cũng là siêu kỳ dị Do đó, E 1 là thông thường nếu và chỉ nếu E 2 cũng là thông thường.

CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

Tổng quan về đường cong dạng weierstrass

2.1.1 Mô tả đường cong dạng Weierstrass Đối tượng cơ bản mà ta nghiên cứu là đường cong elliptic Bằng việc chọn mục tiêu thích hợp, phương trình của đường cong elliptic có dạng:

Trong bài viết này, chúng ta sẽ nghiên cứu các đường cong được xác định bởi phương trình Weierstrass Với điểm nền O = [0:1:0] và các hệ số a1, a2, a3, a4, a5, a6 thuộc trường K, chúng ta sẽ đơn giản hóa ký hiệu bằng cách chuyển đổi phương trình Weierstrass của đường cong elliptic sang tọa độ không thuần nhất, với x = X/Z và y = Y/Z.

E y a xy a y x a x a x a , và hãy luôn nhớ rằng còn một điểm nữa là O   0 :1: 0  ở vô cực Nếu

1, , 6 a a K thì ta nói E được định nghĩa trên K

Nếu char   K  2 thì bằng phép biến đổi:

2   y y a x a đưa phương trình của ta về dạng

Ta cũng định nghĩa những lượng sau:

Dễ dàng kiểm tra chúng thoả mãn:

4b b b b và 1728  c 4 3 c 6 2 Hơn nữa, nếu char   K  2;3 thì phép biến đổi

  x b y x y sẽ khử số hạng x 2 , ta thu được phương trình đơn giản hơn

Hình 2.1 minh họa các đường cong elliptic, trong đó định nghĩa 2.1.1.1 giới thiệu biệt thức Δ của phương trình Weierstrass, j-bất biến j của đường cong elliptic, và vi phân bất biến ω liên quan đến phương trình này.

Khi phác thảo quỹ tích của một phương trình Weierstrass, nếu Δ = 0, đường cong sẽ trở nên kỳ dị, dẫn đến một trong hai trường hợp như đã minh họa trong hình 3.2.

Từ những ví dụ này, ta đưa ra trường hợp tổng quát Cho P x y 0; 0  là điểm có toạ độ thỏa mãn phương trình Weierstrass sau:

 ;  2  1  3   3 2 2  4  6 0 f x y y a xy a y x a x a x a , và giả sử rằng P là một điểm kỳ dị trên đường cong f x y   ;  0 Thế thì, từ (I.1.5) ta có:

Theo đó, có , K sao cho khai triển Taylor của f x y   ; tại P có dạng

 yy 0  xx 0     yy 0  xx 0   xx 0  3 Định nghĩa 2.1.1.3 (Điểm nút, điểm lùi) Với ký hiệu như trên, điểm kỳ dị P là điểm nút nếu   Trong trường hợp này, các đường thẳng

   y y x x và yy 0  xx 0  là các tiếp tuyến tại P Ngược lại, nếu   thì ta nói P là điểm lùi, khi đó tiếp tuyến tại P là

Hình Từ trái sang: điểm lùi và điểm nút của đường cong elliptic

Giả sử rằng đường thẳng ở vô cực là Z 0 trong P 2 giao với E tại duy nhất điểm 0 :1: 0 , khi đó bằng phép biến đổi 

Với x, u, y, r, s, t thuộc K và u khác 0, việc áp dụng phép đổi biến này sẽ mang lại sự thuận tiện hơn trong quá trình tính toán Dưới đây là bảng tính toán các hệ số và các lượng tương ứng của phương trình mới.

       ua a s u a a sa r s u a a ra t u a a sa ra t rs a r st u a a ra r a r ta t rta

Giả sử đặc số của K khác 2 và 3, phương trình Weierstrass của đường cong elliptic có dạng

Phép đổi biến duy nhất bảo tồn dạng của phương trình là

(a) Đường cong cho bởi phương trình Weierstrass thoả mãn:

(i) Là không suy biến nếu và chỉ nếu  0

(ii) Có một điểm nút nếu và chỉ nếu  0 và c 4 0

(iii) Có một điểm lùi nếu và chỉ nếu  c 4 0

Trong trường hợp (ii) và (iii), đường cong chỉ có một điểm kỳ dị duy nhất Hai đường cong elliptic được coi là đẳng cấu trên K khi và chỉ khi chúng có cùng j-bất biến.

(c) Cho j 0 K, thế thì tồn tại một đường cong elliptic được định nghĩa trên

CHỨNG MINH Cho E được xác định bởi phương trình Weierstrass

E f x y y a xy a y x a x a x a Trước tiên, ta chỉ ra rằng điểm vô cực O   0 :1: 0  là không kỳ dị Ta có đường cong trong P 2 với phương trình thuần nhất

Z , nên O là điểm không kỳ dị của E

Tiếp theo, giả sử E suy biến và điểm P 0  x y 0; 0  Phép biến đổi

 x x x y y y không làm thay đổi các lượng  và c 4 Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử E suy biến tại  0;0 Khi đó,

  f f a f a a x y , nên phương trình của E trở thành

Khi đó, ta tính toán được

4  1 4 2 c a a và  0 Bằng định nghĩa, E có một điểm nút (điểm lùi) là  0;0 nếu dạng toàn phương

  y a xy a x có hai nhân tử phân biệt (bằng nhau), điều này xảy ra nếu và chỉ nếu

Ta đã hoàn tất chứng minh các phần (ii) và (iii) Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh phần (i) Cần nhắc lại rằng, nếu E không suy biến thì định thức  khác không Để đơn giản hóa quá trình tính toán, ta giả sử rằng đặc trưng của trường K không bằng 2.

E có phương trình Weierstrass dạng

E y x b x b x b Đường cong E suy biến nếu và chỉ nếu tồn tại một điểm  x y 0; 0 E thoả mãn

2y 12x 2b x 2b 0 Nói cách khác, các điểm kỳ dị là các điểm có dạng  x 0;0 sao cho x 0 là nghiệm kép của đa thức bậc ba

Đa thức 4x + b x + 2b x b có nghiệm kép khi và chỉ khi biệt thức của nó triệt tiêu, tức là 16Δ = 0, do đó Δ = 0 Kết luận này cho thấy rằng một đa thức bậc ba không thể có hai nghiệm kép, dẫn đến việc đường cong E chỉ có nhiều nhất một điểm kỳ dị.

(b) Nếu hai đường cong elliptic đẳng cấu nhau, thì phép biến đổi

 x u x r y u y u sx t chỉ ra rằng chúng có cùng j-bất biến Ngược lại, giả sử char   K  5 , E và E' có cùng j-bất biến và có phương trình Weierstrass lần lượt là

Ta tìm một đẳng cấu có dạng   x y ;   u x u y 2 '; 3 '  và lúc đó xảy ra ba trường hợp sau:

 Trường hợp 1 A  0  j  0  Khi đó B  0 , mà   0 nên A '  0 , ta có ngay đẳng cấu với u   B B / '  1/6

 Trường hợp 2 B  0  j  1728  Khi đó A0, mà B'0 và do đó ta thu được u   A A / '  1/4

 Trường hợp 3 AB0  j  0;1728  Khi đó ' ' 0A B  , vì nếu một trong hai bằng 0 sẽ kéo theo thừa số còn lại bằng 0, mâu thuẫn với ' 0  Ta có đẳng cấu với u   A A / '  1/4   B B / '  1/6

(c) Giả sử j 0 0;1728 và đường cong

Bằng tính toán, ta được

Do đó, đường cong E có phương trình như trên là đường cong cần tìm ứng với

Cuối cùng, ta xét các đường cong:

Vậy ta được điều cần chứng minh

Nếu đường cong E được mô tả bởi phương trình Weierstrass suy biến, thì sẽ có một ánh xạ hữu tỉ bậc một từ E đến P1, cho thấy rằng đường cong E có thể được ánh xạ hữu tỉ vào P1.

CHỨNG MINH Với phép biến đổi tuyến tính, ta giả sử rằng điểm kỳ dị là

    x y ;  0;0 Kiểm tra các đạo hàm riêng tại  0;0 , ta có phương trình Weierstrass của E có dạng

E y a xy x a x Thế thì ánh xạ hữu tỉ

E P x y x y có bậc một, vì ánh xạ ngược

Công thức được hình thành từ việc chia hai vế của phương trình Weierstrass của E cho x² và thiết lập y = tx, dẫn đến phương trình t² + at + a₂ = x Điều này cho thấy cả x và y = xt đều thuộc trường K(t).

Phương trình Weierstrass có dạng Legendre sẽ hỗ trợ đáng kể trong nghiên cứu Định nghĩa 2.1.2.1 cho biết rằng phương trình này được viết theo một hình thức đặc biệt.

Mệnh đề 2.1.2.2 Giả sử rằng char   K  2

(a) Mọi đường cong elliptic đều đẳng cấu trên K với một đường cong dạng

K  K j E là toàn ánh và chính xác là 6–1 khi j0;1728, khi j0 thì nó là 2–1 còn

1728 j thì nó là 3–1 (nếu có thêm char   K  3 thì nó là 1–1 và j 0 1728) CHỨNG MINH (a) Vì char   K  2, phương trình Weierstrass của E có dạng sau

Thế   x y ; bởi  x ; 2 y  và viết lại phương trình dưới dạng tích của các nhân tử

  e e e e e e  , ta có các e i đôi một phân biệt Phép biến đổi

 x e e x e y e e y sẽ đưa phương trình của ta trở thành phương trình mới có dạng Legendre với

Dựa vào mệnh đề (III.1.4b), j-bất biến có thể được sử dụng để phân loại các đường cong elliptic đẳng cấu Nếu j E(λ) = j E(μ), thì Eλ và Eμ là đẳng cấu, và các phương trình Weierstrass (dạng Legendre) của chúng khác nhau chỉ qua một phép biến đổi.

    r r r x x x x x x u u u , ta có sáu trường hợp của  như sau

Vì vậy  j E    là ánh xạ 6–1

 Với j0 ta có  2    1 0 tức  j E    là ánh xạ 2–1

Cuối cùng, nếu char   K  3 thì các giá trị  này trùng nhau và phương trình

     0 1728 j có nghiệm duy nhất là   1.

Luật nhóm

Cho E là đường cong elliptic được cho bởi phương trình Weierstrass, thế thì

E P bao gồm tất cả các điểm P    x y ; nghiệm đúng phương trình Weierstrass đó và điểm O   0 :1: 0  ở vô cực Cho L là một đường thẳng trong

Vì phương trình đã cho có bậc ba, đường thẳng L sẽ cắt đường cong E tại ba điểm P, Q, R Nếu L tiếp xúc với E, các điểm P, Q, R không cần phải phân biệt rõ ràng.

Ta định nghĩa luật hợp thành  trên E bởi quy tắc sau:

Luật hợp thành 2.2.1.1 Cho P Q, E, L là đường thẳng qua P và Q (nếu

Đường thẳng L là tiếp tuyến của đường cong E tại điểm P Điểm R là giao điểm còn lại giữa L và E Nếu gọi L' là đường thẳng đi qua R và O, thì L' sẽ cắt E tại R, O và một điểm thứ ba được ký hiệu là P Q+.

Các ví dụ khác nhau của luật hợp thành được minh hoạ bởi hình sau

Mệnh đề 2.2.1.2 Luật hợp thành có những tính chất sau:

(a) Nếu đường thẳng L cắt E tại các điểm P Q R, , (không nhất thiết phải phân biệt), thì

(d) Cho PE, khi đó tồn tại một điểm trên E mà ta ký hiệu là P thoả mãn

Nói cách khác, E được trang bị luật hợp thành này trở thành nhóm abel với phần tử đơn vị là O Hơn nữa:

(f) Giả sử rằng E được định nghĩa trên K, khi đó:

E K x y K y a xy a y x a x a x a O là nhóm con của E

CHỨNG MINH Các chứng minh tương đối đơn giản, tuy nhiên phần chứng minh mục (e) khá cồng kềnh nên ta sẽ thừa nhận nó

(a) Đường thẳng nối PQ và R cắt E tại O, khi đó ta có giao điểm của tiếp tuyến của E tại O cắt E tại điểm thứ ba cũng chính là O, tức  P Q     R O

(b) Đường thẳng L qua ,P O cắt E tại điểm thứ ba là R, khi đó 'L qua ,R O cắt

E tại điểm thứ ba là P O Mà L và L' cùng đi qua hai điểm R và O nên

(c) Rõ ràng, cách xây dựng phép toán  là đối xứng nên ta luôn có P Q  Q P với mọi ,P QE

(d) Giả sử đường thẳng qua ,P Q cắt E tại điểm thứ ba là R Theo (a) ta có

 P Q     R O Lấy Q  O và kết hợp với (b) ta có O   P O      R P R

Suy ra điểm R là điểm cần tìm và ta ký hiệu nó là P

Nếu hai điểm P và Q có tọa độ trong không gian K, thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này cũng có hệ số thuộc K Giả sử E được định nghĩa trên K, thì giao điểm thứ ba của hai đường có tọa độ sẽ là kết quả tính toán giữa các hệ số của phương trình hai đường, và nó vẫn thuộc K Thuật toán về luật nhóm sẽ cung cấp những công thức tính toán rõ ràng hơn.

Như vậy, đường cong elliptic cùng với phép toán hợp thành  lập thành một nhóm abel

Chú ý Với m và PE, ta ký hiệu:

Bây giờ, ta sẽ trình bày công thức tường minh cho phép toán nhóm trên E Giả sử E là đường cong elliptic định bởi phương trình Weierstrass

F x y y a xy a y x a x a x a , và P 0  x y 0; 0 E Theo định lý vừa chứng minh trên, để tìm P 0 ta cần tìm giao điểm thứ ba của đường thẳng L đi qua P O 0 , với E Phương trình của L là

L x x Thay vào phương trình của E, ta được một đa thức bậc hai F x y  0;  có hai nghiệm y 0 và y 0 ', trong đó  P 0  x y 0; 0' Ta có thể viết

F x y c y y y y và đồng nhất hệ số của y 2 ta được c1, còn đồng nhất hệ số của y cho ta

Tiếp theo, ta đưa ra công thức cho luật cộng Giả sử

P x y và P 2  x y 2; 2  là hai điểm trên E Nếu x 1 x 2 và y 1 y 2 a x 1 2 a 3 0, thì P 1 P 2 O Ngược lại, thì đường thẳng L qua P P 1 , 2 (hoặc tiếp tuyến của E nếu P 1 P 2 ) có phương trình dạng

L y x ; công thức cụ thể cho  và  sẽ được trình bày cụ thể bên dưới Thay phương trình của L vào phương trình của E, ta thu được F x  ;  x    có ba nghiệm

1, 2, 3 x x x , trong đó P 3  x y 3; 3  là điểm thứ ba của LE Khi đó:

F x x c x x x x x x Đồng nhất các hệ số của x 3 cho ta c 1, tiếp đến là hệ số của x 2 cho ta

Nó cho ta công thức tính x 3 , và thay vào phương trình của L ta suy ra

3  3 y x Khi có toạ độ của P 3 ta tìm được P 3 , ta tính được P 1 P 2  P 3 Bây giờ ta sẽ tóm tắt lại nội sung của thuật toán

Thuật toán về luật nhóm 2.2.1.3 Cho E là đường cong elliptic định bởi phương trình Weierstrass

P P P với P i   x y i ; i   E với i1;2;3 (b) Nếu x 1 x 2 và y 1 y 2 a x 1 2 a 3 0, thì

P P O Ngược lại, ta định nghĩa  và  bởi các công thức sau:

Thì yx là đường thẳng đi qua P P 1 , 2 hoặc là tiếp tuyến của E nếu P 1 P 2 (c) Dùng ký hiệu như mục (b), P 3  P 1 P 2 có toạ độ

(d) Trường hợp đặc biệt của mục (c), ta cho P 1  P 2 ,

          y y y y x P P a a x x x x x x , và công thức tương tự cho P    x y ;  E ,

    x b x b x b x P x b x b x b , trong đó b b b b 2 , 4 , , 6 8 đã được nêu trong phần phương trình Weierstrass

Hệ quả 2.2.1.4 Với cùng ký hiệu như trên, một hàm f  K E    K x y   ; là hàm chẵn nếu f P    f    P với mọi P  E Thế thì, f là hàm chẵn nếu và chỉ nếu f  K x  

Chứng minh rằng nếu P = (x₀, y₀) thì -P = (x₀, -y₀) và mọi phần tử trong K(x) đều là chẵn Giả sử f ∈ K(x, y) là hàm chẵn, ta có thể viết lại phương trình Weierstrass của E dưới dạng.

Nhờ tính chẵn của hàm f ta suy ra

Kéo theo với mọi   x y ;  E thì hoặc h đồng nhất bằng không, hoặc

2a a 0 Nhưng trường hợp thứ hai lại dẫn đến biệt thức  0, mâu thuẫn với giả thuyết phương trình Weierstrass không kỳ dị Do đó, h0 và E và

2.2.2 Ví dụ về luật nhóm

Cho E/ là đường cong elliptic

Bằng một số tính toán đơn giản, ta đưa ra một vài điểm trên E có toạ đọ như sau:

Bằng thuật toán của luật nhóm, ta dễ dàng tính toán được

Hiển nhiên, cũng sẽ có những điểm có toạ độ hữu tỉ không nguyên, chẳng hạn như

Ta sẽ khẳng định điều sau đây mà không chứng minh, đó là mọi điểm hữu tỉ

P E đều có thể được viết dưới dạng

P m P n P với mọi ,m n , và từ đó, ta có E   đẳng cấu với  Thông tin thêm là chỉ có 16 điểm có toạ độ nguyên trên E, đó là P 1; ;P 8 .

Ánh xạ hữu tỉ và đồng cấu frobenius

2.3.1 Ánh xạ hữu tỉ giữa các đa tạp Định nghĩa 2.3.1.1 (Ánh xạ hữu tỉ) Cho V V 1 , 2 P n là các đa tạp xạ ảnh Một ánh xạ hữu tỉ từ V vào 1 V 2 có dạng

:V V ,  f 0: : f n , trong đó, các hàm f 0, ,f n K V   1 có tính chất với mọi P V 1 thì

 P  f P f n P   V Nếu V V 1 , 2 được định nghĩa trên K thì

G K K tác động lên  bằng cách

 P  f P f n P  Chú ý rằng ta có công thức

Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm số P với mọi σ thuộc G, K và P thuộc V Ngoài ra, nếu tồn tại λ thuộc K* sao cho λf₀, λf₁ thuộc K V(1), thì hàm số φ được định nghĩa trên K Lưu ý rằng các giá trị [f₀: : f₁] và [λf₀: : λf₁] là như nhau, do đó, φ được định nghĩa trên K nếu và chỉ nếu φ = φσ với mọi σ.

Ánh xạ hữu tỉ \( \varphi: V_1 \rightarrow V_2 \) không nhất thiết phải là một hàm được định nghĩa tốt tại mọi điểm trong \( V_1 \) Tuy nhiên, có thể xác định \( \varphi(P) \) với \( P \in V_1 \) mà \( f_i \) không chính quy bằng cách thay thế \( f_i \) bằng \( g f_i \), với \( g \) là một hàm thích hợp thuộc \( K(V_1) \) Định nghĩa ánh xạ hữu tỉ chính quy được nêu rõ trong định nghĩa 2.3.1.2.

  f f n V V là chính quy (hoặc được định nghĩa) tại P V 1 nếu tồn tại hàm gK V   1 thoả mãn

(i) các gf i chính quy tại P;

(ii) tồn tại i để    gf i P  0

Nếu hàm g như thế tồn tại thì ta đặt

 P   gf P gf n P  Một ánh xạ hữu tỉ chính quy tại mọi điểm thì ta gọi là đồng cấu

Chú ý rằng với các đa tạp xạ ảnh V1 ⊆ Pm và V2 ⊆ Pn, các hàm thuộc KV(1) có thể được mô tả dưới dạng tỷ số của các đa thức thuần nhất cùng bậc trong K[X; 0; ; Xm] Bằng cách nhân một đa thức thuần nhất vào ánh xạ hữu tỉ φ = [f0; ; fn], chúng ta có thể khử mẫu thức của các fi, từ đó thu được một định nghĩa khác.

Một ánh xạ hữu tỉ :V 1 V 2 có dạng

(i) các  i   X K X  K X  0; ;X n  là các đa thức thuần nhất có cùng bậc (không cần chúng phải thuộc hết vào I V   1 )

Rõ ràng, hàm số    P được định nghĩa tốt cho một số giá trị  i   P khác 0 Tuy nhiên, ngay cả khi tất cả các giá trị  i   P đều bằng 0, chúng ta vẫn có thể điều chỉnh hàm số  để cải thiện hình thức của    P, nhằm tạo ra một kết quả "đẹp" hơn.

Một ánh xạ hữu tỉ 0: : n :V 1V 2 như trên là chính quy (hoặc được định nghĩa) tại P V 1 nếu tồn tại các đa thức thuần nhất 0, , n K X   thoả mãn

(iii)  i   P  0 với một vài i nào đó

Ánh xạ hữu tỉ trên chính quy tại mọi điểm được gọi là đồng cấu Định nghĩa 2.3.1.3 chỉ ra rằng hai đa tạp xạ ảnh V1 và V2 được coi là đẳng cấu với nhau, ký hiệu là V1  V2, nếu tồn tại các đồng cấu : V1  V2.

 :V V sao cho   và   là các ánh xạ đồng nhất lần lượt trên V 1 và V 2

Ta nói V 1 /K và V 2 /K là đẳng cấu nhau trên K nếu  và  được định nghĩa trên K

Ví dụ 2.3.1.4 Giả sử char   K  2 và V là đa tạp

V X Y Z Cho ánh xạ hữu tỉ

Rõ ràng  chính quy tại mọi điểm trên V ngoại trừ điểm  1: 0 : 1  , tức là tại điểm mà X  Z Y 0 Tuy nhiên, vì

    , và vì vậy  chính quy tại mọi điểm trên V, tức  là một đồng cấu Dễ dàng kiểm tra lại rằng ánh xạ

 P V  S T ST S T , là đồng cấu ngược của , kéo theo V và P 1 đẳng cấu nhau

Ví dụ 2.3.1.5 Cho V là đa tạp

V Y Z X X Z và các ánh xạ hữu tỉ

V P Y X Ở đây,  là một đồng cấu, trong khi  không chính quy tại  0 : 0 :1  Ta muốn nhấn mạnh dù các ánh xạ hợp   và   là ánh xạ đồng nhất, nhưng bản thân

 và  không là đẳng cấu, vì  không là đồng cấu

Ví dụ 2.3.1.6 Xét các đa tạp

Chúng không đẳng cấu nhau trên Thật vậy, vì V 2    (theo (I.2.5)) trong khi V 2    Tuy nhiên, hai đa tạp này đẳng cấu nhau trên   3 , chẳng hạn là đẳng cấu

Giả sử rằng trường \( K \) có đặc trưng lớn hơn 0 và \( q = p^r \) Đối với đa thức \( f \in K[X] \), ta định nghĩa đa thức \( f(q) \) là đa thức thu được bằng cách nâng luỹ thừa các hệ số của \( f \) lên mũ \( q \) Từ đó, với đường cong \( C/K \), ta xác định đường cong \( C(q)/K \) mà ideal thuần nhất của nó được xác định bởi.

Hơn nữa, có một ánh xạ tự nhiên từ C vào C   q được gọi là đồng cấu Frobenius bậc q định bởi

Bây giờ ta chứng minh  định nghĩa tốt, nghĩa là với mọi điểm

P x x C, ảnh    P là không điểm của mỗi phần tử sinh f   q của ideal

Ví dụ 2.3.2.1 Cho C là đường cong trong P 2 cho bởi phương trình

Khi đó C   q là đường cong cho bởi phương trình

Mệnh đề 2.3.2.2 Cho K là trường có đặc số p0, đặt q p r , C K/ là một đường cong và :C C   q là đồng cấu Frobenius bậc q

(b)  là không tách được thuần tuý

Các phần tử của K(C) có dạng thương f/g, trong đó f và g là các đa thức thuần nhất cùng bậc Điều này cho thấy rằng trường con q là một phần của K(C).

Tương tự, K C   q là trường con của K C   với

Tuy nhiên, vì K là trường đầy đủ nên mọi phần tử của K đều là một luỹ thừa bậc q, từ đó

  q i q i f X g X cho ta cùng một trường con của K C  

(b) Được suy ra ngay từ (a)

(c) Giả sử rằng P  K C   là một điểm trơn Cho t  K C   là cái đơn trị hoá tại

P Thế thì từ (II.1.4) ta suy ra K C   tách được trên K t   Xét sơ đồ

K C tách được không tách được

2.3.3 Cấu trúc nhóm của đường cong elliptic trên trường hữu hạn

Cho E là một đường cong elliptic trên trường hữu hạn F q có q phần tử Vì

E F là một tập con của P 2(F q), do đó E F(q) là một nhóm Abel hữu hạn Hasse đã chứng minh rằng #E F(q) = q + 1 - a, với a ≤ 2√q, và điều này sẽ được trình bày chi tiết ở chương 2 Đây là một trường hợp đặc biệt của "phỏng đoán Weil" Hơn nữa, thuật toán của Shoof đã tính toán #E F(q) với độ phức tạp O(log q) và sẽ không giải thích sự xác định #E F(q) theo mô đun l Đối với mỗi số nguyên tố l, xấp xỉ log q sẽ được sử dụng, và định lý số dư Trung Hoa đã được áp dụng để hoàn tất việc tính toán #E F(q).

Ví dụ 2.3.3.1 Cho E là đường cong elliptic y 2 x 3  x 1 trên trường F 3 Định lý

Hass chỉ ra rằng 1 # E   3 7 Thật ra

Ví dụ 2.3.3.2 Cho E là đường cong elliptic y 2 x 3 x trên trường F 3 thì

Hình 2.5 Đường cong elliptic y 2  x 3 4x6 trên F 197

Các điểm của đường cong elliptic trên các trường hữu hạn

Đường cong elliptic Cho E F/ q được định nghĩa trên trường hữu hạn, và mục tiêu của chúng ta là ước lượng số lượng điểm trên E F   q Điều này tương đương với việc tìm số nghiệm của phương trình liên quan.

Vì mỗi giá trị của x ứng với hai giá trị của y, ta có

Kết quả được trình bày trong luận án của E Artin đã được Hasse chứng minh vào những năm 1930, xác nhận các phỏng đoán của E Artin Định lý 2.4.1.1 (Hasse) khẳng định rằng, cho E F/q là một đường cong elliptic trên trường hữu hạn, thì

#E F q   q 1 2 q CHỨNG MINH Giả sử E có phương trình Weierstrass với hệ số lấy trên F q , và cho

E E x y x y là đồng cấu Frobenius bậc q Vì nhóm Galois q / q

G F F được sinh (theo nghĩa tôpô) bởi ánh xạ bậc q trên F q , ta thấy rằng với P  E F   q ,

Ánh xạ 1−φ là tách được, và theo định nghĩa, E F q = ker 1−φ = deg 1−φ Ánh xạ bậc trên End(E) là một dạng toàn phương xác định dương Với deg φ = q và áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, chúng ta có thể chứng minh điều cần chứng minh.

Bổ đề 2.4.1.2 Cho E là một nhóm abel và

:  d A là một dạng toàn phương xác định Thế thì

L d d d là dạng song tuyến tính liên kết với dạng toàn phương d Vì d xác định dương, nên với mọi ,m n ,

0d m n m d  mnL  ; n d  Đặc biệt, nếu ta lấy

Bất đẳng thức cần chứng minh chỉ đúng khi   0; nếu   0 thì bất đẳng thức này hiển nhiên đúng Ứng dụng 2.4.1.3 cho thấy rằng trong trường hợp F q là trường hữu hạn với q lẻ, chúng ta có thể áp dụng kết quả Hasse để ước lượng giá trị của các tổng đặc trưng trên F q.

   3  2      f x ax bx cx d K x là đa thức bậc ba có các nghiệm trong F q , và cho

Định nghĩa hàm chiếu F q được xác định bởi điều kiện t là một bình phương trong F q * Hàm này được mở rộng lên F q với giá trị tại 0 là 0 Qua đó, chúng ta có thể sử dụng hàm chiếu để đếm số điểm F q -hữu tỉ trên đường cong elliptic.

Trong không gian E y f x, với mỗi x thuộc F q, sẽ có một hoặc hai điểm (x, y) thuộc E F(q) Giá trị f(x) có thể là một bình phương, bằng không, hoặc một bình phương trong F q Ngoài ra, còn tồn tại một điểm ở vô cực, từ đó ta có thể suy ra các tính chất quan trọng của hàm số này.

So sánh điều trên cùng với định lý Hasse ta có kết quả sau

Hệ quả 2.4.1.4 Sử dụng lại những ký hiệu ở trên, ta có

Ta có thể tóm tắt lại như sau: Với đường cong elliptic

E y x ax b , thì theo định lý Hasse ta có # E q a b , ,   F q    q 1 a q a b , , , trong đó a q a b , , 2 q Vì

, , q a b a là vết của đồng cấu Frobenius nên từ

2 , , q a b x a x q x x ta suy ra số các điểm của E q a b , , trên F q n là

Năm 1949, André Weil đã đưa ra nhiều phỏng đoán quan trọng về số lượng điểm trên các đa tạp được định nghĩa trên các trường hữu hạn Bài viết này sẽ trình bày giả thuyết của Weil và chứng minh nó đối với các đường cong elliptic.

Với mỗi số thực n1, cho n

F q là mở rộng đến cấp n của F q , khi đó

F q q Cho V F/ q là đa tạp xạ ảnh xác định bởi tập nghiệm của hệ phương trình

1 0; ; N   m 1; ; N 0 f x x f x x , trong đó, f 1 , ,f m là các đa thức thuần nhất với hệ số thuộc F q Thế thì V F   q n là tập hợp các điểm thuộc V lấy toạ độ trên n

F q Ta mã hoá số các điểm trên V F   q n với n1 bởi một hàm tổng quát Định nghĩa 2.4.2.1 (Hàm zeta) Hàm zeta của V F/ q là chuỗi luỹ thừa

Z V F T V F T n Ở đây, với chuỗi luỹ thừa F T         T  không cò số hạng hằng, ta định nghĩa chuỗi luỹ thừa

Chú ý rằng nếu ta biết chuỗi Z V F T  / q ;  thì ta có thể tìm số # V F   q n bởi công thức

Ví dụ 2.4.2.2 Cho V P N , các điểm của V F   q được định bởi toạ độ thuần nhất

 x 0: :x N  với x i F q n không đồng nhất bằng không Hai bộ toạ độ ứng với cùng một điểm nếu chúng sai khác nhau một thừa số trong n *

Chú ý trong trường hợp này, hàm zeta thuộc   T Nhìn chung, nếu tồn tại các số

V F với mọi n1, 2, , thì Z V F T  / q ;  là một hàm hữu tỉ Định lý 2.4.2.3 (Phỏng đoán Weil) Cho V F/ q là một đa tạp xạ ảnh trơn N chiều

Tồn tại số nguyên  được gọi là đặc số Euler của V sao cho

Các nhân tử của hàm zeta

P T T và P 2 N  1 q T N , và thoả mãn mọi 0 i 2N, đa thức nhân tử P T i   trên là

Các số b i (cũng chính là bậc của P T i  ) được gọi là số Betti của V

Ta sẽ chứng minh phỏng đoán Weil cho đường cong elliptic Cho l là số nguyên tố khác p  char   F q Ta có ánh xạ

E T E và chọn một l -cơ sở của T E l  , ta có thể viết  l dưới dạng một ma trận vuông cấp hai, sau đó tính định thức và vết của chúng, det      l , tr  l  l

Mệnh đề 2.4.2.4 Cho   End   E , thế thì:

 tr    l   1 deg     deg 1     Đặc biệt, det    l và tr    l thuộc và không phụ thuộc vào l

CHỨNG MINH Xem chứng minh ở phần (III.8.6)

Ứng dụng mệnh đề trên cho đường cong elliptic trên trường hữu hạn cho phép tính toán số điểm trên đường cong này, đồng thời suy ra một tính chất quan trọng của tự đồng cấu Frobenius Cụ thể, định lý 2.4.2.5 khẳng định rằng cho E F/q là một đường cong elliptic.

E E x y x y là tự đồng cấu Frobenius cấp q, và đặt

(a) Cho ,  là hai nghiệm của đa thức T 2 aTq Khi đó,  và  là hai số phức liên hợp thoả mãn     q, và mọi n1,

(b) Tự đồng cấu Frobenius thoả mãn

CHỨNG MINH Trong phần chứng minh định lý Hasse, ta có

Dựa vào mệnh đề trên, ta tính được

Do đó, đa thức đặc trưng của  l là

(a) Vì đa thức đặc trưng của  l có hệ số trên , ta có thể viết lại như sau

Với mỗi số hữu tỉ m n ta có

Để suy ra đa thức bậc hai det(T - φ) = T² - aT + ε với mọi T ≥ 0, ta có thể kết luận rằng nó có hai nghiệm phức liên hợp hoặc một nghiệm kép Trong trường hợp có hai nghiệm phức, nếu α = β, ta sẽ có det deg.

Ta chứng minh được kết luận đầu của (a)

Tương tự, với mỗi số nguyên n1, tự đồng cấu Frobenius bậc q thoả mãn

Theo đó đa thức đặc trưng của  l n là

Để chứng minh điều này, chúng ta cần đưa ma trận  l về dạng chuẩn tắc Jordan Khi đó, ma trận của nó sẽ có hình dạng tam giác trên, với các giá trị  và  nằm trên đường chéo.

(b) Định lý Cayley – Hamilton chỉ ra  l thoả mãn phương trình đặc trưng của chính nó, vậy  l 2 a l  q 0 Từ đó:

 2   2    deg  aq det  l a l q det 0 0, và vì thế  2 aq là ánh xạ không trong End   E

Sử dụng (V.2.3.1a) để kiểm chứng phỏng đoán Weil cho đường cong elliptic Định lý 2.4.2.6 Cho E F/ q là đường cong elliptic, thế thì tồn tại a thoả mãn

1aT qT 2  1 T 1T với     q CHỨNG MINH Ta có

 n n n n n q T n (theo (V.2.3.1a)),   log 1   T   log 1    T   log 1    T   log 1   qT 

Từ (V.2.3.1a) ta có  và  là hai số phức liên hợp có cùng môđun là q và thoả mãn

Như vậy, cho  0 ta có ngay đẳng thức cần chứng minh

Chú ý Để hiểu lý do vì sao (V.2.2c) được gọi là giả thuyết Riemann, ta thực hiện đổi biến số bằng cách đặt T q  s , khi đó ta có hàm theo biến s,

Hơn nữa, giả thuyết Riemann cho Z E F T  / q ;  chỉ ra rằng nếu  /  0

 q s q, điều này tương đương với Re   1

Chú ý Cho E F/ q là một đường cong elliptic Ta gọi lượng

Vết của Frobenius, ký hiệu là \(E_F\), được xác định trong phần chứng minh của tài liệu ([5], V.2.3.1) Nó tương đương với vết của ánh xạ Frobenius bậc \(q\), được xem như một phép biến đổi tuyến tính.

T E l Cho nên nếu  là ánh xạ Frobenius bậc q thì từ ([5], V.2.3) ta suy ra

2.4.3 Bất biến Hasse Định lý 2.4.3.1 Cho F q là một trường hữu hạn có đặc số p3

(a) Cho E F/ q là một đường cong elliptic cho bởi phương trình Weierstrass

E y f x , trong đó f x    F x q   là một đa thức bậc ba có các nghiệm phân biệt trên F q Thế thì E là siêu đơn nếu và chỉ nếu hệ số của x p  1 trong f x    p  1 /2  bằng không

 p m và định nghĩa đa thức

Giả sử F q với  0;1 Thế thì đường cong elliptic

E y x x x là siêu kỳ dị nếu và chỉ nếu H p     0

Đa thức H p(t) có nghiệm phân biệt trên trường F q Khi tồn tại một đường cong siêu kỳ dị với đặc số 3 và với p ≥ 5, số lượng các đường cong elliptic siêu kỳ dị (không F q-đẳng cấu) sẽ được xác định.

 F q   là đặc trưng đơn trị không tầm thường bậc 2, và mở rộng  lên F q bằng cách đặt

  Ta thấy đặc trưng  được dùng để đếm số các điểm trên E,

Vì F q * là cyclic cấp q1, với mỗi zF q ta có

Nhờ vào tính cyclic của F q * ta có ngay

Vì f x   là đa thức bậc ba, nếu khai triển f x     q  1 /2 ta sẽ thấy trong khai triển có các số hạng dạng x n với 0 3  1 

 n 2 q Vì vậy, khi lấy tổng với x chạy khắp

F q thì có duy nhất số hạng khác không của x q  1 Nên nếu ta đặt q 

A hệ số của x q  1 trong f x     q  1 /2 , thì

#E F q  1 A q Tuy nhiên, đẳng thức này trên F q , nên chỉ có một công thức cho # E F   q môđun p

Mặt khác, cho : EE là tự đồng cấu Frobenius bậc q, ta có (V.2)

(Vì   a    ) Đồng nhất hai cách biểu diễn của # E F   q , ta thu được

Vì a là số nguyên nên suy ra

Nhưng     a  , do đó ta có:

E là siêu kỳ dị (V.3.1a(ii)) Điều đó nói lên rằng

Ta chứng minh A q 0 nếu và chỉ nếu A p 0 Ta có

   p r  1  1 /2       p r  1 /2     p  1 /2   p r f x f x f x và đồng nhất hệ số (lưu ý f có bậc ba) cho ta

Một phép thu gọn đơn giản trên r cho ta điều phải chứng minh

(b) Đây là trường hợp đặc biệt của (a) Ta cần hệ số của x p  1 trong biểu diễn

 x x  1 x    m , nên hệ số của x m trong  x  1   m x    m Hệ số đó là

 m i m i i m m i m i , sai khác với H p    thừa số    1 m

(c) Cho D là toán tử vi phân

Thế thì bằng tính toán trực tiếp và lưu ý rằng 1

DH t p p i m t i Đặc biệt, vì char   F q  3 nên

Do vậy H p   t chỉ có thể có các nghiệm bội trên F q là t0 hoặc t1 Tính toán trực tiếp ta được

Cho nên các nghiệm của H p   t là phân biệt và mỗi nghiệm  ứng với một đường cong elliptic siêu kỳ dị

Phần còn lại là xác định với những mở rộng nào của E  là đẳng cấu với những đường khác

Với p3 ta có H p   t   1 t, nên có duy nhất một đường cong elliptic siêu kỳ dị trong đặc số 3 với j-bất biến j     1 1728  0

Giả sử p5 thì ánh xạ

Ánh xạ j là 6–1 ngoại trừ trường hợp j = 0 (tương ứng 2–1) hoặc j = 1728 (tương ứng 3–1) Nếu H_p(t) = 0, thì với mọi λ' thỏa mãn j(λ) = j(λ'), ta có H_p(λ') = 0, dẫn đến E(λ) ≈ E(λ') và các nghiệm của H_p(t) chính xác là những giá trị λ với E(λ là siêu kỳ dị Để đơn giản, định nghĩa ε_p(j) = 1 nếu đường cong elliptic với j-bất biến là siêu kỳ dị và ε_p(j) = 0 nếu nó tầm thường Vì H_p(t) có các nghiệm phân biệt, từ đó ta có số lượng đường cong elliptic siêu kỳ dị với đặc số p ≥ 5.

Ta sẽ tính toán cụ thể điều trên trong các ví dụ dưới với

Từ đó ta đưa ra bốn trường hợp của p  mod12  cho ta điều cần chứng minh

Chú ý Toán tử vi phân D mà ta dùng để chứng minh mục (c) của định lý trên được gọi là toán tử vi phân Picard – Fuchs cho phương trình Legendre

Ví dụ 2.4.3.2 Cho p11 ta có

Các j-bất biến siêu kỳ dị trong đặc số 11 là j0 và j1728 1

Ví dụ 2.4.3.3 Với số nguyên tố p5 đường cong elliptic

E y x với j0 được coi là siêu kỳ dị Khẳng định (V.4.1a) yêu cầu tính hệ số của x p  1 trong đa thức  x 3  1   p  1 /2  Nếu p  2 mod 3, không có số hạng x p  1, do đó E là siêu kỳ dị Ngược lại, nếu p  1 mod 3, hệ số của x p  1 sẽ được xác định.

  p p , nó khác không theo môđun p, nên trong trường hợp này E là tầm thường

Ví dụ 2.4.3.4 Tương tự, với số nguyên tố p3, đường cong elliptic

E y x x với j1728 là siêu kỳ dị Nó được xác định bởi hệ số của x  p  1 /2  trong đa thức

 x 2  1   p  1 /2  Hệ số này bằng 0 nếu p  3 mod 4   và bằng  

 p Vậy E là siêu kỳ dị nếu p  3 mod 4   và tầm thường

Cho E F/ q là đường cong elliptic định nghĩa trên trường hữu hạn Từ định lý

Trong nhiều ứng dụng, đặc biệt là trong mật mã học, việc tìm kiếm phương pháp hiệu quả để tính số điểm của E F(q) là rất quan trọng Giả sử q là số lẻ, E được định nghĩa theo phương trình Weierstrass với dạng E F(q) = q + a - q, trong đó a ≤ 2q.

E y f x x b x b x b với một chút thay đổi không đáng kể là ta sẽ làm việc với đặc số bằng 2