Đường cong elliptic trên trường hữu hạn

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Nhóm abel hữu hạn sinh

Nhóm abel A được định nghĩa là hữu hạn sinh nếu có một số hữu hạn các phần tử a₁, a₂, , aₙ thuộc A, sao cho với mọi phần tử x thuộc A, tồn tại các số nguyên k₁, k₂, , kₙ để biểu diễn x.

 Khi n  1 , A được gọi là nhóm cyclic Định nghĩa 1.1.2 (Nhóm con xoắn) Cho A là một nhóm abel Nhóm con xoắn của A, ký hiệu là T A   , là tập:

Nếu T A      0 thì ta nói nhóm abel A được gọi là không xoắn

Bổ đề 1.1.3 khẳng định rằng nếu A là một nhóm abel, thì A T A   không xoắn Định nghĩa 1.1.4 chỉ ra rằng nhóm abel tự do hạng n được biểu diễn bằng n dấu cộng Theo định lý 1.1.5, nếu A là một nhóm abel không xoắn hữu hạn sinh với một tập nhỏ nhất gồm n phần tử sinh, thì A đẳng cấu với nhóm abel tự do hạng n.

CHỨNG MINH Áp dụng phương pháp quy nạp trên số phần tử sinh nhỏ nhất của

A Nếu A là nhóm cyclic, thì khi đó A

Giả sử rằng kết quả trên đúng cho mọi nhóm abel không xoắn hữu hạn sinh, với một tập hợp các phần tử sinh nhỏ nhất có số lượng ít hơn n Gọi A là nhóm không xoắn và {a1, a2, , an} là tập hợp nhỏ nhất các phần tử sinh của A.

Nếu T A a(1) = {0}, thì A a(1) là không xoắn và được sinh bởi n-1 phần tử, điều này được suy ra từ phép quy nạp và a(1) ≈ Nếu T A a(1) không phải là nhóm tầm thường, thì tồn tại một nhóm con B ⊆ A sao cho T A a(1) ≈ B a(1).

Như vậy với bất kỳ phần tử bB mà b0, tồn tại một số nguyên i0 sao cho

 1 ib a Nhưng ta lại có ib ja 1 với j Khi đó, ta định nghĩa ánh xạ:

 (và f   0  0). Ánh xạ này là một phép đồng cấu được xác định trên các nhóm abel, có hạt nhân tầm thường và do đó là một đơn ánh nên B  f B  

Vì vậy, nếu B là hữu hạn sinh (vì là một vành Noether) thì B là cyclic Thật vậy, giả sử B b 1 , ,b m , khi đó:

    1 ; ;   m  1 1; ; m m f B f b f b j i j i là một nhóm con của nhóm cyclic 1 i 1 i m do đó nó là cyclic

Nếu BA thì A tự do được sinh bởi một phần tử Nếu không thì:

Do đó, A B không xoắn và được sinh bởi tối đa n−1 phần tử, cho thấy A B là nhóm abel tự do có hạng m < n theo phương pháp quy nạp.

Để B là nhóm con hữu hạn sinh của A và B đồng isomorph với A, cần chứng minh rằng B là nhóm cyclic Lưu ý rằng m = -n + 1 vì n là cực tiểu Định nghĩa 1.1.6: Nếu A là một nhóm abel và B, C là các nhóm con của A, thì A được gọi là tổng trực tiếp trong của B và C, ký hiệu.

Một số kết quả quen biết về lĩnh vực đại số và lý thuyết số

1.2.1 Lĩnh vực lý thuyết số

Cho K là một trường (chẳng hạn như , , , Q p , F q ) Cho K là một bao đóng đại số của K

Một đường cong phẳng X trên K được xác định bởi phương trình f x y   ,  0, ở đây f x y   ,   a x y ij i j  K x y   , là bất khả quy trên K Ta định nghĩa bậc của

DegX = deg f = max(i + j) với a: ij ≠ 0 Một điểm K-hữu tỉ (hay K-điểm) trên X được định nghĩa là điểm (a, b) có tọa độ thuộc K sao cho f(x, y) = 0 Tập hợp tất cả các điểm K-hữu tỉ trên X được ký hiệu là X(K).

Ví dụ 1.2.1.1 Phương trình x y 2 6y 2  11 0 xác định một đường cong phẳng X trên bậc ba và 5; 1  

Vấn đề đặt ra là liệu có một thuật toán nào cho phép xác định đường cong phẳng X hoặc ít nhất là xác định xem X có khác rỗng hay không Mặc dù X không nhất thiết phải hữu hạn, nhưng luôn tồn tại một mô tả hữu hạn cho nó, do đó vấn đề về sự xác định vẫn cần được xem xét.

X có thể được xác định rõ ràng thông qua máy Turing, liên quan đến mối quan hệ giữa câu hỏi này và bài toán số của Hilbert.

Hiện nay, thách thức đặt ra là xác định các phương pháp để nhận diện X khi đã có một đường cong X cụ thể Tuy nhiên, chúng ta vẫn chưa chứng minh được tính khả thi của những phương pháp này trong các trường hợp tổng quát Do đó, vẫn còn nhiều vấn đề chưa được giải đáp.

(1) Có tồn tại thuật toán mà khi cho một đa thức bậc bốn: f x      x thì ta có thể xác định những điểm y 2  f x   là điểm hữu tỷ hay không?

(2) Có tồn tại thuật toán mà khi cho một đa thức bậc ba: f x      x y , thì ta có thể xác định những điểm f x y   ,  0 là điểm hữu tỷ hay không?

Thực ra, ta có thể nhận thấy rằng các vấn đề (1) và (2) là tương đương

1.2.2 Xác định X   : sự phân chia bằng bậc

Để xác định tập hợp các điểm hữu tỷ X trên đường cong f(x, y) = 0, ta cần xem xét đường cong này trong không gian phẳng Đặt d = deg.f, việc phân tích các điểm này sẽ giúp hiểu rõ hơn về tính chất hình học của đường cong.

Ta sẽ xem xét bài toán bằng việc cho tăng dần giá trị của d

 Bậc d 1: X là đường thẳng Ta đã biết cách tham số hóa các điểm hữu tỷ trên đường thẳng ax by  c 0, với a b c, ,  và a b c, , 0.

Bậc d = 2: Đường conic X đã được Legendre chứng minh thỏa mãn nguyên lý Hasse, nghĩa là X có một -điểm nếu và chỉ nếu X có một -điểm và một p -điểm với mỗi số nguyên tố p Do đường conic xạ ảnh được mô tả bởi dạng bậc hai của 3 biến, kết quả của Legendre có thể xem là trường hợp đặc biệt của định lý Hasse-Minkowski, khẳng định rằng một dạng toàn phương n biến biểu diễn 0 nếu và chỉ nếu nó biểu diễn 0 trên và p với mọi p Định lý của Legendre dẫn đến một thuật toán để xác định sự tồn tại của một -điểm trên đường conic X Thuật toán này bao gồm việc bổ sung chính phương, nhân một hằng số và thu về các biến, rút gọn thành aX² + bY² + cZ² = 0 trong 2, với a, b, c ≠ 0, không chính phương có quan hệ từng đôi nguyên tố với nhau Khi đó, có thể chứng minh rằng tồn tại một -điểm nếu và chỉ nếu a, b, c đều không cùng dấu với các phương trình đồng dư.

  có thể giải được trong tập Hơn nữa, trong trường hợp này, aX 2 bY 2 cZ 2 0 luôn có một nghiệm nguyên không tầm thường X Y Z, , thỏa mãn

Khi có một -điểm P0 trên đường conic X, nhiệm vụ còn lại là mô tả tập hợp tất cả các -điểm Để làm điều này, ta vẽ một đường thẳng đi qua P0 và mỗi điểm P thuộc X, với hệ số góc t (t có thể thuộc vào khoảng xác định hoặc vô hạn) Theo định lý Bézout, nếu t thuộc vào tập số thực, thì đường thẳng này sẽ cắt đường conic tại một điểm khác, miễn là nó không tiếp xúc với conic tại P0, và điểm cắt này sẽ là một điểm hữu tỷ.

Ví dụ 1.2.2.1 Nếu X là đường tròn x 2  y 2 1 và P 0 1,0 thì:

Các ánh xạ song hữu tỷ từ 1 đến X và ánh xạ ngược được xác định bằng cách loại bỏ một số hữu hạn tập con có chiều nhỏ hơn Điều này cho thấy rằng các hàm hữu tỷ của các biến tạo ra một song ánh giữa các -điểm trên mỗi chiều Các ánh xạ song hữu tỷ được định nghĩa trên các hệ số của hàm thuộc , do đó cũng tạo ra một song ánh giữa các -điểm Đặc biệt, tập hợp nghiệm hữu tỷ của đường tròn x² + y² = 1 là 2 2 2 { ( ) }.

Hình 1.1 Tham số hóa hữu tỉ của một đường tròn

Bậc d = 3 đề cập đến các đường cong phẳng bậc ba Lind và Reichardt đã chỉ ra rằng nguyên lý Hasse có thể không áp dụng cho các đường cong này Một phản ví dụ được Selmer đưa ra cho thấy sự không chính xác của nguyên lý trong trường hợp các đường cong phẳng bậc ba.

Mỗi số nguyên tố p lớn hơn 5 đều có p-điểm, mặc dù không có -điểm Sự tồn tại của các p-điểm này có thể được chứng minh thông qua bổ đề Hensel [Kob], cho phép xác minh sự tồn tại của các nghiệm đồng dư modulo p.

Với p2,3,5, dạng tổng quát hơn của của bổ đề Hensel [Kob] có thể được sử dụng Sự không tồn tại của các -điểm khó thiết lập hơn

Bài toán xác định liệu một đường cong phẳng bậc ba có điểm hữu tỷ hay không vẫn chưa có lời giải Vì vậy, chúng ta sẽ tập trung vào các đường cong phẳng bậc ba có ít nhất một điểm hữu tỷ, được gọi là các đường cong elliptic.

Đa tạp afin - đa tạp xạ ảnh

Chúng ta nghiên cứu trên trường K và nếu không ghi chú gì thêm thì K là trường đóng đại số Định nghĩa 1.3.1.1 (Không gian afin) Không gian afin n-chiều A n (hoặc

A n K ) trên trường K là tập hợp các bộ n phần tử của K

Một phần tử P p 1; ;p n A n được gọi là một điểm, các p i là các tọa độ afin của P

Ta ký hiệu K x  1; ;x n  là vành đa thức trên K với n biến Các phần tử của

Cho K x  K x  1; ;x n  là một vành đa thức n biến và một ideal I K x   Khi đó, mỗi ideal I như vậy liên kết với một tập con của không gian afin A n

V I  PA f P   f I Định nghĩa 1.3.1.2 (Tập đại số afin) Một tập đại số (afin) là tập có dạng V I nói trên Nếu V là một tập đại số thì ideal của V có dạng

I V  f K x f P   P V Định nghĩa 1.3.1.3 (Đa tạp afin) Một tập đại số afin V được gọi là một đa tạp afin nếu I V   là ideal nguyên tố của K x  

Ví dụ 1.3.1.4 Một đa tạp tuyến tính là tập nghiệm của một hệ tuyến tính l 1 , , l k

Nếu X Z l  1, ,l k  khác rỗng và các phương trình tuyến tính xác định là độc lập, khi đó số chiều của X là nk và số đối chiều của X là: codimX dim n dimX k.

Số chiều của các đa tạp tuyến tính được xác định dựa trên lý thuyết đại số tuyến tính, trong khi đối với các đa tạp không tuyến tính, chúng ta sử dụng khái niệm trực giác để hiểu về số chiều của chúng.

Ví dụ 1.3.1.5 Một siêu mặt X  n là một đa tạp được cho bởi phương trình

X Z f Nó là một đa tạp của đối chiều 1 Nếu n3, siêu diện được gọi là một mặt

Cho f   x 2  y 2  z 2   z   1  K x y z  ; ;  Khi đó, Z f    3 là khả quy bao gồm hai thành phần: một hình nón qua O có phương trình x 2  y 2 z 2 0 và mặt phẳng z1

Ví dụ 1.3.1.6 Một siêu mặt trong A 2 là một đường cong đại số phẳng Một parabol có thể được cho bởi tham số hóa t   t t , 2 hoặc đơn giản là

2 , y x K x y Không phải mọi đường cong phẳng đều có một tham số hóa

Ví dụ 1.3.1.7 Một cubic xoắn là một đường cong trong 3 được cho bởi tham số hóa t  t t t , , 2 3  hay được cho bởi hai phương trình f 1  y x 2 và

Số chiều của một đa tạp V, ký hiệu là dim(V), được định nghĩa là bậc siêu việt của K x trên K Một đa tạp được gọi là không kỳ dị nếu nó thỏa mãn các điều kiện nhất định.

1, , m f f K x là tập các phần tử sinh của I V   Thế thì, V là không kỳ dị

(hoặc trơn) tại P nếu ma trận cấp m n

  có hạng n  dim   V Nếu V không kỳ dị tại mọi điểm thì ta nói V không kỳ dị

Ví dụ 1.3.1.10 Cho hai đa tạp

V y  x x và V 2 :y 2 x 3 x 2 Dựa vào định nghĩa kỳ dị, ta có các điểm kỳ dị của V 1 và V 2 có tọa độ lần lượt thỏa mãn sing 2

Do đó, V 1 là không kỳ dị, còn V 2 có một điểm kỳ dị là   0;0

Hình 1.2 Từ trái sang: đường cong trơn và đường cong kỳ dị

1.3.2 Đa tạp xạ ảnh Định nghĩa 1.3.2.1 (Không gian xạ ảnh) Không gian xạ ảnh n-chiều P n (hoặc

P n K ) trên K là tập hợp các lớp tương đương của bộ  n  1 -phần tử của K mà tất cả không đồng thời bằng 0, với quan hệ tương đương , ở đây

 a 0 ; ; a n    b 0 ; ; b n  nếu có một hằng số khác 0, K sao cho

Một phần tử P p 0 : :p n P n được gọi là một điểm Các p i là các tọa độ thuần nhất của P

Một tập hợp các nghiệm zero trong P n của một đa thức f thuộc K[x] không được định nghĩa rõ ràng Tuy nhiên, nếu f là một đa thức thuần nhất, thì tập hợp này sẽ được định nghĩa một cách chính xác.

 0; ; n  d  0; ; n  f p p  f a a , d là bậc của f Định nghĩa 1.3.2.2 (Ideal thuần nhất) Ideal I K x  0; ;x n  là thuần nhất nếu nó được sinh ra bởi các đa thức thuần nhất

Tổng, tích và giao của các ideal thuần nhất đều tạo thành một ideal thuần nhất Hơn nữa, nếu một ideal thuần nhất I không phải là nguyên tố, thì tồn tại các đa thức thuần nhất f và g sao cho tích fg thuộc I, trong khi cả f và g đều không thuộc I.

Bây giờ, ta cho V là một ideal thuần nhất của K x   Mỗi ideal I như vậy tương ứng một tập con của P n có dạng

Tập đại số xạ ảnh, ký hiệu là V I, được định nghĩa là một tập hợp có cấu trúc đặc biệt Nếu V là một tập đại số xạ ảnh, thì ideal (thuần nhất) của V sẽ được ký hiệu là

I V , là một ideal của K x   sinh bởi

Trong toán học, một tập đại số xạ ảnh V được định nghĩa là một đa tạp xạ ảnh nếu ideal thuần nhất I_V của nó là ideal nguyên tố trong K[x] Điều này có nghĩa là mọi hàm f thuộc K[x] thỏa mãn điều kiện fP = 0 với P thuộc V đều là hàm thuần nhất.

Ta luôn có thể nhúng một không gian afin vào không gian xạ ảnh có cùng số chiều với ví dụ như sau:

Nói một cách khác, một không gian xạ ảnh có số chiều n có thể bị phủ bởi

Khi đó, một phép đẳng cấu U i n được mô tả như sau:

Ví dụ 1.3.2.5 Cho đa tạp xạ ảnh

Khi đó, V là đa tạp trong P 2 cho bởi phương trình thuần nhất

Đa tạp này còn có một điểm ở vô cực là 0 :1: 0 Do đó, 

V  x y A y x   Định nghĩa 1.3.2.6 (Số chiều của đa tạp xạ ảnh) Cho V K/ là đa tạp xạ ảnh và n n

Một không gian con A của V sao cho giao của V và A n không rỗng có số chiều bằng số chiều của V và A n Định nghĩa 1.3.2.7 đề cập đến trường các hàm trên một đa tạp xạ ảnh V, được xác định là trường của các hàm hữu tỉ F x, với F x = f x / g x, trong đó f x và g x là các hàm xác định trên V.

(i) f và g là các ánh xạ thuần nhất có cùng bậc

(iii) Hai hàm f 1 /g 1 và f 2 /g 2 là đồng nhất nếu f g 1 2 f g 2 1I V  .

Đường cong elliptic

1.4.1 Giống (loại) của đường cong

Cho X là đường cong xạ ảnh không kỳ dị trên một trường đầy đủ K Giống của

X là một số nguyên không âm g để đo độ phức tạp hình học của X Nó có các định nghĩa tương đương sau:

(a) g dim K , ở đây  là không gian vectơ của vi phân chính quy trên X.

(Chính quy có nghĩa là “không cực điểm” Nếu K  thì chính quy có nghĩa là chỉnh hình.)

(b) g là giống tôpô của mặt Riemann compact X   (định nghĩa này chỉ có nghĩa nếu K nhúng được vào )

Đường cong phẳng bậc d song hữu tỉ với X có thể chứa các điểm kỳ dị, trong đó một ví dụ điển hình là đường cong phẳng bậc 3 không kỳ dị có giống là 1.

1.4.2 Các định nghĩa đường cong elliptic

Cho K là một trường hoàn chỉnh Một đường cong elliptic trên K có thể được định nghĩa bằng một trong những cách sau:

(1) Bao đóng xạ ảnh của một đường cong không kỳ dị được định nghĩa bởi một phương trình Weierstrass (ta sẽ trình bày cụ thể ở chương 2) như sau:

Nếu đặc số của K khác 2 và 3, người ta có thể hạn chế sự chú ý tới các bao đóng xạ ảnh của các đường cong y 2 x 3 AxB

Chúng ta có thể khẳng định rằng đa thức x^3 + Ax + B không có nghiệm kỳ dị nếu và chỉ nếu nó có các nghiệm khác biệt trong trường K Điều này xảy ra khi và chỉ khi biệt thức của đa thức này thỏa mãn một điều kiện nhất định.

(2) Một đường cong giống một xạ ảnh không kỳ dị trên K được trang bị với một điểm K-hữu tỉ 0

(3) Một đa tạp nhóm xạ ảnh một chiều trên K

Nếu  0;0 là một điểm trên đường cong afin f x y   ;  0 trên K Khi đó   0;0 là một điểm kỳ dị nếu cả hai f x

Một đường cong afin được coi là không kỳ dị khi không có điểm kỳ dị nào tồn tại Đường cong xạ ảnh F(X, Y, Z) = 0 cũng là không kỳ dị nếu các mảnh afin của nó không chứa điểm kỳ dị.

1.4.4 Bậc của ánh xạ giữa các đường cong elliptic

Mệnh đề 1.4.4.1 nêu rõ rằng nếu C là một đường cong elliptic, V là một đa tạp con của P n, và P là một điểm trơn thuộc C, thì ánh xạ hữu tỉ  từ C đến V sẽ là chính quy tại P Đặc biệt, trong trường hợp C là đường cong trơn, ánh xạ  sẽ trở thành một đồng cấu.

CHỨNG MINH Giả sử  f 0; ;f N  với f i K C  , và chọn trước một cái đơn trị hóa t  K C   cho C tại P Đặt

  ord P t  n f i 0 với mọi i và ord P  t  n f j   0 cho một vài j nào đó

Vậy mọi t  n f i là chính quy tại P và  t  n f j    P  0 , suy ra  chính quy tại P Định nghĩa 1.4.4.2 (Bậc của ánh xạ giữa hai đường cong elliptic) Cho

Ánh xạ   là sự biểu diễn của các đường cong elliptic trên K Nếu  là ánh xạ hằng, bậc của  sẽ được quy ước là 0 Ngược lại, nếu không phải là ánh xạ hằng,  được coi là một ánh xạ hữu hạn và bậc của nó sẽ được định nghĩa theo cách khác.

Trong lý thuyết trường, một trường mở rộng K của trường cơ sở C được phân loại thành tách được, không tách được, hoặc không tách được thuần túy dựa trên tính chất của trường mở rộng Chúng ta ký hiệu bậc tách được của sự mở rộng là deg s  và bậc không tách được là deg i .

1.4.5 Isogeny và dual isogeny Định nghĩa 1.4.5.1 (Isogeny) Cho E 1 và E 2 là các đường cong elliptic Một isogeny từ E 1 vào E 2 là một đồng cấu

Hai đường cong elliptic E 1 và E 2 là isogeny nếu có một isogeny từ E 1 vào E 2 mà

Ví dụ 1.4.5.2 Với mỗi m ta định nghĩa isogeny nhân bởi m

Trong phần luật nhóm ở chương sau, phép toán cộng và trừ sẽ được trình bày Định nghĩa 1.4.5.3 về nhóm con m-xoắn cho một đường cong elliptic E, với m thuộc số nguyên và m lớn hơn hoặc bằng 1, nhóm con m-xoắn của E, ký hiệu là E m, là tập hợp các điểm của E có cấp m.

Nhóm con xoắn của E, ký hiệu là E tors , là tập hợp các điểm của E có cấp hữu hạn, tức là

Nếu E được định nghĩa trên K, thì E tors(K) là tập hợp các điểm có cấp hữu hạn của E Định nghĩa 1.4.5.4 về dual isogeny cho biết rằng nếu có một isogeny : E1  E2, thì dual isogeny của  là một isogeny bậc m.

(Ở đây, giả sử     0 Nếu     0 thì ta quy ước     0 )

Việc tồn tại isogeny  được chứng minh rõ trong ([5], III.6.1/81) Ta sẽ thừa nhận định lý sau mà không trình bày chứng minh Định lý 1.4.5.5 Cho :E 1 E 2 là một isogeny

    (c) Nếu  :E 1 E 2 là một isogeny khác thì

1.4.6 Đường cong elliptic thông thường và siêu kỳ dị

Trước hết, ta thừa nhận bổ đề sau

Bổ đề 1.4.6.1 Cho E là đường cong elliptic trên trường F p Khi đó, ánh xạ   n là tách được nếu và chỉ nếu n không chia hết cho p

Hạt nhân của ker   p là E p   hoặc là nhóm cyclic cấp p hoặc là tầm thường Đường cong elliptic E được phân loại thành hai loại: thông thường nếu E p    / p và siêu kỳ dị nếu E p      0 Định lý cho biết rằng nếu có một isogeny :E 1 E 2, thì E 1 là siêu kỳ dị khi và chỉ khi E 2 cũng siêu kỳ dị; tương tự, E 1 là thông thường khi và chỉ khi E 2 thông thường.

CHỨNG MINH Giả sử p 1End  E 1 và p 2End  E 2 lần lượt là các ánh xạ nhân bởi p trên E 1 và E 2 Vì isogeny  là một đồng cấu nhóm nên

E 1 được coi là siêu kỳ dị nếu và chỉ nếu bậc của i tại p1 bằng 1, đồng thời bậc của i tại p2 cũng bằng 1, và điều này tương ứng với việc E 2 cũng là siêu kỳ dị Từ đó, có thể kết luận rằng E 1 sẽ là thông thường nếu và chỉ nếu E 2 cũng thông thường.

CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

Tổng quan về đường cong dạng weierstrass

2.1.1 Mô tả đường cong dạng Weierstrass Đối tượng cơ bản mà ta nghiên cứu là đường cong elliptic Bằng việc chọn mục tiêu thích hợp, phương trình của đường cong elliptic có dạng:

Chúng ta sẽ nghiên cứu các đường cong được mô tả bởi phương trình Weierstrass, với điểm nền O = [0:1:0] và các hệ số a1, a2, a3, a4, a5, a6 thuộc tập K Để đơn giản hóa ký hiệu, phương trình Weierstrass của đường cong elliptic sẽ được viết lại theo tọa độ không thuần nhất bằng cách đặt x = X/Z và y = Y/Z.

E y a xy a y x a x a x a , và hãy luôn nhớ rằng còn một điểm nữa là O   0 :1: 0  ở vô cực Nếu

1, , 6 a a K thì ta nói E được định nghĩa trên K

Nếu char   K  2 thì bằng phép biến đổi:

2   y y a x a đưa phương trình của ta về dạng

Ta cũng định nghĩa những lượng sau:

Dễ dàng kiểm tra chúng thoả mãn:

4b b b b và 1728  c 4 3 c 6 2 Hơn nữa, nếu char   K  2;3 thì phép biến đổi

  x b y x y sẽ khử số hạng x 2 , ta thu được phương trình đơn giản hơn

Các đường cong elliptic được định nghĩa qua các yếu tố quan trọng như biệt thức (Δ), j-bất biến (j), và vi phân bất biến (ω) liên quan đến phương trình Weierstrass Biệt thức Δ phản ánh tính chất của đường cong, trong khi j-bất biến j cung cấp thông tin về hình dạng của đường cong elliptic Vi phân bất biến ω cũng đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các đặc điểm của đường cong này.

Khi phác thảo quỹ tích của một phương trình Weierstrass, nếu  = 0, đường cong sẽ trở nên kỳ dị Trong trường hợp này, có hai khả năng xảy ra như được minh họa trong hình 3.2.

Từ những ví dụ này, ta đưa ra trường hợp tổng quát Cho P x y 0; 0  là điểm có toạ độ thỏa mãn phương trình Weierstrass sau:

 ;  2  1  3   3 2 2  4  6 0 f x y y a xy a y x a x a x a , và giả sử rằng P là một điểm kỳ dị trên đường cong f x y   ;  0 Thế thì, từ (I.1.5) ta có:

Theo đó, có , K sao cho khai triển Taylor của f x y   ; tại P có dạng

 yy 0  xx 0     yy 0  xx 0   xx 0  3 Định nghĩa 2.1.1.3 (Điểm nút, điểm lùi) Với ký hiệu như trên, điểm kỳ dị P là điểm nút nếu   Trong trường hợp này, các đường thẳng

   y y x x và yy 0  xx 0  là các tiếp tuyến tại P Ngược lại, nếu   thì ta nói P là điểm lùi, khi đó tiếp tuyến tại P là

Hình Từ trái sang: điểm lùi và điểm nút của đường cong elliptic

Giả sử rằng đường thẳng ở vô cực là Z 0 trong P 2 giao với E tại duy nhất điểm 0 :1: 0 , khi đó bằng phép biến đổi 

Bằng cách sử dụng phép đổi biến với các ký hiệu x, u, y, s, t và các giá trị u khác nhau trong tập K (với điều kiện u khác 0), chúng ta có thể đơn giản hóa quá trình tính toán Dưới đây là bảng tính toán các hệ số và các đại lượng tương ứng của phương trình mới.

       ua a s u a a sa r s u a a ra t u a a sa ra t rs a r st u a a ra r a r ta t rta

Giả sử đặc số của K khác 2 và 3, phương trình Weierstrass của đường cong elliptic có dạng

Phép đổi biến duy nhất bảo tồn dạng của phương trình là

(a) Đường cong cho bởi phương trình Weierstrass thoả mãn:

(i) Là không suy biến nếu và chỉ nếu  0

(ii) Có một điểm nút nếu và chỉ nếu  0 và c 4 0

(iii) Có một điểm lùi nếu và chỉ nếu  c 4 0

Trong trường hợp (ii) và (iii), đường cong chỉ có một điểm kỳ dị duy nhất Hai đường cong elliptic được coi là đẳng cấu trên K khi và chỉ khi chúng sở hữu j-bất biến giống nhau.

(c) Cho j 0 K, thế thì tồn tại một đường cong elliptic được định nghĩa trên

CHỨNG MINH Cho E được xác định bởi phương trình Weierstrass

E f x y y a xy a y x a x a x a Trước tiên, ta chỉ ra rằng điểm vô cực O   0 :1: 0  là không kỳ dị Ta có đường cong trong P 2 với phương trình thuần nhất

Z , nên O là điểm không kỳ dị của E

Tiếp theo, giả sử E suy biến và điểm P 0  x y 0; 0  Phép biến đổi

 x x x y y y không làm thay đổi các lượng  và c 4 Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử E suy biến tại  0;0 Khi đó,

  f f a f a a x y , nên phương trình của E trở thành

Khi đó, ta tính toán được

4  1 4 2 c a a và  0 Bằng định nghĩa, E có một điểm nút (điểm lùi) là  0;0 nếu dạng toàn phương

  y a xy a x có hai nhân tử phân biệt (bằng nhau), điều này xảy ra nếu và chỉ nếu

Chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh các phần (ii) và (iii) Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành chứng minh phần (i) Cần lưu ý rằng, nếu E không suy biến thì định thức  khác không Để đơn giản hóa các phép tính, chúng ta giả sử rằng đặc trưng của trường K khác 2.

E có phương trình Weierstrass dạng

E y x b x b x b Đường cong E suy biến nếu và chỉ nếu tồn tại một điểm  x y 0; 0 E thoả mãn

2y 12x 2b x 2b 0 Nói cách khác, các điểm kỳ dị là các điểm có dạng  x 0;0 sao cho x 0 là nghiệm kép của đa thức bậc ba

Đa thức 4x + bx + 2bx + b có nghiệm kép khi và chỉ khi biệt thức của nó triệt tiêu, tức là Δ = 0 Điều này chứng minh rằng đường cong E chỉ có nhiều nhất một điểm kỳ dị, vì một đa thức bậc ba không thể có hai nghiệm kép.

(b) Nếu hai đường cong elliptic đẳng cấu nhau, thì phép biến đổi

 x u x r y u y u sx t chỉ ra rằng chúng có cùng j-bất biến Ngược lại, giả sử char   K  5 , E và E' có cùng j-bất biến và có phương trình Weierstrass lần lượt là

Ta tìm một đẳng cấu có dạng   x y ;   u x u y 2 '; 3 '  và lúc đó xảy ra ba trường hợp sau:

 Trường hợp 1 A  0  j  0  Khi đó B  0 , mà   0 nên A '  0 , ta có ngay đẳng cấu với u   B B / '  1/6

 Trường hợp 2 B  0  j  1728  Khi đó A0, mà B'0 và do đó ta thu được u   A A / '  1/4

 Trường hợp 3 AB0  j  0;1728  Khi đó ' ' 0A B  , vì nếu một trong hai bằng 0 sẽ kéo theo thừa số còn lại bằng 0, mâu thuẫn với ' 0  Ta có đẳng cấu với u   A A / '  1/4   B B / '  1/6

(c) Giả sử j 0 0;1728 và đường cong

Bằng tính toán, ta được

Do đó, đường cong E có phương trình như trên là đường cong cần tìm ứng với

Cuối cùng, ta xét các đường cong:

Vậy ta được điều cần chứng minh

Nếu đường cong E được mô tả bởi phương trình Weierstrass suy biến, thì có một ánh xạ hữu tỉ bậc một từ E đến P1, cho thấy rằng đường cong E là song hữu tỉ với P1.

CHỨNG MINH Với phép biến đổi tuyến tính, ta giả sử rằng điểm kỳ dị là

    x y ;  0;0 Kiểm tra các đạo hàm riêng tại  0;0 , ta có phương trình Weierstrass của E có dạng

E y a xy x a x Thế thì ánh xạ hữu tỉ

E P x y x y có bậc một, vì ánh xạ ngược

Công thức trên được hình thành bằng cách chia hai vế của phương trình Weierstrass của E cho x² và đặt y = tx Khi đó, phương trình chuyển thành t² + at + a₂ = x Điều này cho thấy cả x và y = xt đều thuộc K(t).

Phương trình Weierstrass có dạng Legendre là một dạng đặc biệt giúp ích nhiều trong nghiên cứu Định nghĩa này được thể hiện qua các đặc điểm cụ thể của phương trình.

Mệnh đề 2.1.2.2 Giả sử rằng char   K  2

(a) Mọi đường cong elliptic đều đẳng cấu trên K với một đường cong dạng

K  K j E là toàn ánh và chính xác là 6–1 khi j0;1728, khi j0 thì nó là 2–1 còn

1728 j thì nó là 3–1 (nếu có thêm char   K  3 thì nó là 1–1 và j 0 1728) CHỨNG MINH (a) Vì char   K  2, phương trình Weierstrass của E có dạng sau

Thế   x y ; bởi  x ; 2 y  và viết lại phương trình dưới dạng tích của các nhân tử

  e e e e e e  , ta có các e i đôi một phân biệt Phép biến đổi

 x e e x e y e e y sẽ đưa phương trình của ta trở thành phương trình mới có dạng Legendre với

Dựa vào mệnh đề (III.1.4b), j-bất biến có thể được sử dụng để phân loại các đường cong elliptic đẳng cấu Nếu j E(λ) = j E(μ), thì E(λ) và E(μ) là đẳng cấu với nhau, và các phương trình Weierstrass (dạng Legendre) của chúng sẽ khác nhau chỉ bởi một phép biến đổi.

    r r r x x x x x x u u u , ta có sáu trường hợp của  như sau

Vì vậy  j E    là ánh xạ 6–1

 Với j0 ta có  2    1 0 tức  j E    là ánh xạ 2–1

Cuối cùng, nếu char   K  3 thì các giá trị  này trùng nhau và phương trình

     0 1728 j có nghiệm duy nhất là   1.

Luật nhóm

Cho E là đường cong elliptic được cho bởi phương trình Weierstrass, thế thì

E P bao gồm tất cả các điểm P    x y ; nghiệm đúng phương trình Weierstrass đó và điểm O   0 :1: 0  ở vô cực Cho L là một đường thẳng trong

Vì phương trình đã cho có bậc ba, đường thẳng L sẽ cắt đường cong E tại ba điểm P, Q, R Trong trường hợp L tiếp xúc với E, các điểm P, Q, R không nhất thiết phải phân biệt.

Ta định nghĩa luật hợp thành  trên E bởi quy tắc sau:

Luật hợp thành 2.2.1.1 Cho P Q, E, L là đường thẳng qua P và Q (nếu

Đường thẳng L là tiếp tuyến của đường cong E tại điểm P, với R là giao điểm còn lại của L và E Nếu gọi L' là đường thẳng đi qua R và O, thì L' sẽ cắt E tại R, O và một điểm thứ ba mà chúng ta ký hiệu là P Q+.

Các ví dụ khác nhau của luật hợp thành được minh hoạ bởi hình sau

Mệnh đề 2.2.1.2 Luật hợp thành có những tính chất sau:

(a) Nếu đường thẳng L cắt E tại các điểm P Q R, , (không nhất thiết phải phân biệt), thì

(d) Cho PE, khi đó tồn tại một điểm trên E mà ta ký hiệu là P thoả mãn

Nói cách khác, E được trang bị luật hợp thành này trở thành nhóm abel với phần tử đơn vị là O Hơn nữa:

(f) Giả sử rằng E được định nghĩa trên K, khi đó:

E K x y K y a xy a y x a x a x a O là nhóm con của E

CHỨNG MINH Các chứng minh tương đối đơn giản, tuy nhiên phần chứng minh mục (e) khá cồng kềnh nên ta sẽ thừa nhận nó

(a) Đường thẳng nối PQ và R cắt E tại O, khi đó ta có giao điểm của tiếp tuyến của E tại O cắt E tại điểm thứ ba cũng chính là O, tức  P Q     R O

(b) Đường thẳng L qua ,P O cắt E tại điểm thứ ba là R, khi đó 'L qua ,R O cắt

E tại điểm thứ ba là P O Mà L và L' cùng đi qua hai điểm R và O nên

(c) Rõ ràng, cách xây dựng phép toán  là đối xứng nên ta luôn có P Q  Q P với mọi ,P QE

(d) Giả sử đường thẳng qua ,P Q cắt E tại điểm thứ ba là R Theo (a) ta có

 P Q     R O Lấy Q  O và kết hợp với (b) ta có O   P O      R P R

Suy ra điểm R là điểm cần tìm và ta ký hiệu nó là P

Nếu hai điểm P và Q có tọa độ trong không gian K, thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này cũng có hệ số thuộc K Giả sử E được định nghĩa trên K, giao điểm thứ ba của hai đường có tọa độ sẽ là kết quả tính toán giữa các hệ số của phương trình hai đường, và nó vẫn thuộc K Thuật toán về luật nhóm sẽ cung cấp những công thức tính toán rõ ràng hơn cho vấn đề này.

Như vậy, đường cong elliptic cùng với phép toán hợp thành  lập thành một nhóm abel

Chú ý Với m và PE, ta ký hiệu:

Bây giờ, ta sẽ trình bày công thức tường minh cho phép toán nhóm trên E Giả sử E là đường cong elliptic định bởi phương trình Weierstrass

F x y y a xy a y x a x a x a , và P 0  x y 0; 0 E Theo định lý vừa chứng minh trên, để tìm P 0 ta cần tìm giao điểm thứ ba của đường thẳng L đi qua P O 0 , với E Phương trình của L là

L x x Thay vào phương trình của E, ta được một đa thức bậc hai F x y  0;  có hai nghiệm y 0 và y 0 ', trong đó  P 0  x y 0; 0' Ta có thể viết

F x y c y y y y và đồng nhất hệ số của y 2 ta được c1, còn đồng nhất hệ số của y cho ta

Tiếp theo, ta đưa ra công thức cho luật cộng Giả sử

P x y và P 2  x y 2; 2  là hai điểm trên E Nếu x 1 x 2 và y 1 y 2 a x 1 2 a 3 0, thì P 1 P 2 O Ngược lại, thì đường thẳng L qua P P 1 , 2 (hoặc tiếp tuyến của E nếu P 1 P 2 ) có phương trình dạng

L y x ; công thức cụ thể cho  và  sẽ được trình bày cụ thể bên dưới Thay phương trình của L vào phương trình của E, ta thu được F x  ;  x    có ba nghiệm

1, 2, 3 x x x , trong đó P 3  x y 3; 3  là điểm thứ ba của LE Khi đó:

F x x c x x x x x x Đồng nhất các hệ số của x 3 cho ta c 1, tiếp đến là hệ số của x 2 cho ta

Nó cho ta công thức tính x 3 , và thay vào phương trình của L ta suy ra

3  3 y x Khi có toạ độ của P 3 ta tìm được P 3 , ta tính được P 1 P 2  P 3 Bây giờ ta sẽ tóm tắt lại nội sung của thuật toán

Thuật toán về luật nhóm 2.2.1.3 Cho E là đường cong elliptic định bởi phương trình Weierstrass

P P P với P i   x y i ; i   E với i1;2;3 (b) Nếu x 1 x 2 và y 1 y 2 a x 1 2 a 3 0, thì

P P O Ngược lại, ta định nghĩa  và  bởi các công thức sau:

Thì yx là đường thẳng đi qua P P 1 , 2 hoặc là tiếp tuyến của E nếu P 1 P 2 (c) Dùng ký hiệu như mục (b), P 3  P 1 P 2 có toạ độ

(d) Trường hợp đặc biệt của mục (c), ta cho P 1  P 2 ,

          y y y y x P P a a x x x x x x , và công thức tương tự cho P    x y ;  E ,

    x b x b x b x P x b x b x b , trong đó b b b b 2 , 4 , , 6 8 đã được nêu trong phần phương trình Weierstrass

Hệ quả 2.2.1.4 Với cùng ký hiệu như trên, một hàm f  K E    K x y   ; là hàm chẵn nếu f P    f    P với mọi P  E Thế thì, f là hàm chẵn nếu và chỉ nếu f  K x  

Chứng minh rằng nếu P = (x₀, y₀) thì -P = (x₀, -y₀) Từ đó, mọi phần tử trong K(x) đều là chẵn Giả sử f ∈ K(x, y) là chẵn, ta có thể viết lại phương trình Weierstrass của E dưới dạng mới.

Nhờ tính chẵn của hàm f ta suy ra

Kéo theo với mọi   x y ;  E thì hoặc h đồng nhất bằng không, hoặc

2a a 0 Nhưng trường hợp thứ hai lại dẫn đến biệt thức  0, mâu thuẫn với giả thuyết phương trình Weierstrass không kỳ dị Do đó, h0 và E và

2.2.2 Ví dụ về luật nhóm

Cho E/ là đường cong elliptic

Bằng một số tính toán đơn giản, ta đưa ra một vài điểm trên E có toạ đọ như sau:

Bằng thuật toán của luật nhóm, ta dễ dàng tính toán được

Hiển nhiên, cũng sẽ có những điểm có toạ độ hữu tỉ không nguyên, chẳng hạn như

Ta sẽ khẳng định điều sau đây mà không chứng minh, đó là mọi điểm hữu tỉ

P E đều có thể được viết dưới dạng

P m P n P với mọi ,m n , và từ đó, ta có E   đẳng cấu với  Thông tin thêm là chỉ có 16 điểm có toạ độ nguyên trên E, đó là P 1; ;P 8 .

Ánh xạ hữu tỉ và đồng cấu frobenius

2.3.1 Ánh xạ hữu tỉ giữa các đa tạp Định nghĩa 2.3.1.1 (Ánh xạ hữu tỉ) Cho V V 1 , 2 P n là các đa tạp xạ ảnh Một ánh xạ hữu tỉ từ V vào 1 V 2 có dạng

:V V ,  f 0: : f n , trong đó, các hàm f 0, ,f n K V   1 có tính chất với mọi P V 1 thì

 P  f P f n P   V Nếu V V 1 , 2 được định nghĩa trên K thì

G K K tác động lên  bằng cách

 P  f P f n P  Chú ý rằng ta có công thức

Trong bài viết này, chúng ta xem xét định nghĩa của hàm số  P  P với mọi G K K / và P V 1 Nếu tồn tại K* sao cho f 0, ,f n K V   1, thì hàm số  được coi là được định nghĩa trên K Cần lưu ý rằng các giá trị  f 0: : f n  và f 0: :f n  là tương đương, do đó, hàm số  được định nghĩa trên K nếu và chỉ nếu    với mọi

Ánh xạ hữu tỉ \( \varphi: V_1 \rightarrow V_2 \) không nhất thiết phải là một hàm được định nghĩa tốt tại mọi điểm trong \( V_1 \) Tuy nhiên, có thể xác định \( \varphi(P) \) với \( P \in V_1 \) mà hàm \( f_i \) không chính quy bằng cách thay thế \( f_i \) bằng \( g f_i \), với \( g \) là một hàm thích hợp thuộc \( K(V_1) \) Định nghĩa ánh xạ hữu tỉ chính quy được nêu rõ trong phần này.

  f f n V V là chính quy (hoặc được định nghĩa) tại P V 1 nếu tồn tại hàm gK V   1 thoả mãn

(i) các gf i chính quy tại P;

(ii) tồn tại i để    gf i P  0

Nếu hàm g như thế tồn tại thì ta đặt

 P   gf P gf n P  Một ánh xạ hữu tỉ chính quy tại mọi điểm thì ta gọi là đồng cấu

Chú ý rằng với các đa tạp xạ ảnh V1 thuộc Pm và V2 thuộc Pn, các hàm thuộc KV(1) có thể được mô tả dưới dạng tỷ số của các đa thức thuần nhất cùng bậc trong KX[0; X^m] Bằng cách nhân một đa thức thuần nhất vào ánh xạ hữu tỉ φ = [f0: f1: : fn], chúng ta có thể khử mẫu thức của các fi, từ đó dẫn đến một định nghĩa khác.

Một ánh xạ hữu tỉ :V 1 V 2 có dạng

(i) các  i   X K X  K X  0; ;X n  là các đa thức thuần nhất có cùng bậc (không cần chúng phải thuộc hết vào I V   1 )

Rõ ràng, hàm    P được định nghĩa tốt cho một số giá trị  i   P khác không Tuy nhiên, ngay cả khi tất cả các giá trị  i   P đều bằng không, chúng ta vẫn có thể điều chỉnh hàm  để làm cho hàm    P trở nên "đẹp" hơn.

Một ánh xạ hữu tỉ 0: : n :V 1V 2 như trên là chính quy (hoặc được định nghĩa) tại P V 1 nếu tồn tại các đa thức thuần nhất 0, , n K X   thoả mãn

(iii)  i   P  0 với một vài i nào đó

Ánh xạ hữu tỉ trên chính quy tại mọi điểm được gọi là đồng cấu Định nghĩa 2.3.1.3 về đẳng cấu đa tạp nêu rõ rằng, cho hai đa tạp xạ ảnh V1 và V2, chúng ta nói V1 và V2 đẳng cấu nhau, ký hiệu là V1  V2, nếu tồn tại các đồng cấu : V1  V2.

 :V V sao cho   và   là các ánh xạ đồng nhất lần lượt trên V 1 và V 2

Ta nói V 1 /K và V 2 /K là đẳng cấu nhau trên K nếu  và  được định nghĩa trên K

Ví dụ 2.3.1.4 Giả sử char   K  2 và V là đa tạp

V X Y Z Cho ánh xạ hữu tỉ

Rõ ràng  chính quy tại mọi điểm trên V ngoại trừ điểm  1: 0 : 1  , tức là tại điểm mà X  Z Y 0 Tuy nhiên, vì

    , và vì vậy  chính quy tại mọi điểm trên V, tức  là một đồng cấu Dễ dàng kiểm tra lại rằng ánh xạ

 P V  S T ST S T , là đồng cấu ngược của , kéo theo V và P 1 đẳng cấu nhau

Ví dụ 2.3.1.5 Cho V là đa tạp

V Y Z X X Z và các ánh xạ hữu tỉ

V P Y X Ở đây,  là một đồng cấu, trong khi  không chính quy tại  0 : 0 :1  Ta muốn nhấn mạnh dù các ánh xạ hợp   và   là ánh xạ đồng nhất, nhưng bản thân

 và  không là đẳng cấu, vì  không là đồng cấu

Ví dụ 2.3.1.6 Xét các đa tạp

Chúng không đẳng cấu nhau trên Thật vậy, vì V 2    (theo (I.2.5)) trong khi V 2    Tuy nhiên, hai đa tạp này đẳng cấu nhau trên   3 , chẳng hạn là đẳng cấu

Giả sử rằng trường \( K \) có đặc trưng \( p > 0 \) và \( q = p^r \) Với đa thức \( f \in K[X] \), ta định nghĩa \( f(q) \) là đa thức được tạo ra từ \( f \) bằng cách nâng lũy thừa các hệ số của \( f \) lên mũ \( q \) Do đó, với đường cong \( C/K \), ta có thể xác định đường cong \( C(q)/K \) mà lý thuyết lý tưởng thuần nhất của nó được xác định bởi.

Hơn nữa, có một ánh xạ tự nhiên từ C vào C   q được gọi là đồng cấu Frobenius bậc q định bởi

Bây giờ ta chứng minh  định nghĩa tốt, nghĩa là với mọi điểm

P x x C, ảnh    P là không điểm của mỗi phần tử sinh f   q của ideal

Ví dụ 2.3.2.1 Cho C là đường cong trong P 2 cho bởi phương trình

Khi đó C   q là đường cong cho bởi phương trình

Mệnh đề 2.3.2.2 Cho K là trường có đặc số p0, đặt q p r , C K/ là một đường cong và :C C   q là đồng cấu Frobenius bậc q

(b)  là không tách được thuần tuý

Các phần tử của K C đều có dạng thương f g, trong đó f và g là các đa thức thuần nhất cùng bậc Điều này cho thấy rằng trường con  * K C là một phần của K C.

Tương tự, K C   q là trường con của K C   với

Tuy nhiên, vì K là trường đầy đủ nên mọi phần tử của K đều là một luỹ thừa bậc q, từ đó

  q i q i f X g X cho ta cùng một trường con của K C  

(b) Được suy ra ngay từ (a)

(c) Giả sử rằng P  K C   là một điểm trơn Cho t  K C   là cái đơn trị hoá tại

P Thế thì từ (II.1.4) ta suy ra K C   tách được trên K t   Xét sơ đồ

K C tách được không tách được

2.3.3 Cấu trúc nhóm của đường cong elliptic trên trường hữu hạn

Cho E là một đường cong elliptic trên trường hữu hạn F q có q phần tử Vì

E F là tập con của P 2(F q), do đó E F(q) là một nhóm abel hữu hạn Hasse đã chứng minh rằng #E F(q) = q + 1 - a, trong đó a ≤ 2√q, một trường hợp đặc biệt của "phỏng đoán Weil" Thuật toán của Shoof đã tính toán #E F(q) với độ phức tạp O(log q), và chúng ta sẽ không giải thích cách xác định #E F(q) theo modulo l Với mỗi số nguyên tố l, chúng ta có xấp xỉ log q, và định lý số dư Trung Hoa đã được áp dụng để xem xét #E F(q).

Ví dụ 2.3.3.1 Cho E là đường cong elliptic y 2 x 3  x 1 trên trường F 3 Định lý

Hass chỉ ra rằng 1 # E   3 7 Thật ra

Ví dụ 2.3.3.2 Cho E là đường cong elliptic y 2 x 3 x trên trường F 3 thì

Hình 2.5 Đường cong elliptic y 2  x 3 4x6 trên F 197

Các điểm của đường cong elliptic trên các trường hữu hạn

Đường cong elliptic Cho E F/ q được định nghĩa trên trường hữu hạn, và mục tiêu của chúng ta là ước lượng số lượng các điểm trên E F(q) Điều này tương đương với việc xác định số nghiệm của phương trình liên quan.

Vì mỗi giá trị của x ứng với hai giá trị của y, ta có

Kết quả trong luận án của E Artin, được Hasse chứng minh vào những năm 1930, xác nhận các phỏng đoán của E Artin là đúng Định lý 2.4.1.1 (Hasse) khẳng định rằng, cho E F/q là một đường cong elliptic trên trường hữu hạn.

#E F q   q 1 2 q CHỨNG MINH Giả sử E có phương trình Weierstrass với hệ số lấy trên F q , và cho

E E x y x y là đồng cấu Frobenius bậc q Vì nhóm Galois q / q

G F F được sinh (theo nghĩa tôpô) bởi ánh xạ bậc q trên F q , ta thấy rằng với P  E F   q ,

Ánh xạ 1−φ là tách được và có thể biểu diễn dưới dạng deg(1−φ) = q Do ánh xạ bậc trên End(E) là một dạng toàn phương xác định dương, với deg(φ) = q, theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có thể rút ra điều cần chứng minh.

Bổ đề 2.4.1.2 Cho E là một nhóm abel và

:  d A là một dạng toàn phương xác định Thế thì

L d d d là dạng song tuyến tính liên kết với dạng toàn phương d Vì d xác định dương, nên với mọi ,m n ,

0d m n m d  mnL  ; n d  Đặc biệt, nếu ta lấy

Bất đẳng thức cần chứng minh chỉ đúng khi   0; nếu   0, bất đẳng thức trở nên hiển nhiên Ứng dụng 2.4.1.3 cho thấy rằng với trường hữu hạn F q có q lẻ, chúng ta có thể áp dụng kết quả Hasse để ước lượng giá trị của các tổng đặc trưng trên F q.

   3  2      f x ax bx cx d K x là đa thức bậc ba có các nghiệm trong F q , và cho

Hàm chiếu F q được xác định bởi điều kiện rằng t là một bình phương trong F q * khi và chỉ khi F q (t) = 1 Để mở rộng hàm chiếu này lên F q, ta đặt F q (0) = 0 Nhờ vào hàm chiếu, chúng ta có thể đếm số điểm F q -hữu tỉ trên đường cong elliptic.

Trong không gian E y f x, với mỗi x thuộc F q, có thể tồn tại một hoặc hai điểm (x, y) thuộc E F(q) Giá trị f(x) có thể là một bình phương, bằng không, hoặc một bình phương trong F q Ngoài ra, còn có một điểm ở vô cực, từ đó ta có thể suy ra các đặc điểm quan trọng của hàm số này.

So sánh điều trên cùng với định lý Hasse ta có kết quả sau

Hệ quả 2.4.1.4 Sử dụng lại những ký hiệu ở trên, ta có

Ta có thể tóm tắt lại như sau: Với đường cong elliptic

E y x ax b , thì theo định lý Hasse ta có # E q a b , ,   F q    q 1 a q a b , , , trong đó a q a b , , 2 q Vì

, , q a b a là vết của đồng cấu Frobenius nên từ

2 , , q a b x a x q x x ta suy ra số các điểm của E q a b , , trên F q n là

Năm 1949, André Weil đã đưa ra nhiều phỏng đoán quan trọng về số lượng điểm trên các đa tạp định nghĩa trên các trường hữu hạn Bài viết này sẽ trình bày giả thuyết Weil và cung cấp chứng minh cho trường hợp các đường cong elliptic.

Với mỗi số thực n1, cho n

F q là mở rộng đến cấp n của F q , khi đó

F q q Cho V F/ q là đa tạp xạ ảnh xác định bởi tập nghiệm của hệ phương trình

1 0; ; N   m 1; ; N 0 f x x f x x , trong đó, f 1 , ,f m là các đa thức thuần nhất với hệ số thuộc F q Thế thì V F   q n là tập hợp các điểm thuộc V lấy toạ độ trên n

F q Ta mã hoá số các điểm trên V F   q n với n1 bởi một hàm tổng quát Định nghĩa 2.4.2.1 (Hàm zeta) Hàm zeta của V F/ q là chuỗi luỹ thừa

Z V F T V F T n Ở đây, với chuỗi luỹ thừa F T         T  không cò số hạng hằng, ta định nghĩa chuỗi luỹ thừa

Chú ý rằng nếu ta biết chuỗi Z V F T  / q ;  thì ta có thể tìm số # V F   q n bởi công thức

Ví dụ 2.4.2.2 Cho V P N , các điểm của V F   q được định bởi toạ độ thuần nhất

 x 0: :x N  với x i F q n không đồng nhất bằng không Hai bộ toạ độ ứng với cùng một điểm nếu chúng sai khác nhau một thừa số trong n *

Chú ý trong trường hợp này, hàm zeta thuộc   T Nhìn chung, nếu tồn tại các số

V F với mọi n1, 2, , thì Z V F T  / q ;  là một hàm hữu tỉ Định lý 2.4.2.3 (Phỏng đoán Weil) Cho V F/ q là một đa tạp xạ ảnh trơn N chiều

Tồn tại số nguyên  được gọi là đặc số Euler của V sao cho

Các nhân tử của hàm zeta

P T T và P 2 N  1 q T N , và thoả mãn mọi 0 i 2N, đa thức nhân tử P T i   trên là

Các số b i (cũng chính là bậc của P T i  ) được gọi là số Betti của V

Ta sẽ chứng minh phỏng đoán Weil cho đường cong elliptic Cho l là số nguyên tố khác p  char   F q Ta có ánh xạ

E T E và chọn một l -cơ sở của T E l  , ta có thể viết  l dưới dạng một ma trận vuông cấp hai, sau đó tính định thức và vết của chúng, det      l , tr  l  l

Mệnh đề 2.4.2.4 Cho   End   E , thế thì:

 tr    l   1 deg     deg 1     Đặc biệt, det    l và tr    l thuộc và không phụ thuộc vào l

CHỨNG MINH Xem chứng minh ở phần (III.8.6)

Ứng dụng mệnh đề cho đường cong elliptic trên trường hữu hạn cho phép tính toán số lượng điểm trên đường cong và suy ra một tính chất quan trọng của tự đồng cấu Frobenius Định lý 2.4.2.5 khẳng định rằng cho E F/ q là một đường cong elliptic.

E E x y x y là tự đồng cấu Frobenius cấp q, và đặt

(a) Cho ,  là hai nghiệm của đa thức T 2 aTq Khi đó,  và  là hai số phức liên hợp thoả mãn     q, và mọi n1,

(b) Tự đồng cấu Frobenius thoả mãn

CHỨNG MINH Trong phần chứng minh định lý Hasse, ta có

Dựa vào mệnh đề trên, ta tính được

Do đó, đa thức đặc trưng của  l là

(a) Vì đa thức đặc trưng của  l có hệ số trên , ta có thể viết lại như sau

Với mỗi số hữu tỉ m n ta có

Định thức của đa thức bậc hai \( det(T - \phi l) = T^2 - aT + \epsilon \) với \( T \) không âm cho thấy rằng nó có thể có hai nghiệm phức liên hợp hoặc một nghiệm kép Nếu tồn tại hai nghiệm phức, thì \( \alpha = \beta \) và từ đó dẫn đến \( det \) và \( deg \).

Ta chứng minh được kết luận đầu của (a)

Tương tự, với mỗi số nguyên n1, tự đồng cấu Frobenius bậc q thoả mãn

Theo đó đa thức đặc trưng của  l n là

Để chứng minh điều này, ta chuyển đổi ma trận  l về dạng chuẩn tắc Jordan, trong đó ma trận sẽ có cấu trúc tam giác trên với các giá trị  và  nằm trên đường chéo.

(b) Định lý Cayley – Hamilton chỉ ra  l thoả mãn phương trình đặc trưng của chính nó, vậy  l 2 a l  q 0 Từ đó:

 2   2    deg  aq det  l a l q det 0 0, và vì thế  2 aq là ánh xạ không trong End   E

Sử dụng (V.2.3.1a) để kiểm chứng phỏng đoán Weil cho đường cong elliptic Định lý 2.4.2.6 Cho E F/ q là đường cong elliptic, thế thì tồn tại a thoả mãn

1aT qT 2  1 T 1T với     q CHỨNG MINH Ta có

 n n n n n q T n (theo (V.2.3.1a)),   log 1   T   log 1    T   log 1    T   log 1   qT 

Từ (V.2.3.1a) ta có  và  là hai số phức liên hợp có cùng môđun là q và thoả mãn

Như vậy, cho  0 ta có ngay đẳng thức cần chứng minh

Chú ý Để hiểu lý do vì sao (V.2.2c) được gọi là giả thuyết Riemann, ta thực hiện đổi biến số bằng cách đặt T q  s , khi đó ta có hàm theo biến s,

Hơn nữa, giả thuyết Riemann cho Z E F T  / q ;  chỉ ra rằng nếu  /  0

 q s q, điều này tương đương với Re   1

Chú ý Cho E F/ q là một đường cong elliptic Ta gọi lượng

Vết của Frobenius, ký hiệu là q a q E F, được xác định trong phần chứng minh của tài liệu ([5], V.2.3.1) Nó tương đương với vết của ánh xạ Frobenius bậc q, được xem như một phép biến đổi tuyến tính.

T E l Cho nên nếu  là ánh xạ Frobenius bậc q thì từ ([5], V.2.3) ta suy ra

2.4.3 Bất biến Hasse Định lý 2.4.3.1 Cho F q là một trường hữu hạn có đặc số p3

(a) Cho E F/ q là một đường cong elliptic cho bởi phương trình Weierstrass

E y f x , trong đó f x    F x q   là một đa thức bậc ba có các nghiệm phân biệt trên F q Thế thì E là siêu đơn nếu và chỉ nếu hệ số của x p  1 trong f x    p  1 /2  bằng không

 p m và định nghĩa đa thức

Giả sử F q với  0;1 Thế thì đường cong elliptic

E y x x x là siêu kỳ dị nếu và chỉ nếu H p     0

Đa thức H p(t) có các nghiệm phân biệt trên F q Đối với một đường cong siêu kỳ dị có đặc số 3 và với p ≥ 5, số lượng các đường cong elliptic siêu kỳ dị (không đồng cấu với nhau trên F q) là một yếu tố quan trọng trong nghiên cứu hình học đại số.

 F q   là đặc trưng đơn trị không tầm thường bậc 2, và mở rộng  lên F q bằng cách đặt

  Ta thấy đặc trưng  được dùng để đếm số các điểm trên E,

Vì F q * là cyclic cấp q1, với mỗi zF q ta có

Nhờ vào tính cyclic của F q * ta có ngay

Vì f x   là đa thức bậc ba, nếu khai triển f x     q  1 /2 ta sẽ thấy trong khai triển có các số hạng dạng x n với 0 3  1 

 n 2 q Vì vậy, khi lấy tổng với x chạy khắp

F q thì có duy nhất số hạng khác không của x q  1 Nên nếu ta đặt q 

A hệ số của x q  1 trong f x     q  1 /2 , thì

#E F q  1 A q Tuy nhiên, đẳng thức này trên F q , nên chỉ có một công thức cho # E F   q môđun p

Mặt khác, cho : EE là tự đồng cấu Frobenius bậc q, ta có (V.2)

(Vì   a    ) Đồng nhất hai cách biểu diễn của # E F   q , ta thu được

Vì a là số nguyên nên suy ra

Nhưng     a  , do đó ta có:

E là siêu kỳ dị (V.3.1a(ii)) Điều đó nói lên rằng

Ta chứng minh A q 0 nếu và chỉ nếu A p 0 Ta có

   p r  1  1 /2       p r  1 /2     p  1 /2   p r f x f x f x và đồng nhất hệ số (lưu ý f có bậc ba) cho ta

Một phép thu gọn đơn giản trên r cho ta điều phải chứng minh

(b) Đây là trường hợp đặc biệt của (a) Ta cần hệ số của x p  1 trong biểu diễn

 x x  1 x    m , nên hệ số của x m trong  x  1   m x    m Hệ số đó là

 m i m i i m m i m i , sai khác với H p    thừa số    1 m

(c) Cho D là toán tử vi phân

Thế thì bằng tính toán trực tiếp và lưu ý rằng 1

DH t p p i m t i Đặc biệt, vì char   F q  3 nên

Do vậy H p   t chỉ có thể có các nghiệm bội trên F q là t0 hoặc t1 Tính toán trực tiếp ta được

Cho nên các nghiệm của H p   t là phân biệt và mỗi nghiệm  ứng với một đường cong elliptic siêu kỳ dị

Phần còn lại là xác định với những mở rộng nào của E  là đẳng cấu với những đường khác

Với p3 ta có H p   t   1 t, nên có duy nhất một đường cong elliptic siêu kỳ dị trong đặc số 3 với j-bất biến j     1 1728  0

Giả sử p5 thì ánh xạ

Ánh xạ \( j \) là một ánh xạ 6–1 ngoại trừ các trường hợp \( j = 0 \) (tương ứng 2–1) hoặc \( j = 1728 \) (tương ứng 3–1) Nếu \( H_p(t) = 0 \), thì với mọi \( \lambda' \) thỏa mãn \( j(\lambda) = j(\lambda') \), ta có \( H_p(\lambda') = 0 \), dẫn đến \( E_\lambda \approx E_{\lambda'} \) và các nghiệm của \( H_p(t) \) chính xác là những giá trị \( \lambda \) đó với \( E_\lambda \) là siêu kỳ dị Để đơn giản, định nghĩa \( \epsilon_p(j) = 1 \) nếu đường cong elliptic với j-bất biến là siêu kỳ dị và \( \epsilon_p(j) = 0 \) nếu nó tầm thường Do đó, vì \( H_p(t) \) có các nghiệm phân biệt, số lượng các đường cong elliptic siêu kỳ dị với đặc số \( p \geq 5 \) được xác định từ lập luận trên.

Ta sẽ tính toán cụ thể điều trên trong các ví dụ dưới với

Từ đó ta đưa ra bốn trường hợp của p  mod12  cho ta điều cần chứng minh

Chú ý Toán tử vi phân D mà ta dùng để chứng minh mục (c) của định lý trên được gọi là toán tử vi phân Picard – Fuchs cho phương trình Legendre

Ví dụ 2.4.3.2 Cho p11 ta có

Các j-bất biến siêu kỳ dị trong đặc số 11 là j0 và j1728 1

Ví dụ 2.4.3.3 Với số nguyên tố p5 đường cong elliptic

E y x với j0 là siêu kỳ dị Khẳng định (V.4.1a) yêu cầu tính hệ số của x p  1 trong đa thức  x 3  1   p  1 /2  Nếu p  2 mod 3, không có số hạng x p  1, do đó E là siêu kỳ dị Ngược lại, nếu p  1 mod 3, hệ số của x p  1 sẽ được xác định.

  p p , nó khác không theo môđun p, nên trong trường hợp này E là tầm thường

Ví dụ 2.4.3.4 Tương tự, với số nguyên tố p3, đường cong elliptic

E y x x với j1728 là siêu kỳ dị Nó được xác định bởi hệ số của x  p  1 /2  trong đa thức

 x 2  1   p  1 /2  Hệ số này bằng 0 nếu p  3 mod 4   và bằng  

 p Vậy E là siêu kỳ dị nếu p  3 mod 4   và tầm thường

Cho E F/ q là đường cong elliptic định nghĩa trên trường hữu hạn Từ định lý

Trong nhiều ứng dụng, đặc biệt là trong mật mã học, việc tính số điểm của E F(q) là rất quan trọng và cần có phương pháp hiệu quả Giả sử q là số lẻ, E được biểu diễn dưới dạng phương trình Weierstrass.

E y f x x b x b x b với một chút thay đổi không đáng kể là ta sẽ làm việc với đặc số bằng 2