Nhóm các điểm hữu tỷ của đường cong elliptic trên trường hữu tỷ

Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu vấn đề “Nhóm các điểm hữu tỷ của đườngcong elliptic trên trường hữu tỷ  ”, cũng như phương pháp giải quyết vấn đề nêu ra trong Luận văn dựa trên mộ

Nguyễn Thị Ngọc Nga

NHÓM CÁC ĐIỂM HỮU TỶ

CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

TRÊN TRƯỜNG HỮU TỶ

Chuyên ngành: Hình học và tôpô

Mã số: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHAN DÂN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn khoa học của TS Phan Dân Tôi xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, vì Thầy đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi tiếp xúcvới các nguồn tài liệu quý, tài liệu nước ngoài, giảng giải và chỉ bảo tận tình cho tôitrong suốt quá trình làm luận văn Hơn nữa thầy đã dành nhiều công sức, thời gian để

đọc và chỉnh sửa luận văn

Tôi xin chân thành cám ơn Quý Thầy Cô khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm

TP Hồ Chí Minh, đặc biệt là Quý Thầy tổ Bộ môn Hình học đã cung cấp những kiếnthức chuyên môn cần thiết cho tôi để làm nền tảng cho việc hoàn thành luận văn này.Chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa họcCông nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạmTP.Hồ Chí Minh cùng toàn thể các đồng nghiệp, các bạn học viên và gia đình đã đ ộng

viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cám ơn!

Lời cảm ơn

Mục lục

Bảng các ký hiệu

Bảng chú giải các thuật ngữ khoa học

Mở đầu 1

Chương 1 Các kiến thức cơ bản 6

1.1 Các nhóm aben hữu hạn sinh 6

1.2 Một số kết quả quen biết về lý thuyết số 9

1.3 Các đa tạp xạ ảnh – đa tạp afin 10

1.3.1 Các khái niệm cơ bản 10

1.3.2 Các hàm và các ánh xạ 17

1.4 Đường cong elliptic 24

1.4.1 Hình học xạ ảnh 24

1.4.2 Xác định X(Q): sự phân chia bằng bậc 25

1.4.3 Các đường cong elliptic 28

1.4.4 Cấu trúc E(K) đối với các trường K khác nhau 30

1.4.5 Đường cong elliptic trên trường hữu tỷ 33

1.4.6 Phương pháp phân tích đường cong elliptic 39

1.4.7 Một số loại đường cong 44

Chương 2 Các đường cong elliptic dạng Weierstrass trên Q 49

2.1 Tổng quan về đường cong dạng Weierstrass 49

2.1.1 Đại cương về đường cong elliptic 49

2.1.2 Các j-bất biến 53

2.1.3 Tương đương xạ ảnh 60

2.2 Các điểm hữu tỷ, xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic trên Q 61

2.2.1 Các điểm hữu tỷ của đường cong elliptic trên Q 61

2.2.2 Các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic trên Q 65

2.3 Luật nhóm và các j-bất biến của một số họ 69

2.3.1 Luật nhóm 69

2.3.2 Họ y2= x3+ nx với n là số nguyên 72

2.3.3 Họ y2= x3+ n với n là số nguyên 73

Tài liệu tham khảo 86

Pic X Nhóm Picard hay nhóm lớp các số chia của X

Spec0F Vành của những số nguyên của F

Nhóm aben 6

Định lý Nagell-Lutz về điểm hữu tỷ trên đường cong 37

Định lý Mazur về tập hợp các điểm hữu tỷ trên  (cấp

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong Lịch sử phát triển của Toán học có rất nhiều giả thuyết và nhiều bài toán

mở mà sự tồn tại suốt một thời gian dài đã từng làm cho nhiều thế hệ các nhà Toán họcdồn nhiều công sức và niềm say mê nghiên cứu và đặc biệt hơn là hầu hết những bài

toán đó đều có cách đặt vấn đề và mô tả rất đơn giản – chẳng hạn như bài toán chia ba

một góc bằng thước và compa, bài toán tô màu bản đồ, các bài toán của Hilbert, bàitoán chứng minh Định lí lớn Fermat,… Riêng bài toán chứng minh Định lí lớn Fermat(còn được gọi là Định lí Fermat-Wiles) là một trong những vấn đề thời sự của Toánhọc trong suốt ba thế kỷ qua và mới được giải quyết trọn vẹn vào năm 1994 bởi Wiles

và Taylor có lẽ là vấn đề thuộc loại thú vị và được các nhà khoa học quan tâm nhiềunhất Đây là một Bài toán thuộc về lĩnh vực Lý thuyết số nhưng đã thu hút được sựquan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà khoa học Điều đặc biệt là trong quá trình tìmkiếm lời giải cho giả thuyết Fermat, người ta đã phải sử dụng tới rất nhiều kiến thức và

kỹ thuật cũng như phương pháp nghiên cứu của rất nhiều ngành khoa học khác nhau

như Lý thuyết số, Đại số giao hoán, Giải tích, Giải tích phức, Hình học, Hình học Đại

số, Lý thuyết Galois,… và trong số đó có sự đóng góp rất quan trọng của ngành Hìnhhọc Đại số Lý thuyết về các đa tạp, các đường cong đại số và các điểm hữu tỷ trênchúng, các hàm elliptic, các dạng modular,… là các khái niệm rất quan trọng và cáckết quả nghiên cứu có liên quan là những tiệm cận theo nhiều hướng khác nhau của lờigiải bài toán Fermat

Chúng tôi lựa chọn đề tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tìmhiểu và giới thiệu một số các kiến thức cơ bản về “Lý thuyết về các đường congelliptic” cùng với việc mô tả sự phân bố của nhóm các điểm hữu tỷ trên chúng

Trong phạm vi đề tài, chúng tôi sẽ xét các đường cong elliptic trên trường các sốhữu tỷ được mô tả dưới dạng Weierstrass

Vì vậy đề tài được mang tên:

“Nhóm các điểm hữu tỷ của đường cong Elliptic trên trường hữu tỷ”

2 Lịch sử của vấn đề

Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu vấn đề “Nhóm các điểm hữu tỷ của đường

cong elliptic trên trường hữu tỷ  ”, cũng như phương pháp giải quyết vấn đề nêu ra

trong Luận văn dựa trên một số kết quả sau đây:

a) Một là: Các kết quả mô tả tập các điểm hữu tỷ của đường cong elliptic trên

 , nhờ vào:

- Định lí Mordell-Weil khẳng định rằng tập các điểm hữu tỷ trên một

đường cong elliptic trên  là một nhóm aben hữu hạn sinh

- Định lí Mazur mô tả cấu trúc của nhóm các điểm có cấp hữu hạn (nhómcon xoắn) trong tập các điểm hữu tỷ

- Định lí Nagell-Lutz mô tả đặc trưng của nhóm các điểm xoắn hữu tỷ của

họ các đường cong Elliptic dạng Weierstrass: 2 3

y x AxB với A B,

là các số nguyên Từ kết quả này ta nhận được một thuật toán xác định

các điểm xoắn hữu tỷ

b) Hai là: Các kết quả và phương pháp mô tả luật nhóm của nhóm các điểmhữu tỷ trên các đường cong Elliptic

c) Ba là: Xuất phát từ một kết quả rất thú vị về tính chất tách trực tiếp một

nhóm aben hữu hạn sinh bất kỳ (nghĩa là các Z -mođun hữu hạn sinh) thành

phần xoắn và không có xoắn của nó, và mỗi một phần đó là tổng trực tiếpcủa các nhóm aben cyclic không thể tách được (Định lí cơ bản của Đại số)

Về mặt lý thuyết, việc tiếp cận và nghiên cứu các điểm hữu tỷ trên các đường

cong như vậy được tách thành hai phần Một là lớp bài toán nghiên cứu về cấu trúc của

các phần tử xoắn Hai là lớp các bài toán nghiên cứu về các phần tử không xoắn và gắnvới vấn đề này chính là bài toán xét hạng của đường cong elliptic Trong đề tài nàychúng tôi tập trung mô tả các khái niệm, một số kết quả nghiên cứu về nhóm các điểmhữu tỷ và cho một số mô tả các kết quả thuộc lớp bài toán thứ nhất

Một số kết quả nghiên cứu thuộc hướng này đã và đang tiếp tục được phát triểntrong thời gian gần đây bởi nhiều tác giả trong và ngoài nước

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu mô tả cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên một số họ đườngcong elliptic dưới dạng Weierstrass trên trường  (Định lí Mordell-Weil)

- Xét một số họ các đường cong có phương trình dạng: 2 3

,

y x nx với n là số

nguyên, nhằm mục đích là mô tả nhóm các điểm xoắn hữu tỷ trên chúng

- Phân loại và xác định nhóm con xoắn của các điểm hữu tỷ trên một số họ đường

cong có phương trình dạng: y2 x3 a, với a là số nguyên.

- Xét các đường cong dạng 2 3 2

y x ax bx và giải quyết bài toán mô tả nhóm

con các điểm xoắn hữu tỷ trong một số trường hợp

4 Mục đích nghiên cứu

- Mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E  của đường cong elliptic E

trên 

- Mô tả nhóm con xoắn của E  đối với một số lớp đường cong elliptic

- Sử dụng các j -bất biến để phân lớp các họ đường cong dựa trên dạng phương

trình Weierstrass

Xác định các mối liên hệ các kết quả trong phần này với những vấn đề tổng quáthơn được xét đối với các lớp đường cong elliptic trên 

5 Phương pháp nghiên cứu

Cơ sở xuất phát là dựa trên sự kết hợp hai kết quả cơ bản (đã trình bày ở trên) về:

- Cấu trúc của các nhóm aben hữu hạn sinh

- Cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ (Định lí Mordell-Weil)

và sử dụng các công cụ nghiên cứu cơ bản của Đại số - Lý thuyết số và Hình học đểnghiên cứu, phân loại các đối tượng đang xét

Kết hợp các kết quả này với Định lí Nagell-Lutz và Định lí Mazur để xác định

các điểm xoắn trên một số họ đường cong được xét Tiếp theo đó là việc đề cập đến

các j -bất biến trên các họ đường cong Đây là một số hướng nghiên cứu và các

phương pháp được dùng khá phổ biến trong việc nghiên cứu các đường cong elliptic.Các hướng nghiên cứu này đã và đang được sử dụng và phát triển bởi nhiều tác giả

trong nhiều năm gần đây Các phương pháp nghiên cứu và các kỹ thuật cũng như cácthuật toán được dùng trong Luận văn này dựa trên những công cụ nghiên cứu đã được

sử dụng trong [2], [3], [6]

Dựa trên các cách tiếp cận khác nhau của Định lí Nagell-Lutz về mô tả nhóm

các điểm xoắn hữu tỷ để lựa chọn phương pháp giải quyết các bài toán cụ thể được

xét

6 Cấu trúc luận văn

6.1 Luận văn bao gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ bản.

Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã được công

bố trong nhiều tài liệu về các chuyên ngành Toán:

- Các định lí cơ bản mô tả sự tách trực tiếp các nhóm aben hữu hạn sinh

- Một số kết quả quen biết về lĩnh vực Lý thuyết số và Đại số có liên quan tớinội dung của Luận văn

- Các đa tạp xạ ảnh, afin

- Một số kiến thức cơ bản và kỹ thuật tính toán, một số thuật toán liên quanthuộc về Hình học Đại số, trích dẫn từ [1], [4], [5], [6]

- Các khái niệm, các kết quả nghiên cứu cơ bản về đường cong Elliptic trên các

trường số    và , ,  Các Định lí cơ bản mô tả về cấu trúc của nhóm các điểm hữuq

tỷ, các điểm xoắn hữu tỷ của các đường cong elliptic trên  Định lí Mordell-Weil,:

Định lí Nagell-Lutz và Định lí Mazur

Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trên 

- Tổng quan về các đường cong dạng Weierstrass trên  Các j -bất biến và sự

tương đương xạ ảnh

- Các điểm hữu tỷ, xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic trên 

- Mô tả chung về luật nhóm, các j -bất biến của các họ 2 3

- Nhóm con xoắn của các họ: y2  x3nx, 2 3

y x a và của đường cong:

,

y x ax bx với ,n a b là các số nguyên thuộc một lớp xác định.,

6.2 Kết luận

Trong luận văn sẽ đưa ra các kết luận về:

- Các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic trên  với một số họ các,

đường cong elliptic cụ thể và đưa ra sự mô tả chung về luật nhóm, các j -bất biến trên

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 CÁC NHÓM ABEN HỮU HẠN SINH

Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm aben A được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại hữu hạn

phần tử a a1, 2, ,a nA sao cho với bất kỳ xA, tồn tại các số nguyên k k1, , ,2 k n

Bổ đề 1.1.4 Cho A là một nhóm aben Khi đó A T A là không xoắn. 

   được gọi là nhóm aben tự do hạng  n

Định lý 1.1.6 Nếu A là một nhóm aben không xoắn hữu hạn sinh mà có một tập

hợp nhỏ nhất các phần tử sinh gồm n phần tử, thì A đẳng cấu với nhóm aben tự do

rằng A là không xoắn và a a1, 2, ,a n là một tập nhỏ nhất các phần tử sinh của A

Nếu T A a1    0 thì khi đó A  a1 là không xoắn và được sinh bởi1

n phần tử thì kết quả được suy ra từ phép quy nạp và  a1  Nếu T A  a1 

không là nhóm tầm thường thì có một nhóm con B A sao cho

T A   a B  a

Như thế với bất kỳ phần tử 0 b B, tồn tại một số nguyên 0 i  sao cho

Vì vậy, nếu B là hữu hạn sinh (vì  là một vành Noether) thì B là cyclic.

Thật vậy, giả sử Bb1, ,b m  Khi đó:

   1 , ,  m 1 1, , m m

là một nhóm con của nhóm cyclic 1 i1 i m , do đó là cyclic

Nếu B A thì A tự do sinh bởi một phần tử Nếu không, khi đó:

1, , n 2, , n

A B A  a B   a A  a T A  a

Do đó, A B là không xoắn và được sinh bởi nhiều nhất n1 phần tử, do đó

A B là nhóm aben tự do có hạng mn bằng phương pháp quy nạp Điều đó dẫn đến

m

A B  sao cho m

B A  và là hữu hạn sinh Khi đó, B là cyclic nên ta có điều

phải chứng minh Chú ý rằng m n 1 vì n là cực tiểu.

nói rằng A là tổng trực tiếp trong của B và C ký hiệu, A B C, nếu A B C và

Định nghĩa 1.1.9 Cho P là một phạm trù và X Y là các vật của, P Một cấu xạ

:

f X Y được gọi là toàn xạ khi với bất kỳ vật Z của P và bất kỳ cặp cấu xạ

, : ,

i j Y Z nếu i f  j thìf i j

Định nghĩa 1.1.10 Cho A và B là các nhóm aben Tổng trực tiếp ngoài của A và

B trong phạm trù của các nhóm aben, ký hiệu AB là một nhóm aben AB với

các phép đồng cấu chính tắc i A:  A B và j B:  A B với tính chất rằng chobất kỳ nhóm aben C và các cấu xạ f A: C và g B: C, tồn tại một ánh xạ duynhất k A:  B C sao cho biểu đồ sau giao hoán:

Suy ra ,i j là các phép đơn cấu.

Định lý 1.1.11 Cho A là một nhóm aben hữu hạn sinh Khi đó tồn tại một phép

đẳng cấu f A: T A A T A 

Chứng minh:

Giả sử Aa1, ,a n  Khi đó A T A  a1, ,a n  nên A T A là hữu hạn 

sinh Chọn  x1, ,x m  là một tập hợp cực tiểu các phần tử sinh của A T A  Nếu

Hệ quả 1.1.12 Mỗi nhóm aben hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của một nhóm hữu

hạn và một nhóm aben tự do hạng n với số nguyên n

Chứng minh:

Ta có T A là một nhóm hữu hạn và  A T A là hữu hạn sinh, không xoắn Vì 

thế, do định lý 6, nó là một nhóm aben tự do hạng n với số nguyên n

1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ QUEN BIẾT VỀ LÝ THUYẾT SỐ

Cho K là một trường Chẳng hạn, K có thể là trường  của các số hữu tỷ, trường

 của các số thực, trường  của các số phức, trường  của số -p p adic hoặc trường

hữu hạn  của q phần tử Cho K là một bao đóng đại số của q K

Một đường cong phẳng X trên K được xác định bởi phương trình f x y , 0, ởđây  , i j  ,

ij

f x y a x y K x y là bất khả quy trên K Ta định nghĩa bậc của X và

f như sau:

degX deg f max i j a: ij 0

Một điểm K -hữu tỷ (hoặc đơn giản là K -điểm) trên X là một điểm  a b với tọa,

độ thuộc K sao cho f x y , 0 Tập tất cả các điểm K -hữu tỷ trên X được ký hiệu

Vấn đề đặt ra là: Liệu có tồn tại một thuật toán mà khi ta cho một đường cong

phẳng X trên  thì ta có thể xác định X  hoặc ít nhất xác định được, X  có

khác rỗng hay không?

Mặc dù X  không nhất thiết phải hữu hạn, nhưng ta thấy rằng, nó luôn luôn tồn

tại một sự mô tả hữu hạn, vì thế vấn đề về sự xác định X  có thể được xác định rõ

ràng bằng cách sử dụng máy Turing (xem [7]) về mối quan hệ giữa câu hỏi trên và bàitoán số của Hilbert, xem [8]

Bài toán hiện tại là liệu rằng có tồn tại các phương pháp xác định X  khi ta cho

một đường cong X cụ thể, mặc dù hiện tại ta chưa chứng minh được những phương

pháp đó có thể dùng trong trường hợp tổng quát Chính vì vậy, có những vấn đề màchưa tìm ra câu trả lời:

(1) Có tồn tại thuật toán mà khi cho một đa thức bậc bốn: f x  x thì ta cóthể xác định những điểm 2  

y  f x là điểm hữu tỷ hay không?

(2) Có tồn tại thuật toán mà khi cho một đa thức bậc ba: f x  x y, thì ta

có thể xác định những điểm f x y , 0 là điểm hữu tỷ hay không?

Thực ra, ta có thể nhận thấy rằng các vấn đề (1) và (2) là tương đương

1.3 CÁC ĐA TẠP XẠ ẢNH – ĐA TẠP AFIN

1.3.1 Các khái niệm cơ bản

1.3.1.1 Các đa tạp afin

Chúng ta nghiên cứu trên trường K và nếu không ghi chú gì thêm thì K là trường

đóng đại số

tập hợp các n -bộ của các phần tử của K Một phần tử pp p1, 2, ,p n đượcn

gọi là một điểm, các p i là các tọa độ afin của p

Ta ký hiệu K x 1, ,x n là vành đa thức trên K với n biến Các phần tử của

 1, , n

K x x là các hàm n

zero của một tập hữu hạn của các đa thức trong K x 1, ,x n Cho

của các đa tạp con thực sự, nghĩa là đối với các đa tạp X X1, 2  sao chon

1 2

X  X X dẫn đến X  X1 hoặc X  X2

Mệnh đề 1.3.4 Bất kỳ đa tạp X có thể được phân tích như là hợp hữu hạn của các

đa tạp con bất khả quy X  X1X2 X m với X i X j,  i j

Phép phân tích trên là duy nhất sai khác phép hoán vị

Ví dụ 2: Một đa tạp tuyến tính là tập nghiệm của một hệ tuyến tính 1, ,k Nếu

 1, , k

X Z   khác rỗng và các phương trình tuyến tính xác định là độc lập, khi đó

số chiều của X là nk và số đối chiều của X là: codim X dimn dimX k.Việc định nghĩa về số chiều của các đa tạp tuyến tính có thể được lấy từ đại sốtuyến tính Trong trường hợp các đa tạp không tuyến tính ta dựa vào một khái niệmtrực giác về số chiều

Ví dụ 3: Một siêu mặt X n là một đa tạp được cho bởi phương trình X Z f 

Nó là một đa tạp của đối chiều 1 Nếu n3, siêu diện được gọi là một mặt

Ví dụ 4: Một siêu mặt trong  là một đường cong đại số phẳng Một parabol có thể2được cho bởi tham số hóa  2

,

t  t t hoặc đơn giản là 2  

,

mọi đường cong phẳng đều có một tham số hóa

Ví dụ 5: Một cubic xoắn là một đường cong trong 3

 được cho bởi tham số hóa

Ví dụ 6: Hợp và giao của hữu hạn các đa tạp afin là một đa tạp afin Nếu , n

Ví dụ 7: Cho X n được xác định bởi f1, , f kK x 1, ,x n và Y m được cho

bởi g1, ,gK y 1, ,y m Khi đó tích của X và Y là một đa tạp trong m n và làtập zero của f1, ,f g k, 1, ,g với f i, g j được hiểu như các đa thức trong

 1, , n, 1, , m

1.3.1.2 Định lý cơ bản của Hilbert

Nếu một đa tạp afin X n được xác định bởi X Z f 1, , f k, f iK x 1, ,x n

thì với mỗi f thuộc ideal I  f1, , f k, ta có f p 0 với mọi pX

Hơn nữa, nếu hai tập hợp của các phương trình sinh ra cùng ideal,

f1, , f k  g1, ,g thì ta luôn có Z f 1, , f kZ g 1, ,g Do đó ta có thể thayđổi định nghĩa của một đa tạp afin bằng cách thay vì định nghĩa các phương trình định

nghĩa thì ta sẽ định nghĩa bằng các ideal định nghĩa: X n là một đa tạp afin nếu nó

là một tập zero của một ideal hữu hạn sinh trong K x 1, ,x n

Ta xét R là một vành giao hoán (nó cũng có thể là một trường hoặc một vành đa

thức trên một trường), có đơn vị 1

Định nghĩa 1.3.5 Vành R là Noether nếu mọi ideal của R đều hữu hạn sinh.

cũng là vành Noether

Hệ quả 1.3.7 Mọi ideal trong K x 1, ,x n là hữu hạn sinh

Từ định lý cơ bản Hilbert dẫn đến giao của các đa tạp đại số là một đa tạp, vì nó làmột tập zero của một ideal được sinh bởi tất cả các phần tử sinh của các ideal địnhnghĩa

Hơn nữa, tập rỗng  và toàn bộ  cũng là các đa tạp trongn  Do đó ta có địnhn.nghĩa sau đây:

Định nghĩa 1.3.8 Trong tôpô Zariski, các tập mở là phần bù đối với các đa tạp đại

số Các tập mở trong tôpô Zariski là rất lớn Mỗi tập mở khác rỗng là trù mật trong

n

 Hơn nữa, bất kỳ hai tập mở khác rỗng đều giao nhau, vì thế nó không phải là

không gian Hausdorff

1.3.1.3 Hilbert’s Nullstellensatz (Định lý về các không điểm của Hilbert)

Ví dụ 8: Ideal định nghĩa của một đa tạp là không duy nhất Trong K x y , , ta xét:

Nếu I I, ideal I được gọi là một ideal căn.

Một số tính chất về căn của một ideal:

(i) Với mỗi ideal ,I căn I cũng là một ideal

Định lý 1.3.13 (Định lý không điểm của Hilbert 2) Cho  là một không giann

afin trên một trường K đóng đại số và cho I là một ideal trong K x 1, ,x n Nếu

ideal đều là ideal căn I1 I2 nhưng Z I 1 Z I 2

Ta có mối liên quan giữa các khái niệm đại số và hình học như sau:

hợp các lớp tương đương của bộ n1 - phần tử của K, tất cả không đồng thời bằng

0, với quan hệ tương đương  ở đây, a0, ,a n  b0, ,b n nếu có một hằng số khác

0, K sao cho b i a i,  i 0, , n

Một phần tử pp0 : : p n được gọi là một điểm Cácn p i là các tọa độthuần nhất của p

Một tập zero trong  của một đa thức bất kỳn f K x 0, ,x n không được định

nghĩa tốt Nhưng nó được định nghĩa tốt nếu f là một đa thức thuần nhất, vì khi đó

tập zero của một ideal thuần nhất trong K x 0, ,x n.

Tổng, tích và giao của các ideal thuần nhất lại là một ideal thuần nhất, cũng tương

tự như căn của một ideal Hơn thế nữa, nếu một ideal thuần nhất I không là nguyên tố

thì có các đa thức thuần nhất f g sao cho fg, I nhưng f g, I Do đó tương tựnhư trong trường hợp afin, ta có tôpô Zariski trong n

Ta luôn có thể nhúng một không gian afin vào không gian xạ ảnh có cùng số chiềuvới ví dụ như sau:

Có một ideal thuần nhất đặc biệt trong K x 0, ,x n I x0, ,x n được gọi là

một ideal không thích hợp Nó là một ideal căn không tầm thường, nhưng không có đatạp trong  tương ứng với nó, nhưn Z I    0, ,0 , nhưng nó không thể hiện là mộtđiểm bất kỳ trong  Vì thế, với không gian xạ ảnh Nullstellensatz của Hilbert cầnn.phải có một cải tiến

 là một không gian xạ ảnhtrên trường đóng đại số K Khi đó, tồn tại một song ánh từ X   X giữa tập hợp

các đa tạp đại số trong  và tập hợp các ideal thuần nhất trongn K x 0, ,x n, ngoại trừ.

I

trên trường đóng đại số K và I là một ideal thuần nhất trong K x 0, ,x n Nếu

  n

Z I  là tập rỗng thì tồn tại một giá trị m N sao cho I chứa Im

Ví dụ 11: Một đa tạp tuyến tính trong  với đối chiều K là tập zero của K dạng độc n

Nếu ta bỏ một trong ba phương trình định nghĩa thì t ập zero sẽ bao gồm cubic xoắn

và một đường thẳng cắt cubic tại hai điểm

Trong trường hợp siêu diện, ta có thể dễ dàng tìm được bao đóng xạ ảnh của đa tạp

bằng cách thuần nhất phương trình định nghĩa: Nếu X Z f  trong đó:n,

1.3.2 Các hàm và các ánh xạ

1.3.2.1 Các hàm chính quy trên các đa tạp afin

Cho X n là một đa tạp afin trên trường đại số đóng K, cho  X là ideal triệttiêu của X

Định nghĩa 1.3.19 Vành tọa độ (afin) của X là vành thương

   1, , n  

Nếu ta xem các phần tử của K x 1, ,x n và K x như là các hàm thì ta xây dựng 

bằng cách đồng nhất tất cả các đa thức trong K x 1, ,x n vào trong X : với

K X của một đa tạp X nào đó nếu và chỉ nếu A không có lũy linh và là hữu hạn

sinh như một đại số trên K

Do đó, ta có thể định nghĩa tôpô Zariski trên X bằng cách lấy các đa tạp con của

X như là các tập đóng (các tập zero của các iđêan trong K X )

Tương tự, Hilbert’s Nullstellensatz cũng thỏa mãn trong K X , do đó ta có song

ánh Y I Y  giữa các đa tạp con của X và các iđêan căn trong K X 

Bổ đề 1.3.22 Các phát biểu sau là tương đương:

(i) X n là bất khả quy,

(ii) một tập con mở khác rỗng của X là trù mật trong X,

(iii) nếu U U1, 2 là các tập con mở khác rỗng của X thì U1U2  

1.3.2.2 Các ánh xạ chính quy của các đa tạp afin

hàm chính quy f1, , f m X sao cho  x  f x1 , , f m x 

ánh xạ nghịch đảo chính quy Khi đó các đa tạp X Y được gọi là đẳng cấu.,

K Y K X từ f  f Y  đến f  Thật vậy, nếu f là một hàm chính quy thì nó

được mô tả bởi một đa thức FK y 1, ,y m Vì  là một cấu xạ nên có

1, , m 1, , n

F F K x x sao cho F1, ,F m Do đó, đối với f :X K thì tacó: f  x F F x 1 , ,F m x  và nó thật sự là một hàm chính quy trên X

Ánh xạ  * : K Y K X  từ f đến f  được gọi là cái níu lại của  thì *   là

K Y là đẳng cấu như các K -đại số.

1.3.2.3 Các hàm hữu tỷ trên các đa tạp afin

Cho X n là một đa tạp bất khả quy Vành tọa độ của nó K X không có ước 

của 0 và do đó có thể được nhúng vào trường các thương mà ta ký hiệu là K X  Nóicách khác, K X  là tập các lớp tương đương

G H G H/ , K x1, ,x n ,HI X  ,



trong đó G H/ G H'/ ' nếu GH'HG'I X  và phép “+”, “.” được định nghĩa

theo nghĩa thông thường

1.3.2.4 Các ánh xạ hữu tỷ của các đa tạp afin

Cho X n,Y  là các đa tạp afin bất khả quy.m

 

1, , m

f f K X sao cho   f1, , f m Nếu f i là chính quy tại x với mọi xX thìánh xạ  là chính quy tại x

Định nghĩa 1.3.30 Một ánh xạ hữu tỷ  : X Y được gọi là trội, nếu ảnh của X

qua  là trù mật trong Y

song hữu tỷ) nếu nó có ánh xạ ngược hữu tỷ, nghĩa là nếu có : Y  X sao cho:

,

C y

Tương tự như trường hợp các ánh xạ chính quy,  là một song ánh giữa các ánh*

xạ hữu tỷ trội X Y và các phép nhúng K -đại số K Y K X 

1.3.2.5 Các hàm trên các đa tạp tựa xạ ảnh

Với mỗi đa tạp xạ ảnh X  vành tọa độ của X được xác định tương tự như n,

trong trường hợp afin: K X K x 0, ,x n  X , nhưng bây giờ nó có một cấu trúc

cộng của một vành phân bậc, nghĩa là nó là tổng trực tiếp của các không gian vectơ:

Sau đây, ta chỉ xét các đa tạp tựa xạ ảnh.

một tập con mở U X chứa x và với g h, K X  thuần nhất cùng bậc sao cho h

không bị triệt tiêu trên U và f  g h

Hàm f X: K là chính quy nếu nó chính quy tại mọi điểm xX

Vành các hàm chính quy trên X được ký hiệu là  X

1.3.2.6 Các ánh xạ trên những đa tạp tựa xạ ảnh

Cho X n và Y m là những đa tạp tựa xạ ảnh

quy (một cấu xạ) nếu với mọi tập con mở V Y và với mỗi hàm f V: K chínhquy trên V thì hàm số 1 

Định nghĩa 1.3.38 Một cấu xạ  : X Y là một phép đẳng cấu nếu nó có ánh xạ

ngược chính quy Khi đó X và Y được gọi là đẳng cấu Một ánh xạ  : X Y được

gọi là phép nhúng nếu nó là một đẳng cấu của X và ảnh của nó là  X

Ví dụ 20: Một conic  2

0 2 1

CZ x x x trong  là một đẳng cấu với một đường thẳng2

xạ ảnh Nếu  s t là tọa độ thuần nhất trên: 1

 và x0:x x1: 2 là tọa độ thuần nhất trên2

Vì C CU0  CU2, ta có thể mô tả ánh xạ tại mọi điểm Định nghĩa  là

một định nghĩa tốt kể cả trong trường hợp x i  0, i thì ta luôn có

0: 1 0 1: 1 0 1: 0 2 1: 2

Lưu ý rằng vành tọa độ của một đa tạp xạ ảnh chứa nhiều thông tin hơn vành tọa

độ afin tương ứng Trong ví dụ trên, conic C là đẳng cấu với 1

,

 tuy nhiên những

vành tọa độ của chúng không đẳng cấu, vì khi K C được sinh bởi 2 phần tử, vành 

 

K X không những phụ thuộc vào lớp đẳng cấu của đa tạp mà còn phụ thuộc vào

phép nhúng của X vào không gian xạ ảnh.

một tập con mở trù mật của X và nó chính quy trên miền xác định Hơn nữa, ánh xạ

đó còn là song hữu tỷ nếu nó có ánh xạ ngược hữu tỷ, khi đó X và Y được gọi là

tương đương song hữu tỷ

Định nghĩa 1.3.40 Một đa tạp X được gọi là hữu tỷ nếu nó tương đương song

hữu tỷ với d

Sự tương đương song hữu tỷ này được gọi là một tham số hóa của X Đa tạp X

được gọi là đơn hữu tỷ nếu nó là ảnh hữu tỷ của một d

Định lý 1.3.41 Các đa tạp X và Y là song hữu tỷ khi và chỉ khi K X K Y .

Gọi p'K y 1, ,y m1  x là đa thức nhỏ tối thiểu của y m Bằng các phép biến

đổi đa thức, ta xác định được một phần tử pK y 1, ,y m1,x

Do đó, X là song hữu tỷ với bao đóng xạ ảnh của Z(p) là một siêu mặt trong m

1.3.2.7 Một vài ví dụ

Ví dụ 21: Chúng ta hay gọi “đa tạp afin” với ý nghĩa là một đa tạp tựa xạ ảnh đẳng cấu

với một đa tạp afin Một “tập con mở chính” của n

 được hiểu là phần bù của một

siêu mặt, nghĩa là tập hợp pn f p 0 với các đa thức đơn f K x 1, ,x n1

Ta thấy rằng một tập con mở chính của  là một đa tạp afin.n

Ví dụ 22: Chúng ta hay gọi “một đa tạp xạ ảnh” là một vật thể mà có thể được nhúng

vào trong một không gian xạ ảnh như là một đa tạp xạ ảnh Trên thực tế, tích  n m

là một đa tạp xạ ảnh vì nó có thể được nhúng vào  vớiN N n1m 1 1 như

1.4 ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

mọi trường K Compact hóa 2

 bằng cách nối một số điểm “tại vô cực” để sinh ra

 là tập hợp các đường qua 0 trong mặt phẳng  x y,  cũng có thể2

được bao phủ bởi ba bản sao của 2

,

 là:  x y z x: :  0 ,  x y z y: :  0 , và

 x y z z: : 0 

1.4.1.2 Bao đóng xạ ảnh của các đường cong

Phép thuần nhất của một đa thức f x y , bậc d là F X Y Z , , : Z f d X Y,

Nếu f x y , 0 là một đường cong phẳng C trong 2

,

 bao đóng xạ ảnh của nó làđường cong C trong  được định nghĩa bởi phương trình thuần nhất2 F X Y Z , , 0

Đường cong C bằng với C cộng với một số điểm “tại vô cực”.

(1) F và G không có các thừa số chung không tầm thường.

(2) Chúng cắt nhau trên một trường đóng đại số

(3) Những điểm tương giao là vô số trong trường hợp chúng là những điểm kì

dị hay là những tiếp điểm

1.4.2 Xác định X  sự phân chia bằng bậc:

Ta trở lại vấn đề xác định tập hợp các điểm hữu tỷ X  với X là một đường

cong afin phẳng f x y , 0 trên  hoặc trên bao đóng xạ ảnh của nó Cho

deg

d  f Ta sẽ xem xét bài toán bằng việc cho tăng dần giá trị của d

Bậc d 1: X là đường thẳng Ta đã biết cách tham số hóa các điểm hữu tỷ

trên đường thẳng ax by  c 0, với a b c, ,  và , ,a b c0

Bậc d 2 : X là đường conic Legendre đã chứng minh rằng các đường conic

thỏa mãn nguyên lý Hasse Điều này nghĩa là: X có một  -điểm nếu và chỉ nếu X

có một  -điểm và một  -điểm với mỗi số nguyên tố p p Vì một đường conic xạ ảnh

được mô tả bởi một dạng bậc hai 3 biến, do đó kết quả của Legendre có thể được xemnhư một trường hợp đặc biệt của định lý Hasse-Minkowski [12], khẳng định rằng một

dạng toàn phương n biến trên  biểu diễn 0 nếu và chỉ nếu nó biểu diễn 0 trên  và

p

 với mọi p

Định lý của Legendre dẫn đến một thuật toán để xác định sự tồn tại của một  điểm trên đường conic X Thuật toán: bổ sung chính phương, nhân một hằng số và.thu về các biến, để rút gọn thành aX2bY2cZ2 0 trong 2

-,

 với , ,a b c0, không

chính phương có quan hệ từng đôi nguyên tố với nhau Khi đó ta có thể chứng minh

rằng tồn tại một  -điểm nếu và chỉ nếu a b c đều không cùng dấu và, ,2

là giải được trong tập 

Hơn nữa, trong trường hợp này, aX2 bY2cZ2 0 luôn có một nghiệm nguyênkhông tầm thường X Y Z thỏa mãn, , X  bc1 2; Y  ac1 2; Z  ab1 2

Trong trường hợp đường conic X có một  -điểm P0, vấn đề còn lại là làmthế nào để mô tả tập hợp tất cả các  -điểm Khi đó, ta sẽ dùng một thủ thuật quen

thuộc: với mỗi điểm PX  vẽ một đường qua P0 và P và gọi t là hệ số góc của,

đường thẳng sao cho t (hoặc có thể là ). Ngược lại, cho t định lý Bézout,bảo đảm rằng đường qua P0 với hệ số góc t sẽ cắt đường conic tại một điểm khác

(miễn là đường này không tiếp xúc với conic tại P0), và đây sẽ là một điểm hữu tỷ

t t t

t t y

x y x

xác định các ánh xạ song hữu tỷ từ  đến X và ánh xạ ngược: điều đó có nghĩa là1

khi ta bỏ đi một số hữu hạn các tập con có chiều nhỏ hơn (có thể chỉ là một vài điểm),thì các ánh xạ được cho bởi các hàm hữu tỷ của các biến mà cảm sinh một song ánhgiữa các  -điểm trên mỗi chiều Những ánh xạ song hữu tỷ được định nghĩa trên ;

các hệ số của các hàm hữu tỷ thuộc  vì thế chúng cũng cảm sinh một song ánh giữa,các  -điểm Đặc biệt, tập hợp những nghiệm hữu tỷ của đường tròn 2 2

Hình 1.1 Tham số hóa hữu tỷ của một đường tròn

Bậc d 3 : X là các đường phẳng bậc 3 Lind và Reichardt đã nhận thấy rằng

nguyên lý Hasse có thể không đúng với các đường cong phẳng bậc ba Xét một phản

ví dụ: theo Selmer thì đường cong 3X34Y35Z3 0 trong 2

Bài toán liệu một đường cong phẳng bậc ba có điểm hữu tỷ hay không hiện tại làmột bài toán chưa được giải quyết Do đó ta sẽ chú ý đến những đường cong phẳngbậc ba mà có một điểm hữu tỷ Những đường này được gọi là các đường cong elliptic.

1.4.3 Các đường cong elliptic

1.4.3.1 Các định nghĩa tương đương

Cho K là một trường hoàn chỉnh Một đường cong elliptic trên K có thể được

định nghĩa bằng một trong những cách sau:

(1) Bao đóng xạ ảnh của một đường cong không kỳ dị được định nghĩa bởi một

“phương trình Weierstrass”: 2 3 2

y a xya y x a x a xa với

1, 2, ,3 4, 6

a a a a a k Nếu đặc số của K khác 2 hoặc 3, người ta có thể hạn chế sự chú ý

tới các bao đóng xạ ảnh của các đường cong 2 3

Nếu  0,0 là một điểm trên đường cong afin f x y , 0 trên K, khi đó  0,0 là

một điểm kỳ dị nếu cả hai f

,

y x x nhưng không là điểm kỳ dị trên đường 2 3

y x x (xem hình 1.2,1.3, 1.4)

Tổng quát hơn,  a b là kỳ dị trên, f x y , 0 nếu và chỉ nếu  0,0 là kỳ dị trên

f X a Y b 

Một đường cong afin là không kỳ dị nếu nó không có các điểm kỳ dị Một đườngcong xạ ảnh F X Y Z , , 0 là không kỳ dị nếu “các mảnh afin” của nó F x y , ,10,

 ,1,  0,

F x z  F1, ,y z0 là không kỳ dị

Hình 1.2 Đồ thị của y2 x3 Hình 1.3 Đồ thị của y2 x3x2

Hình 1.4 Đồ thị của y2 x3x.Thuật ngữ “trơn” là một từ đồng nghĩa với không kỳ dị, ít nhất cho các đường congtrên một trường hoàn chỉnh K

1.4.3.3 Giống (Loại)

Cho X là đường cong xạ ảnh không kỳ dị trên một trường hoàn chỉnh K Giống

của X là một số nguyên không âm g để đo độ phức tạp hình học của X Nó có các

định nghĩa tương đương sau:

(A) g dimK, ở đây  là không gian vectơ của vi phân chính quy trên X.(Chính quy mang nghĩa “không cực điểm” Nếu K , thì chính quy tương đươngvới chỉnh hình.)

(B) g là giống tôpô của mặt Riemann compact X  (Định nghĩa này chỉ có

nghĩa nếu K có thể được nhúng vào .)

(C)  1 2

2

 -(các số hạng của các kỳ dị) ở đây Y là một đường cong

phẳng bậc d song hữu tỷ với X (có thể là một điểm kỳ dị) Ví dụ: một đường cong

phẳng bậc 3 không kỳ dị có giống là 1

1.4.4 Cấu trúc E K đối với các trường K khác nhau 

1.4.4.1 Đường cong elliptic trên trường số phức

Trên một phương diện nào đó E  là một đa tạp phức nhưng trên một phương

diện khác thì nó là một nhóm và tọa độ của PQ là hàm hữu tỷ theo tọa độ của P và

Q Do đó, E  là một nhóm Lie 1-chiều trên  Hơn nữa, E  là đóng trong

 

2

P  compact nên E  là compact, liên thông Theo sự phân lớp của nhóm Lie

compact liên thông 1-chiều trên  ta xem, E  C/ như là nhóm Lie trên  với,dàn  Z 1Z 2, trong đó  1, 2 là một  -cơ sở của  Các  i được gọi là các

chu kỳ vì tồn tại một hàm phân hình p z trên   được xác định sao cho:

+ p z là phân hình trên   với cực điểm trên 

+ p z  p z ,    và z p z   , 'p z  được xác định một phép đẳng cấu

giải tích C/ E  với E là đường cong elliptic trên  có phương trình:

2 3

2 34

y  x g xg

(cực điểm của p z qua đẳng cấu tương ứng là gốc tọa độ  OE  )

- Vi phân dx

y trên E cái níu với dz trên C/ 

- Do đó, ánh xạ ngược: C E C/ được xác định bởi:

Tổng quát hơn, Riemann đã chứng minh rằng: một mặt Riemann compact bất kỳ

đẳng cấu với X  đối với một đường cong xạ ảnh không kỳ dị X trên 

1.4.4.2 Đường cong elliptic trên trường số thực

Cho đường cong elliptic 2  

:

E y  f x trên  Trong đó:

f x x Ax B  x là không chính phương

Ta có E  nhóm Lie compact giao hoán 1-chiều trên 

Ta xét các miền mà f là không âm Khi đó, ta nhận thấy rằng E  có 1 hoặc 2

thành phần liên thông, f có 1 hoặc 3 nghiệm thực Khi đó, nhóm đường tròn:

Nhóm E  có thể được xem như là một nhóm con của E  cố định bằng phép

liên hợp phức Nếu E được xác định trên  ta có thể chọn,  của mặt cắt trước nhằm

ổn định qua phép liên hợp phức và tác động lên các tọa độ thành phần của phép liên

hợp phức trên E  tương ứng với tác động tự nhiên trên C/  Trong trường hợpnày ta định nghĩa chu kỳ thực như là hàm sinh dương của nhóm cyclic vô hạn  .Một cách chính xác,  được xác định một cách duy nhất bởi một số thực khác 0; việc

chọn  tương đương với việc chọn một vi phân của E trên  và chu kỳ thì phụ thuộc

vào việc lựa chọn trên

Hình 1.5 Đường cong elliptic y2 x34x6 trên 

1.4.4.3 Đường cong elliptic trên trường hữu hạn

Cho E là một đường cong elliptic trên trường hữu hạn  có q phần tử Vì q E q

sau: ta sẽ không giải thích sự xác định #E  theo modun l với mỗi số nguyên tố l q

ta có xấp xỉ log ,q định lý số dư Trung hoa đã xét xong #E q

Ví dụ 25: Cho E là đường cong elliptic 2 3

Hình 1.6 Đường cong elliptic y2 x34x6 trên 197

1.4.5 Đường cong elliptic trên trường hữu tỷ

1.4.5.1 Định lý Mordell

Cho E là đường cong elliptic trên trường  Mordell đã chứng minh rằng E 

là một nhóm aben hữu hạn sinh   r

trường số Đa tạp aben là đa tạp nhóm xạ ảnh với số chiều tùy ý)

Ví dụ 27: Cho E là đường cong elliptic trên trường 2 3 2

:y x x

 Ta có thể chỉ rarằng: E    22 trong đó: E    E  tors được sinh bởi 4;6 