Khoá luận tốt nghiệp sơ lược về đường cong elliptic trên trường hữu hạn

Tập Y được gọi là tập bất khả qui nếu Y không là hợp của hai tập con đóng thực sự của Y... Tập Y c An được gọi là đa tạp aphin nếu Y ỉà tập đại số và tập bất khả qui.. Không gian tô pô

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

K H O A T O Á N

N gu yễn T h ị Phương

s ơ LƯỢC VỀ ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

H à N ộ i — N ăm 2016

B Ộ G I Á O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO

T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

K H O A T O Á N

N gu yễn T h ị Phương

s ơ LƯỢC VỀ ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

M ụ c lụ c

1.1 Trường hữu h ạ n 2

1.1.1 Trường 2

1.1.2 Đặc số của trường 3

1.1.3 Tính chất trường hữu hạn 3

1.2 Đa tạp aphin 4

1.3 Đa tạp xạ ả n h 9

1.3.1 Cấu xạ trên đa t ạ p 13

1.3.2 Cấu xạ Frobenius 15

1.4 Đường cong E llip tic 16

1.4.1 Luật nhóm trên đường cong E llip tic 18

1.4.2 Đẳng g i ố n g 19

2 Tập điểm của đường cong E llip tic trên trường hữu hạn 24 2.1 Số các điểm hữu t ỉ 24

2.2 Hàm zêta của một đa tạp xạ ả n h 25

2.3 Giả thuyết Riemann cho đường cong e l lip t i c 26

2.4 Giả thuyết Weil cho đường cong ellip tic 28

C h ư ơ n g 1

Đ ư ờ n g c o n g E llip tic

1.1 Trường hữu hạn

1.1.1 Trường

Một vành giao hoán có đơn vị có nhiều hơn một phần tử và mọi phần

tử khác không đều khả nghịch (đối với phép nhân) được gọi là một trường.

Như vậy một tập k với 2 phép toán cộng và nhân là một trường nếu

thỏa mãn:

• k là nhóm Aben với phép toán cộng có phần tử trung hòa.

• fc\{ 0} là nhóm aben với phép toán nhân có phần tử đơn vị.

• Với mọi a,b,c thuộc k ta có:

1.1.2 Đ ặc số của trường

Cho k là một trường với phần tử đơn vị e Khi đó số tự nhiên nhỏ nhất n ^ 0 sao cho bội ne = 0 được gọi là đặc số của trường k Trong trường hợp ngược lại ta nói k có đặc số 0.

Ví dụ: Các trường Q,K,C đều có đặc số 0

Kí hiệu: Char(k)

Có thể thấy rằng nếu trường k có đặc số n 7^ 0 thì n là một số nguyên

tố nào đó Trong trường hợp này mọi phần tử khác 0 của nhóm cộng

• Trong trường hữu hạn F nhóm nhân các phần tử khác 0 là xyclic.

• Giả sử F là trường hữu hạn có q = pn phần tử Khi đó cấp của nhóm Galoa G = G { F / rLp) bằng n Hơn nữa, G là nhóm xyclic

sinh bởi tự đẳng cấu : a !-»■ ap, với mọi a € F

• Mỗi trường hữu hạn F có q = pn phần tử là một trường chia đường tròn bậc q — 1 trên trường nguyên tố p ~ Zp.

• Cho p là số nguyên tố Bao đóng đại số của Fp là hợp của dãy

tăng các trường hữu hạn có đặc số p : Fp = u Fpn

n e N*

1.2 Đa tạp aphin.

Không gian aphin n - chiều trên trường k là tập có dạng

An = {(oi, ,o n)|oi € M = 1 , n}.

Tập các k—điểm của không gian An là tập

Gọi a là ideal của R sinh bởi tập T c R thì Z ( T ) = Z ( a) Vành

R là vành Noether nên tồn tại các đa thức E R sao cho Z(a) = Z ( f u J n).

Đ ịn h nghĩa 1.2.1 Cho Y c An Tập Y được gọi là tập đại số (aphin)

nếu tồn tại T c R sao cho Y = Z{T).

Các tập đại số thỏa mãn tiên đề dành cho các tập đóng của không gian tô pô Tô pô cảm sinh bởi các tập đại số được gọi là tô pô Zariski.

Đ ịn h nghĩa 1.2.2 Cho X là không gian tô pô, 0 ^ Y c X Tập Y

được gọi là tập bất khả qui nếu Y không là hợp của hai tập con đóng thực sự của Y

V í dụ 1.2.3 Không gian A1 là tập bất khả qui vì các tập con đóng

2 Nếu Yt c Y 2 c An thì I{Y1) D I{Y2).

3 Mọi tập con Yị,Y 2 c An ta có IịỴi u Y2) = I{Ỵi) n I { ỵ 2)

ị Mọi a là ideal của R ta có I(Z(à)) = rad(a).

5 Mọi tập con bất kì Y của A n ta có Z Ự ( Y )) = Y

Vì vậy, tập Y c An là đa tạp aphin khi và chỉ khi ideal I{Ỵ) là

ideal nguyên tố của vành R.

Đ ịn h lý 1.2.6 (Định lí không điểm Hilbert) Cho a là một ideal của

vành k ị x i , x n], đa thức f € k[xi, ,xn] sao cho f ( p ) = 0,VP G

z ( a ) Khi đó tồn tại số r > 0 sao cho f r G a.

H ệ quả 1.2.7 Có một sự tương ứng 1 — 1 giữa các tập đại số của An và

các ideal căn của vành R cho bởi Y c An !-»■ I(Y ) và a c R !-»■ Z(a) Hơn thế nữa, tập Y c An là bất khả qui khỉ và chỉ khi I{Ỵ) là ideal nguyên tố của R.

Đ ịn h nghĩa 1.2.8 Cho Y c An là tập đại số Vành tọa độ của Y trên k (kí hiệu k[Y]) là vành được xác định

Trong trường hợp Y / k là đa tạp aphin thì vành tọa độ của Y là miền nguyên Trường các thương của nó, kí hiệu là k(Y), được gọi là trường hàm của Y trên k Tương tự ta định nghĩa k(Y).

N hận x é t 1.2.9 Nếu V là đa tạp aphin thì vành tọa độ k [V] là miền nguyên đồng thời là k— đại số hữu hạn sinh Ngược lại, nếu B là đại

số hữu hạn sinh, miền nguyên thì B = R / a trong đó a là ideal nguyên

tố Khi đó B là vành tọa độ của đa tạp xác định bởi V — z(à).

Đ ịn h nghĩa 1.2.10 Tập Y c An được gọi là đa tạp aphin nếu Y ỉà

tập đại số và tập bất khả qui Một tập mở của một đa tạp aphin được gọi là đa tạp tựa aphin.

Đ ịn h nghĩa 1.2.11 Không gian tô pô X được gọi là không gian tô

pô Noether nếu trong X mọi dãy giảm các tập con đóng đều là các dãy dừng.

V í dụ 1.2.12 Không gian An là một không gian tô pô Noether vì mọi dãy giảm Yị D Y 2 D các tập con đóng của An cảm sinh tương

ứng dãy tăng IiỴi) c I(Y2) c các ideal căn của vành R Lại có vành R là vành Noether nên dãy tăng các ideal phải là dãy dừng Vì vậy tồn tại r > 0 sao cho Ys = yr,Vs > r.

M ệnh đề 1.2.13 Cho X là không gian tô pô Noether Khi đó mọi

tập đóng 0 Ỷ Y c X luôn tồn tại các tập con đóng bất khả qui Yi,i = 1, , n sao cho Y — Yị u u Yn Hơn nữa, nếu Yị ^ Yj,\/i ^ j thì biểu diễn trên là duy nhất.

Vì vậy mọi tập đại số trong không gian A n đều có thể biểu diễn

duy nhất thành hợp của hữu hạn các đa tạp aphin.

Đ ịn h nghĩa 1.2.14 Cho X là không gian tô pô số chiều của X , kí

hiệu d im X là số cực đại n sao cho tồn tại một xích các tập con đóng bất khả qui phân biệt của X :

I o Ễ I i Ễ £ X n c X

số chiều của một đa tạp aphin được định nghĩa là số chiều của không gian tô pô Noether tương ứng.

V í dụ 1.2.15 Trong không gian X = A 1 mọi tập con đóng bất khả

qui của A1 đều là tập gồm một điểm Do đó số chiều của không gian

A1 bằng 1

Đ ịn h nghĩa 1.2.16 Cho p là ideal nguyên tố của R Độ cao của p,

kí hiệu height(p) là số n cực đại sao cho có xích các ideal nguyên tố rời nhau

k[Y] Vì vậy nếu Y c An là tập đại số thì dimY = dỉm(k[Y]).

Đ ịn h lý 1.2.17 Cho k là trường, B là miền nguyên đồng thời là

k—đại số hữu hạn sinh Khi đó

1 Số chiều của B bằng bậc siêu việt của trường thương k(B) của

B trên k.

2 Mọi ideal nguyên tố p trong B

height(p) + d i m ( B / p ) = dỉmB.

H ệ quả 1.2.18 Cho V là đa tạp của An Khỉ đó

h eig h tự (V )) + dimkịv] = dim(k[xi, , xn\) = n.

V í dụ 1.2.19 Không gian An có số chiều bằng n Thật vậy, ta có

I ( A n) = 0 nên dỉmAn = n — 0 = n.

M ệnh đề 1.2.20 Cho A là vành Noether Khi đó

1 Nếu X e Ả khác đơn vị và không là ước của không thì mọi ideal

nguyên tố cực tiểu p chứa (X) có height(p) = 1

2 Miền nguyên A là miền phẫn tích duy nhất khi và chỉ khi mọi ỉdeal nguyên tố có height bằng 1 đều là ideal chính.

M ệnh đề 1 2 2 1 Cho V là đa tạp của không gian An Khi đó d i m i y ) =

n — 1 khi và chỉ khi tồn tại đa thức bất khả qui f e R sao cho V = z ( f ) Chứng minh Nếu d ỉ m ị y ) = 71—1 thì theo định lí trên h e i g h t ự i y ) ) =

1 Giả thiết vành R là miền phân tích duy nhất nên tồn tại đa thức / e R sao cho u y ) = ( /) Do I(V) là ideal nguyên tố nên đa thức / bất khả qui Ngược lại, từ V = z ự ) trong đó / là đa thức bất khả qui trong vành R suy ra d ỉ m ị y ) = 77—1 □

Đ ịn h nghĩa 1.2.22 Cho V là một đa tạp, p € V và € R

là hệ sinh của I{V) Đa tạp V gọi là trơn tại p nếu hạng của ma trận Jacobi

0 < i < m

0 < j < n

bằng n — d ỉ m V Đa tạp V gọi là trơn nếu V trơn tại mọi điểm p của

V Ngược lại, đa tạp V gọi là có điểm kì dị tại p

V í dụ 1.2.23 1 Cho V là đa tạp xác định bởi đa thức bất khả qui / G R Khi đó V kì dị tại điểm p G V khi và chỉ khi Q^-(P) = 0,Vỉ =

1 , 2 , , 7 7

2 Cho V : Y 2 = X 3 + X 2 Điểm P{x, y) <E V là điểm kì dị của V

khi và chỉ khi g^(P) = 0, y~{P) = 0 Giải hệ phương trình ta có điểm

M ệnh đề 1.2.25 Cho V là đa tạp aphin, P G V và Mp là ideal cực

đại của k[V] Khỉ đó M p Ị M2 là một k—không gian vecto hữu hạn chiều.

Hơn nữa, đa tạp V trơn tại p khi và chỉ khi dỉmỵMpỊ M2 = d im V

Đ ịn h nghĩa 1.2.26 Cho V là đa tạp aphin và P G V , k[v] là vành

tọa độ của V Địa phương hóa của k[V] tại Mp được gọi là vành địa

phương của V tại p , kí hiệu A;[V]p.

V í dụ 1.2.27 Cho đa tạp V : y 2 = X 3 + X, đa tạp V trơn tại điểm

-P(0,0) Ta có Mp là ideal của k[v] sinh bởi X, y, M ị là ideal của Ä;[v]

sinh bởi X 2 , xy, y 2 Trên V lại có X = y 2 — X 3 = 0(modMị) nên M p ỊM2

sinh bởi y Do dimV — 1 và V trơn tại P (0,0) nên d im ( M p /M2) = 1

1.3 Đa tạp xạ ảnh

Không gian xạ ảnh n —chiều trên k là tập tất cả các lớp tương đương

pn = { [ a o , an]|a¿ G k, có ít nhất một ữj nào đó khác 0}

trong đó quan hệ tương đương

Tập các k—điểm trong pn

Pn(A:) = {[a0, ữ n]Ịaj € k,có ít nhất một ơị nào đó khác 0}.

Đ ịn h nghĩa 1.3.1 Đa thức F G k[xQ, ,x n] = k[x] được gọi là đa

thức thuần nhất bậc d nếư VA G k ta có F(Xx 0, A^n) = XdF(x 0 , x n).

Một ideal của vành k[x] được gọi là ideal thuần nhất nếu nó sinh bởi

các đa thức thuần nhất.

Trở lại đại số giao hoán, vành s được gọi là vành phân bậc nếu s

có thể phân tích thành tổng trực tiếp s = ® d>0 s đ, trong đó Sd là

các nhóm Abel thỏa mãn Vdị,d 2 > 0|*S'd1 )S'rf2 c (Sd1+d2 Nhóm Sd được gọi là thành phần thuần nhất bậc d của vành s

Xét s = kịx 0, ,xn], mỗi đa thức thuần nhất F € s ta có

V í dụ 1.3.3 Siêu phẳng trong không gian xạ ảnh pn có phương trình

H : aữx 0 + + anxn = 0, các ữj không đồng thời bằng 0

nên H là tập xạ ảnh trong pn.

Đ ịn h nghĩa 1.3.4 Cho Y c pn là tập đại số Ideal của Y , kí hiệu I(Y ) là ideal sinh bởi các đa thức { F e Sd : F ( P ) = 0,VP & Y , d =

0, 1 , }.

Tập đại số V c pn được gọi là đa tạp xạ ảnh nếu ideal thuần nhất

I i y ) của nó là ideal nguyên tố (<=>■ V là tập xạ ảnh bất khả qui) Một tập con mở của một đa tạp xạ ảnh được gọi là đa tạp tựa xạ ảnh Cho Y c Pn Vành tọa độ thuần nhất của Y , kí hiệu S(Y ) được định nghĩa là S(Y) — S / I { Ỵ ) Trong trường hợp V là tập xạ ảnh vành tọa độ S(V) của V là miền nguyên.

Cho Y c pn tập đại số, tập Y được gọi là xác định trên k nếu ideal I( Y) có một hệ sinh gồm các đa thức thuần nhất của k[x].

V í dụ 1.3.5 Cho V : X 2 + Y 2 = z 2 trong p 2 Đa thức F ( x , Y, z ) =

X 2 + Y 2 — z 2 bất khả qui nên ideal I ( v ) là ideal nguyên tố của

k ịx , Y, Z], Vì vậy V là một đa tạp xạ ảnh Hơn nữa, tập các k —điểm

V ( k ) đẳng cấu với PX(A;) qua ánh xạ

$ : P1^ ) — * V (k); [s,t] i-y [s 2 — t2, 2st, s 2 + t 2].

Trong không gian p n , xét ánh xạ

(j)ị ; A y P , (x i, xn) I y \ x \ , Xị— 1 , 1, X ị , xn].

Đặt Ui = {Xi ^ 0} c P" Ta có Uị ~ An qua song ánh ỘỊ 1 :

Ui — y An Với V là tập đại số xạ ảnh cùng với ideal I ( v ) Khi đó

V n A n = ỘỴl i y n Uị) là tập đại số aphin với ideal I ị y n A n) cho bởi

I { V n A n) = ị f ( y o , U n ) = -^(^0, Xn)/xf] d = degF,F G I{V)}

Mọi đa thức f ( x 1, xn) G k [ x i , x n\ tồn tại đa thức cho bởi

F(x0, xn) = x ị ỉ { x l / x ữ, xn/ x 0); d = degf

là đa thức thuần nhất bậc d.

Đ ịn h nghĩa 1.3.6 Cho V c An là tập đại số aphin cùng với ideal

I { y ) , coi V như là tập con của p n thông qua ánh xạ ộị Bao đóng xạ

ảnh của V , kí hiệu V , là tập đại số xạ ảnh cho bởi ideal thuần nhất

Ngược lại, nếu V là đa tạp xạ ảnh thì V n An là đa tạp aphin, trong

trường hợp này hoặc V n An — 0 hoặc V = V n An.

2 Nếu V là một đa tạp aphin (xạ ảnh) xác định trên k thì tương

ứng V ( y C\ A n) cũng là xác định trên k.

Chứng minh 1 Nếu V là đa tạp aphin Theo định nghĩa ta dễ dàng

chứng minh được I ( v ) = { F ( x 0, , xn) : / e I ( v ) } là ideal nguyên

tố Chứng tỏ V là đa tạp xạ ảnh.

Ngược lại, nếu V là đa tạp xạ ảnh và V n An 7^ 0 Theo định nghĩa

I ( V n A n) = f ( y 0 , ,yi_u yi+ 1 , , yn) = F(x0, , Xn)/xf] d = degF,F e I(V)

ta cũng dễ dàng kiểm tra được I ( V n An) là ideal nguyên tố Vậy

V n An là đa tạp aphin.

2 Hiển nhiên theo định nghĩa của các ideal I i y n An) và ideal

Vì vậy, nếu xét trong Uị nào đó mỗi đa tạp xạ ảnh V được xác định

thông qua đa tạp aphin và ngược lại.

V í dụ 1.3.8 Trong không gian xạ ảnh pn cho đa tạp xạ ảnh V xác

định bởi phương trình V : X 3 + 17 = y 2, lúc đó đa tạp V có phương

trình thuần nhất V : X 3 + 17z 3 = Y 2 Z, tập các Q —điểm của V được

xác định

V(Q) = {(*,</) 6 ¿ 2(Q) : X 3 + 17 = V2} u [0, 1 , 0],

Đ ịn h nghĩa 1.3.9 Cho V là đa tạp xạ ảnh xác định trên k, chọn An

sao cho V n An Ỷ 0- Khi đó

1 Số chiều của V, kí hiệu dimV, là số chiều của V (1 An.

2 Trường hàm của V , kí hiệu k ị v ) , là trường hàm của V n An

vành địa phương của V n An tại p Hàm F G k i y ) được gọi là chính qui ( xác định) tại p nếu F G fc[V]p.

M ệnh đề 1.3.10 Cho V là đa tạp xạ ảnh Khi đó mọi F G k(V ) đều

Ánh xạ hữu tỉ ộ : Ví — » v2; ộ = [P0) ■•■J Fn] được gọi là chính qui

tại P G Vi nếu tồn tại hàm G G A:(Vi) thỏa mãn:

1 Mỗi GFị là các hàm chính qui tại p với mọi ỉ.

Đ ịn h nghĩa 1.3.14 1) Cho V\,V 2 là các đa tạp xạ ảnh Ánh xạ hữu

1 degGữ = degG 1 = • • • = degGn.

2 GịFj = GjFị đồng dư (/(Vi)); Vi,j.

3 Tồn tại Gị{p) ^ 0 vói i nào đó.

Nếu điều này xảy ra giá trị của ánh xạ hữu tỉ ậ tại p

ộ(P) = [G 0 (P ), ,G n(P)].

V í dụ 1.3.15 Ánh xạ ộ : pm — » Pn; ộ — [F0, , Fn] là ánh xạ hữu

tỉ, trong đó các Fị là các đa thức thuần nhất cùng bậc của vành k[X]

Do k[x] là miền phân tích duy nhất nên ta có thể giả sử các đa thức

F 0 , ,Fn nguyên tố cùng nhau Khi đó ộ là ánh xạ chính qui tại p

khi và chỉ khi tồn tại các đa thức thuần nhất G 0 , G n £ k[x] thỏa

Từ điều kiện 1) và 2) tồn tại các đa thức Gị — BCNN(Ịo, ,Fn) ' Cùng với điều kiện thứ 3), ta có ộ là ánh xạ chính qui tại p khi và chỉ khi

tồn tại F ị (p ) Ỷ 0 nào đó.

Đ ịn h nghĩa 1.3.16 Cho Vi,V2 là các đa tạp xạ ảnh Đa tạp Vi được

gọi là đẳng cấu với v 2 nếu tồn tại các cấu xạ ộ : Vi — > v 2 và ip :

v 2 — > Vi sao cho (fộ : Vi — > Vị và ệụ> : v 2 — > v 2 là các cấu xạ đồng nhất Kí hiệu Vi ~ v 2.

1.3.2 Cấu x ạ Frobenius

Giả sử rằng char(k) = p > 0 và q = pr với số r > 0 nào đó Mọi

đa thức f ( x ) € k[x] định nghĩa đa thức / ^ là đa thức thu được khi nâng q—lũy thừa các hệ số của đa thức f{x) Tức là, nếu đa thức

f ( x ) = aữ + ũịX + + anxn thì đa thức f ( q\ x ) = aị + aịx + + a ị x n

Tương tự, đường cong c xác định bởi ideal 1(C), lúc đó ta có thể định

nghĩa đường cong là đường cong xác định bởi ideal

I ( C ^ ) = ideal sinh bởi các đa thức (f(q\ f G 1 (C)).

Mỗi điểm P[xữ, ,xn] của đường cong c thì f ^ ( [ x ị , , xị]) =

(f([x0, , xn]))q = 0 Cấu xạ tự nhiên

7 ĨC - C — > ơ (9); [x 0 ,Xi, ,xn] I ^ [x 9 ữìxị, ,< ]

được gọi là cấu xạ q—lũy thừa Probenius của c

M ệnh đề 1.3.17 Giả sử rằng char(k) = p > 0 và q = pr với số r > 0

nào đó Cấu xạ ĨTC là cấu xạ q—lũy thừa Frobenius của c Khi đó

1 = k(C)M = {/<«> : / e k(C)};

3 degĩĩc = q.

1.4 Đường cong Elliptic

Đ ịn h nghĩa 1.4.1 Trong không gian xạ ảnh p 2, đường cong trơn E

được gọi là đường cong elliptic nếu E xác định bởi phương trình có dạng (phương trình Weiertrass của E )

E : y 2Z + ữlX Y Z + a 3 Y Z 2 = X 3 + a 2 X 2Z + aAX Z 2 + a 6 Z 3

trong đó a i, ,a 6 e k Điểm O[0,1,0] G E được gọi là điểm vô tận

của đường cong elliptic E Đường cong elliptic được gọi là đường cong xác định trên k nếu các hệ số ŨI, ,a 6 E k

Thông thường người ta thường mô tả đường cong elliptic thông

qua một phương trình đa thức không thuần nhất, bằng cách đặt X =

X / Z ; y = Y/ Z

E : y 2 + a i x y + a 3y = X 3 + a 2x 2 + a 4x + ữ6

và luôn nhớ rằng E có một điểm ở vô tận O [0,1,0]

V í dụ 1.4.2 Đường cong elliptic

E : y 2 = x 3 + X Tập các điểm của E là tập các điểm ( x , y) thỏa mãn y 2 = X 3 + X và điểm O[ 0, 1 , 0].

Khi char(k) 7^ 2 Đổi biến y !->■ y — \{a\X + a3) đường cong elliptic