TICH PHAN lythuyet baitap tracnghiem

CHỦ ĐỀ 13.TÍCH PHÂN – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNA... Từ đó, ta được các tích phân cơ bản...  �  � Do tích phân không phụ thuộc vào biến số.Từ đây trở về sau, ta xem đây là một tính

CHỦ ĐỀ 13.TÍCH PHÂN – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên khoảng K và , a b là hai số bất kì thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b F a  được gọi là tích phân của hàm số f từ a đến b và kí hiệu là  d

f x x

� là tích phân của f trên đoạn  a b;

b) Hiệu số F b F a  còn được kí hiệu là   b

a

F x Khi đó :  d      

b

b a a

4 0 0

1 2 0

1

d 1

   

1 1

2 1

1 Tích phân của hàm chứa dấu trị tuyệt đối

a) Yêu cầu: Tính tích phân ( )

b a

I �f x dx

b) Phương pháp:

+ Bước 1: Xét dấu của f x trên khoảng    a b;

- Giải phương trình f x  0� x x i� a b;

- Lập bảng xét dấu của f x trên khoảng    a b;

+ Bước 2: Chèn cận x i và đồng thời bỏ dấu (căn cứ vào BXD) ta được các tích phân cơ bản

2

x x  0 Suy ra:

x  4  3 1 2

x  x  0  0 Suy ra:

x  0 Suy ra:

a) Yêu cầu: Tính tích phân min    ;g d

b a

I � f x x x; max    ;g d

b a

b) Phương pháp: Tính min    ;g d

b a

I � f x x x ( max    ;g d

b a

I � f x x x tương tự)+ Bước 1: Xét dấu của f x( )g x  trên khoảng  a b;

- Giải phương trình f x( )g x  0� x x i� a b;

- Lập bảng xét dấu của f x( )g x  trên khoảng  a b;

+ Bước 2: Chèn cận x i và chọn hàm min f x   ;g x như sau:

- Nếu f x   g x  trên khoảng K thì 0 min f x   ;g x  g x 

- Nếu f x   g x  trên khoảng K thì 0 min f x   ;g x   f x 

Từ đó, ta được các tích phân cơ bản

Câu 12: Tính 2  2

0min ;

3 Tích phân của hàm số xác định trên từng khoảng

Câu 14: Cho hàm số   2 khi 0

g x  �f t t F t F x F x

Lấy đạo hàm hai vế của (*) theo biến x ta được:

t

f t t

x

x x x

DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1 ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN

Yêu cầu : Tính tích phân 1   2 d

b a

Phương pháp:

+ Biến đổi về dạng    d

b a

I �f u x u x x�� ���+ Đặt t u x   �dt u x x � d

I �f t t là tính phân đơn giản hơn

1 Một số dấu hiệu cơ bản và cách chọn t u x  

Hàm số chứa mẫu số t là mẫu số

Hàm số chứa căn f x u x , ( ) t là căn: t  u x( )

Hàm số có dạng  f x( )n (xấu)lũy thừa t là biểu thức (xấu) trong lũy thừa, t f x( )Hàm số lượng giác có góc xấu t là góc xấu

2017 2

4 4 4

1 1

2 0

1 3 0

1

t d 4

I �t2

 �  � (Do tích phân không phụ thuộc vào biến số).

Từ đây trở về sau, ta xem đây là một tính chất của tích phân

Câu 26: Cho hàm số f x  liên tục trên � và 7  

+ Ta có thể thay đoạn a a;  bằng một tập đối xứng thì định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ vẫn như trên

Câu 30: Cho f x là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn   a a;  Chứng minh rằng:    

x a

Vì f x  cosx là hàm số chẵn trên đoạn ;

Câu 36: Tính tích phân

1 2

1 2

1cos 4 sin sin ln d

Ta thấy hàm số này liên tục trên đoạn  ;  và

  sin sin  sin sin   

f  t  mt t   mt t  f t

Nên f t là hàm số lẻ trên    ; 

Vậy I   1 0 0m 

4 Một số kiểu đổi biến đặc biệt

Câu 38: Cho f x là hàm số liên tục trên    0;1 Chứng minh rằng: 2   2  

1

tan cos dcos sin

1 161

t t

Ta có: 2     2 5 2

I �f x f x x� �x  x xĐặt t f x  �dt f x x� d

f t

DẠNG 6: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2 ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN

Yêu cầu: Tính tích phân  d

b a

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

t t

+ Bước 1: Biến đổi 1    2 d

I  uv �v u

1 Dùng dấu hiệu: nhất (log, ln), nhì đa (thức), tam lượng(giác), tứ mũ ( a e x, x ) để chọn u

Câu 46: Tính các tích phân sau:

0 0

x 2x

20

2 x e

2

12

x

e

2

14

18

cos x sin x cos x

2

d 2 d

ln 2

x x

d 3sin 3 dcos3

2

d 2 d

ln 2

x x

a a

1 3

sincos

0 0

6 Tích phân với hàm số tùy ý

Câu 56: Cho hàm số f x có nguyên hàm là   F x trên đoạn    1; 2 , biết F 2  và 1 2  

a b

Lời giải

Chọn A

1 1

b c

c a

c a

c a

Câu 22: [2D3-2]Chohàmsố f x  liêntụctrên �và F x  lànguyênhàmcủa f x ,  biết 9  

cos d sin sin sin0 1

Câu 28: [2D3-3]Cho      

3 1

+Mệnhđề2:Đúng,dotíchphânkhôngphụthuộcvàobiếnsố.

  vớimọi m0 nênhàmsố f m  đồngbiếntrên 0;�.

Dođó:Phươngtrình f m  0 cónghiệmduynhất m1.

a x



� với a b, làcácsốnguyêndươngvà a

b làphânsốtốigiản Tính

1 x x

�

.2

Câu 43: [2D3-3]Biết

3 2 2

d ln 2 ln 31

và F 2  ,5 F 9 4 Mệnhđềnàosauđâyđúng?

2 6

1 sin

dsin

x x x

11

f x x

b a

g x x

b a

Câu 52: [2D3-2]Cho f x  làhàmsốchẵntrên �thoảmãn 0  

Phần 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

4 0

I  �u u

Lời giải

Chọn C Cách 1:

b e

3 2

3 2

3 2

3 2

và k��nêncó10giátrịcủa k

3 2 0

d16

x I

t I

t I t

t I t

�

0

2sin sin 2 d

d

x I

d

x I

d1

1 2 0

1d2

4 1

0

d2

x x

x

t t

x

t t



2 0

03

A I F 4 F 2 . B I F 6 F 3 . C I F 9 F 3 . D I F 3 F 1 .

Lời giải

Chọn C

(1) I n �2n1 1

 (2) J n  2n1 1

 (3) I n �J n 2n1 1

 .Cáckhẳngđịnhđúngtrong 3 khẳngđịnhtrênlà

Trong lời giải trên, ta đã sử dụng BĐT:

Nếu f x ,   g x là các hàm số liên tục trên đoạn    a b và; f x  �g x  với mọi x� a b; thì

f x x

�bằng

x x

1d1

2d1

1d1

Câu 83: [2D3-3]Chotíchphân

nàosaođây?

t

I � t�� t �� 

d lnsin 5sin 6

20172

20182

e e

I x x  �x x x.

C 2 2

1 1

e e

Câu 91: [2D3-2]Chotíchphân 2

0cos d

2

4

103

62

a

a

a b b

1 1

3

a ,b 1 Vậy S 3a b 9.

2 2 1

A 1

2

2 22

Phươngpháp:Sửdụngmáytínhđểtínhtíchphân.

Vìmáytínhrasốlẻnêncácbạncũngcầnphảikiểmtracả4đápán.

Ngoài ra bạn cũng co thê giải bằng phương pháp tích phân từng phần .



e

2 22

   � 3ln 3 2ln 2 1 Vậy a3;b 2;c 1 �S a b c   0

cos

x x

a b

2 2 4

ln 2 ( , ) sin

2 0

cos

x

x a x

1 2 0

.9

.4

.3

1

2

x x

2 0

Vậy S 7.