Cần nhớ công thức :... b Tính I+J rồi suy ra giá trị của I,J.. 3.Hai dạng tích phân từng phần thường gặp... Bước 2 : Thiết lập công thức diện tích Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới
Trang 1Bài 1 : ĐẠO HÀM1/ Công thức đạo hàm
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của hàm số hợp
( )
/
C
2
/ 1 1
=
( )Uα / = α Uα − 1 U/
/ 2
/
1
x tg x
tgx
x x
x x
2 2
/
2 2
/ / /
cot 1 sin
1 cot
1 cos 1
sin cos
cos sin
/ 2 /
/ /
/ /
sin
1 cot
cos
1
sin cos
cos sin
U U gU
U U tgU
U U U
U U U
x x
x x
ln
/ /
=
/ /
ln
.
U a a a
U e e
U U
U U
a
ln
1 log
1 ln
/ /
=
a U
U U
U
U U
a
ln log
ln
/ /
/ /
Bài 2 :NGUYÊN HÀM
1/Định nghĩa nguyên hàm:
F (x) là nguyên hàm của f( x) trên (a,b)
Trang 2⇔ f( )x =F/( )x
*lưu ý :
+ F(x) chỉ là một nguyên hàm của f(x)
+ F(x) + C là một họ nguyên hàm của f(x) và kí
hiệu ∫f (x)dx Ta có:
∫f(x)dx=F( )x +C ⇔F/ (x) =f(x)
2/Bảng các nguyên hàm
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm mở rộng
=
+
=
− +
C a
a dx a
C e dx e
C x dx x
x n
dx x
C x
dx x
C x dx
x x
x x
n n
ln
ln 1
) 1 (
1 1
1 1
1
1
α
α α
= +
+ +
+
= +
C b ax a
dx b ax
C b
ax a dx b ax
C kx kdx
x b
ax 1
ln 1 1
1
) (
α
α α
x
C tgx dx x
C x xdx
C x xdx
cot sin
1 cos 1
cos sin
sin cos
2 2
−
= +
+ +
= +
+ +
−
= +
+ +
= +
C b ax g a
dx b ax
C b ax tg a
dx b ax
C b ax a
dx b ax
C b ax a dx b ax
) ( cot
1 )
( sin 1
) (
1 )
( cos 1
) cos(
1 )
sin(
) sin(
1 ) cos(
2 2
Trang 33.Các tính chất của nguyên hàm
a) ∫ [f(x) +g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
b) ∫ [f(x) −g(x)]dx =∫f(x)dx−∫g(x)dx
c) ∫kf (x)dx=k∫f(x)dx
4.Các bài tập:
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
11/ f(x) =
x x
x
2
2 sincos
2cos
12/ f(x) =2x1+5
13/ Chứng minh rằng F(x) = xlnx – x là một nguyên hàm của f(x) = lnx
14/ Tìm một nguyên hàm cho hàm f định bởi f(x) = 2x(x3+1) Biết rằng nguyên hàm này bằng 3 khi x= -1
15/ Xác định các số a;b;c để hàm số F(x) = (a.x2+bx+c)e− 2x là một nguyên hàm của hàm số
f(x) =(-2x2+8x-7)e− 2x trên R
Bài 3: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ
Trang 4
* Để tính tích hữu tỉ dạng Q P((x x)) với bậc tử lớn hơn mẫu, ta chia tử cho mẫu Khi đó ta được
Q P((x x)) = A(x)+ Q R((x x)) trong đó bậc R(x) ≤bậc Q(x)
* Do đó ta quan tâm việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn mẫu
Dạng ( )
c x b x a
x
x p
: Đặt: ( )( )( ) ( ) ( ) (x c)
c b x
B a
x
A c
x b x a x
x p
Từ đó ta xác định được A, B, C
Dạng ∫ ( − )( − ) dx
b x a x
x P
3)(
)(
b x
D b
x
C b x
B a x
A b
x a x
x P
dx b
1 1 1
1 1
1 1
2 2
dx a x a x
1 1
1 2
1
Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau
1/ a) Xác định các hằng số A, B sao cho
( 1 ) 3 ( 1 ) 3 ( 1 ) 2
1 3
+
+ +
= +
+
x
B x
A x
x
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)= ( 1 ) 3
1 3
+
+
x x
Đs: A = –2, B = 3, C
x x
x
+
− +
=
1
3 ) 1 (
1 )
x
122
3
4/ ∫ + +− dx
x x x
x
2
32
2
x x
x x
∫3 2−+33 ++23
2
6/ dx
x
x x
∫3 2 ++3+2 7/∫ ++ + dx
x
x x
2
5 4 2
8/ ∫ ( + ) dx
x
652
132 3
2
12/∫ − + − dx
x x
x
x
) 5 )(
2 (
10 7
Bài 4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
1/ Cần nhớ công thức :
Trang 5( ) x C
a dx b
2/ Ta thường dùng đổi biến số để tính tích phân các hàm số lượng giác
* Dạng ∫R(sinx)cosxdx đặt t = sinx
* Dạng ∫R(cosx)sinxdx đặt t = cosx
x tgx
2
1 sin
2
1 cos
2
1 sin
Trang 6cos
1
c) ∫ + dx
Bài 5 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1.Định nghĩa: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) Hiệu f(b) –f(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).Kí hiệu:
a
b
a F b F a x
F dx x
2.Chú ý: ∫b =
a
dx x
a
dt t
f ( ) =∫b
a
du u
f( )
3.Các tính chất :
Trang 71/∫ ( ) = 0
a
a
dx x
b
a
dx x
b
dx x
3/ ∫b =
a
dx x
a
dx x
f ( ) +∫b
c
dx x
f( )
4/ ∫b =
a
dx x f
a
dx x f
a
dx x g x
a
dx x
f ( ) +∫b
a
dx x
f( ) ≤ M(b-a) .Bài tập :Tính các tích phân sau
x Đsố
16
3π
Trang 8dx x
f (Đsố a= −b =21, I = π4 )
11/ a) Tính đạo hàm của hàm số
F(x) = ln
1 2
1 2 2 2
+ +
+
−
x x
2 /
) 1 2
0
4 2
3 sin
1
3
1 2
2 1
+
−
= + + +
n
C n C
C
n n n n
n
Trang 9x g
15/∫π −
0
2 sin
Bài 6: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1.Tích phân đổi biến loại I : Đặt x = ϕ( )t
* Dạng ∫ a2 −x2dx
Đặt x = asint với ∈ −
2
, 2
ππ
ππ
@ Lưu ý : đổi biến phải đổi cận
Trang 10Bài tập:Tính các tích phân sau
1
2 9)1(
1
Đặt x –1= 3tgt, )
2
, 2 (−π π
dx x
a
dx x x
f ln 1 đặt t = lnx
x x
ln311
x
1
thì đặt t = lnx
Trang 1113/ π∫
0
sincosx x dx
Trang 1215/∫2 x( − x)dx
0
2
sin1
Trang 13π
dx x x
x Đáp số: 2734
Trang 1433/∫2 +
0 cos2 4sin2
2sin
π
dx x x
x Đáp số:
3 2
35/∫e + dx
x
x x
1
lnln
2
cos
π
dx x x
e x Tách ra hai tích phân , Đáp số: 1
4 − +π
Trang 15x x
x
dx x
Tích phân liên kết và kết hợp
1/Cho I = dx
x x
x
n n
x
n n
Trang 16b) Tính I+J rồi suy ra giá trị của I,J Aùp dụng: dx
x x
5
cossin
sin
dx x
x x
Bài 7: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
1.Công thức từng phần :
∫ = −∫b
a
b a b
a
vdu uv
đơn giản hơn.
3.Hai dạng tích phân từng phần thường gặp
Trang 17Dạng1: I = () dx
x x
e xp
x b
Đặt : u = lnx ; dv= phần còn lại
4.Bài tập: Tính các tích phân sau
Trang 193 ln 9 [ 3
1
thông qua ln(1 2)
cos
14
0
+
=
∫ dx x
"Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f(x) ,hai đường thẵng x = a ,x = b và trục Ox "
Trang 20Giải
Bước 1 : diện tích cần tính là s = ∫b
a
dx x
f( ) Bước 2 : Giải phương trình : f(x) = 0 giả sử được
a
dx x f dx x
f( ) Bài Tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
+
+ +
π
Trang 216/ parabol y = –x2 –2x +3, tiếp tuyến với (P) tại điểm M (2, -5) và trục tung Đsố :
3
8đvdt
DẠNG II
Bài toán :
"Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
y = f(x) , y = g(x) hai đường thẵng x = a ,x = b "
Bước 1 : diện tích cần tính là
s = ∫ −
b
a
dx x g x
f( ) ( ) Bước 2 : Giải phương trình : f(x) – g(x) = 0 giả sử
được nghiệm x = c∈[a, b]
Bước 3 : Khi đó
c c
a
dx x g x f dx
x g x
* Nhận xét: nếu chưa cho hai đường thẳng x = a, x= b
thì giải phương trình trước , áp dụng công thức
f( ) ( ) Bài tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
Trang 22Bước 2 : Thiết lập công thức diện tích
Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
Trang 231/
x y
x y
x
x+ = + Đsố :
16
5π2
2/ Cho hình (H) giới hạn bởi các đường x = -1, x = 2 y = 0, y = x − 2x
a) Tính diện tích của (H) Đsố :8/3
b) Tính thể tích khối tròn xoay khi ta quay (H) quanh trục Ox Đsố :185π
Trang 243/ Cho hình (H) giới hạn bởi các đường x = π2 x =π , y = 0, y = sin 4x+ cos 4 x Tính thể tích khối tròn xoay khi ta quay (H) quanh trục Ox HD:
4
4 cos 4
3 cos