TICH PHAN lythuyet baitap tracnghiem

CHỦ ĐỀ 13.TÍCH PHÂN – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNA... = ∫ = ∫ Do tích phân không phụ thuộc vào biến số.Từ đây trở về sau, ta xem đây là một tính chất của tích phân... Ngoài ra bạn c

CHỦ ĐỀ 13.TÍCH PHÂN – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên khoảng K và , a b là hai số bất kì thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b( )−F a( ) được gọi là tích phân của hàm số f từ a đến b và kí hiệu là ( )d

f x x

∫ là tích phân của f trên đoạn [ ]a b;

b) Hiệu số F b( )−F a( ) còn được kí hiệu là ( ) b

a

F x Khi đó : ( )d ( ) ( ) ( )

b

b a a

( )

1 1

4

4 0 0

1

2 0

1

d 1

2 1

a) Yêu cầu: Tính tích phân ( )

b a

I =∫ f x dx

b) Phương pháp:

+ Bước 1: Xét dấu của f x trên khoảng ( ) ( )a b;

- Giải phương trình f x( ) = ⇔ = ∈0 x x i ( )a b;

- Lập bảng xét dấu của f x trên khoảng ( ) ( )a b;

+ Bước 2: Chèn cận x i và đồng thời bỏ dấu (căn cứ vào BXD) ta được các tích phân cơ bản

2 2 3

Suy ra:

π π

2 Tích phân của hàm min, max

a) Yêu cầu: Tính tích phân min{ ( ) ( );g }d

b a

b a

b) Phương pháp: Tính min{ ( ) ( );g }d

b a

b a

I =∫ f x x x tương tự)+ Bước 1: Xét dấu của f x( )−g x( ) trên khoảng ( )a b;

- Giải phương trình f x( )−g x( ) = ⇔ = ∈0 x x i ( )a b;

- Lập bảng xét dấu của f x( )−g x( ) trên khoảng ( )a b;

+ Bước 2: Chèn cận x i và chọn hàm min{ f x( ) ( );g x như sau:}

- Nếu f x( )−g x( ) >0 trên khoảng K thì min{ f x( ) ( );g x } =g x( )

- Nếu f x( )−g x( ) <0 trên khoảng K thì min{ f x( ) ( );g x } = f x( )

Từ đó, ta được các tích phân cơ bản

Câu 12: Tính 2 { }2

0min ;

3 Tích phân của hàm số xác định trên từng khoảng

Câu 14: Cho hàm số y f x( ) x2 khikhi x 00

∫ Tìm g x′( ).

Lời giải

Gọi F t là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 22

11

t

f t t

−

=+ Suy ra: F t′( ) = f t( )

Ta có:

2 2

x

x x x

DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1 ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN

Yêu cầu : Tính tích phân 1( ) ( )2 d

b a

Phương pháp:

+ Biến đổi về dạng ( ) ( )d

b a

I =∫ f u x u x x  ′+ Đặt t u x= ( )⇒ =dt u x x′( )d

I =∫ f t t là tính phân đơn giản hơn

1 Một số dấu hiệu cơ bản và cách chọn t u x= ( )

Hàm số chứa mẫu số t là mẫu số

Hàm số chứa căn f x u x( , ( )) t là căn: t = u x( )

Hàm số có dạng [ f x( )]n (xấu)lũy thừa t là biểu thức (xấu) trong lũy thừa, t= f x( )Hàm số lượng giác có góc xấu t là góc xấu

2017 2

4 4 4

2sin d 2cos 2 2

π

π π π

3

2 cos

1 1

= ∫ = ∫ (Do tích phân không phụ thuộc vào biến số).

Từ đây trở về sau, ta xem đây là một tính chất của tích phân

Câu 26: Cho hàm số f x( ) liên tục trên ¡ và 7 ( )

+ Ta có thể thay đoạn [−a a; ] bằng một tập đối xứng thì định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ vẫn như trên

Câu 30: Cho f x là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn ( ) [−a a; ] Chứng minh rằng: ( ) ( )

x a

( ) ( ) ( )

2 0

1 2

1cos 4 sin sin ln d

Ta thấy hàm số này liên tục trên đoạn [−π π; ] và

f − =t − +mt t = − mt− t = −f t

Nên f t là hàm số lẻ trên ( ) [−π π; ]

Vậy I = −( )1 0 0m =

4 Một số kiểu đổi biến đặc biệt

Câu 38: Cho f x là hàm số liên tục trên ( ) [ ]0;1 Chứng minh rằng: 2 ( ) 2 ( )

0

1

tan cos dcos sin

Xét tích phân 2 2017

2016 2016 0

Câu 43: Cho f x , ( ) g x là các hàm số liên tục trên ¡ và ( ) f ( )2 =7; f ( )− =1 1; g( )2 =9; g( )− =1 3

Tính ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 1

1 161

t t

++

f t

DẠNG 6: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2 ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN

Yêu cầu: Tính tích phân ( )d

b a

I =∫ f x x

Phương pháp: Đặt x=ϕ( )t ⇒dx=ϕ′( )t td

2 2

1)

( )

2 2

2 2

2 2

2 2

g)I =∫ 2x x x− d =∫ 1− −x 1 dx

t t

1 1

I = uv −∫v u

1 Dùng dấu hiệu: nhất (log, ln), nhì đa (thức), tam lượng(giác), tứ mũ ( a e x, x ) để chọn u

Câu 46: Tính các tích phân sau:

2 2

0 0

x 2x

20

2 x

e

2

12

x e

2

14

x e

2

18

x e

đạo hàm) hàm)3

cos x sin x cos x

2

d 2 d

ln 2

x x

2

d 2 d

ln 2

x x

−

a a

1 3

sincos

Ta có:

3

2 0

3

0 0

6 Tích phân với hàm số tùy ý

Câu 56: Cho hàm số f x có nguyên hàm là ( ) F x trên đoạn ( ) [ ]1; 2 , biết F( )2 =1 và 2 ( )

Vậy: 1

4

f x x

Lời giải

=+

b c

c a

c a

c a

Lời giải

Chọn A

Ta có ( )d ( ) ( ) ( ) 3 5

b a

ì =

íï =ïî

2 0 0

+Mệnhđề2:Đúng,dotíchphânkhôngphụthuộcvàobiếnsố.

+ + vớimọi m>0 nênhàmsố f m( ) đồngbiếntrên (0;+∞).

Dođó:Phươngtrình f m( ) =0 cónghiệmduynhất m=1.

a x

+

∫ với a b, làcácsốnguyêndươngvà a

b làphânsốtốigiản Tính

Câu 41: [2D3-2]Tínhtíchphân

0

3

1d

1 x x

−∫ −

.2

d ln 2 ln 31

và F( )2 =5, F( )9 =4 Mệnhđềnàosauđâyđúng?

Câu 46: [2D3-3]Tính tíchphân

3 4

2

6

1 sin

dsin

x x x

9

11

f x x=

b a

g x x=

b a

Phần 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

I = ∫ u u

Lời giải

Chọn C Cách 1:

+

= ++

∫ ,với a, b làcácsốhữutỉ Tính S =a3+b3

Lời giải

Chọn C Cách 1 Đặt t e= x⇒ =dt e x xd Đổi cận: x= ⇒ =0 t 1;x= ⇒ =1 t e

S a b b

e

=

+

3 2

3 2

3 2

và k∈¢ nêncó10giátrịcủa k.

3

2 0

d16

x I

t I

t I t

t I t

=∫

0

2sin sin 2 d

d

x I

d

x I

1 1

1d2

4 1

6 2

2 1 1

0

d2

=+

4 1

m x x

∈ ÷. D 7

;52

2 0

03

x e

x

=∫ Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?

Trong lời giải trên, ta đã sử dụng BĐT:

Nếu f x , ( ) g x là các hàm số liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b và; f x( ) ≤g x( ) với mọi x∈[ ]a b; thì

−

=+

∫ trongđó hàm số y= f x( ) là hàmsố chẵntrên [−1;1],lúcđó 1 ( )

-1d

x x

e x

1d1

t

=+

1 2 0

2d1

t

=+

1d1

t

=+

=+ +

∫ Nếuđặt t= 1 cos+ x ,tađược:

∫ cógiátrịlà:

20182

20172

20182

e e

I =x x − ∫x x x.

C 2 2

1 1

e e

4

103

62

a

a

a b b

1 cos 2 cos 2

π π

π π

0 0

π π

1 1

Phươngpháp:Sửdụngmáytínhđểtínhtíchphân.

Vìmáytínhrasốlẻnêncácbạncũngcầnphảikiểmtracả4đápán.

Ngoài ra bạn cũng co thê giải bằng phương pháp tích phân từng phần .

Đặt lnx u xdx dv= ; = Suyra

2

;2

−

=e

2 22

= + + −∫ =3ln 3 2ln 2 1− −Vậy a=3;b= −2;c= −1 ⇒ = + + =S a b c 0

Câu 103: [2D3-2]Biết 4

2 0

1

cos

x x

a b

64

a b

⇒ = − .

Câu 106: [2D3-2] Biết

3

6 3 3

cotsin

2x 3 e x 2 e x xd

= + − ∫ 5= − − +e 3 2e 2= −3e 1Vậy a=3,b= −1 nên a+2b=1

2 0

cos

x

x a x

0 0

.9

.4

.3

1

2

x x

tan x d tan x

π

π π