Bài giảng số 4: Hệ trục tọa độ Oxy và tọa độ của véc tơ

Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau. + Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. + Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trụ[r]

Bài giảng số 4: TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Trục tọa độ

 Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ có độ dài bằng 1

Ký hiệu trục (O; ) hoặc x’Ox

O gọi là gốc tọa độ; i

vectơ đơn vị của trục tọa độ

 Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục

+ Cho điểm M nằm trên trục (O; ) Khi đó có duy nhất một số m sao cho OMmi

Số m gọi là

tọa độ của m đối với trục (O; ) (nó cũng là tọa độ của OM



)

+ Cho vectơ u

 trên trục (O; ) Khi đó có duy nhất số x sao cho uxi

  Số x gọi là tọa độ của vectơ

u



đối với trục (O; )

 Độ dài đại số của vectơ trên trục

Cho A,B nằm trên trục (O; ) Khi đó có duy nhất số a sao cho = a Ta gọi số a là độ dài đại

số của đối với trục đã cho

Kí hiệu: a= AB Như vậy =AB

*Nhận xét:

+ Nếu ABi

thì AB= AB + Nếu ABi

 

thì AB= AB + Nếu hai điểm A và B trên trục (O; ) có tọa độ lần lượt là a và b thì

AB= ba

 Tính chất:

+  ABCD  ABCD

+ABBC AC (hệ thức Salơ)

2 Hệ trục tọa độ

x

y



i



j

O

i



i



i



i



i



i



i



AB  i

AB

AB  i

i



i



'

Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau Vectơ đơn vị trên Ox là i



, vectơ đơn vị trên Oy là j

Ký hiệu Oxy hoặc (O; ; )

+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung

+ Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ

 Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ

Đối với hệ trục (O; ; ), nếu =x +y thì cặp số (x;y) là toạ độ của

Ký hiệu = (x ; y) hoặc (x ; y)

Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho = (x ; y), = (x’;y’)

'

x x

y y







 Một số tính chất: Cho = (x ; y), = (x’;y’) Khi đó:

1)  = (x  x’; y  y’)

2) k =(kx ; ky) với  k 3) m + n =(mx+nx’ ; my+ny’)

4) //   có số k thỏa =k  '

'

x kx

y ky



xy yx

 Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM



được gọi là tọa độ của điểm M Như vậy, cặp

số (x ; y) là tọa độ của M  OM



=(x ; y)

Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)

+ x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M

+ M(x ; y) OM



xi y j

  

 OM



=(x;y) x= OM1; y= OM2

+ Gốc tọa độ là O(0;0)

 Tọa độ vectơ MN



khi biết tọa độ hai điểm M, N

Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có :

= (xM – xN ; yM – yN)

 Tọa độ trung điểm: Nếu P(x P;y P) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì:

i



j



i



j



a



i



j



a



a 

a 

a 

b 

a



b



a 

b 

a 

b 

a 

a 

b 

a



b

 0



a



b



MN



O

y

x

M 2

M 1

M(x;y)

x = ; y P =

 Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC) Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG;yG) được tính theo công thức:

xG = ; yG =

3

A B C

y  y y

B.BÀI TẬP CƠ BẢN

1) Biểu diễn vectơ a

 dưới dạng a xiy j a) a



=(1;1) b) a



=(5;0) c) a



=(0;2) d) a



=(0;0) 2) Xác định tọa độ vectơ u

, biết:

a) u



=3i



4j

b) u



=2i

 +1

3 j



c) u



= 3i



d) u



=j

3) Xác định tọa độ của vectơ c

 , biết:

a) c



=a

 +3b



; với a

 (2;1), b

 (3;4) Tính độ dài của c

 b) c



=2a



5b



; với a

 (1;2), b

 (2;3)

Đáp án: a) c



=(11;11), |c





=(8;19) 4) Cho



a=(2;4);



b=(-3;1);



c =(5;-2) Tìm vectơ:

a)













m 2 3 5 b)









n 24 14

Đáp án: a) m



= (30;21) b) n



=(118;68) 5) Cho hai điểm A(1;1), B(1;3)

a) Xác định tọa độ các vectơ AB BA,

 



2

2

3

x  x  x

1) |



u| = x 2 y2 với



u= (x;y) 2) |





) (

) (x B x A  y B y A với A(xA ; yA) , B(xB ; yB)

3) A, B, C thẳng hàng AC/ /AB

 



c) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA (1;1)

Đáp án: a) AB(2; 2),BA  ( 2; 2)

 

b) M(4;3) c) N(2;0) 6) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a=5 Chọn hệ trục tọa độ (A; i j,

), trong đó i



và AD

cùng hướng, j

và AB

cùng hướng Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung điển N của BC và trung điểm M của CD

Đáp án: A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0)

( ; ), ( ;5), (5; )

7) Cho hình bình hành ABCD có AD= 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc  0

60

BAD  Chọn hệ trục tọa độ (A; i j,

), trong đó i



và AD

cùng hướng Tìm tọa độ các véctơ AB BC CD AC, , ,

   

Đáp án: Kẻ BHAD, ta có

BH=3 AB=2 3 (vì HAB vuông và BAD  600)

 AH= 3 Do đó;A(0;0), B( 3;3), C(4+ 3;0), D=(4;0)

( 3;3), (4;0), ( 3; 3), (4 3;3)

8) Cho tam giác ABC Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác

Đáp án: A(0;5), B(2;1), C(4;1)

9) Cho hình bình hành ABCD có A(1;3), B(2;4), C(0;1) Tìm tọa độ đỉnh D

Đáp án: D(3;0)

10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8)

a) Xác định tọa độ của AB

Tính AB

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB

c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC

d) A’ là điểm đối xứng của A qua B Tìm tọa độ A’

Đáp án: a) AB

=(12;5) b) I(7;11/2) c) 11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3)

a) Tìm tọa độ trọng tâm G

b) Tính chu vi tam giác ABC

12) Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G, M là trung điểm BC Với A(1;-1); B(4;2); C(1;5) Tính tọa độ các véc tơ AG,GM,AM Tính chu vi tam giác ABC

13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng:

a) CE3AB4AC b)  AF  2 BF   4 CF    0

Đáp án:

14) Cho A(2;t2); B(t;-4); C(2t;4t); D(t2;-1) Xác định t để





AB =





CD

Đáp án: t=1

15) Cho biết các véctơ sau cùng phương hay khơng cùng phương

a)



a= (1;2) và





a=( 2 = -1) và



b= (-2; 2 )

c)



a= (-1;4) và





a= (-1;-3) và



b=(1;2)

16) Tìm x để các cặp véctơ sau cùng phương

a) a



=(2;3), b





=(0;5), v



=(x;7) c) m



=(2;3), n





=( t+1;2) b



=(3;4-t)

Đáp án: a) x= 6 b) x= 0 c) x=  3 d) t=1; t=2

17) Biểu diễn véctơ



c theo hai véctơ



a và



b a)



c = (4;7) ;



a= (2;1) ;



b= (-3;4) b)



c= (1;3) ;



a= (1;1) ;



b= (2;3) c)



c= (0;5) ;



a= (4;3) ;



b= (2;1)

HD: Tìm các số m, n sao cho



c= m



a+ n



bgiải hệ 1 1 1

a a





Đáp án: a) c



=a

 +2



b b) c



=3

5 a



4 5



b c) c



=a



2



b

18) Cho bốn điểm A(1;1), B(2;1), C(4;3) và D(16;3) Hãy biểu diễn AD

theo  AB AC,

Đáp án: AD

=3AB

+4AC



19) Cho ba điểm A(1;1), B(1;3), C(2;0) Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng

HD: AB 2AC

 

Đáp án: A, B, C thẳng hàng AC/ /AB

 

x=14 21) Cho bốn điểm A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3) Chứng minh đường thẳng AB//CD

Đáp án: ta có CD 2AB

 AB và CD song song hoặc trùng nhau

(2;6), (1; 2)

1 2

 

 AC



không cùng phương AB

 C không thuộc AB  CD//AB 22) Cho tam giác ABC có A(1;1), B(5;3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox Tìm tọa độ đỉnh C

Đáp án: C(0;4)

23) Cho A(2;1), B(4;5) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB và tọa độ diểm C sao cho tứ giác OABC là hình bình hành, O là gốc tọa độ

Đáp án: I(1;3), C(2;6)

24) Cho ba điểm A(0;4), B(5;6), C(3;2)

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC

HD: a) Cần chứng minh AB

không cùng phương AC



b) G(1;4) 25) Cho tam giác ABC đều cạnh a Chọn hệ tọa độ (O; i j,

), trong đó O là trung điểm BC, iOC

 

,

jOA

 

a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC

c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đáp án: a) 3

(0; ), ( ; 0), ( ; 0)

( ; )

4 4

a a

E c) Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G

26) Cho lục giác đều ABCDEF Chọn hệ tọa độ (O; i j,

), trong đó O là tâm của lục giác đều, iOD

 

,

jEC

 

Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều biết độ dài cạnh lục giác là 6

Đáp án: A(6;0), D(6;0)

27) Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0) Tìm tọa độ điểm D nếu biết:

a) – 2 + 3 =

b) – 2 = 2 +

AD



BD



CD

0

AD



AB



BD



BC



c) ABCD hình bình hành

d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD

28) Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB

a) Tìm tọa độ của A, B

b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B

c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)

29) Cho =(2; 1) ; =( 3 ; 4) và =(7; 2)

a) Tìm tọa độ của vectơ = 2 - 3 +

b) Tìm tọa độ của vectơ thỏa + = -

c) Tìm các số m ; n thỏa = m + n

30) Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1) Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng 31) Cho A(2;-3), B(5;1), C(8;5) Chứng minh A, B, C thẳng hàng

C.BÀI TẬP LÀM THÊM

1/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5

a/ Tìm tọa độ của



AB b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2





MB = 0



d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA + 3 NB = 1

2/ Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c

a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho





MB 



MC = 0



c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2



NA  3



NB =



NC 3/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1

a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA  2MB = 1

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB

4/ Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)

a/ CMR :

AC

1 + AD

1 = AB 2

a

b

c



u

a

b c



x

x

a



b c

 c



a

b

c/ Gọi J là trung điểm CD CMR : AC.ADAB.AJ

5/ Viết tọa độ của các vectơ sau : a

= i



 3 j

 , b



=

2

1

i



+ j

 ;

c



=  i



+

2

3

j

 ; d



= 3 i



; e

= 4 j

 6/ Viết dưới dạng u

= x i



+ y j

 , biết rằng :

u



= (1; 3) ; u

= (4; 1) ; u

= (0; 1) ; u

= (1, 0) ; u

= (0, 0) 7/ Trong mp Oxy cho a

= (1; 3) , b



= (2, 0) Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ : a/ u

= 3a

 2b



b/ v

= 2a

+ b



c/ w

= 4a



2

1 b



8/ Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)

a/ Tìm tọa độ của các vectơ



AB,



AC ,



BC b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho :



CM = 2





AC d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho :



AN + 2



BN  4



CN = 0



9/ Trong mp Oxy cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2)

a/ CMR : ABC cân Tính chu vi ABC

b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

10/ Trong mp Oxy cho ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1)

a/ CMR : ABC vuông Tính diện tích ABC

b/ Gọi D(3; 1) CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

11/ Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4)

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng

b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đường tròn đó

12/ Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3) Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại M 13/ Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C

b/ Tính diện tích ABC

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

14/ Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng

b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

c/ CMR : ABC vuông cân

d/ Tính diện tích ABC