Bài giảng chi tiết mở đầu về hình học tọa độ trong gian, tác giả trình bày tinh giản nhưng đầy đủ, đảm bảo bài giảng được dạy trong thời gian nhanh nhất có thể theo ý của người dạy nhưng vẫn không mất kiến thức. Cuối bài giảng là những bài tập căn bản nhất được soạn theo nguyên tắc sư phạm. Đây là bài giảng mở đầu chuỗi các bài giảng tinh giản, gọn nhẹ với mục tiêu rút ngắn thời gian học chương trình Toán THPT.
Trang 1BÀI GIẢNG SỐ 1
SƠ LƯỢC PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I Hệ trục tọa độ trong không gian
1 Hệ trục tọa độ Oxyz
Hệ trục tọa độOxyz trong không gian gồm ba trục tọa độ x0Ox, y0Oy, z0Oz đôi một vuông góc nhau
Trên ba trục tọa độ lần lượt có các vectơ đơn vị −→i , − →
j , − →
k
Ta có
−
→
i
=
−
→ j
=
−
→ k
và −→i ⊥ − →
k , − →
j ⊥ − →
k , − →
k ⊥ − →
i Tọa độ của vectơ: −→u (x, y, z) ⇔ − →u = x−→i + y−→j + z−→k
Tọa độ của điểm: M (x, y, z) ⇔ −−→
OM = x − →
i + y − →
j + z − → k
2 Một số công thức căn bản
Cho hai vectơ −→a = (a1, a2, a3) và −→b = (b1, b2, b3)
1 Tổng hiệu hai vectơ
−
→a +−→b = (a
1 + b1, a2+ b2, a3+ b3)
2
Tích của một vectơ với một số k− →a = (ka
1 , ka2, k3)
3
Độ dài của vectơ |−→a | =pa21+ a22+ a23
4 Tích vô hướng của hai vectơ
−
→a −→b = a
1 b1+ a2.b2+ a3.b3
5
−
→a ⊥−→b = 0 ⇔ a
1 b1+ a2.b2+ a3.b3= 0
6
cos
− →a ,−→b
= p a1.b1+ a2.b2+ a3.b3
a21+ a22+ a23.pb21+ b22+ b23
Trang 2Hai vectơ bằng nhau
−
→a =−→b ⇔
a1 = b1
a2 = b2
a3 = b3
8
Hai vectơ cùng phương −→a k − →
b ⇔ a1
b 1
= a2
b 2
= a3
b 3
(b1, b2, b3 6= 0)
9
Độ dài đoạn thẳng AB AB =p(xB− xA) 2 + (yB − yA) 2 + (zB− zA) 2
10
Tọa độ trung điểm I của đoạn
thẳng AB
xI = xA+ xB
2 ; yI =
yA+ yB 2
11
Tọa độ trọng tâmGcủa∆ABC
xG = xA+ xB + xC
3
yG= yA+ yB + yC
3
zG = zA+ zB + zC
3
12
Tọa độ trọng tâmGcủa tứ diện
ABCD
xG = xA+ xB + xC + xD
4
yG= yA+ yB + yC+ yD
4
zG = zA+ zB + zC+ zD
4
13
Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ
M A = k −−→
M B ⇔
xM = xA− k.xB
1 − k
yM = yA− k.yB
1 − k
zM = zA− k.zB
1 − k
3 Tích vô hướng của hai vectơ
a) Định nghĩa
Cho hai vectơ −→a = (a1, a2, a3) và −→b = (b1, b2, b3)
Tích có hướng của hai vectơ −→a và −→b là một vectơ, kí hiệu là h−→a , − →
b
i , được xác định như sau:
h− →a ,−→b i
=
a2 a3
b2 b3
,
a3 a1
b3 b1
,
a1 a2
b1 b2
Trang 3b) Tính chất
i) −→a k − →
b ⇔
h− →a ,−→b i
= − →
0; ii) h−→a , − →
b i⊥ −→a và h−→a , − →
b i⊥−→b ; iii) h−→b , − →ai
= −
h− →a ,−→bi
;
iv)
h− →a ,−→bi
= |− →a |
−
→ b
sin − →a , b
c) Ứng dụng
1
Sự đồng phẳng của ba vectơ −→a , − →
b , − →c ⇔h− →a ,−→bi
.− →c = 0
2
Điều kiện A, B, C, D tạo thành tứ diện h−→AB, −→
ACi − →
AD 6= 0
3
2
h−→
AB, −→
AC
i
4
Diện tích hình bình hành ABCD SABCD =
h−→
AB, −→
AC
i
5
Thể tích hình hộp ABCD.A0B0C0D0 VABCD.A0 B 0 C 0 D 0 =
h−→
AB, −→
ACi −−→
AA0
6
6
h−→
AB, −→
AC
i − → AD
4 Một số ví dụ căn bản và nâng cao
• Tính tọa độ tích có hướng h−→a , − →
b
i
Ví dụ 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tính h−→a , − →
b i với:
a) −→a = (2, −5, 3), −→b = (0, 2, −1);
b) −→a = (3, 0, −6), −→b = (2, −4, m) với m là tham số
Trang 4a) h−→a , − →
b i=
−5 3
2 −1
,
3 2
−1 0
,
2 −5
0 2
= (−1, −2, 4)
b) h−→a , − →
b i=
0 −6
−4 m
,
−6 3
,
3 0
2 −4
= (−24, −12 − 3m, −12)
• Tìm tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm
Ví dụ 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1, 3, 1), B(0, 1, 2), C(0, 0, 1)
a) Tìm tọa độ trung điểm M, N, P của các cạnhAB, BC, CAcủa tamg giácABC; b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Giải
a) Ta có xM = xA+ xB
1
2, yM = yA+ yB
2 = 2, zM = zA+ zB
3
2
⇒ M1
2, 2,
3 2
Tương tự ta có N
0,1
2,
3 2
, N
1
2,
3
2, 1
b) Ta có
xG= xA+ xB + xC
1
3, yG = yA+ yB + yC
4
3, zG= zA+ zB+ zC
4
3
⇒ G1
3,
4
3,
4 3
• Diện tích tam giác, diện tích hình bình hành
Ví dụ 3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3, 4, −1), B(2, 0, 3), C(−3, 5, 4)
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
c) Tính diện tích hình bình hành ABCD
Giải
Trang 5a) Ta có −→AB = (−1, −4, 4) và −→AC = (−6, 1, 5)
⇒h−→AB, −→
ACi= (−24, −19, −25)
⇒ SABC = 1
2
h−→
AB, −→
ACi = 1 2
p (−24) 2 + (−19) 2 + (−25) 2 =
√ 1562
2 b) Đặt D(x, y, z)
ABCD là hình bình hành ⇔−→AB = −−→
DC
Ta có −DC = (−3 − x, 5 − y, 4 − z)−→
Suy ra
−1 = −3 − x
−4 = 5 − y
4 = 4 − z
⇒
x = −2
y = 9
z = 0 Vậy D(−2, 9, 0)
c) SABCD=
h−→
AB, −→
ACi = √
1562
• Thể tích tứ diện, thể tích hình hộp
Ví dụ 4 Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz, cho bốn điểm A(−1, −2, −4), B(−4, −2, 0), C(3, −2, 1), D(1, 1, 1)
a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng
b) Tính thể tích tứ diện ABCD
Giải
a) Ta có −→AB = (−3, 0, 4), −→
AC = (4, 0, 5), − →
AD = (2, 3, 5)
⇒h−→AB, −→
ACi= (0, 31, 0) ⇒h−→
AB, −→
ACi − →
AD = 93 6= 0
⇒ A, B, C, D không đồng phẳng
b) VABCD = 1
6
h−→
AB, −→
AC
i − → AD
= 31
2
Trang 6• Tọa độ chân đường phân giác của tam giác.
Ví dụ 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1, 2, −1), B(2, −1, 3), C(−4, 7, 5)
Tính độ dài đường phân giác trong của góc B
Giải
Ta có −→BA = (−1, 3, −4) ⇒ BA = √
26
− →
BC = (−6, 8, 2) ⇒ BC = 2 √
26 Theo tính chất chân đường phân giác DC
DA =
BC
BA = 2 ⇒
−−→
DC = −2 − →
DA Suy ra
xD = xC− (−2)xA
1 − (−2) = −
2 3
yD = yC − (−2)yA
1 − (−2) = −
11 3
zD = zC − (−2)zA
1 − (−2) = 1 Vậy D
−2
3,
11
3 , 1
II Phương trình mặt cầu
1 Phương trình chính tắc của mặt cầu
Trong không gianOxyz, mặt cầu có tọa độ tâm(x 0 , y 0 , z 0 ), bán kínhRthì có phương trình chính tắc là
(x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2= R2
2 Phương trình tổng quát của mặt cầu
x2+ y2+ z2− 2ax − 2by − 2cz + d = 0 Cách xác định tâm và bán kính từ phương trình tổng quát
- Tọa độ tâm: hệ số của x
hệ số của y
hệ số của z
−2
- Bán kính: R = √
a 2 + b 2 + c 2 − d
3 Một số ví dụ căn bản và nâng cao
Trang 7• Phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính.
Ví dụ 6 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu
có tâm I(1, 2, 3), bán kính R = √
3 Giải
(x − 1)2+ (y − 2)2+ (z − 3)2= 3
• Phương trình mặt cầu biết đường kính
Ví dụ 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu
có đường kính AB với A(4, −3, 7), B(2, 1, 3)
Giải
Gọi I là trung điểm của AB
Ta có I(3, −1, 5), AB =p(2 − 4) 2 + (1 + 3) 2 + (3 − 7) 2 = 6
Bán kính R = AB
2 = 3, tâm là điểm I Phương trình mặt cầu là (x − 3)2+ (y + 1)2+ (z − 5)2 = 9
• Phương trình mặt cầu đi qua một điểm và biết trước tọa độ tâm
Ví dụ 8 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu
có tâm A(5, −4, 1) và đi qua điểm C(3, −3, 1)
Giải
Bán kính R = AC =p(3 − 5) 2 + (−3 + 4) 2 + (1 − 1) 2 = √
5 Phương trình mặt cầu là (x − 5)2+ (y + 4)2+ (z − 1)2 = 5
• Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (đi qua bốn đỉnh của tứ diện)
Ví dụ 9 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1, 1, 0), B(3, 1, 2), C(−1, 1, 2), D(1, −1, 2)
Giải
Cách 1
Trang 8Gọi I(a, b, c) là tâm của mặt cầu.
Ta có
IA = IB
IB = IC
IC = IA
⇔
1 − 2a = 9 − 6a + 4 − 4c
9 − 6a = 1 + 2a
1 + 2a + 1 − 2b = 1 − 2a + 1 + 2b
⇔
a = 1
b = 1
c = 2
Bán kính R = IA =p(1 − 1) 2 + (1 − 1) 2 + (0 − 2) 2 = 2
Phương trình mặt cầu là (x − 1)2+ (y − 1)2+ (z − 2)2 = 4
Cách 2
Giải sử phương trình mặt cầu là
x2+ y2+ z2− 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (a2+ b2+ c2− d 6= 0)
Mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D nên ta có
−2a − 2b + d = −2
−6a − 2b − 4c + d = −14 2a − 2b − 4c + d = −6
−2a + 2b − 4c + d = −6
⇔
d = 2a + 2b − 2
−4a − 4c = −12 4a − 4c = −4 4b − 4c = −4
⇔
a = 1
b = 1
c = 2
d = 2
Phương trình mặt cầu là x2+ y2+ z2− 2x − 2y − 4z + 2 = 0
... b3)1 Tổng hiệu hai vectơ
−
→a +−→b = (a
1 + b1< /sub>,... a1< /sup>.b1< /sup>+ a2.b2+ a3.b3
a21< /sub>+...
a3 a1< /sub>
b3 b1< /sub>
,
a1< /sub> a2