Bài giảng số 1: Ứng dụng véc tơ trong các bài toán đại số

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS.. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM1[r]

Bài giảng số 1: ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1 Cho hai vectơ a b a   ,  0

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a b ,

cùng phương là k :bk a.

2 Tích vô hướng

Cho 2 vectơ a

và b

, ta có: a b   a  bcosa b , 

Hệ quả:

 a b   a  b  1

 Nếu a x y1; 1

, bx y2; 2

thì:

 2 2 2 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: cosa b  ,  1

,

a b

 

cùng phương hoặc a b ,

ngược hướng

 a b  a  b  2

Dấu “=” xảy ra  a k b k.  0

 a b  a  b  3

Dấu “=” xảy ra  a k b k.  0

 a b  a  b  4

Dấu “=” xảy ra  a k b k.  0

x y  x y  x x  y y 

x y  x y  x x  y y 

x y  x y  x x  y y 

3 Điều kiện để a b

là: a b   0

hoặc biểu thức tọa độ: x x1 2 y y1 2  0

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Dạng 1: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Ví dụ 1: Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) x x 1 3x2 x21 b) x   1 x 3 2x322x2

Giải:

a Xét ux;1

, v x1; 3x

Khi đó phương trình (1a) tương đương với .u v  u v 

Từ đó suy ra cos( ; )u v   1 ( ; )u v  00 u v ,

cùng hướng

x







0

1

x

x







b) Xét u x1;x3

, v   1;1

Theo đề bài ta có u v  u v 

Mặt khác ta có u v  u v 

Vậy suy ra u v  u v 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khicos( ; )u v   1 ( ; )u v  00 u v ,

cùng hướng

3

x







Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

a)

1







b)

2

2



   







Giải:

a) Xét  2 2 2

; ;

u x y z

, v  1;1; 2

Khi đó hệ vô nghiệm

b) Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

0

x x y y y z









Xét ux y; 

, vxy y; z

, wx1; 2z1

Khi đó hệ trở thành:

   2 2

.w 0

u v v v



















 

 

Xét các khả năng: v  0

, u  0

hoặc w0

Trường hợp u v  , , w0

, w

u

 

cùng phương

 Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 3: Chứng minh rằng:

a) a2  a 1 a2  a 1 2 aR

3

82

Giải

a) Xét véc tơ ( 1; 3), (1 ; 3)

Áp dụng tính chất u  v  u v

ta suy ra điều phải chứng minh

b) Xét ba véc tơ ( ; 3 ), ( ; 3 ), ( ; 3 )

khi đó ta có

u   v w xyz x y z

Áp dụng bất đẳng thức u  v  w  u   v w

suy ra đpcm

c) Áp dụng bất đẳng thức u  v  w  u   v w

với u x( ; ), ( ;1 v y 1), ( ; )w z 1

Tiếp theo hoặc là xét min của hàm f t( ) t 81 (t 1)

t

   hoặc dùng bất đẳng thức cosi cho 82 số

ta có đpcm

Ví dụ 4: Cho a b c  và , , 0 ab bc caabc Chứng minh rằng:

3

Giải

Ta có: VT 12 22 12 22 12 22

Xét u 1; 2



, v 1; 2



, w 1; 2



     

Ví dụ 5: Giả sử hệ phương trình:

3 16







có nghiệm Chứng minh rằng: xyyzzx  8

Giải:

x

u y x



z

v z y



3

u

  

, v  4

3

2

3 3.4 8 3

xy yz zx

Ví dụ 6: Cho 8 số thực x x1, 2, ,x Chứng minh rằng: 8

max x x x x x x; x x x x; x x x x; x x x x; x x x x; x x là một số không âm

Giải:

Trên hệ trục tọa độ Oxy xét 4 điểm , A B C D với , , A x x 1; 2, B x x 3; 4, C x x 5; 6, D x x 7; 8

Ta có: OA OB  x x1 3x x2 4

, OB OC  x x3 5x x4 6

, OC OD  x x5 7x x6 8

, OD OA  x x1 7x x2 8

,

3 7 4 8

OD OBx x x x

 

, OA OC  x x1 5x x2 6

Do OA OB OC OD   , , ,

chia góc 360 thành 4 góc nên có ít nhất một góc nhỏ hơn hoặc bằng 0 90 0

OA OB  

      

1 3 2 4 0

Do vậy trong 6 số trên có ít nhất một số không âm

max x x x x x x; x x x x; x x x x; x x x x; x x x x; x x 0

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) x22x 5 x22x10  29 b) x24x 5 x210x50 5

c) x24y26x 9 x24y22x12y10 5

Bài 2: Giải bất phương trình sau:    2 

Bài 3: Giải hệ phương trình sau:

2000

1999 1999

1998













Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

4 cos x.cos ysin xy  4sin x.sin ysin xy  2

b) x24y26x 9 x24y22x12y105 x y,

Bài 5: Cho a b  c 2, ax by cz Chứng minh rằng: 6

16a a x  16b b y  16c c z 10

Bài 6: Tìm những số nguyên dương thỏa mãn hệ phương trình:

11





  



Bài 7: Cho a a1, 2, ,a là n n số thực tùy ý Chứng minh rằng: 2  2

1 1

2 1

2

n

i

n



1 1

n

a  a

Bài 8: Cho 2n số thực x x1, 2, ,x , n y y1, 2, ,y sao cho n   2 2  

x x  y y   i j i j n Giả sử  1, 2, , là n số thực khác nhau sao cho n 12   n  Chứng minh rằng: 0

n