Bài giảng số 4: Các bài toán về góc trong không gian

B. Sử dụng tỷ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định lý hàm số cos in trong tam giác thường để xác định số đo góc giữa a và b. Tính góc giữa hai đường thẳng S[r]

Trang 1

Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Bài giảng số 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a , b là góc giữa hai

đường thẳng a , b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song

với a và b

Chú ý:

a Để xác định góc a b,  ta có thể lấy điểm O nằm ngay trên

một trong hai đường thẳng đó

b Nếu u

, v

theo thứ tự là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng a , b và  u v , 

thì góc giữa hai đường thẳng a và

b bằng  hoặc 0

180  tùy theo  900 hoặc  900

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P là góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a của nó trên  P , kí hiệu là a P,   hay   P a , 

Đặc biệt:

o Khi a thuộc  P hoặc a song song với  P thì

 

a P 

o Khi a vuông góc với  P thì     0

a P  Như vậy, ta luôn có 0     0

0  a P, 90

 Góc giữa hai mặt phẳng

Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng

lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Đặc biệt: Khi  P và  Q trùng nhau hoặc song song với nhau thì

  0

a b 

Nhận xét: Với hai mặt phẳng  P và  Q cắt nhau theo giao

tuyến  d , để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng

 R vuông góc với  d lần lượt cắt  P và  Q theo các giao

tuyến a và b Lúc đó góc giữa  P và  Q bằng góc giữa hai

đường thẳng a và b

O a

a'

a

O P

b a

P Q

Trang 2

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp: Để tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b , ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Tìm góc bằng việc lấy một điểm O nào đó (thông thường Oa hoặc Ob ) Qua O dựng a , b theo thứ tự song song với a và b Khi đó góc giữa a và b là góc giữa a và b

+ Bước 2: Tính góc Sử dụng tỷ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định lý hàm

số cos in trong tam giác thường để xác định số đo góc giữa a và b

+ Bước 1: Tìm hai vectơ u

, v

theo thứ tự là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng a , b + Bước 2: Tính số đo của  u v , 

sử dụng tích vô hướng

+ Bước 3: Khi đó, góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  hoặc 1800  tùy theo  900 hoặc

0

90

 

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AD

a) Hãy tính cosin của góc giữa AB và DM , biết ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng a

b) Hãy tính góc giữa AB và CD , biết ABCD2a và MN a 3

Giải:

a) Gọi E là trung điểm của AC, ta có: EM AB và

2

a

EM 

Do đó AB DM,   MD ME, 

2

a

DM DE , áp dụng định lý hàm số cosin:

cos

DME

DM EM

Vậy ta được cos ,  3

6

AB DM  b) Gọi O là trung điểm của BD, ta có: ONAB và ON a, OM CD

và OM a

Do đó AB CD,   OM ON, 

Gọi I là trung điểm MN, trong IME vuông tại I , ta có:  3

sin

2

IM MOI

OM

60

MOI

OM ON

AB CD 

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có SASBSC AB ACa và

2

BCa Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB

Giải:

B

C A

D

N

M

O

I

E

B A

S

Trang 3

Cách 1: Gọi M , N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, AC

Khi đó, ta nhận thấy: MP SC









 SC AB,   MP MN, 

Trong MNP, ta có: cos 2 2 2

NMP

MN MP

Ta lần lượt có:

1

a

MN  AB (vì MN là đường trung bình),

1

a

MP SC  (vì MP là đường trung bình)

Trong SBP, theo định lý đường trung tuyến ta có:

2

SB

PB PS  NP  Nhận xét rằng:

- Vì ABC vuông tại A  2 2 2

ó

c AB AC BC nên:

PB AB AP a  

- Vì SAC đểu c SAó SC ACa nên 3

2

a

PS 

2

a

cos

2

NMP

120

NMP

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 18001200 600

Cách 2: Ta đi tính góc giữa hai vectơ SC

và AB

, ta có:

cos ,

SA AC AB

SC AB

  

     

 

Trong đó:

- Vì SAB đều c SAó SBABa nên:  0  0 2

2

a

 

- Vì ABC vuông tại A  2 2 2

ó

c AB AC BC nên  AC AB  0

Từ đó ta được:  

2

0 1 2

cos ,

2

a

SC AB

a

 

SC AB

   

Cách 3: Ta đi tính góc giữa hai vectơ SC

và AB



, ta có:

cos ,

SC SB SA

SC AB

  

     

 

Trong đó:

- Vì SBC vuông tại S  2 2 2

ó

c SB SC BC nên SC SB   0

Trang 4

- Vì SAC đểu c SAó SC ACa nên  0 2

2

a

SC SASC SA ASCa a 

 

Từ đó ta được:  

2

0

1 2 cos ,

2

a

SC AB

a



 

SC AB

   

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Lấy các điểm M , N lần lượt thuộc các đường thẳng BC và AD sao cho

MBk MC

 

và NAk ND

với k là số thực khác 0 cho trước Đặt  là góc giữa hai vectơ MN

và BA

,

 là góc giữa hai vectơ MN

và CD

Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để   450

Giải:

Kẻ MP AB , ta có: PA MB MB k NA NA

PC  MC  MC    ND  ND

Suy ra MN BA ,   MN MP , NMP

,

MN CD ,   MN PN , MNP

Trong MNP, ta có:   450  0

90

MPN





 





- Ta có: PM CP PM CP.AB

CD  CA  CA

Với điều kiện PM PN, suy ra:

k



  AB k CD

- Với điều kiện  0

90

MPN  , ta có ngay ABCD Vậy với ABCD và AB k CD thỏa mãn điều kiện đề bài

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp: Để tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P , ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Tìm giao điểm O của a với  P

+ Bước 2: Chọn điểm Aa và dựng AH  P , với H P

Khi đó  AOH a P,  

+ Bước 3: Tính số đo của AOH dựa trên các hệ thức lượng

giác

Ví dụ 4: Cho hình tứ diện ABCD có AB , BC , CD đôi một vuông góc và ABa , BCb , CDc a) Tính độ dài AD

D

B C

A

M

a'

a

O P

H A

Trang 5

b) Chỉ ra điểm cách đều A , B , C , D

c) Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng BCD, góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng

ABC

Giải:

a) Ta có: CD AB CD ABC CD AC











ACD

 vuông tại C

b) Gọi O là trung điểm của AD Vì ACD vuông tại C nên

Ta có: CD AB









 ABBCDABBD ABD vuông tại

B OAOBOD

Vậy điểm O cách đều A, B, C, D

c) Ta lần lượt có:

- Với góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng BCD, ta có: ABBCDAD BCD,  ADB Trong ABD, ta có: 

- Với góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng ABC, ta có: CDABCAD ABC,  DAC Trong ACD, ta có: 

Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại A , BCa , 3

2

a

SASBSC a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng ABC

b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC

Giải:

a) Gọi O là trung điểm của BC, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC



Ngoài ra, theo giả thiết ta có SASBSC nên SO là trục đường tròn

của ABC, suy ra SOABC và SOd S ,ABC 

Trong SAO vuông tại O, ta có: 1

a

OA BC  (trung tuyến thuộc cạnh huyền)

D

C B

A

O

B

A C

S

O

Trang 6

2

SO SA OA     

2 2

a SO

b) Vì SOABC nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên ABC, do đó SA ABC,  SAO

Trong SAO vuông tại O, ta có:  2 3

cos

3 3 2

a OA SAO

SA a

Vậy ta được cos ,   3

3

Ví dụ 6: Một tứ diện được gọi là gần đều nếu các cạnh đối bằng nhau từng đôi một Với tứ diện ABCD , chứng tỏ các tính chất sau là tương đương:

a) Tứ diện ABCD là gần đều

b) Các đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện đôi một vuông góc với nhau

c) Các trọng tuyến (đoạn nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện) bằng nhau

d) Tổng các góc tại mỗi đỉnh bằng 0

180

Giải:

Gọi I , J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh  a và  b tương đương

Từ giả thiết ACBD, ADBC suy ra:

ABC BADICIDIJ CD

ACD BDCJAJBIJ AB

Vậy IJ chính là đoạn vuông góc chung của AB và CD

Điều ngược lại vẫn đúng

b) Chứng minh  a và  c tương đương

Từ giả thiết ACBD, ADBC suy ra: ACDBDC c c c JAJBJA1JB1

 

AA J BB J c g c AA BB

Điều ngược lại vẫn đúng

C

D B

A

I

J

C

D B

A

I

J

B

A

1

Trang 7

c) Chứng minh  a và  d tương đương

Từ giả thiết ACBD, ADBC, ABCD suy ra:

ABC CDA BAD DCB

Suy ra: BACCDB, CAD DBC, DABBCD

180

Điều ngược lại vẫn đúng, bởi ta trải các mặt ABC, ACD, ADB lên mặt

phẳng BCD ta được hình khai triển của tứ diện ABCD nhận BC, CD,

DB là ba đường trung bình của tam giác đó Từ đó, suy ra AC BD,

ADBC, ABCD

 Góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp: Để tính góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q , ta lựa chọn

một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa, ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Chọn điểm O , từ đó hạ OE , OF theo thứ tự vuông góc

với  P và  Q

+ Bước 2: Tính số đo góc EOF 

+ Bước 3: Khi đó,     P , Q EOF nếu  0

90

EOF  và

   

90

EOF 

+ Bước 1: Tìm giao tuyến  d của  P và  Q

+ Bước 2: Chọn điểm O trên  d , từ đó dựng Ox d trong  P ,

và Oy d trong  Q

+ Bước 3: Tính số đo của góc xOy

+ Bước 4: Khi đó,     P , Q  xOy nếu  0

90

   

90

xOy 

Ví dụ 7: Cho ABC vuông tại A có cạnh huyền BC thuộc mặt phẳng  P Gọi  ,  là góc hợp bởi hai đường thẳng AB , AC với  P Gọi  là góc hợp bởi ABC với  P Chứng minh rằng:

sin  sin sin 

C

D B

A

P

F

E

Q

d

P

O

Trang 8

Giải:

Kẻ AH  P , ta được: ABH , ACH 

Kẻ HI BC trong  P , suy ra BC AI (theo định lý ba đường vuông

góc) AHI 

Trong ABC vuông tại A, ta có:

IA  AB  AC

sin  sin  sin 

Ví dụ 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính

2

AB a , SAa 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD

Giải:

a) Ta có thể lựa chọn theo một trong hai cách trình bày sau:

ADBCE SAD  SBCSE

Nhận xét rằng: ADBD vì ABCD là nửa lục giác đều, SABD

Suy ra BDSADBDSE Hạ DF SE F, suy ra

BDFSE

Như vậy, ta được một góc phẳng giữa hai mặt phẳng SAD và

SBC là BFD

Vì ABE đều nên AE AB2a và vì CDE đều nên

DECDa

Trong SAE vuông tại A, ta có: 2 2 2  2  2 2

SE SA AE  a  a  a SEa 7 Hai tam giác vuông SAE và DEF có chung góc E nên chúng đồng dạng, suy ra:

SA  SE

7 7

DF

Trong ABD vuông tại A, ta có:  0

.sin 2 cos 60 3

Trong BDF vuông tại D, ta có:  3

21 7

BFD

C

B H

A

I







B

E A

S

O

Trang 9

Vậy ta được tan SAD , SBC  7

Cách 2: Nhận xét rằng: ADBD vì ABCD là nửa lục giác đều,

SABD

Trong SAC, hạ AJ SC tại J, ta có: BC AC vì ABCD là nửa

lục giác đều, BCSA

Suy ra BCSACBCAJ AJ SBC

Trong SAC hạ OK SC tại K, suy ra OKAJ

Do đó  SAD , SBC BD AJ,   BD OK, KOB

Trong nửa lục giác đều ABCD, ta có: 2 3 3

Trong SAC vuông tại A, ta có: 2 2 2 2  2 2  2  2 2 2

SC SA AC SA  AB BC  a  a a  a

6

SC a

Hai tam giác vuông SAC và OKC có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng, suy ra: 

SA  SC

3 3

6 6

a a

OK

Trong KOB vuông tại K, ta có: 

6 2 6

cos

4

2 3 3

a OK KOB

Vậy ta được cos   ,   2

4

SAD SBC 

b) Trong SAC, hạ AJ SC tại J, ta có: BCAC vì ABCD là

nửa lục giác đều, BCSA

Suy ra BCSACBCAJ AJ SBC









SCD  SAHSH

Hạ AI SH tại I , suy ra AI SCD

Do đó  SCD , SBC IAJ

B A

S

K O J

B A

S

O J

H I

Trang 10

Trong SAH vuông tại A, ta có: 3

2

a

AH  và

 2 2

3 3 3

2

AI  SA  AH  a a   a

15 5

a AI

Trong SAC vuông tại A, ta có: AC SAa 3 1 2 6

Trong AIJ vuông tại I , ta có: 

15

10 5

cos

5 6 2

a AI IAJ

AJ a

Vậy ta được cos   ,   10

5

Ví dụ 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAABCD Hai điểm M và

N lần lượt thay đổi trên hai cạnh CB và CD , đặt CM x , CN y Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để:

a) Hai mặt phẳng SAM và SAN tạo với nhau góc 45 0

b) Hai mặt phẳng SAM và SAN vuông góc với nhau

Giải:

Ta có ngay:











 SAM , SAN  MAN

Trong AMN, ta có:

 2

2

AM AB BM a  ax  axx ,

 2

2

AN  AD DN a  ay  ayy ,

MN CM CN x y ,

cos

MAN

a) Để SAM và SAN tạo với nhau góc 45 điều kiện là: 0

2 2



2a 2a x y xy

b) Để SAM và SAN vuông góc với nhau điều kiện là:

D

C A

B

S

N M

Trang 11



C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AD = a 3; SA đáy và SA =a Tính các góc:

Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA  (ABCD) và SA = a 3 Tính số đo của các nhị diện su:

Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a Biết góc tạo thành bởi hai cạnh bên

và mặt đáy bằng 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh B’C’

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy ĐS:

2

a 3

b)Tính tang của góc giữa hai đường thẳng BC và AC’ ĐS: tg 3

c Tính tang của góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt đáy ĐS: tg2 3

Bài 4: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC nằm trên mặt phẳng (P) Gọi ,lần lượt là góc hợp bởi hai đường thẳng AB, AC và mặt phẳng (P) Gọi  là góc hợp bởi (ABC) và (P).Chứng minh rằng:









2

sin sin

Bài 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Đặt OA = a, OB = b, OC = c Gọi  ,, 

lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC), mặt phẳng (OCA), mặt phẳng (OAB) vói mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: cos2 + cos2 + cos2 =1

Bài 6: Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a

a Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy

b Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AD = a 3; SA đáy và SA =a Tính các góc:

Trang 12

Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy bằng a Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là

600 và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’

a Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy

b Tính góc giữa BC và AC’

c Tính góc giữa (ABB’A’) và mặt đáy

Bài 9: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; các cạnh bên bằng 3

2

a

Gọi (P) là mặt phẳng qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC) I là trung điểm của BC

a Xác định thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp

b Tính khoảng cách từ I đến (P)

c Tính sin của góc tạo bởi AB và (P)

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a; BC = a Trên hai tia Ax và Cy vuông góc với mặt

phẳng (ABC) và cùng phía đối với (ABC), lần lượt lấy hai điểm A’ và C’ sao cho AA’ = 2a, CC’ = x

a Xác định x sao cho góc A’BC’ = 900

b Xác định x sao cho góc BA’C’ = 900

c Cho x = 4a, tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC’)

Bài 11: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 600, cách cạnh SA, SB và SD

bằng 3

2

a

a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài SC

b Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) và SB vuông góc với BC

c Tính góc giữa (SBD) và (ABCD)

Bài 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của AD,

AB và CC’

a Dựng thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (EFM)

b Tính góc tạo bởi (ABCD) và (EFM)

c Tính diện tích thiết diện ở câu a

Bài 13: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC nằm trên mặt phẳng (P) Gọi ,lần lượt là góc hợp bởi hai đường thẳng AB, AC và mặt phẳng (P) Gọi  là góc hợp bởi (ABC) và (P).Chứng minh rằng:









2

sin sin

Bài 14: Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a Trên hai tia Bx và Dy vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

và cùng chiều lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho: BM.DN=

2

a

Đặt góc BOM = , góc DON = 

a) Chứng minh tg tg = 1 Kết luận được gì về hai góc và ?

b) Chứng minh mp(ACM) vuông góc với mp (CAN)

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	720,3 KB