Quy đồng mẫu nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho. *Phương pháp giải toán:[r]
Trang 1Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page 1
Chuyên đề 5: Phân thức đại số
I Kiến thức cần nhớ
1) Định nghĩa
Một phân thức đại số (hay nói gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng A
B ; trong
đó A, B là các đa thức và B 0
A được gọi là tử thức
B được gọi là mẫu thức
Điều kiện xác định của phân thức là những giá trị làm cho mẫu thức khác 0
2) Hai phân thức bằng nhau
3) Tính chất cơ bản của phân thức
- Nếu nhân tử thức và mẫu thức của một phân thức với một đa thức khác 0 thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho
- Nếu chia cả tử thức và mẫu thức của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho
A A : N
(N là một nhân tử chung)
4) Quy tắc đổi dấu
Nếu đổi dấu cả tử và mẫu thức của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức
đã cho, cụ thể
=
B -B
II Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Phân thức – Điều kiện xác định của phân thức
Trang 2Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page 2
*Phương pháp giải toán
- Nhận biết phân thức: Áp dụng định nghĩa về phân thức
- Tìm điều kiện xác định: Nếu mẫu thức có chứa ẩn thì mẫu thức phải khác 0
Ví dụ mẫu:
a) Biểu thức
2
2 1
x x
có phải là phân thức đại số không? Vì sao?
b) Tìm ĐKXĐ của các phân thức: 2
2
x
Lời giải mẫu:
a) Biểu thức
2
2 1
x x
không phải phân thức đại số vì 12
x không phải là đa thức b) ĐKXĐ: x 2 0 x 2
Bài 1: Những biểu thức sau đây, biểu thức nào là phân thức, biểu thức nào không là phân
thức
2 2
; 5; ;
4 5
x
x
Bài 2: Viết các phân thức sau dưới dạng phân thức với tử và mẫu là các đa thức với hệ số
nguyên
a) 2
2 5 3
x x
4 15 3 2 2
x x x
Bài 3: Hãy tìm điều kiện xác định của các phân thức sau:
a) 50 49
1950 200
6
2 2
x x
b)
5
1
2
1
5 6
x
c)
) 1 ).(
6 2
(
1
x x x
Dạng 2: Hai phân thức bằng nhau
Trang 3Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page 3
Để kiểm tra sự bằng nhau của hai phân thức A
B và C
D so sánh tích chéo A.D và B.C rồi kết luận
Ví dụ mẫu: Dùng định nghĩa cho biết hai phân thức trong các trường hợp sau có bằng nhau
không?
1)
xy
y x y
x
21
7 3
2 3 2
2)
x x
x
3 6
2
3
2
Bài 1: Dùng định nghĩa cho biết hai phân thức trong các trường hợp sau có bằng nhau
không?
1)
2
1 4
2
2
x x
x
3)
5
2 5
10
3
x x x
x
1
1 2
2
2
x
x x
x
4)
9
9 6 3
3
2
2
x
x x x x
Bài 3: So sánh các phân thức sau
a)
2
Dạng 3: Tìm đa thức thỏa mãn tính chất
*Phương pháp giải toán:
- Nếu tìm đa thức A dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau thì biến đổi về dạng đẳng thức với 2 vế là các đa thức, sau đó phân tích đa thức có mặt ở trong đẳng thức về dạng nhân tử rồi loại ra những nhân tử chung có mặt ở 2 vế để tìm A
- Nếu tìm đa thức A dựa vào tính chất cơ bản của phân thức thì ta đồng thời phân tích tử và mẫu của các phân thức có mặt trong đẳng thức ra nhân tử sau đó chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho nhân tử chung để tìm A
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, tìm đa thức A từ đẳng thức
2 2
Lời giải mẫu:
Trang 4Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page 4
2
2
Suy ra: A 2x
Ví dụ 2: Dùng tính chất cơ bản của phân thức để điền đa thức thích hợp vào chỗ …
2
2
2
4
x
Lời giải mẫu:
2
2
2 2
x x
Vậy đa thức cần điền là x 2
Bài 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau hãy tìm đa thức A trong các đẳng thức
sau:
1)
1 4
3 6
1
2
x x
x
A
2)
1
1 2 1
2
x x
x
A
3)
2
2 3
x
x x A
x
x
4)
A
x x
x
x
1
) 3 ).(
1 ( 2
5)
A
x x
x
x
10
) 2 5 ).(
1 5 (
10 1 3
2
6)
4 8
) 1 2 ).(
1 4 ( 1 2
x
x x
A x
Bài tập 2: tính chất cơ bản của phân thức để điền đa thức thích hợp vào chỗ …
2 2 )
a
)
1 1
x b
x x
Dạng 4: Rút gọn và tính giá trị phân thức
*Phương pháp giải toán:
Bước 1: Phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử
Bước 2: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính giá trị của phân thức thì đặt điều kiện xác định ở trước hoặc sau bước 1 rồi thay giá trị của biến vào phân thức ở sau bước 2
Ví dụ mẫu: Rút gọn các phân thức
Trang 5Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page 5
2 2
2 ) x yz
a
xy z
2 2 ) x y
a
x y
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:
Trang 6Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page 6
1)
2
16 9
4 3
x x
2)
3
7 ( 2 )
14 ( 2 )
3)
2 2
2 2
4 2
4 4
4)
2 2
6
4 3
5)
c b a
c b a
Bài 2: Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức
4
1
P =
1
x
với x2
Bài 3: Chứng minh rằng nếu tử số hoặc mẫu số của phân số
2 2
2 14
P =
7 13
chia hết cho 7 thì P chia hết cho 7
Bài 4: Cho biểu thức A =
3 2
Với giá trị nào của A thì phân thức xác định
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của x khi A = 2
Dạng 5: Quy đồng mẫu các phân thức
Quy đồng mẫu nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho
*Phương pháp giải toán:
- Ghi nhớ cách quy tìm mẫu thức chung, nhân tử phụ trong phần lí thuyết
- Sử dụng giấy nháp kẻ một bảng gồm 3 cột, trong đó:
Viết n phân thức trên n dòng – Cột 1
Biến đổi các phân thức về dạng mẫu đã được phân tích thành nhân tử – Cột 2 Đồng
thời tìm MTC, nhân tử phụ tương ứng
Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:
Nhân tử bằng số là BCNN của các hệ số nguyên dương
Trang 7Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page 7
Với mỗi luỹ thừa của cùng một một biểu thức có mặt trong các mẫu thức ta chọn luỹ thừa bậc cao nhất
Tìm nhân tử phụ tương ứng của mỗi mẫu bằng cách lấy mẫu thức chung chia cho từng mẫu
Nhân cả tử, cả mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng – Cột 3
- Trình bày vào vở theo hàng ngang của các cột
Ví dụ mẫu:
a) 62 ; 3 3
x
b) 2 2; 1; 1
Lời giải mẫu:
a)
Nháp
2
6
1
2x y
3
3 21
x
1
7xy
Ghi vở: 62
1
2x y
3
3
21
x
1
7xy
b)
2
2
9
x
x
x
32 33 3 3 332 3
1
3
x
x
1
x
x
x x
Trang 8Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page 8
Ghi vở: 2 2
9
x
x
x
32 33 3 3 332 3
1 3
x
x
1
x
x
3 13
x x
Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau
a)
x x
x x
x
x
3
3 2
; ) 3 (
2
1
2
b)
x x x
x
6
6
; 36
6
12
2
c)
1
1
; 1
5 3 4
2 3
2
x x
x x
x x
d)
) 2 ( 3
4 4
; 6 3 1
2
x
x x
x
e) 7
6x; 4
x 2y ; 2 2
f)
x
x x x
x
1
2
; 4 5
5 2
2