Bài giảng số 9: Chuyên đề hệ thức lượng: nhận dạng tam giác

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang - Trung tâm luyện thi Edufly-Hotline: 0987.708.400 Bài giảng số 9: NHẬN DẠNG TAM GIÁC.. A.[r]

Bài giảng số 9: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Định lý hàm sin và cosin: Cho ABC có a b c lần lượt là ba cạnh đối diện của , ,   A B C, , , R là

bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC , S là diện tích ABC thì: 2

R

A B  C 

a b c  bc c b c  S A

 Định lý về đường trung tuyến: m m m lần lượt là các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C a, b, c

Ta có:

2

a

2

b

2

c

 Diện tích tam giác: Gọi S: diện tích ABC

R: bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

r: bán kính đường tròn nội tiếp ABC

p: nửa chu vi ABC

thì:

S  a h  b h  c h

S  ab C ac B bc A

4

abc

R

Ta thường biến đổi biểu thức để tính các góc trong tam giác, từ đó sẽ nhận dạng tam giác

 Tam giác vuông có một góc bằng 90

 Tam giác nhọn có tất cả các góc nhỏ hơn 90

 Tam giác đều có 3 góc bằng nhau và bằng 60

 Tam giác cân có 2 góc bằng nhau

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Tính các góc của tam giác

Ví dụ 1: Tính các góc của ABC nếu: sin  sin  os  3  1

2

B C  CA c AB 

Giải:

Do A B C nên  1 sin sin cos 3

2

c

2

2

2

2 2

2 cos os

2

c

A B









 





2 cos os 0 1 2

0 2

C c

A B





 





C









 

 



2 3 6

C











 

  



Ví dụ 2: Tính các góc của ABC nếu:  

 

2

b c a









Giải:

Áp dụng định lý hàm cosin:

cos

2

A

bc



Do (2) nên cosA 0





A

A

Mặt khác: sin sin sin sin 2 sin os

 

2

B C

Mà sinAsinBsinC  1 2 do  2

Dấu ‘=’ tại  2 xảy ra

sin 1

2 cos

2

A A

B C c





















2 4

A











 

  



Ví dụ 3: Cho ABC không tù thỏa mãn cos2A2 2 cosB2 2 cosC3 3  Tính 3 góc của ABC

Giải:

Đặt M cos2A2 2 cosB2 2 cosC 3

2

Do sin 0

2

A

2

B C

c   nên 2 cos2 4 2 sin 4

2

A

Mặt khác: ABC không tù nên 0

2

A 

Do đó: 2 cos 4 2 sin 4

2

A

M

2

2

A

Do giả thiết (3) ta có M 0

2

os cos

2 1 sin

B C c

A



















90 45

A

 



 







 Tam giác vuông

Ví dụ 4: Cho ABC có cot

2

B a c b



 Chứng minh ABC vuông

Giải:

Ta có: cot

2

B a c

b





os

2 sin 2 sin sin sin 2

sin 2

B c

c

2









 



 





 

 



2 2

A C











 

 



Vậy ABC vuông tại A hay ABC vuông tại C

Ví dụ 5: Chứng minh ABC vuông nếu 3 cos B2 sinC4 sin B2 cosC15

Giải:

Do bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: 3cosB4sinB 9 16 cos2Bsin2B 5

và 6 cosC8sinC 36 64 cos2Csin2C 10

nên 3 cos B2 sinC4 sin B2 cosC15

Dấu ‘=’ xảy ra

cos sin

sin cos







 



4 tan

3 4 cot

3

B C







 



2

B C 

Vậy ABC vuông tại A

 Tam giác cân

Ví dụ 6: Chứng minh ABC cân nếu: 3 3

Giải:

Ta có: sin os3 sin os3

c

A B

Vậy ABC cân tại C

 Nhận dạng tam giác

Ví dụ 7: Cho ABC thỏa mãn: acosB b cosAasinA b sinB  7 Chứng minh ABC vuông hay cân

Giải:

Do định lý hàm số sin a2 sinR A, b2 sinR B nên

7 2 sinR AcosB2 sinR BcosA2R sin Asin B

sinAcosB sinBcosA sin A sin B

2

sin A B sin A B sin B A 

sin A B 1 sin A B 0

A B

 









  

 Vậy ABC vuông hay cân tại C

 Tam giác đều

Ví dụ 8: Chứng minh ABC đều nếu

 

 

2

3

4 8

a

a b c











Giải:

a b c b c

2 cos

2bccosA bc

2

A

3

A 

Ta có:  8 4 sinBsinC 3 2cosB C cosB C 3

2cos B C cosA 3



c B C

Vậy ABC đều

Ví dụ 9: Chứng minh ABC đều nếu cot cot cot tan tan tan  9

Giải:

cot cot

sin sin



C

A B



2 sin

sin sin 2

C





(do bất đẳng thức Cauchy)

2 sin os

c

c



2 sin 2

os os

C



2

C



Tương tự: cot cot 2 tan  **

2

B

A C

2

A

B C

Từ (*)(**)(***) ta có: 2 cot cot cot  2 tan tan tan

Do đó dấu ‘=’ ở (9) xảy ra os 2 os 2 os 2 1

sin sin sin





 



A B C

Vậy ABC đều

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính các góc của ABC biết:

a) os2 3 os2 os2  5 0

2

c A c B c C   ĐS: A30 , BC75

b) cos sin sin 3

2

B C  A 

3

A B C 

Bài 2: Chứng minh ABC có C 120 nếu:

Bài 3: Tính các góc của ABC biết số đo 3 góc tạo thành cấp số cộng và sin sin sin 3 3

2

ĐS:

2 6 3

C A B





























Bài 4: Chứng minh ABC:

a) Có ít nhất một góc 36 khi và chỉ khi

c A c B c C





b) Có ít nhất một góc 60 khi và chỉ khi sin sin sin 3



Bài 5: Cho ABC và V cos2A c os2Bcos2C Chứng minh: 1

a) Nếu V 0 thì ABC có một góc vuông

b) Nếu V 0 thì ABC có 3 góc nhọn

c) Nếu V 0 thì ABC có một góc tù

Bài 6: Biết sin2Asin2Bsin2C m Chứng minh:

a) m 2 thì ABC vuông

b) m 2 thì ABC nhọn

c) m 2 thì ABC tù

Bài 7: Chứng minh ABC vuông tại A nếu:

B C  B C

Bài 8: Chứng minh ABC vuông nếu:

a) os os os sin sin sin 1

a



B C  B C

2 1 cos B C



Bài 9: Chứng minh ABC cân nếu:



C

A B

2

C

sin





e) sin sin sin cot cot



2 tanA2 tanBtanAtan B

a  Ab B 

p b  p

2

C

a b  a A b B

Bài 10: ABC là tam giác gì nếu:

a)  2 2    2 2  

a b A B  a b AB ĐS: ABC cân hay vuông tại C

b)





ĐS: ABC vuông tại C

Bài 11: Chứng minh ABC đều nếu:

a) bc 3R2b c a

b) sinAsinBsinC sin 2Asin 2Bsin 2C

sin 2Asin 2Bsin 2C  2 cosAcosBcosC



e) 2acosA b cosBccosCa b c

3S 2R sin Asin Bsin C

g) sinAsinBsinC 4 sinAsinBsinC

2

a b c

R

m m m 