Bài giảng số 5: Một số dạng hệ phương trình bậc hai cơ bản lớp 10

Phương pháp điều kiện cần và đủ: Được áp dụng rất tốt cho hệ với yêu cầu: “ Tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất”.. Khi đó ta thực hiện theo các bước..[r]

BÀI GIẢNG SỐ 05: CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CƠ BẢN

A CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

Dạng 1: Hệ gồm một phương trình bậc nhất và bậc hai

Phương pháp: Để giải hệ phương trình Ax2 20 (1)

By C bxy cy dx ey f







Ta lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: (phương pháp thế)

Bước 1: Từ phương trình (1) rút x hoặc y rồi thế vào phương trình (2) Khi đó ta được phương

trình bậc 2 theo x hoặc y, giả sử: f(x, m) = 0 (3)

Bước 2: Giải (3) theo yêu cầu bài toán

Cách 2: (phương pháp đồ thị) Ta thực hiện theo các bước

Bước 1: Ta có:

- Tập hợp các điểm thỏa mãn (1) thuộc đường thẳng (d): Ax + By + C = 0

- Tập hợp các điểm thỏa mãn (2) với b = 0 thuộc đường cong

(S): 2 2

ax cy dx ey  f 0

Bước 2: Khi đó số nghiệm của hệ là số giao điểm của đường thẳng (d) với đường (S)

Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này các em học sinh cần nhớ lại điều kiện tiếp xúc của đường

thẳng (d) với đường tròn, elip, hypebol, parabol

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

a) x2 2y 25







 







Giải:

a) Ta có:

2 2

x 2y 5





 





3

5 2

1 1

1 2

2

x

y y

x y

y

 

 



 









 Vậy nghiệm của hệ là x y ;  3;1 , 1; 2  

b) Ta có:

2 2

2x y 1

 





 





1

5

x

x

x x

y

 





 













Vậy nghiệm của hệ là  ;  1; 1 , 2 9;

5 5

x y    

Ví dụ 2: Tìm m để hệ mx2 (m 1)y2 2







có nghiệm

Giải:

Ta có: 2 (2 1) 2 (1)







Phương trình (1) là đường thẳng (d): mx + (m + 1)y = 2

Phương trình (2) là đường tròn (C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 2

Để hệ có nghiệm thì (d) cắt (C)

2

( 1)

1

m

m





 Vậy m     ; 1 0; 

Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng kiểu I

Phương pháp chung:

xy P

 









Bước 2: Xác định S và P Khi đó x, y là nghiệm của phương trình 2

0 (*)

t StP

Bước 3: Ta giải và biện luận phương trình (*)

Chú ý 1: Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại I được trình bày ở trên, trong nhiều

trường hợp ta còn sử dụng các phương pháp:

a) Phương pháp thế: bởi rất nhiều hệ đối xứng loại I là “ Hệ gồm 1 phương trình bậc hai và

1 phương trình bậc nhất của hai ẩn”

b) Phương pháp đồ thị

c) Phương pháp điều kiện cần và đủ: được áp dụng rất tốt cho hệ với yêu cầu “ Tìm giá trị

của tham số để hệ có nghiệm duy nhất” Khi đó ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Điều kiện cần:

- Nhận xét rằng, nếu hệ có nghiệm x y0 ; 0thì y x0 ; 0cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x0  y0 (**)

- Thay (**) vào hệ ta được giá trị của tham số Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất

Bước 2: Điều kiện đủ: Thay giá trị m vừa tìm vào hệ đã cho và giải

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình

2 2

6

x y





a) Giải hệ với m = 26

b) Xác định m để hệ vô nghiệm

c) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất, xác định nghiệm đó

d) Xác định m để hệ có 2 nghiệm phân biệt

Giải:

Cách 1: (Sử dụng phương pháp chung)

Biến đổi hệ phương trình về dạng

 2 2

6

x y





 



6 36 2

x y

m xy









Khi đó x, y là nghiệm của phương trình 2 36

2

m

t  t   (1)

a) Với m = 26, ta được:

Vậy với m = 26 thì phương trình có 2 nghiệm x y ;  1;5 , 5;1  

b) Hệ vô nghiệm  1 vô nghiệm '

(1) 0 m 18 0 m 18

Vậy với m 18 hệ phương trình vô nghiệm

c) Hệ có nghiệm duy nhất 1 có nghiệm duy nhất '

(1) 0 m 18 0 m 18

Vậy với m = 18 hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 3

d) Hệ có 2 nghiệm phân biệt  1 có 2 nghiệm phân biệt

'

(1) 0 m 18 0 m 18

Vậy với m 18 hệ có 2 nghiệm phân biệt

Cách 2: (Sử dụng phương pháp thế)

Biến đổi hệ về dạng:

 2 2

2

6

6 6





 

 



a) Với m = 26, ta được

2 (*)2x 12x100 1 1& 5

Vậy với m = 26 hệ có 2 nghiệm x y ;  1;5 , 5;1  

b) Hệ vô nghiệm 2 vô nghiệm '

(*) 0 m 18 0 m 18

c) Hệ có nghiệm duy nhất 2 có nghiệm duy nhất '

(*) 0 m 18 0 m 18

Khi đó hệ có nghiệm x = y = 3

d) Hệ có 2 nghiệm phân biệt  2 có 2 nghiệm phân biệt

'

(*) 0 m 18 0 m 18

Cách 3: (Sử dụng phương pháp đồ thị để thực hiện các yêu cầu b, c, d của bài toán)

Nhận xét rằng m 0, hệ vô nghiệm, do đó ta xét m > 0

Ta có:

- Phương trình (1) là đường tròn (C) tâm O(0; 0), bán kính R = m

- Phương trình (2) là đường thẳng (d)

1 1

 c) Hệ có nghiệm duy nhất (d) tiếp xúc với (C)

1 1

 Khi đó hệ có nghiệm x = y = 3

d)Hệ có 2 nghiệm phân biệt (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

 ;( ) 6 18

1 1



Cách 4: (Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ)

Thực hiện yêu cầu c) của bài toán

Điều kiện cần: Nhận xét rằng, nếu hệ có nghiệm x y0 ; 0thì y x0 ; 0cũng là nghiệm của hệ, do đó

hệ có nghiệm duy nhất khi x0  y0 Khi đó hệ có dạng

2 0 0

2

18

m x









Đó là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất

Điều kiện đủ: Với m = 18 ta được

3 9

6

x y

xy

x y





là nghiệm duy nhất

Vậy với m = 18 hệ có nghiệm duy nhất

Nhận xét: Thông qua ví dụ trên chúng ta thấy được các phương pháp khác nhau để giải hệ đối

xứng loại I Trong trường hợp chúng ta lựa chọn phương pháp tổng quát thì mục đích chính là xác định cho được

xy P

 









từ đó chuyển hệ thành phương trình 2

0

t StP

Chú ý 2: Một số hệ phương trình cần sử dụng 1 vài phép biến đổi đơn giản để đưa về dạng đối

xứng loại I Thông thường ta sử dụng phép biến đổi

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

1 3

x y xy





Giải:

Nhận xét rằng, hệ trên ko đối xứng

Đặt t = - y, ta được

 2





x t S

xt P

 









Khi đó hệ trở thành

2

3



8

S

P

 









nên pt vô nghiệm

x t

là nghiệm của phương trình

1

x

y





 

 Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ;  1; 1  

Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng kiểu II

Phương pháp chung:

Bước 1: Trừ từng vế của hai phương trình bao giờ cũng thu được phương trình tích

( ) ( , ) 0

( , ) 0

x y

x y f x y

f x y







Bước 2: Giải hệ cho từng trường hợp

Chú ý: Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại II được trình bày ở trên, trong nhiều

trường hợp ta còn sử dụng các phương pháp:

1 Phương pháp điều kiện cần và đủ: Được áp dụng rất tốt cho hệ với yêu cầu: “ Tìm giá trị

của tham số để hệ có nghiệm duy nhất” Khi đó ta thực hiện theo các bước

- Bước 1: Nhận xét rằng, nếu hệ có nghiệm x y0 ; 0thì y x0 ; 0cũng là nghiệm của hệ, do đó

hệ có nghiệm duy nhất khi x0  y0 (**)

- Thay (**) vào hệ ta được giá trị của tham số Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất

Bước 2: Điều kiện đủ: Thay giá trị m vừa tìm vào hệ đã cho và giải

2 Phương pháp đồ thị

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

x

y











Giải:

Đk: x0,y0

Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được:

2

2

x y

x y

xy xy



 

+ Với x = y Thay vào (1) ta được 1 3 2 2 2

1

y

  

+ Với xy 2 y 2

x



2

x

x

2

y

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm x y ;    1;1 ,  1; 1 ,  2; 2 ,  2; 2

Ví dụ 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất

 

2 2 2 2







Giải:

Cách 1: (Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ)

Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm x y0 ; 0thì y x0 ; 0cũng là nghiệm của hệ Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0  y0

Khi đó    2 2 2

1  x 2 x m2x 4x  4 m0 (3)

Do x0 duy nhất nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất    ' 2m  4 0 m 2

Điều kiện đủ: Với m = 2 hệ có dạng

2 2

2

2







x 12 y 12 0 x y 1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi m = 2

Cách 2: (Sử dụng phương pháp đồ thị)

Phương trình (1) là đường tròn (C1) tâm I1(2; 0), bán kính R1 = m

Phương trình (2) là đường tròn (C2) tâm I2(0; 2), bán kính R2 = m

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (C1) tiếp xúc ngoài với (C2)

Dạng 4: Hệ phương trình đồng bậc (Đẳng cấp bậc 2, bậc 3)

Dạng 5 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai

Phương pháp:

Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Khử số hạng tự do để dẫn đến phương trình 2 2

Ax Bxy Cy 0 (3)

Bước 2: Đặt x = ty, khi đó   2 2 

3  y At BtC 0

- Xét y = 0 thay vào hệ

- Xét 2

0

At BtC , nếu có nghiệm t0 thì thế x = t0y vào hệ để xét hệ với ẩn y

Cách 2: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Từ hệ khử số hạng x2 (hoăc y2) để dẫn tới phương trình khuyết x2 (hoặc y2), giả sử:

2 2

Ex

Dx  yF   y 

Bước 4: Thế (4) vào 1 phương trình của hệ ta được phương trình trùng phương ẩn x

Vi dụ 7: Giải các hệ phương trình

a)

2











Giải:

a) Cách 1: Khử số hạng tự do từ hệ ta được: 2 2

4x 13xy3y 0 (3)

Đặt x = ty, khi đó:   2 2 

0

1 4

y

t



 











Với y = 0 hệ có dạng 02 4

1

x











vô nghiệm

Với t = 3 ta được x = 3y   2 2 2 1

2

       ( vô nghiệm)

t x y  y  y   y   y  x  1

Vậy hệ có nghiệm là x y ;  1; 4 ,   1; 4

b)







Cách 2: Nhận xét rằng nếu x y;  là nghiệm của hệ thì x0,y0

Khử số hạng x2 từ hệ ta được

2

y



Thay (3) vào (2) ta được 4 2

14y 15y  1 0

Đặt 2

t y t 0 ta được 2

1

14

t

t







 



Với t = 1, ta có: 2 1 2

1

y

Với 1

14

t  , ta có 2

14

y



Vậy hệ có 4 nghiệm  ;  2;1 ,  2; 1 , 11; 1 , 11 ; 1

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình

3

x xy y







Giải:

Đặt y = tx, ta viết hệ về dạng:

3

(*) (1 3 )

1 3











PT (*)

5 3

Với t = 1 thì 1.

2

x y 

Vậy nghiệm của hệ là (0, 0) là 1; 1

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm m để hệ (2m 1)x2 2 my m 1 0







có hai nghiệm (x , y ), (x , y )1 1 2 2 sao cho

A  (x  x )  (y  y ) sau đạt giá trị lớn nhất

ĐS: m = 1

Bài 2: Cho hệ phương trình

2 2

0 0

x ay a





a) Tìm a để hệ đã cho có 2 nghiệm phân biệt

b) Gọi x y1 ; 1 , x y2 ; 2là các nghiệm của hệ Chứng minh x2x12y2y12 1

ĐS: a) 0 4

3

a

  b) HD: AB 2Rđpcm

Bài 3: Cho hệ phương trình 2 0







a) Giải hệ với m = 1

b) Tìm m để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệtx y1 ; 1 , x y2 ; 2 thỏa mãn 2 2 2 2

x y x y

ĐS: a) x y ;  2;1 ,   2; 3 b) m = 2

Bài 4: Cho hệ phương trình





Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

ĐS: m   7

Bài 5: Giải các hệ phương trình

a)

















5

5

2 2

y x

xy y

x

b)



















7

5

2 2

xy y x

xy y x

c)

















6

5

2 2

x y y

x

xy y

x

d)



















17

5

3 3 3 3

y x y x

xy y x

ĐS a) x y ;  1; 2 , 2;1   b) x y ;  1; 2 , 2;1  

c) x y ;  1; 2 , 2;1   d) x y ;  1; 2 , 2;1  

Bài 6: Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

1 1

5

9

x y

x y









Bài 7: Cho hệ phương trình : 2 2 1 2





 a) Giải hệ với m = 3

b) Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình trên luôn có nghiệm

ĐS: a) x y ;  1;3 , 3;1  

Bài 8: Giải hệ phương trình



















5 y x

2

1 y

1 x 1 2 2

ĐS:  1 2;  , 2; 1.

Bài 9: Giải hệ phương trình xy2 x2 y 3

   







ĐS: (0, –3), (3, 0)

Bài 10: Giải hệ phương trình

3 3





ĐS: (1, 3), ( , 2)3

2

Bài 11: Tìm m để hệ x y 1







có nghiệm

ĐS:

4

1 m

Bài 12: Cho hệ phương trình:



















a xy y x

a y x

a) Giải hệ phương trình khi a = 4

b) Tìm a để hệ có nghiệm

ĐS: a)(0, –3), (3, 0) b) 0 a 4

Bài 13: Cho hệ phương trình















1 mx y

1 my x

2 2

a) Giải hệ với m  2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

ĐS: a) x y ;   1;1 b) m  2

Bài 14: Giải hệ phương trình





















2 2 2 2

y

2 x x x

2 y y

ĐS: (1; 1)

Bài 15:Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

2 2





ĐS: m = 8

Bài 16: Giải các hệ phương trình

a)



















17 y 3 xy

2

x

11 y xy 2

x

2 2

2 2

b)























13 3

3

1 3

2 2

2 2

y xy x

y xy x

ĐS: a)   1; 2, 4 ; 5



   b)   1; 2