Bài giảng số 3: Các phương pháp tính tích phân

Dưới đây là phương pháp giải một số dạng cụ thể:.. Loại 1[r]

130 gõ 128 oàng ăn hái, hanh Xuân, à ội Hotline: 0968 58 28 38 - 0987 708 400

Ấ ĐỀ 3 CÁC P Ơ P ÁP Í ÍC P

I Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp: Ta có công thức tính tích phân từng phần:

b a

udvuv  vdu

  Dưới đây là phương pháp giải một số dạng cụ thể:

Loại 1 ( ){ lg} ( ) ( )

f x bt dx f x d bgth 

f x e dx f x d e

a

Loại 3 ( ) ln ln ( ( ))

u

f x xdx x d F x 

1 Tính các tích phân sau:

a) 2x x dx

0

cos



b) 2x x dx

0

sin



c) 1

0

x

dx

xe d) e

1

xdx ln

x

x

3

4

2

cos





g) e cosxdx

2

0

x





2 Tính các tích phân sau:

a) (x 1)cosxdx

2

0





6

0





1

0

x

 d) xln(x 1)dx

5

2

e)

3

2

4

xdx

sin x





1

0

x 2

 

x

x ln

2

e

1

e

1

2

 k) xln(1 x )dx

2

1

2

3 Tính các tích phân sau

a)2 x  x xdx

0

2

sin ) 3 2

(



b) (x 1)e dx

1

0

x 2

  c) (2x 1)lnxdx

2

1

  d) 2e x x dx

0

2

3 cos



e) 1 

0

x 2x e dx

2x 3

1



2 2

1

ln xdx x



2 x

0

e s inxdx



 k)

4

0

xdx

1 cos2x







4 * Tính các tích phân sau

a)

1

2

0

x 1dx

 b) sin xdx

4

0

2





x

x

3

6

2

cos

) ln(sin





d) ln( 1 x x)dx

2

0

2

2

1

3 2 3

sin cos

dx x









II Phương pháp đổi biến số

Phương pháp 1: Lượng giác hoá (đặt x =f(t), trong đó f(t) là một hàm số lượng giác)

5 Tính các tích phân sau

130 gõ 128 oàng ăn hái, hanh Xuân, à ội Hotline: 0968 58 28 38 - 0987 708 400

a) 1 x dx

1

0

2

  b) dx

1 x

1

1

0 2

x

2 

1

0

2

1

1

d) dx

3 x

1

3

3 2

1

2 1

3

2

dx

x x 

1

x

x

1

1

0

2

   h) dx

x a

a

2 

0

2 2

1

i)

2 0

1 4

x dx x





2 2 2

2

x dx x





Phương pháp 2: Đặt t =f(x)

6 Tính các tích phân sau đây:

a)

2

3

0

x 1

dx

3x 1





x

ln 2

e dx 25)

e 1

1

3 2 ln

1 2 ln

e

x dx





d)

2

6

0

1 cos x.sin x cos xdx





x 3 0

e dx (1 e )

4

1

ln(1 x)

dx





2

0

sin 2 sin

1 3cos

dx x









Một số cách đặt ẩn phụ khác

7 Tính các tích phân sau

a)

2

x

sin xdx



1

1

dx (e 1) x 1

1

ln(1 ) 1

x

x dx e







6

0

cos 2 sin 3 cos

xdx







Đáp số:

 1a) 1

2 



, 1b) 1, 1c) 1, 1d)

4

1

e2 

4 3

3









, 1g)

2

1

e2 

 2a)

2

4





, 2b)

9

5

, 2c)

9

1 e

2 3

, 2d)

4

27 2 ln

, 2g)

e

5 e

2  , 2h) 4, 2i) e – 2, 2k)

2

3 2 ln

2

5

ln

 3a) 1, 3b)

4

3 e

3 2 

, 3c)

2

1 4

ln  , 3d)

13

2 e

3 

, 3e) 9

e

  , 3g) 32 4

4e 7, 3h)

3

4

 , 3i)1 2

1 e 2



 , 3k)

ln



 4a) 1   

2   , 4b) 2, 4c)

6 4

3 ln 3

3



 , 4d) 2ln( 52) 51, 4e)

2

1 ) 2 cos(ln )

2

 5a)

4



, 5b)

4

 , 5c)

6

 , 5d)

3 12



, 5e)

6

 , 5g)

9 3



, 5h)

6

 , 5i)

a 4

 , 5k)

5

16 2

44 

, 5m)

4

