Bài giảng số 6: Các dạng bài tập về tứ giác nội tiếp trong đường tròn

i) Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn. - Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện. - Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc chung [r]

BÀI GIẢNG SỐ 6: TỨ GIÁC NỘI TIẾP

I Tóm tắt lý thuyết

i) Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn

ii) Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn ta chứng minh tứ giác thỏa mãn

một trong các điều kiện sau:

- 4 đỉnh A B C D, , , cùng thuộc một đường tròn

- Tổng hai góc đối bằng 1800

- Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện

- Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc chung  iii) Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì nó có những tính chất sau đây:

- Tổng hai góc đối bằng 1800

- Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện

- Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc chung 

II Bài tập mẫu

Bài tập mẫu 1 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( )O Các đường cao AD, BE,

CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn lần lượt tại M , N , P Chứng minh rằng:

1 Tứ giác CEHD nội tiếp 2 4 điểm B, C , E, F cùng nằm trên một đường tròn

3 AE EC AH AD AD BC ; BE AC 4 H và M đối xứng với nhau qua BC

Giải:

1 Xét tứ giác CEHD có:

90

90

CDH  ( vì BE vàAD là đường cao)

180

Mà CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD Do đó 

CEHD là tứ giác nội tiếp

2 Theo giả thiết:

90

90

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 Nên E và F

cùng nằm trên đường tròn đường kính BC Vậy bốn điểm

, , ,

H

( (

2

1

1 1 P

N

F

E

M

B

A

O

3 Xét hai tam giác AEH và ADC có:   0 

90 ;

AEH ADC A là góc chung

Xét hai tam giác BEC và ADC có:   0 

90 ;

BEC ADC C là góc chung

4 Ta có  

1 1

C A ( vì cùng phụ với ABC );  

2 1

C A ( vì hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM )

1 2

   là tia phân giác của góc HCM Lại có CBHM  CHM cân tại CB cũng là đường trung trực của HM Vậy H và M đối xứng với nhau qua BC

Bài tập mẫu 2: Cho tam giác ABC có ba góc nội tiếp đường tròn ( )O với trực tâm H Giả sử M là một điểm trên cung BC không chứa A( M khác B, M khác C ) Gọi N P, theo thứ tự là điểm đối xứng của M qua AB AC,

1) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp

2) Chứng minh ba điểm N H P, , thẳng hàng

3) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn NP lớn nhất

Giải:

1) Gọi I là giao điểm của CH và AB, K là giao điểm

180

IBKAHC (1)

Mặt khác IBKAPC (2)

Từ (1) và (2) ta thấy tứ giác AHCP nội tiếp

2) Do tứ giác AHCP nội tiếp nên AHPACP ( cùng

chắn cung AP) Có ACPACM (tính chất đối xứng)

Suy ra AHPACM (3)

Tương tự ta chứng minh được tứ giác AHBN nội tiếp,

nên AHNABN ( cùng chắn cung AP)

Có ABN ABM (t/c đối xứng) Suy raAHN ABM (4)

Tứ giácABMC nội tiếp nên   0

180

ACM ABM  (5)

Thay (3), (4) vào (5) ta được   0

180

Vậy 3 điểm H N P, , thẳng hàng

3) Từ MAN 2BAM MAP , 2MAC suy ra NAP2( BAMMAC)2BAC (không đổi)

Ta có NP2AP.sinBAC2AM.sinBAC Do đó NP lớn nhất khi và chỉ khi AM lớn nhất, lúc đó

AM là đường kính của đường tròn ( )O Vây NP lớn nhất khi M là điểm đối xứng của A qua O

Bài tập mẫu 3: Cho tam giác cân  0

ABC ABAC A , đường cao BD Gọi M N I, , lần lượt theo thứ tự là trung điểm các đoạn BC BM BD, , Tia NI cắt cạnh AC tại K Chứng minh rằng:

1) Các tứ giác ABMD ABNK, nội tiếp

j

H I

K N

P A

M

2) 2 4

3

Giải:

1) Do tam giác ABC cân tại A nên AM BM

Lại có AD BD, do đó tứ giác ABMD nội tiếp đường

tròn đường kính AB

Mặt khác NI là đường trung bình của tam giác ABC

nên NI/ /MD Do đó KNCDMC

Hơn nữa DMCKAB( tính chất tứ giác nội tiếp

ABMD) Suy ra KNCKAB(1)

Từ đây ta thấy tứ giác ABNK nội tiếp

2) Ta có NKCABC(tứ giác nội tiếp)

Kết hợp với (1) ta có ABC NKC BC CA

Mặt khác, dễ thấy 3

4

Bài tập mẫu 4: cho tam giác nhọn ABC AB(  AC), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D

thuộc cạnh AC , E thuộc cạnh AB) Gọi I là trung điểm của BC Đường tròn ngoại tiếp BEI và

đường tròn ngoại tiếp CDI cắt nhau tại K (K khác I)

1) Chứng minh rằng BDK CEK

2) Đường thẳng DE cắt BC tại M Chứng minh ba điểm M H K, , thẳng hàng

3) Chứng minh tứ giác BKMD nội tiếp

Giải:

540

180

BEKI CIKD nên

180

Suy ra tứ giác AEKD nội tiếp

Mặt khác, tứ giác AEHD nội tiếp Vậy năm điểm

, , , ,

đường kính AH, dẫn đến BDKCEK

2) Ta có: ADE ABC, AKE ADE suy ra

180

AKEAKI  , nghĩa là

3 điểm A K I, , thẳng hàng

Lại có: IKC IDCICD, IKC KACACK,

I N

D

M

A K

j H

I

K E

A

M

D

B

C

  

Vậy tứ giácMEKC nội tiếp

Tứ giác MEKC nội tiếp nên MECMKC

Vì IKCAEDMEB;   0

90

90

Do A E H K D, , , , nằm trên đường tròn đường kính AH, nên  0

90

Vậy K H M, , thẳng hàng

3) Do tứ giác DEHK nội tiếp nên HEK HDK (1)

Tứ giác MEKC nội tiếp nên KECKMC (2)

Từ (1) và (2) suy ra KMBHDK, hay tứ giác MBKD nội tiếp

Bài tập mấu 5: cho hình thang vuông ABCD A( D) Gọi Elà trung điểm của AD Kẻ AH vuông góc với BE, DI vuông góc với CE , K là giao điểm của AH và DI

1) Chứng minh rằng BHIC nội tiếp

2) Chứng minh rằng EK BC

Giải:

1) Sử dụng hệ thức lượng cho tam giác

vuông AEB và BEC ta thấy

2

2

ED EI EC (2)

Vì EAED(gt) nên từ (1) và (2) suy ra

Dẫn đến tứ giác BHIC nội tiếp được một đường tròn

2) Giả sử F là giao điểm của EK và BC

Từ câu 1) tứ giác BHIC nội tiếp nên EHI BCI (3)

Mà tứ giác EHKI nội tiếp (  0

90

EHK EIK  ) nên

EHI EKI (4)

Từ (3) và (4) suy ra BCI EKI, hay tứ giác FKIC

nội tiếp, dẫn tới   0

180

Theo giả thiết  0

90

90

KFC 

Nghĩa là EK BC

III Bài tập tự luyện

Bài tập 1: cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M là điểm đối xứng của B qua O , I là giao điểm của BM

và DE, K là giao điểm của AC và HM

F

I

K

H E

D

C

1) Chứng minh rằng các tứ giác AEDC và DIMC là các tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh OK AC

3) Cho số đo góc  0

60

Hướng dẫn:

1) Chứng minh BDIBMC

2) Chứng minh K là trung điểm của AC 3) Chứng minh BH BO

Bài tập 2: cho hình vuông ABCD cạnh a Trên hai cạnh AD và CD lần lượt lấy các điểm M và N

sao cho  0

45

MBN  BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F

1) Chứng minh các tứ giác BENC và BFMA nội tiếp được một đường tròn

2) Chứng minh MEFN là tứ giác nội tiếp

3) Gọi H là giao điểm của MF và NE , I là giao điểm của BH và MN Tính độ dài BI

Hướng dẫn:

1) Chứng minh EBN ECN và FBM FAM

90

90

3) Chứng minh BCN  BIN nên BI  a

Bài tập 3: giả sử tứ giác lồi ABCD có điểm M sao cho tứ giác ABMD là hình bình hành và

CBM CDM Dựng hình bình hành BMCN

1) Chứng minh tứ giác ABNC nội tiếp

2) Chứng minh rằng ACDBCM

Hướng dẫn:

1) Chứng minh BCN BAN

2) Chứng minh BCMCBN; CBNCAN; CANACD

Bài tập 4: cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa hai điểm A và B Trên một nửa mặt phằng bờ chứa đường thẳng AB, kẻ các tam giác đều ACD và BCE Gọi I là giao điểm của AE và BD Chứng minh rằng:

1) Các tứ giác ACID và BCIE nội tiếp đường tròn

2) IA IB IC, , lần lượt là các tia phân giác của các góc   CID CIE AIB , ,

3) Khi C chuyển động trên đoạn thẳng AB thì điểm I luôn chuyển động trên một cung tròn cố định

Hướng dẫn:

1) Chứng minh IACIDC và IECIBC

2) Chứng minh AID AIC ; BIC BIE và AICBIC

3) Khi C chuyển động trên đoạn thẳng AB thì điểm I luôn chuyển động trên cung tròn AB chứa góc AB

Bài tập 5: cho tam giác nhọn ABC Về phía ngoài tam giác ta dựng các tam giác vuông cân đỉnh A là '

ABC , AB C ; dựng tam giác ' ' BCA vuông cân tại ' A Gọi D là giao điểm của BB' và CC Chứng ' minh rằng:

1) Các tứ giác ADBC , ' ADCB nội tiếp đường tròn '

2) Tứ giác BA CD nội tiếp '

3) Ba đường thẳng AA BB CC', ', ' đồng quy tại D

Hướng dẫn:

1) Chứng minh AC D' ABD và AB D' ACD

3) Chứng minh A D A, , ' thẳng hàng

Bài tập 6: cho hình vuông ABCD Các điểm M N, lần lượt thuộc các cạnh BC CD, sao cho

45

MAN  Gọi P Q, lần lượt là giao điểm của BD với AN và AM Chứng minh rằng:

1) Các tứ giác ABMP ADNQ MNPQ, , nội tiếp đường tròn

Hướng dẫn:

1) Chứng minh  MAPMBP; QDN QAN; MPN MQN

2) Chứng minh AMP cân tại P