Bài giảng số 3: Bất đẳng thức. Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa lẻ, nguyên dương ta được một bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.. với nnguyên[r]

Hotline 0987708400 Khóa học: Bất đẳng thức – Bất phương trình

BẤT ĐẲNG THỨC

A MỞ ĐẦU

1) Định nghĩa BĐT

Hệ thức có dạng ab (hoặc a b; ab; ab) gọi là bất đẳng thức

- Vế trái là a, vế phải là b

- Một bất đẳng thức có thể đúng, có thể sai Việc chứng minh một bất đẳng thức nào đó là

đúng với các giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước được gọi là bài toán chứng

minh bất đẳng thức

VD: Chứng minh rằng với a1 thì a2 2a 1

2) Các tính chất của BĐT

1 a < b a + c < b + c với c tùy ý Cộng hai vế của bất đẳng với một số ta được

một bất đẳng thức cùng chiều và tương

đương với bất đẳng thức đã cho

2 a < b ac < bc với c > 0 Nhân hai vế của bất đẳng với một số dương ta

được một bất đẳng thức cùng chiều và tương

đương với bất đẳng thức đã cho

3 a < b ac > bc với c < 0 Nhân hai vế của bất đẳng với một số âmta

được một bất đẳng thức ngược chiềuvà

tương đương với bất đẳng thức đã cho

4 a < b và c < d a + c <

b + d

Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta được

một bất đẳng thức cùng chiều

5 a < b và c < d a.c <

b.d

với a >

0, c > 0

Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều cótất cả

các vế đều dương, ta được một bất đẳng

thức cùng chiều

nguyên dương

Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy

thừa lẻ, nguyên dương ta được một bất đẳng

thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho

dương

Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy

thừa chẵn, nguyên dương ta được một bất

Hotline 0987708400 Khóa học: Bất đẳng thức – Bất phương trình

8 với a > 0 Lấy căn bậc hai hai vế của một bất đẳng

thức ta được một bất đẳng thức cùng

chiều và tương đương với bất đẳng thức đã

cho

B PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BĐT

1) Phương pháp biến đổi tương đương

2) Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc

2.1 BĐT Cô si

2.2 BĐT Bunhiacopski

2.3 BĐT giá trị tuyệt đối

2.4 BĐT tam giác

-***** - Bài giảng số 3: Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi

tương đương

I KT CẦN NHỚ

*Phương pháp giải: Sử dụng một hay nhiều tính chất đã nêu để biến đổi bất đẳng thức

Từ đó khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ 1: Chứng minh rằng a2 2a 1 với mọi a

Ví dụ 2: Chứng minh rằng 2 2 2

a   b c abbc ca

Ví dụ 3: Cho a > 0, b > 0 chứng minh rằng:

3

II LUYỆN TẬP

Luyện tập trên lớp

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) a2b2 2ab b) x2  x 5 c)  x2 4y2 4xy d) 2x2  x 7 0 e) 2 33

Bài 2: Chứng minh rằng

Hotline 0987708400 Khóa học: Bất đẳng thức – Bất phương trình

a x y z xy yz zx

b x y z 2xy – 2xz 2yz

c x y z 3 2 x

)

)

     

Bài 3: Chứng minh: x2 + y2 + z2  2xy + 2yz - 2x

Về nhà:

Bài 4: Chứng minh rằng

a) x24x 3 0 với 1 x 3

b)

xy 2





c) 1 1 4

a  b a b

 với a, b, c là các số dương

Bài 5: Chứng minh 21 21 2

a 1b 11 ab

   với a, b > 1

Bà 6: Cho 2 số x, y thoả mãn: x+ y = 1

Chứng minh: x3 + y3 +xy 

2 1