Bài giảng số 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I.. Phương pháp: Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để giải các hệ mũ là việc sử dụng cá
Trang 1Bài giảng số 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ
BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
I Phương pháp:
Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để giải các hệ mũ là việc sử dụng các ẩn phụ Tuỳ theo dạng của hệ mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa
Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số đã biết cách giải ( hệ bậc nhất 2 ẩn, hệ đối xứng loại I,
hệ đối xứng loại II và hệ đẳng cấp bậc 2)
Bước 3: Giải hệ nhận được
Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ ban đầu
II Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Gi ải hệ phương trình:
1
Giải :
Đặt 3
2
x
y
u
v
điều kiện u, v>0 Khi đó hệ (I) được biến đổi về dạng:
2
3 3
3
x y
Vậy hệ có cặp nghiệm (-1;1)
Ví dụ 2: Cho h ệ phương trình:
1 1
a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên
Giải:
Đặt
1 3
2
x
y
u
v
điều kiện u 3 và v>0 Khi đó hệ (I) được biến đổi về dạng:
Trang 2
2 1
(II) Ta có:
1
m
1
m
2 1
u
m D
m
2
1
1
v
m
1
m
a) Hệ có nghiệm duy nhất khi:
2
1
1
0 1
u
v
m
v
m D
Vậy hệ có nghiệm khi 2 m 1
a) Với m nguyên ta có m=-2 khi đó hệ có nghiệm là:
1
x y
Vậy với m=-2 hệ có nghiệm nguyên (0;1)
Ví dụ 3: Cho h ệ phương trình:
2 cot sin sin cot
gx y
a) Giải hệ phương trình vớim=1
b) Tìm m để hệ có cặp nghiệm (x;y) thoả mãn 0
2
Giải:
Biến đổi hệ về dạng:
2
u v
Khi đó u, v là nghiệm của phương trình f t ( ) t2 2 mt 3 0 (1)
a) Với m=1 ta được:
sin 0; 0
2 t 1 u v u 3 9 y 3
Trang 32 6
; , 2
6
2
y
k l Z
Vậy với m=1 hệ có 2 họ cặp nghiệm
Ví dụ 4: Gi ải hệ phương trình:
2
Giải:
Viết lại hệ phương trình dưới dạng:
2 1
2
2 2
x
(I)
Đặt
1
2
4
2
x
y
u
v
điều kiện
1 4
u và v>0
Khi đó hệ (I) được biến đổi về dạng:
2
Để giải hệ (II) ta có thể sử dụng 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Khử số hạng tự do từ hệ ta được:4 u2 13 uv 3 v2 0 (3)
4
t
t
+ Với t=3 ta được u=3v do đó: (2) 8 v2 4 vô nghiệm
+ Với 1
4
t ta được 1
4 4
u v v u do đó: (2) 4 u2 4 u 1
Trang 42 1
2
x y
Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (1;2) và (-1;2)
Cách 2: Nhận xét rằng nếu (u;v) là nghiệm của hệ thì u 0
Từ (2) ta được
2 4 3
v u
v
(4) Thay (4) vào (1) ta được: 2 v4 31 v2 16 0 (5)
4 (1)
2
v t
2 1
2
1
1 0
2 2
x
y
x x
y y
Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (1;2) và (-1;2)
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
2 2
x
y
Giải:
Đặt u 2x điều kiện u 1 Hệ có dạng:
1
+ Với u=y, hệ phương trình tương đương với:
1 2
2 2
x
x
x
y y
Trang 5+ Với y=1-u, hệ phương trình tương với:
2
vô nghiệm
Vậy hệ có 3 cặp nghiệm là (0;1), (1;2) và (-1;2)
Ví dụ 6: Gi ải phương trình:
log 3 log
2 2
xy
xy
Giải:
Điều kiện xy>0
+ Giải (1): Đặt t log2 xy xy 2t Khi đó phương trình (1) có dạng:
log 3
2
9t 3 2 2t 3 t 3 2.3t 3 t 2.3t 3 0 (3)
Đặt u 3 ,t u 0, khi đó phương trình (3) có dạng:
3
t
u
u
Đặt v=x+y, khi đó phương trình (4) có dạng:
Với x+y=1 ta được:
1 2
xy
Khi đó x, y là nghiệm của phương trình:X2X 2 0 vô nghiêm
Trang 6Với x+y=-3, ta được:
3 2
xy
Khi đó x, y là nghiệm của phương trình : 2 1 1
và
2 1
x y
Vậy hệ có 2 cặp nghiệm (1;2) và (2;1)
Ví dụ 7: Gi ải hệ phương trình:
2
Giải:
Phương trình (2)
2
+ Với x=0 thay vào (1) ta được: 2
2
+ Với
1
1 3
x
thay y=1-3x vào (1) ta được:
2 x 2 x 3.2 (3)
Đặt t 23x1 vì t 1 nên 1
4
t
3 8(1) 1
1
3
x
t
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm:
2
0 8 log 11
x y
2 2
1
3
x y
BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Trang 7Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa
Bước 2: Từ hệ ban đầu chúng ta xác định được 1 phương trình hệ quả theo 1 ẩn hoặc cả 2 ẩn, giải phương trình này bằng phương pháp hàm số đã biết
Bước 3: Giải hệ mới nhận được
II Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 2 2
12(2)
Giải:
Xét phương trình (1) dưới dạng: 3x x 3y y (3)
Xét hàm số f t ( ) 3t t đồng biến trên R
Vậy phương trình (3) được viết dưới dạng:f x f y x y Khi đó hệ có dạng:
2
Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (2;2) và (-2;-2)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2 2 3
x y
Giải:
Biến đổi tương đương hệ về dạng:
x
y
Xét hàm số f t 2t 3 t 3 là hàm đồng biến trên R
Vậy phương trình (1) được viết dưới dạng: f x f y x y
Khi đó hệ thành:
(II)
Trang 8+ Giải (2): Ta đoán được x=1 vì 21 3 1 Vế trái là một hàm đồng biến còn vế trái là hàm số nghịch biến do vậy x=1
là nghiệm duy nhất của phương trình này Khi đó hệ (II) trở thành:
1
x
Vậy hệ đã cho có nghiệm x=y=1
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
Giải:
Thay (2) vào (1) ta được:
Xét hàm số f t 2t t3 đồng biến trên R
Vậy phương trình (3) được viết dưới dạng: f x f y x y Khi đó hệ có dạng:
1
Vậy hệ có 2 cặp nghiệm (1;1) và (-1;-1)
BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I Phương pháp:
Nhiều bài toán bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên các:
+ Tam thức bậc hai
+Tính chất hàm số mũ
+Bất đẳng thức
+……
Trang 9II Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
1
2
x y
Giải:
Đặt
1
2
2x
y
u
điều kiện u>0 và
1 3
1(2)
uv
Biến đổi (1) về dạng:
Khi đó hệ tương đương với:
1 2
1
1
x y
Vậy hệ có 2 căp nghiệm (0;1) và (0;-1)
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp biến đổi tương đương
a)
1
3 2
4 2
x x
X x
y
b)
3 1 2 3
2
c)
2x 3y 5
y x
x 2(1 y)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ
a) log log
x y
lg lg
lg 4 lg3
(4 ) (3 )
c)
64 64 12
64 4 2
x y
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp hàm số
a)
1
2x y 2x
x y
y x
Trang 10
c) 2( 1)
1
x y x y
x y
d)
2
(1 4 )5 1 3
1
x