Bài 2 TÍCH vô HƯỚNG của HAI VECTƠ

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cho hai vectơ và đều khác . Tích vô hướng của và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau: Chú ý Với và khác ta có . Khi tích vô hướng được kí hiệu là và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ . Tính chất của tích vô hướng Với ba vectơ và mọi số ta có • (tính chất giao hoán); • (tính chất phân phối); • ; • Nhận xét. Từ tính chất tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra ; ; . Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Trên mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ , . Khi đó tích vô hướng . Nhận xét. Hai vectơ , đều khác vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi Ứng dụng • Độ dài của véctơ được tính theo công thức • Góc giữa hai vectơ: Nếu và đều khác vectơ thì ta có: • Khoảng cách giữa hai điểm và được tính theo công thức: Ví dụ: Cho tam giác vuông cân tại , Khi đó ta có ; Ví dụ: Cho ba điểm thẳng hàng thỏa mãn , nằm giữa và . ; ; Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ cho , . Khi đó ta có Suy ra

CHƯƠNG 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ MỤC TIÊU

 Kiến thức

+ Phát biểu được định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

+ Nắm được các tính chất của tích vô hướng và biểu thức tọa độ của tích vô hướng

+ Nắm được công thức tính độ dài của vectơ, góc giữa hai vectơ và khoảng cách giữa hai điểmbất kì trên mặt phẳng tọa độ

này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ ar.

Tính chất của tích vô hướng

Nhận xét Hai vectơ ara a1; 2,brb b1; 2 đều khác

vectơ 0rvuông góc với nhau khi và chỉ khi

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ,

AB CB AB CB

AB CB

BC BC BC

 3;1 ,  2;3

OAuuur OBuuur 2.3 1.3 9;

OA OBuuuruuur  

 Góc giữa hai vectơ:

Nếu ar a a1; 2 và brb b1; 2 đều khác vectơ 0r thì

Như vậy, để xác định được tích vô hướng của hai

vectơ, ta cần xác định được độ dài của hai vectơ

và góc giữa hai vectơ đó

Ví dụ: Cho ABC có cạnh đều bằng a Khi đó

Ví dụ 1 Cho ABC vuông tại A có BC a B ,� �60

Giá trị của tích vô hướng uuur uuur

BC CA

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC cân đỉnh A , có � 30 B � và BC6 Lấy M là điểm thuộc

đoạn BCsao cho MC 2MB Giá trị của tích vô hướng MA MCuuur uuuur.

MC MB�uuuurBM  BC MCuuur uuuur BCuuur

Gọi I là trung điểm của BC

b) Ta có DA DC ADC ,� 60��ADC đều �AM DC.

Xét tam giác AMD vuông tại M có

uuur uuur uuur uuur

Ví dụ 4 Cho ABC có �BAC60 ,�AB4,AC6.

a) Tính uuuruuurAB AC

b) Tính BCuuur2

, từ đó suy ra độ dài cạnh BC c) Gọi M là trung điểm của BC Tính AM

c) Ta có 2AMuuuur uuur uuur AB AC

Câu 3: Cho ba điểm phân biệt , ,O A B thẳng hàng và OAa, OB b Biết O nằm ngoài đoạn AB , giá

trị của tích vô hướng OA OBuuuruuur.

a

C 2 3.2

.2

169.4

Câu 8: Cho hình bình hành ABCD có AB4, D 6,A  BAD�  � Gọi ,60 M N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC Giá trị của CM DNuuuuruuur.

là

Câu 9: Cho hình thoi ABCD có tâm O Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 10: Cho hình vuông ABCD, tâm O , cạnh bằng a Mệnh đề nào sau đây sai?

A uuur uuurAB AC a  2 B uuur uuurAC BD. 0.

Câu 11: Cho hình bình hành ABCD có AB4,AC6,BAD�  � Gọi ,60 M N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC Giá trị của CM DNuuuuruuur.

3.2

Câu 13: Cho hai vectơ ar và br thỏa mãn các điều kiện ar 3, br 4, a br r 2. Tích vô hướng a br rbằng

A 21

21.2

4

4

Bài tập nâng cao

Câu 14: Cho hai vectơ ar và br thỏa mãn ar  br 1 Biết vectơ r rx a 2br vuông góc với vectơ

Câu 15: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D , AB4 , a CD2 , a AD3a Gọi N là điểm thuộc

cạnh AD sao cho NA2a Giá trị của T NB NC DCuuur uuur uuur  là

Chọn đáp án A.

Câu 15

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên

Khi đó A  0;0 , B a4 ;0 , N0; 2 ,a D0;3 ,a C a a2 ;3 

Suy ra uuurNB4 ; 2 , a  a uuurNC a a2 ; , uuurDC2 ;0a .

Suy ra uuur uuurNB NC 6 ;a a 

Vậy T uuur uuur uuurNB NC DC  6 2a a  a 0 12a  2

Chọn đáp án D.

Dạng 2 Chứng minh các đẳng thức có liên quan đến tích vô hướng

Phương pháp giải

- Để chứng minh một đẳng thức, ta có thể

biến đổi từ vế này thành vế kia, biến đổi hai

vế cùng bằng một biểu thức thứ ba hoặc biến

đổi tương đương để đưa về một đẳng thức

luôn đúng

- Sử dụng tính chất phân phối của tích vô

hướng đối với phép cộng các vectơ

- Dùng quy tắc ba điểm AB BC ACuuur uuur uuur  hay

quy tắc AB OB OAuuur uuur uuur 

DA BC DB CA DC AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho ABC có ba đường trung tuyến AI BJ CK, ,

Chứng minh rằng uuur uuur uuur uur uuuruuurAB CK BC AI CA BJ   0

Hướng dẫn giải

CA BJuuuruuur CA BA CA BCuuuruuur uuuruuur

Vậy uuur uuur uuur uur uuuruuurAB CK BC AI CA BJ.  .  .

 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuuruuur     

Ví dụ 2 Cho ABC có trực tâm H Gọi M là trung điểm BC Chứng minh:

uuuur uuuur uuuur uuur uuur  uuuur r  

Vậy uuur uuurAB AC MA  2MB2

Suy ra 1   

4

MH MA HB HC AB ACuuuur uuur uuur uuur uuur uuur

1

4 HB AB HB AC HC AB HC AC

 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur  

Mà uuur uuur r uuur uuur rHB AC 0; HC AB 0

MH MA HB AB HC AC  ��HB AC CB HC AB BC ��uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Ví dụ 3 Cho hình chữ nhật ABCD , gọi M là một điểm tùy ý.

Chứng minh MA MC MB Muuur uuuur uuur uuuur.  D.

Hướng dẫn giải

Ta có MA MCuuur uuuur MB BAuuur uuur uuuur uuur   MDDC

MB MD MB DC BA MD BA DC

uuur uuuur uuur uuur uuuruuuur uuuruuur  

Mà BAuuur DCuuur nên MA MC MB MD MB DC DC MD BA DCuuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuruuur.  .  .  .  .

Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hao vectơ ar a a1; 2 và brb b1; 2 Khẳng định nào

sau đây sai?

Câu 2: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O và điểm M tùy ý Đẳng thức nào sau đây đúng?

A MA MB OAuuur uuur  2OM2 B MA MB OMuuur uuur  2OA2

C MA MBuuur uuur. 2MOuuuur D 2

A uuur uuur uuuruuurAB CD BA CD.  . . B uuur uuur uuuruuurAB AC BA CA.  .

C uuur uuur uuuruuurAC CD CA CD.  . D uuur uuurAB BA AB  2

Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi M N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao,

cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I Khẳng định nào sau đây đúng?

A uur uuuur uur uuurAI AM. AI AB. B uur uuuur uuur uuurAI AM.  AN AB. .

C uur uuuur uur uuurAI AM AI AN D uur uuuur uur uuurAI AM  AI BA

Câu 5: Cho ar và br là hai vectơ đều khác 0r Khi đó u vr r 2 bằng

A ur2 vr2 2 u vr r B ur2 vr2 2 u vr r

C ur2vr2. D u v u vr r r r . 

Câu 6: Cho M là trung điểm của AB , đẳng thức nào sau đây sai?

A MA ABuuur uuur.  MA AB. B MA MB MA MBuuur uuur.  .

C uuuur uuurAM AB AM AB.  . D MA MBuuur uuur.  MA MB.

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ ara a1; 2 và brb b1; 2 Khẳng định nào sau đây

Bài tập nâng cao

Câu 9: Cho tam giác ABC có AB a   Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn điều kiện0

MA MBuuur uuur   MC MBuuuur uuur  0 là

A Đường thẳng đi qua trung điểm của AB và BC

B Đường trung trực của đoạn thẳng AB

C Đường thẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với BC

D Đường thẳng đi qua trung điểm của BC và vuông góc với AB

Câu 10: Cho AB a 0 và I là trung điểm của AB Tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện

Câu 12: Cho ABC vuông tại A có AB1,AC  Dựng điểm M sao cho 2 AM BC AM,  Đặt3.

Gọi I là trung điểm của AB

Ta có MA MBuuur uuur   MC MBuuuur uuur  0�2MI BCuuuruuur 0�MI BC

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với BC

A

CM

H

Câu 11.

Ta có uuuurAM x AB y AC.uuur uuur� AM2 x2.AB2y AC2 2 �9x24 y2

Mặt khác AM BC�uuuur uuurAM BC 0�x AB BC y AC BC.uuur uuur  uuur uuur 0

2

144144

Ta sẽ đi tính tích vô hướng của hai vectơ 2a br r và

a br r , sau đó chứng minh tích này bằng 0

2a b a br r r r  2ar 2 a b a b br r r r r 

2 2

2a a b b

 r r r r2.1 0 2

Ví dụ 1 Cho hình vuông cạnh ABCD cạnh a có M là trung điểm của đoạn thẳng AB và

N là trung điểm của BC Chứng minh rằng AN DM

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh uuur uuuurAN DM. 0.

Vì ABCD là hình vuông nên BC ADuuur uuur  DAuuur và ABAD

Do đó uuur uuurAB DA 0;uuur uuurBC AB 0

Ví dụ 2 Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của đoạn thẳng AB và N là điểm

thuộc đoạn AC sao cho AN 3NC Chứng minh rằng DN MN

Mà ABCD là hình vuông nên DC ABuuur uuur  AB DC BC2;uuur uuur 0;uuur uuurDA AB 0;uuur uuurAD BC  AD2.

Ví dụ 3 Cho ABC vuông tại A có AB a AC , 2 a Gọi M là trung điểm của BC và

điểm D thuộc cạnh AC sao cho

Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A   1;1 , B 3; 2 và C2;m Với giá trị1

nào của m thì vectơ ABuuur vuông góc với vectơ OCuuur?

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ar  4;1 , urb x 1;8x2 Giá trị âm của x để hai vectơ ar

và bur vuông góc với nhau là

Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB a AD , 2a Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm trên

cạnh AD sao cho AD k ANuuur uuur Giá trị của k để CM BN là

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A2;4 và B 8; 4 Điểm C thuộc trục hoành sao

cho ABC vuông tại C là

Bài tập nâng cao

Câu 7: Cho tam giác đều ABC cạnh 3 ,a a Lấy các điểm , ,0 M N P lần lượt trên các cạnh

Câu 8: Cho tam giác MNP có MN 4, MP8, M�  � Lấy điểm E trên tia MP và đặt ME kMP60 uuur uuur

Tìm k để NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP

Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB và 2 AD  Gọi M là trung điểm của cạnh AB và4

N là điểm trên cạnh AD sao cho AN k ADuuur uuur Biết CM vuông góc với BN, khi đó k thuộc vào khoảngnào sau đây?

CMuuuur uuur uuuurCB BM  uuurAD uuur uuur uuur uuurAB BN BA AN  uuurAB k AD uuur

Theo giả thiết, ta có

- Cho hai vectơ ar a a1; 2 và brb b1; 2 Ta có

và tính côsin góc giữa hai vectơ ar và br

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy cho A2;1 , B 3; 2 ,   C 0;3

a) Tính độ dài trung tuyến BM của ABC

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

c) Tính cosuuur uuurAB AC, 

(Trích Đề thi HK1, Trường THPT Lê Minh Xuân Thành Phố Hồ Chí Minh , năm 2017-2018)

Hướng dẫn giải

a) Vì M là trung điểm của AC nên M1; 2 Suy ra BMuuuur  4; 4.

2 1 3

AB DC

y y

Giả sử C x y Khi đó  ;  BAuuur 1;3 và uuurBC x 1;y1

Tam giác ABC vuông cân tại B khi và chỉ khi

Vậy C 4;0 hoặc C2; 2

Chọn đáp án D.

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC có A4; 1 ,  B   và 2; 4 C 2; 2 

a) Tìm tọa độ trực tâm H của ABC

c) Giả sử tọa độ điểm M là x M;0 Khi đó uuuurAM x M 4;1, BMuuuurx M 2; 4.

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A  4;3 , B 5;6 , C   Tọa độ trực tâm H của4; 1

tam giác ABC là

A 41 20 3. B 41 20 3.

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho A 3; 3 ,  B 1;3 , C7; 1 Tam giác ABC là tam

giác gì

Câu 8: Cho tam giác ABD có AB4, AD6, BAD�  � Độ dài của đoạn thẳng BD bằng60

Câu 9: Điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến N2;3 bằng 3 là điểm nào sau đây?

C M 3;0 hoặc M2;0 D M 3;1 .

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với A   3; 4 , B 4;1 , C 2; 3  Tọa độ tâm I

của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

Bài tập nâng cao

Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A6; 6 ,  B  1; 5 ,  C 3;3 Gọi I a b ;

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giá trị của a b bằng

uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuuruuur uuur uuur uuur uuur

Mà uuuur uuurAM BC a  2 nên

Ta có uuurAC x 3;y2 , BCuuur x 5;y2 , uuuurAH  8;2 , BHuuur0; 2  

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên

Vậy C6; 2  

Chọn đáp án A.