Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bài 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

BÀI 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn

+ Nắm được khái niệm tập nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn

+ Nắm được khái niệm bất phương trình tương đương

 Kĩ năng

+ Xác định tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

+ Kiểm tra bất phương trình tương đương

Tập nghiệm của bất phương trình

Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn thay

vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng

Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình

được gọi là tập nghiệm của bất phương trình

Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình tương đương là hai bất

Giá trị x là nghiệm của tất cả các bất phương trình

của hệ được gọi là nghiệm của hệ bất phương trình

Giải hệ bất phương trình bằng cách tìm giao các tập

hợp nghiệm của bất phương trình của hệ

x x x x

x x

≥



 ≠

b) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi

x x

x x

Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x=2020

b) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi x+ > ⇔ > −2 0 x 2

vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x> −2

c) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi

Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x∈( ) (3; 4 ∪ 4;+∞).

d) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi

x x

x

 ≥ −

+ ≥

x x

x x

Ví dụ 3 Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình x+2m+ − − ≥x 2 5 xác định với mọi

x x

Câu 6: Các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình 3 1 1 2

x x

x

x x

Bình phương hai vế của bất phương trình (hai vế

không âm) mà không làm thay đổi điều kiện của nó

ta thu được bất phương trình tương đương với bất

Ví dụ: Chứng minh rằng hai bất phương trình

3x>2x+1 và ( ) (3 )3

3x > 2x+1 là tương đương

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hai bất phương trình là D=¡

Vì a b> ⇔a3 >b3 nên hai bất phương trình

3x>2x+1 và ( ) (3 )3

3x > 2x+1 là tương đương

phương trình đã cho.

Lập phương hai vế của bất phương trình ta thu

được bất phương trình tương đương với bất phương

Vậy hai bất phương trình đã cho tương đương

b) Nhận xét rằng x=0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của bất phươngtrình thứ nhất

Vậy hai bất phương trình đã cho không tương đương

Ví dụ 2 Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình

+ + tương đương với bất phương trình 5x+ >1 0.

Ví dụ 3 Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4 Bạn Hồng giải bất phương trình 3+ ≤ −x x 3 như sau

Bất phương trình tương đương với

3+x ≤ −x 3 ⇔ +9 6x x+ ≤x −6x+ ⇔9 12x≤ ⇔ ≤0 x 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S= −∞( ;0 ]

Theo em bạn Hồng giải như vậy đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng

(mâu thuẫn với x≤ −3)

Với x> −3, bất phương trình trở thành 3+ ≤ − ⇔ ≤ −x x 3 3 3 (vô lí)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ∅

⇔ ≤Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = −∞ −( ; 1 )

Ví dụ 2 Giải và biện luận bất phương trình (m2−4)x+ >3 (2m−1)x m+

Hướng dẫn giải

Tập xác định là D=¡

Bất phương trình tương đương (m2−2m−3)x m> −3 (1)

- Nếu m= −1 thì ( )1 ⇔0x> −4, nghiệm đúng với ∀ ∈x ¡

- Nếu m=3 thì ( )1 ⇔0x>0, bất phương trình vô nghiệm

- Nếu m< −1 hoặc m>3 thì ( )1 1

1

x m

⇔ <

+Kết luận:

 Với m= −1 tập nghiệm của bất phương trình là S =¡

 Với m=3 tập nghiệm của bất phương trình là S = ∅

 Với m< −1 hoặc m>3, tập nghiệm của bất phương trình là 1 ;

1

S m

= +∞÷+

−

⇔ >

+Vậy khi m>1 thì nghiệm của (1) là 3 2

1

m x m

−

>

++) Nếu m− < ⇔ <1 0 m 1 thì bất phương trình (1) tương đương với

−

⇔ <

+Khi m+ = ⇔ = −1 0 m 1, ta có ( )3 ⇔0x< −5 (vô nghiệm)

1

m x m

−

⇔ >

+Vậy khi − < <1 m 1 thì bất phương trình có nghiệm 3 2

1

m x m

−

<

+Khi m= −1, bất phương trình vô nghiệm

Khi m< −1, bất phương trình có nghiệm 3 2

1

m x m

−

>

+

Kết luận:

Với m>1 hoặc m< −1, tập nghiệm của bất phương trình là 3 2;

1

m S

Với m= −1, tập nghiệm của bất phương trình là S= ∅

Ví dụ 4 Tìm tất cả các giá trị của a sao cho bất phương trình 2 3 0

2

x  

∀ ∈   7

22

Với 2a+ > − ⇔ > −3 a 2 a 5 thì bất phương trình đã cho tương đương a− < <2 x 2a+3

∈    nhưng trong bài toán này có liên quan đến bất phương trình bậc nhất Trong cách 1,

chúng ta rất dễ nhầm lẫn điều kiện cần là điều kiện đủ Ta để ý rằng 2 3 0

Điều kiện để (1) và (2) có nghiệm là b≥ −1

Gọi T T lần lượt là tập nghiệm của (1), (2) Ta có1, 2

( ) ( )

Ta thấy (4) vô nghiệm (vì ,a b∈¢, ,a b>0) ⇒ Hệ (3), (4) vô nghiệm.

Vậy không có giá trị nào của a và b thỏa mãn bài toán.

Chú ý: Trong cách giải trên ta đã tìm hai tập nghiệm của hai bất phương trình theo a, b và cho T1⊂T2.

Ở đây chúng ta chú ý phân biệt điều kiện để hai bất phương trình có nghiệm chung, hay mọi nghiệm của bất phương trình này là nghiệm của bất phương trình kia.

Ví dụ 6 Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm 2 2

Vậy m=1, bất phương trình vô nghiệm

Ví dụ 7 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho bất phương trình m x2( − + + ≥2) x m 0 có nghiệm

Câu 13: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

(m2−m x m) + <6x−2 vô nghiệm Tổng các phần tử trong S bằng

Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải

từng bất phương trình của hệ bất phương trình Khi

đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của

các tập nghiệm của từng bất phương trình

Ví dụ 1 Giải hệ bất phương trình 2 4 0

x x

1 2 3

51; 3

7

x x

Trường hợp 1: Với m=0 thì 0x≤1 luôn đúng Tập nghiệm của (*) là T2 =¡

Khi đó, tập nghiệm của hệ là T T= ∩ =1 T2 T1, do đó nghiệm của hệ không phải là duy nhất

duy nhất Do đó m>0 không thỏa mãn

Trường hợp 3: Với m<0, khi đó x 1 m

m

−

= +∞÷Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Vậy giá trị m thỏa mãn là 3.

Với m=1, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x≠ −1

Với m= −1, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x≠1

Với m <1, bất phương trình có nghiệm là x ≤1

Với m >1, bất phương trình có nghiệm là x ≥1

Ví dụ 5 Tìm tất cả các giá trị của a sao cho hệ bất phương trình ( )

a x a x

a

a a

Vậy hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.

Chú ý: Bài toán giải và biện luận hệ bất phương luôn là một bài toán khó bởi vì nó có rất nhiều trường

hợp, ngoài việc ta phải tính toán, nắm được cách giải của dạng bài, ta còn phải trình bày một cách có hệ thống để người đọc có cảm giác không rườm rà Bài toán tìm điều kiện của tham số để một hệ có nghiệm thực tế cũng là giải và biện luận theo tham số a Bạn đọc thông qua hướng dẫn giải này hãy tóm tắt lại việc giải và biện luận của hệ đã cho.

Ví dụ 6 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm ( )

x x

<



 ≥

 hệ bất phương trình vô nghiệm.

+) Với m≠0, ta có hệ bất phương trình tương đương với

2 2

2

m x m m x m

x x

x x

x x

Câu 4: Tập nghiệm S của hệ bất phương trình

2020 63

2

x x

+) m=1, thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2) dương Suy ra nghiệm của hai bất phương trình

ngược chiều Vậy m=1 không thỏa mãn

+) Với m= −2 thì hệ số của x ở (1) bằng 0, hệ số của x ở (2) khác 0 nên hai bất phương trình không

tương đương

+) Với m= −1 thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2) âm Suy ra nghiệm của hai bất phương trình

ngược chiều nên m= −1 không thỏa mãn

Bất phương trình tương đương với x≤2020

Do đó x=2020 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 4 Chọn B.

Điều kiện: x>4 Bất phương trình tương đương với x− ≤ ⇔ ≤2 4 x 6

Kết hợp với điều kiện, ta có S =(4;6] Do x∈¢ nên x=5;x=6

Vậy S = + =5 6 11

Câu 5 Chọn C.

Ta có ( 3) 2 0 2 0 2.

3

3 0

x x

x x

Rõ ràng nếu m≠1, bất phương trình luôn có nghiệm

Với m=1 bất phương trình trở thành 0x>3 (vô nghiệm)

 Khi đó bất phương trình luôn có nghiệm.

 Với m=1, bất phương trình trở thành 0x<1 (vô nghiệm)

 Với m=2, bất phương trình trở thành 0x<0 (vô nghiệm)

Câu 12 Chọn B.

Bất phương trình tương đương với (4m2−5m−9)x≥4m2−12m

 thì bất phương trình luôn có nghiệm.

 Với m= −2, bất phương trình trở thành 0x<0 (vô nghiệm)

 Với m=3, bất phương trình trở thành 0x< −5 (vô nghiệm)

 Với m≠ −3, bất phương trình luôn có nghiệm

 Với m= −3, bất phương trình trở thành 0x≥ −6 (nghiệm đúng với mọi x∈¡ )

Câu 15 Chọn C.

Để ý rằng, bất phương trình ax b+ >0 (hoặc ax b+ <0,ax b+ ≥0,ax b+ ≤0)

 Vô nghiệm (S= ∅) hoặc có tập nghiệm là S=¡ thì chỉ xét riêng a=0

 Có tập nghiệm là một tập con của ¡ thì chỉ xét a>0 hoặc a<0

Bất phương trình viết lại (m−2)x> −4 m2 (1)

Dạng 4 Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Chọn A.

Nghiệm của bất phương trình là 1 3.

8

x x

x

x x

m=Thử lại

x x