BD chuyên đề dãy số 11

DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Bài 1.. Xác định số hạng tổng quát của dãy đã cho.. Xác định số hạng tổng quát của dãy.. Chứng minh rằng dãy số  u n có giới hạn v

Trang 1

DÃY SỐ 1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP

Bài 1. Cho dãy số  u n

:

1 1

11

10 1 9 ,

u



�

�     �

� Xác định số hạng tổng quát của dãy đã cho.

Bài 2. Cho dãy số ( )u biết n

1

2

3 1, 2

u

 

�

�    �

� Xác định số hạng tổng quát của dãy.

xác định bởi

*

n



 

� � N .Tìm công thức số hạng tổng quát u của dãy số theo n n

có

1

16

15 1

1

n n

u

n u

n





�

� Tìm số hạng tổng quát u n

xác định bởi : u11;u2 4;u n2 7u n1   �� u n 2, n * Chứng minh : u là số chính phương với mọi n nguyên dương n

Bài 6. Cho hàm số f : 0; � � 0;�

thỏa mãn điều kiện  3 1  2 2

2

� � với mọi x0 Chứng minh rằng f x  �x

với mọi x 0

Bài 7. Xác định số hạng tổng quát u n

1; 2

2

�

được xác định như sau 2 

1 2011; n 1 n 1 n

với mọi n �*,n 2 Chứng minh rằng dãy số  u n

có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài 9. Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n

biết.

1

2

1 2

1

2

673

2( 2) ( 4 5 2)

, 1 3

n

u

n



�



�

� 

�

xác định bởi

*

n



 

Tìm công thức số hạng tổng quát u của dãy số theo n n

xác định bởi u1  và 1 2

u   u  với mọi n� 1

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n

b) Tính tổng S u 12u22u32  u20112 .

được xác định bởi u1 và 1 1 2n

u   u với mọi n� 1

a) Chứng minh rằng: u n 2n1 b) Tính tổng S u      theo n 1 u2 u3 u n

Trang 2

Bài 13. Cho dãy số(un) xác định như sau:

1

2

2 1

( 1, )

1 ( 2 1)

n n

n

u



� 

�

a) Chứng minh: tan 8 2 1

  

b) Tính: u2015.

Bài 14. Cho dãy số thực  u n

với

1 2

1 1 2

u u



�

�  

�

� (n N� *). a) Chứng minh u n  3 2n với mọi n N� * b) Tính tổng S u   1 u2 u2012.

Bài 15. Cho dãy số  v n

với

1

* 2

8

8 1996

v



�

Tìm số dư khi chia v2013 cho 2011

Bài 16. Cho dãy số

* 1

1 :

u u



�

a) Chứng minh dãy số  u n

là dãy số giảm b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số  u n

Bài 17. Tìm số hạng tổng quát của dãy x n

biết rằng

1; 5; 125

�

  1

* 1

7 2 :

7 4

,

2 5

n

n n

n

u u

u



� 

�



a) Chứng minh dãy số  u n

là dãy số giảm b) Lập công thức tổng quát của dãy số  u n

  1

* 1

1 2016 :

2015 1

, 2016

n

n n

u u

u

� 

�

a) Chứng minh rằng u n   ��1, n * b) Lập công thức tổng quát của dãy số  u n

xác định bởi:  

1 2

2 3

u u

� 

�

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy u n

b) Tìm số dư khi chia u2016 cho 2015

Bài 21. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số

2 1

3 :

, 2

1 1

n

x



� 

�

Trang 3

1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.

Bài 1. Cho dãy số ( )u biết n

1

2

3 1, 2

u

 

�

�    �

� Xác định số hạng tổng quát của dãy.

Bài 2. a) Tính giới hạn Alim3 n3  n2 1 n

b) Cho dãy số (un) xác định bởi :

1 1

11

10 1 9 ,

u



�

� � Tìm công thức tính u theo n n

Bài 3. Cho dãy số ( )u xác định bởi: n

1

* 1

4 1 ( 4 4 1 2 ), 9

u



�

Tìm công thức của số hạng tổng quát ( )u ? n

Bài 4. Cho dãy số  u n xác định bởi: u1  1;

*

n n

n

u

 � Tìm công thức số hạng tổng quát

n

u theo n.

Bài 5. Cho dãy số ( )u xác định bởi: n u1 1; *

1 2 3 ,n

u   u   ��n Tìm công thức số hạng tổng quát

n

u theo n

*

n

 

� � � Tìm công thức số hạng tổng quát u theo n n

Bài 7. Cho dãy số (un) xác định bởi:

1

* 1

3

5 3

,

3 1

n n

n

u





�

Xét dãy số  v n

với

1 , 1

n n n

u v u





  ��n *. Chứng minh dãy số  v n

là một cấp số cộng Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n

1

* 1

4 1 ( 4 4 1 2 ), 9

u



�

Tìm công thức của số hạng tổng quát ( )u ? n

Bài 9. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) xác định bởi:

1) u1 = 2 và un + 1= 5un  n ≥ 1 2) u1 = 1 và un + 1= un + 7  n ≥ 1 3) u1 = 1 ;un + 1 = n ≥ 1 4) u1 = 1 và un +1= un + 2n – 1 n ≥ 1

5) u1 = 1 và un +1= 3un + 2n – 1 n ≥ 1 6) u1 = 1 và un +1= 3un + 5n n ≥ 1

7) u1 = 1 và un +1= 3un + 3n n ≥ 1 8) u1 = 1 và un +1= 3un + 5n+ 2n – 1 n ≥ 1 9) u1 1,u n1 3u n  8u n22  �n 1 10) u

1 = – 2 và un +1= n ≥ 1

11) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2

12) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 +1, n ≥ 3

13) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 + 5n -2

14) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 + 5.2n

Trang 4

15) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 + 5.2n + 5n -2

16) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2 + 2n

1.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG.

xác định bởi u11,u2 2, u n2  u n 2u n1, n� Tìm 1 nlim n 1

n

u u



� �

Bài 2. Tìm số các dãy số  u n

thỏa mãn điều kiện:

2 1

2004

1 2

u



�



�

Bài 3. Cho x x1, , , , 2 x n là các nghiệm dương của phương trình tan x x được sắp theo thứ tự tăng

dần Tính lim n n 1



� � 

Bài 4. Cho dãy số ( )u xác định như sau: n

1

2014 (1 2 ) 1, 2,

u



�

     

a�� để dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó n

Bài 5. Cho hai dãy số  a n

và  b n

được xác định như sau:

1 2, 1 1

2 n n

n

n n

a b a

 

 ;b n1 a n1.b n , n1, 2,�.

Chứng minh rằng  a n

và  b n

có cùng giới hạn, tìm giới hạn đó

Bài 6. Cho dãy số (xn) thỏa mãn:

1

2

1 2

; n 1

n

x

n



� 

�

� Chứng minh dãy số trên có giới hạn.

Bài 7. Tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác ABC được gọi là tam giác

trung bình của tam giác ABC .

Xây dựng dãy các tam giác A B C 1 1 1, A B C 2 2 2, A B C3 3 3, sao cho tam giác A B C là một tam giác đều1 1 1

cạnh bằng 1 và với mỗi số nguyên n�2, tam giác A B C là tam giác trung bình của tam giác n n n

1 1 1

A B C   Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu r tương ứng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp n

tam giác A B C Chứng minh rằng dãy số n n n  r n

là một cấp số nhân Hãy xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân đó?

Bài 8. Cho dãy số  a n

được xác định bởi: a11 và a n1 a n 2n1 với mọi n� Xét dãy số 1.  b n

mà: b n a n1a n với mọi n� 1

a) Chứng minh rằng dãy số  b n

là một cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó

b) Cho số nguyên dương N Hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số  b n theo N Từ đó, hãy suy

ra số hạng tổng quát của dãy số  a n

Bài 9. Cho dãy số thực  x n

được xác định bởi

0

2

1 2 1

n



�

 �

� � Tìm tất cả các giá trị của a để 0

n

x  với mọi số tự nhiên n.

Trang 5

2 3

1, 2, 40

10 24

4,5,6,

n

n n

 

   

�



�

Tìm số n nhỏ nhất để u chia hết cho 2048 n

2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ.

Bài 1. Cho cấp số cộng  u n

với n là số nguyên dương thoã mãn u20132013;u20142014 Tính tổng: 1 2 2 3 2013 2014

S

Bài 2. Cho dãy số thực  x n

0

2

1 2 1

n



�

 �

� � Tìm tất cả các giá trị của a

để x n  với mọi số tự nhiên n 0

Bài 3. Cho dãy số  x n

xác định bởi

20; 30

�

� � Tìm n để x n1.x n  là số chính1 phương

Bài 4. Dãy số  u n xác định như sau:

1 2 1

2

1, *

u



�

    �

� � Chứng minh rằng

2016

2 k u k 2

Bài 5. Cho dãy ( )a n n� 1

 :

2

5 10

5

n

a



 

a) Chứng minh dãy ( )a hội tụ và tính lim n a n

b) Chứng minh

1 2 5 5

1 2

n

n n

như sau    

1 2

*

1 2

u u

�  

�

 

�

a) Chứng minh u n 2n3 ,n n ��*.

b) Đặt

1

n

k



�

Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n > 2 thì S chia hết cho n n

Trang 6

  12

*

0 18

n

u

� 

�

� � Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và 3

n thì u chia hết cho 6n n

Bài 8. Cho dãy số  x n

1

x



�

a) Chứng minh x n 5n1, với mọi n� 2

b) Đặt 1

1 3

n

k k

y

x





�

Tìm nlim y n



� �

Bài 9. Cho dãy số ( )u được xác định như sau: n

1

3 2 1

2

u



�

�       �

rằng với mọi số nguyên tố p thì

1

1 2014

p i i

u





�

chia hết cho p

Bài 10. Cho dãy số  x n xác định bởi

20; 30

�

� � Tìm n để x n1.x n là số chính1 phương

Bài 11. Bài 3 Cho phương trình x2x 1 0 với  là số nguyên dương Gọi  là nghiệm dương

của phương trình Dãy số  x n

được xác định như sau x0 , x n1 x n, n0,1, 2,3, .

Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho x chia hết cho n  .

Bài 12. Cho dãy số  a n

xác định bởi

0 1

2004

 

�

10 2014

n

là

số chính phương

Bài 13. Cho dãy số ( )x được xác định bởi n 3 3

2013 8 1, 1, 2,

n

x  n a n   n a là số thực

a)) Tìm a sao cho dãy số có giới hạn hữu hạn.

b) Tìm a sao cho dãy số ( )x là dãy số tăng (kể từ số hạng nào đó) n

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	405,68 KB