Chứng minh rằng x n có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng và tìm giới hạn đó.. Chứng minh rằng: dãy x n được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn và tồn tại g
Trang 1BÀI TẬP DÃY SỐ
1 Cho dãy số u n xác định bởi: 3 2
2 3 1 !
n
u n n n n Hãy tính tổng Su1 u2 u2013 Đáp số:
2
2014 2014! 1
2 Cho dãy số u n xác định bởi: arctan 4 2 2
2
n
n
u
n n
Hãy tính tổng Su1 u2 u2013
Đáp số: arctan 2013 2 2014
4
3 (VMO 2001, bảng B) Cho dãy số x n được xác định như sau:
1
2
3
1
n n
n
x x
n Hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy x n Đáp số:
4002
4003
4 Giả sử a n 1, n và lim n 1
Cho k , hãy tính
2
lim
1
k
n
n
a
Đáp số: 1
2
k k
5 Với , hãy tính
n
n
3
6 Cho Hãy tính limsin !
Đáp số: 0
7 Tìm giới hạn của dãy số x n biết:
n
n
Trang 28 Tìm giới hạn của dãy số x n biết: 2
1
1 1
n
n k
k x
n n
số:
3
2
e
9 Tính giới hạn:
2
1
n n
n
Đáp số:
1 2
e
10 Cho dãy số S n xác định bởi:
1
cos
n
n k
k
n
2
lim n
n
S
n
Đáp số: 1
2
11 Tính
số: ln2
12 Cho dãy số a n xác định bởi:
1 1
0
a
Hãy tính: a) lim n
lim ln
n n
n na n
Đáp số: a) 2 b) 2
3
13 Cho dãy số a n xác định bởi công thức: n 10 11 12 1n
a
1
n
Hãy tính lim n
Đáp số: 2
14 Với x định nghĩa x x x Hãy tính lim 2 3n
n
số: 1
15 Cho hai dãy số dương a n và b n thỏa mãn điều kiện:
Trang 31 2 1 2
và cho dãy c n xác định như sau: c n a b1 n a b2 n1 a b n 1, n Hãy tính
1 2
lim
n n
n
c
Đáp số: 0
16 Tính lim ! !
Đáp số: 0
17 (VMO 1994, bảng A) Cho a 0,1 Xét dãy số x n được xác định bởi:
2
0
4
arccos arcsin ,
x a
Chứng minh rằng x n có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng và tìm giới hạn đó
Đáp số: 1
18 (VMO 2000, bảng B) Cho số thực c 2 Dãy số x n được xây dựng theo cách sau: 0
nếu các biểu thức dưới căn là không âm
Chứng minh rằng: dãy x n được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn và tồn tại giới hạn hữu hạn lim n
2
n n
c x
19 (VMO 2003, bảng B) Cho số thực 0 và cho dãy số thực x n
xác định bởi: x 1 0 và x n1x n 1, n 1
a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy x n
Trang 4b) Chứng minh rằng dãy x n có giới hạn hữu hạn khi n và tìm giới hạn đó
Đáp số: a) – Với 2 thì x n n 1
n
1
1 1
1
x
b) – Với 1 1 thì lim n 1
20 (VMO 2005, bảng B) Cho dãy số x n xác định bởi:
1
4 0;
3
x a
x x x x n Chứng minh rằng: dãy x n có giới hạn hữu hạn khi n và
thì lim n 0
3
3
n
3
a
thì lim n 1
21 (VMO 2004, bảng A) Xét dãy số thực x n được xác định bởi:
1 1
2 1
,
n n
n
x
x
tham số thực Hãy xác định tất cả các giá trị của để dãy số y n
với
1 , 2
n
n
x
số: k k , và lim 1
2
n
22 (VMO 1998, bảng B) Cho số thực a Xét dãy số x n được xác
3
1 ,
n n n
n
x x
x
Trang 5Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Đáp số: – Nếu a 0 thì lim n 0
– Nếu a 0 thì lim n 1
– Nếu a 0 thì lim n 1
23 Cho dãy số u n xác định bởi:
1
1
,
n n
n
u
u
u
Hãy tìm lim n 1
n n
u u
Đáp số: 2 1
24 (Moldova 2011) Cho dãy số x n xác định như sau:
0 1, 1 41
x x x x Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho và chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số tự nhiên
6
n
25 Cho x n là một dãy số bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện:
1 2
4 n 4
x x x
Chứng minh rằng dãy x n có giới hạn hữu hạn khi n
26 (Đề nghị OLP 30/4/2000) Cho dãy số x n thỏa mãn:
0 x n m x n x m, m n, 1
Chứng minh rằng dãy số x n
n
có giới hạn hữu hạn
27 (OLP 30/4/2013) Cho dãy số x n như sau:
1 1
1
,
n n
n
x
x
Trang 6Tìm x2013 và tìm lim n
2012
2013 2012
34 33.3 11.3 10
lim n 3
28 (Đề nghị OLP 30/4/2000) Cho dãy số u n xác định như sau:
4
n Chứng minh rằng dãy số u n hội tụ
29 Cho dãy số x n xác định như sau:
1 0, 2
2
x x x n Chứng minh rằng dãy số x n hội tụ và tìm giới hạn của nó
2
30 Cho dãy số x n xác định bởi:
1
5 2
1
20 21
2
n
n
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Đáp số: 2
31 (Đề nghị OLP 30/4/2011) Cho dãy số x n xác định bởi:
1
2011 2010
1
2 4999
2499
n
n
Chứng minh rằng dãy số x n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Đáp số: 1
32 (Đề nghị OLP 30/4/2013) Cho dãy số x n xác định như sau:
1 2
x và x n1 4 8x n 1 , n 1
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó
Đáp số: 3
33 (VMO 2013) Cho dãy số a n xác định như sau:
Trang 71 1
2 n , 1
n
a
a n Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Đáp số: 2
34 (IMO Shortlist 1987) Cho a k ,b k là hai dãy số dương thỏa mãn: với mọi n 1 ta có a n b n và c os n c o s n 1, x
n
a x b x Chứng
n
a b
có giới hạn hữu hạn và tính lim n
n n
a b
Đáp số: 0
35 (Đề nghị OLP 30/4/2002) Cho a 0và dãy x n xác định như sau:
1
4
3
x x n Tính lim n
Đáp số: 2
36 Cho dãy số x n xác định như sau:
0 1
2011
ln 1 x n , 0
n
x
Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tính giới hạn của nó
Đáp số: ln 5 1
2
37 (Vietnam TST 1985) Cho dãy số x n xác định như sau:
1
2,9
1
n n
n
x
x
x
Hãy tìm một số thực nằm bên trái dãy con x x x1 , , , 3 5 và nằm bên phải dãy con x x x2 , , , 4 6 của dãy x n Đáp số:
3 5 1
Trang 8
38 (Đề nghị OLP 30/4/2006) Cho dãy số u n xác định bởi:
1 1, 1 3
u u u u u u n Chứng minh rằng dãy u n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy đó
Đáp số: 2
39 (Đề dự bị thi HSG tỉnh Gia Lai 2010, bảng A) Cho dãy số x n
xác định bởi:
0 1 2
, , log 3x n 4x n ,
n
x x x
Chứng minh rằng dãy số x n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Đáp số: 2
40 (Đề nghị thi OLP 30/4/2004) Cho dãy số u n xác định bởi:
2
,
,
Tìm lim n
Đáp số: 1
41 Chứng minh rằng với n 3, phương trình lnn x x x 1 có đúng hai nghiệm là u v n, n trong đó u n v n; hơn nữa lim n 1
,
lim n
4
n
*
n
, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất u n 0; Chứng minh rằng dãy u n có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó
Trang 9Đáp số: 1
3
x x x x n
n , phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất u n 0;1
b) Chứng minh rằng dãy u n với u n xác định ở câu a) có giới hạn Tìm giới hạn đó
Đáp số: b) 0
a) Chứng minh rằng với mỗi n 2, phương trình có một nghiệm duy nhất trong khoảng 0;
4
Ký hiệu nghiệm đó là u n b) Chứng minh rằng u n có giới hạn hữu hạn khi n
45 Cho dãy hàm u x n xác định như sau:
u x u x x ; u n1 x u u x n ; n 1 a) Chứng minh phương trình: u x n 0 có đúng 2n nghiệm phân biệt
b) Chỉ ra nghiệm lớn nhất u n của phương trình này và tìm lim n
Đáp số: b) 2
46 Cho phương trình:
x x xn n n n , *
n
a) Chứng minh rằng với n 23 thì phương trình trên có nghiệm dương duy nhất Ký hiệu nghiệm đó là u n
Trang 10b) Chứng minh rằng dãy số u n có giới hạn hữu hạn khi n
và tìm giới hạn đó
Đáp số: b) 1
47 (Vietnam TST 1990) Cho dãy số x n thỏa mãn:
1 4 1
x x ; x2 x3 9 và 4
x x x x x , *
n
Chứng minh rằng dãy số x n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Đáp số: 3
48 Cho dãy số x n được xác định bởi 1 2 3
0; 9
x x x x n
Tìm lim n
Đáp số: 9
2
49 Dãy số u n được xác định bởi công thức 2
1
1
1 ( !)
n
n k
k
minh rằng dãy u n có giới hạn hữu hạn và giới hạn đó là một số vô tỷ
50 (The Winter mathematical competitions in Bulgaria 1999)
1, 1,2,
n
a na n n với a là tham số thực
a) Tìm các giá trị a sao cho a n hội tụ
b) Tìm các giá trị a sao cho a n tăng
Đáp số: a) a 1 ; b) a 1
51 (Balkan 2002) Cho a n thỏa mãn điều kiện:
1 20, 2 30, n 2 3 n 1 n, 1
a a a a a n Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 1 5a a n n1 là một số chính phương
Đáp số: n 3
52 Cho dãy số a n xác định bởi: 2
0 2; n 1 4 n 15 n 60 , 0
a a a a n
Trang 11Chứng minh rằng: số 2
1
8
5 n
b a có thể biểu diễn thành tổng của
ba số nguyên dương liên tiếp với n 1
53 (VMO 1989) Xét dãy số Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,
Đặt f n 1985n2 1956n 1960
a) Chứng rằng tồn tại vô hạn số F của dãy trên sao cho f F chia hết cho 1989
b) Tồn tại hay không một số G của dãy sao cho f(G) + 2 chia hết cho
1989?
54 (VMO 1998 A) Cho dãy số nguyên dương a n n 0
xác định bởi:
0 20, 1 100, n 2 4 n 1 5 n 20
Tìm số dương h nhỏ nhất có tính chất: a n h a n chia hết cho 1998 với mọi n
Đáp số: h 108
55 (VMO 1995) Một dãy số a n được xác định bởi:
1
1
9 ,
1, 3,
9 5 ,
n
a a if n is even
a a if n is odd
Chứng minh rằng:
2000 2
1995 k
k
a
chia hết cho 20;b) a2n1 không phải là
n
56 (VMO 1987) Cho dãy số x n , y n xác định bởi:
1986
0 365 ; n 1 n n 1 1622
x x x x , n 0
y y y , n 0 Chứng minh rằng: x ny k 0 , n k, 1
57 Cho dãy số x n xác định bởi: x0 0;x1 1;x2 0 và
2
2
1
Chứng minh rằng x n là số chính phương với mọi n 0
58 (St Petersburg City MO 2002).Cho dãy số a n xác định bởi:
Trang 121 , 2 2 , 1
1
1
n
n
n
n
n n
a
if a a
a
if a a
Cho a0 là một số nguyên dương, a n 2 với mỗi n 1;2; ;2011 và
2002 2
a Tính a0?
59 Cho dãy số u n xác định bởi: 1 2
0; 1
1
u u u
Nếu p 5 là số nguyên tố thì u u p p 1 chia hết cho p
60 (BMO 1996, Round 4) Cho dãy số a n xác định bởi:
1 1; 1 n
n
n
n a
Chứng minh rằng: 2
n
với n 4 (ký hiệu x là phần nguyên của
x)
61 (BMO 2001, Round 4) Cho dãy a n thỏa mãn a0 4;a1 22 và
a a a với n 2 Chứng minh rằng tồn tại các dãy
x n , y n gồm các số nguyên dương sao cho
2
7
n n
y a
x y
với mọi
0
n
62 Cho dãy số a n được xác định bởi a n 12 1
n
với mọi n 1,2,3,
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n0 sao cho với mọi
0
1 2
n
a
n
63 Cho dãy số u n xác định như sau:
1
1
2 1
1 ; 1,2,
n
n
u
u
Gọi p là số lẻ, q là số chẵn bất kì Chứng minh rằng: u p u q
Trang 1364 (Taiwan 2000) Cho dãy số nguyên n 3, giả sử rằng dãy số thực dương a a1, , ,2 a n thỏa mãn a i1a i1 k a i i với dãy k k1, , ,2 k n là dãy số nguyên dương bất kỳ (trong đó a0 a n và a n1 a1) Chứng minh rằng: 2n k1k2 k n 3n
65 (China 2000) Cho a a1, , ,2 a n là các số không âm thỏa mãn:
m
a a m n , .Chứng minh rằng: a m ma1 n 1 a m
m
mọi nm
66 (China MO 2006) Cho dãy số a n xác định bởi:
a
Chứng minh bất đẳng thức sau:
1 2
1
n n
n n
n
n
67 Cho ba dãy số nguyên x n , y n , z n được xác định như sau:
1
1
1
3
1
;
n
a) Chứng minh mỗi bộ x y z n, ,n n là một bộ Pythagore
b) Chứng minh 2x y n n 1 là một số chính phương
n n
x z
Đáp số: d) 1
2
68 Cho dãy số a n xác định bởi:
Trang 14
1
1
1
a
a) Chứng minh rằng: a2 1,a3 3a2 0,a n2 3a n1 a n 0 n 2 b) Tìm số dư trong phép chia a n cho 3
c) Xác định a n theo n Hãy chỉ ra rằng có nhiều vô hạn số hạng thuộc dãy Fibonacci xuất hiện trong dãy a n
d) Chứng minh rằng:
2
2 1 2 1 1
n k
k
C a F
a a a n
