Chuyên đề dãy số ôn hsg

 Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội.. Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn.Vậy số hạng tổng quát của dãy số un là: Ví dụ 20: Độ dài các cạnh của ABC lập t

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ

I – LÝ THUYẾT BỔ TRỢ

A - DÃY SỐ

1 Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyêndương n, ta thực hiện như sau:

 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minhrằng mệnh đề đúng với n = k + 1

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n 

p thì:

+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;

+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k  p và phảichứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

3 Dãy số tăng, dãy số giảm

 (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*

 un+1 – un > 0 với  n  N* 

n n

u u

u không phụ thuộc vào n và q là công bội.

 Ba số a b c, , theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân  ac b 2.

 Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1

và q

DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN

Phương pháp:

 a b c, , theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân  ac b 2.

II – CÁC VÍ DỤ

1 Phương pháp quy nạp toán học

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp quy nạp:

Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n thỏa mãnn 3.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, số 23n 1 chia hết cho 3n1 nhưng

không chia hết cho 3n2

Giải:

Đặt A n = 23n  1

Với n = 0 thì A 0 = 2 11 = 3 chia hết cho 31

mà không chia hết cho 32

Giả sử A k = 23k  chia hết cho 31 k+1

mà không chia hết cho 3k+2 (A k = B.3 k+1 , với B nguyên,

không chia hết cho 3) Ta có:

Suy ra A k+1 chia hết cho 3k+2, nhưng không chia hết cho 3k+3

2 Tìm số hạng tổng quát của dãy số

Ví dụ 3: Cho dãy số ( ) un xác định bởi: *

Với n = 1, ta có: u1 = 11 = 101 + 1 Công thức (1) đúng với n = 1.

Giả sử công thức (1) đúng với n = k ta có: uk = 10k + k

Suy ra  y n

là một cấp số nhân với số hạng đầu y1    v1 1 2 1 3

của dãy số theo n

Giải:

Với mọi n  *, ta có:

q 

và 1

12

4

n n

của dãy số đã cho

(Đề thi HSG tỉnh Quãng Ngãi năm học 2018 – 2019)

Bình luận: Đối với dãy số này, ta thấy u n nằm ở mẫu thức nên, ta có thể chuyển dãy số ẩn phụ nghịch đảo.

Ví dụ 9: Cho dãy số   un

1

* 1

4 1

4 4 1 2 9

x

u  

.Thay vào giả thiết, ta được:

Ví dụ 10: Tìm số hạng tổng quát và tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số  u n

xác

định bởi u1 2013,u n1 2u n1,n1

Giải:

Ta có: un+1=2(un+1)−1 ⇔ un+1=2(un+1)−1 ⇔ un+1+1=2(un+ 1) .

Đặt vn= un+1 , n≥1 , ta có dãy {v n} là một cấp số nhân với v1=u1+1=2014 ,

Bình luận: Các số hạng khi chuyển về hiệu thì sẽ nhận thấy có cấp số nhân dễ dàng.

Ví dụ 12: Cho dãy số (an) xác định như sau:

1

n 1 n

n 1

1 a 2

(n N,n 2) a

Ví dụ 13: Một quả bóng cao su được thả rơi từ độ cao h = 18 m Sau mỗi lần chạm đất,

quả bóng lại nảy lên cao bằng

3

rơi và nảy đều theo phương thẳng đứng Tính tổng độ dài quãng đường quả bóng đã dichuyển từ lúc được thả đến lúc không nảy nữa

(Đề thi HSG tỉnh Gia Lai năm học 2018 – 2019)

Giải:

Sau lần chạm đầu tiên, quả bóng nảy lên độ cao 1

34

h  h

Tiếp theo quả bóng rơi xuống

trên quãng đường đúng bằng h1

Lần chạm thứ hai quả bóng nảy lên 2 1

34

h  h

và cũng rơi xuống quãng đường đúng bằng h2

… Cứ thế đến lần chạm đất thứ n thì quả bóng

nảy lên đến độ cao 1

34

q 

Tổng quãng đường quả bóng đi được là:

4 Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn

Ví dụ 14: Cho dãy số (vn) thỏa mãn:

21

n n

 Suy ra nhận xét được chứng minh.

Trở lại bài toán, từ công thức truy hồi, ta được: 2 2 2

n

n u

(Đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm học 2018 – 2019)

   Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số (un) là:

Ví dụ 20: Độ dài các cạnh của ABC lập thành một cấp số nhân Chứng minh rằng

ABC có hai góc không quá 600

Giải:

Trường hợp 1: Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì ta có a = b = c  ABC đều

(thỏa mãn bài toán)

Trường hợp 2: Nếu cấp số nhân có công bội q  1 thì ABC không cân

Không giảm tổng quát giả sử a < b < c Suy ra

Vậy lim un=lim( vn+1)=1 .

6 Giới hạn của dãy số

a) Chứng minh dãy số có giới hạn

n n

; 1

2 12

u

n N n n

n n

y a

2 2

n

n n a

Ví dụ 29: Cho dãy  u n

1

* 1

21

n n

,2

1 2

n n

n

x

x x

Ví dụ 36: Cho dãy số (un) thỏa mãn: { u 1 = 5

Suy ra dãy không giảm

Nếu có số M: un ¿ M với mọi n, thì tồn tại lim un = L Vì un ¿ u1 nên L ¿ u1.

12017

và u n1u n n 1

nên (un) nN là dãy tăng

Giả sử (un) có giới hạn limu n a

thì a = 2018a2 + a  a = 0 (vô lí) Vậy limu  n

n n

1,2018

i i

u u

 



Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được: u n1 u n , n N

Suy ra (un) là dãy số tăng Nếu dãy (un) bị chặn trên thì nó hội tụ Đặt lim n

Khi đó: limvn = lim(a+b √ n+2 n+1 + c √ n+3 n+1 ) = a + b + c

Vậy limun = 0 khi và chỉ khi a + b + c = 0

Ví dụ 41: Cho các số thực a b a b, (  ) và hai dãy số   u n ; v n

7 Bài toán tổng hợp

Ví dụ 42: Cho dãy số ( ) un

xác định bởi:

1 1

u u

Giả sử (xn) bị chặn, do dãy tăng và bị chặn nên tồn tại giới hạn hữu hạn

Giả sử dãy (xn) có giới hạn hữu hạn, đặt limx n a a,  2013

Lấy giới hạn hai vế, ta được: a a  2 5 a   9 a  3 (không thỏa mãn)

Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn

u u

Nhưng ( )a n là dãy số tăng và bắt đầu bằng 12 nên điều này không thể xảy ra Mâu

thuẫn Vậy điều giả sử là sai và như thế dãy số ( )a n không bị chặn trên

1 ( 1)2013

n n

Giải:

n n

1 1 1 2014 20132013

2012

n n

n n

Câu 2: Cho dãy số un

được xác định như sau:

 

1 1

A S 2015 3.4 2017 B. S 2016 3.4 2018 C. S 2016 3.4 2018 D. S 2015 3.4 2017

Câu 3: Cho dãy số  an

xác định bởi a1 5,an 1 q.an 3

với mọi n 1, trong đó q là hằng

số, a 0, q 1.  Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng

Câu 5: Trong các dãy số u n

cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác 1?

1 , 12

f nlim

f nlim

Câu 11: Cho dãy số có u11

Câu 12: Trong các dãy số u n

cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác 1?

1 , 12

n 2

ulim

Câu 17: Biết x, y, x 4 theo thứ tự lập thành cấp số cộng và x 1, y 1, 2y 2   theo thứ

tự lập thành cấp số nhân với x, y là số thực dương Giá trị của x y là

Câu 19: Chu vi của một đa giác n cạnh là 158, số đo các cạnh đa giác lập thành một cấp

số cộng với công sai d 3. Biết cạnh lớn nhất có độ dài là 44 Tính số cạnh của đa giác

Câu 25: Cho dãy số un

Ta có

 

1 1

11

Câu 3: Cho dãy số  an

xác định bởi a1 5,an 1 q.an 3

với mọi n 1, trong đó q là hằng

số, a 0, q 1.  Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng

Câu 5: Trong các dãy số u n

cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác 1?

1 , 12



D. lim un 2

Hướng dẫn giải Đáp án C

Do dãy số giảm và bị chặn dưới nên ta suy ra dãy số có giới hạn.

f nlim

Hướng dẫn giải Đáp án B

f nlim

Hướng dẫn giải Đáp án B

Câu 11: Cho dãy số có và n ∈ N* Tính

Hướng dẫn giải Đáp án C

Câu 12: Trong các dãy số u n

cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác 1?

1 , 12

n 2

ulim

Hướng dẫn giải Đáp án C

Ta có: un 2 2un 1  un 1 un 2  un 1 un 1  un 1 vn 1  vn 1 v n un 1  un

có công sai d 3 và u22u32u42 đạt giá trị nhỏ nhất Tính

tổng S100 của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Hướng dẫn giải Đáp án B

 a n

là cấp số cộng có công sai d  3 a n  4 3n1

là số hạng tổng quát của  b n

 

giá trị x thỏa mãn.

Suy ra có 20 số xuất hiện trọng cả hai dãy số trên

Câu 17: Biết x, y, x 4 theo thứ tự lập thành cấp số cộng và x 1, y 1, 2y 2   theo thứ

tự lập thành cấp số nhân với x, y là số thực dương Giá trị của x y là:

Hướng dẫn giải Đáp án D

Ta có:

2

26364

Câu 19: Chu vi của một đa giác n cạnh là 158, số đo các cạnh đa giác lập thành một cấp

số cộng với công sai d 3. Biết cạnh lớn nhất có độ dài là 44 Tính số cạnh của đa giác

Hướng dẫn giải Đáp án B

1

47 3

44 158158

 



Hướng dẫn giải Đáp án B

Tam giác ABC cân tại A có trung tuyến AM nên tam giác AMB vuông tại M, với M là trung điểm BC(Dethithpt.com)

Hướng dẫn giải Đáp án C

Biến đổi giả thiết thành

Câu 26: Cho dãy số un

n n

n

u u

u

+

= ìïï

Bài 3: Cho đa thức Pn(x) = xn - x - 2008 với n N, n > 1 Chứng minh rằng:

1) Đa thức Pn(x) có một nghiệm duy nhất trong khoảng (1; 2008), kí hiệu nghiệm đó

là xn

2) Dãy số {xn} là dãy số giảm

Bài 4: Cho dãy số:

1

1 1

1( ) :

Bài 6: Cho dãy số  u n

được xác định như sau: 2 

Bài 9: Cho dãy số (un) xác định như sau:

Bài 12: Cho dãy số (un) xác định như sau:

2 Lời giải chi tiết

Bài 1: Cho dãy số (un) xác định như sau:

n n

n

u u

u

+

= ìïï

u u

Bài 3: Cho đa thức Pn(x) = xn - x - 2008 với n N, n > 1 Chứng minh rằng:

1) Đa thức Pn(x) có một nghiệm duy nhất trong khoảng (1; 2008), kí hiệu nghiệm đó

x 

- xn - 1 >

n n

1( ) :

Vậy (u n) là dãy đơn điệu tăng Có hai khả năng sau

1 Nếu (u n) bị chặn trên Theo nguyên lý giới hạn tồn tại giới hạn

Bài 6: Cho dãy số  u n

được xác định như sau: 2 

2

n

u 

Bài 7: Cho dãy số (un) được xác định bởi: { u 1 =1 ¿ { u 2 = 3 ¿¿¿¿

Bài 9: Cho dãy số (un) xác định như sau:

 2a=a2 + 2a  a = 0 Mâu thuẫn với a≥1

u n

n2+2 n

1, ó

a k u

q 

và số hạng

đầu 1 1

213

V – ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Môn: Toán Chuyên đề: Dãy số

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (2,0 điểm) Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( )u n

2013

1 ( 1)2013

n n

Câu 5 (2,0 điểm) Cho dãy số  u n

xác định như sau:

1

2017 1

1

n

n n

u u

n

n

u

u

Câu 9 (2,0 điểm) Cho hai dãy số ( ),( )u n v n

được xác định như sau u1 3,v1 2

n n

1120132013

2012

n n

1 1 1 2014 20132013

2012

n n

n n

2,0 đ Theo bài ra, ta có: u n21 8u u n n1u n260 0 (1) 0,25

Thay n bởi n-1, ta được:

n n

y a

2 2

n

n n a

k x