CHUYÊN đề dãy số

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ, GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐI.. Cấp số cộng: a Định nghĩa: Dãy được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nó cộng với

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ, GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I GIỚI THIỆU MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT.

1 Cấp số cộng:

a) Định nghĩa:

Dãy được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nó cộng với số không đổi Số không đổi được gọi là công sai

Ký hiệu �u u1, , ,2 u n

Có

: số hạng đầu tiên

: số hạng thứ n (tổng quát)

: công sai

b) Nhận xét:

Dãy xác định bởi:

(là các số thực)

là 1 cấp số cộng

c) Tính chất:

1. Công thức số hạng tổng quát:

là CSC có

Nhận xét: mà:

thì

2 (Thường dùng chứng minh CSC):

3 Tổng của n số hạng đầu tiên:

là cấp số cộng đặt:

Có

Hay

2 Cấp số nhân.

a) Định nghĩa:

Dãy được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bắng số hạng đứng trước nó nhân với số không đổi Số không đổi được gọi là công bội

Ký hiệu:

Có

: số hạng đầu tiên

: số hạng thứ n (tổng quát)

: công bội

b) Nhận xét:

3

2

n n

u

q

Dãy xác định bởi:

(là các số thực khác không)

là 1 cấp số nhân

c) Tính chất:

1 Công thức số hạng tổng quát:

là CSN có

Nhận xét: mà:

thì

2

3 Tổng của n số hạng đầu tiên:

là cấp số nhân đặt:

Có

II BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ.

DẠNG 1: DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP

Ví dụ 1: Cho dãy số  u n

xác định bởi :

1 1

11

10 1 9 ,

u



�

� Xác định số hạng tổng quát của dãy đã cho

Hướng dẫn giải

Ta có:

1

2

3

11 10 1

10.11 1 9 102 100 2

10.102 1 9.2 1003 1000 3

u

u

u

  

Dự đoán: 10n 1 

n

Chứng minh theo quy nạp ta có

1

1 11 10 1

u    , công thức  1

đúng với n Giả sử công thức 1  1

đúng với n k ta có

10k

k

1 10 10k 1 9 10k 1

k

Công thức  1

đúng với n k  1 Vậyu n 10nn,  � n N.

Ví dụ 2 Cho dãy số  u n

xác định bởi:

1 1

7

( , 1)

15 14 1

u

n N n



�



Giải:

Giải Ta có f(n) = - 14n + 1 là đa thức bậc nhất,  = 15 � 1 nên ta chọn u*n = an+b Thay vào phương trình đã cho ta được: a(n+1) + b= 15 (an+b) – 14n +1

Suy ra a=1, b=0 Vậy u*n = n còn

n

u  q  ( với q là hằng số) và nghiệm tổng quát là:

.15

n

n

q

u   n, mà u1 nên q = 7 7

Vậy : un = 7.15 n + n

Ví dụ 3: Tìm công thức tổng quát của dãy số  u n

xác định bởi:

1 1

99

( 1)

2 1

u

n



�

�

�

  

�

Giải: f(n)= - 2n - 1 là đa thức bậc nhất,  = 1 nên ta chọn u*n = n(an + b) Thay vào ta được:

(n + 1)[a(n + 1) + b] = n (an + b) – 2n – 1 � a = -1 ; b = 0 � u*n = - n2; u n0 q �

2

n

u  q n , mà u199 � q = 99 Vậy u

n = 99 – n2

DẠNG 2: SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Ví dụ 1: Cho dãy số ( )u biết n

1

1

2

u

 

�

� Xác định số hạng tổng quát của dãy.

Hướng dẫn giải

n n

v  u �v   u 

1

(1)�v n 3v n,n� 2

Dãy ( ) là v n cấp số nhân với công bội là q3.

Nên

1

5

2

n

Do đó

1

3 , 1, 2,

n

n n

u   v     n

Ví dụ 2: Cho dãy số  u n

xác định bởi: u1 1;

*

n n

n

u

u

 � Tìm công thức số hạng tổng quát u theo n n

Hướng dẫn giải

Ta có u n   ��0, n *. Khi đó 1

1

n n

u u





Với mọi n�� đặt *, 1

1

1;

n n

u

v    v  ��n *.. Suy ra, dãy số  v n

là cấp số cộng có v1  và công sai 1 d  2

Do đó, v n   v1 n 1d 2n1,  ��n *..

Vậy

2 1

n

n

u

 .

Ví dụ 3: Cho dãy số ( )u xác định bởi: n u11; *

u   u   ��n Tìm công thức số hạng

tổng quát u theo n n

Hướng dẫn giải

Với mọi n��*, ta có

1

Xét dãy số ( ),v n với 3 ,n *

n n

v u   ��n Ta có: v n12 v n Do đó, dãy số ( )v là một cấp số n

nhân có công bội q2 và số hạng đầu bằng 2.

Suy ra 1 n 1 2 n

n

v v q    .

Vậy u n  v n 3n  3n 2 n .

DẠNG 3: SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 1: Cho dãy số(un) xác định như sau:

1

1

2

2 1

( 1, )

1 ( 2 1)

n n

n

u

u

u



� 

�

a) Chứng minh: tan 8 2 1

  

b) Tính: u2015.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

2

2 tan 8

1 tan tan

8





  �  �

    

�

tan 2 1

8

tan 2 1

8





�

� �

�   

� �tan8  2 1

(Vì tan 8

 dương)

b) Đặt u1  2 tan a, ta có:

2

tan tan

8 tan( )

8

1 tan tan

8

a

a











,

3

tan( ) tan

8 8 tan( 2 )

8

1 tan tan( )

a

a



 

Ta chứng minh: u n tan(a (n 1) ),8 n 1,n



(*)

Với n : 1 u1 tana đúng.

Giả sử (*) đúng với n k , k� , hay ta có: 1 u k tan(a (k 1) )8



Ta có:

1

tan( ( 1) ) tan

tan( )

8

1 ( 2 1) 1 tan( ( 1) ).tan

k k

k

u





 

Vậy (*) đúng với n k  Vậy 1 u n tan(a (n 1) ),8  � ��n 1,n

Cho n2015, ta có: 2015

tan( 2014 ) tan( 251 ) tan( )

2 1 tan( )

4 2 1



( 2 1) tan

8



Ví dụ 2: Cho dãy số xác định như sau:    

1

* 1

2

n n

n

u

u

u





�

�

 

�

� Tính u2014.

Hướng dẫn giải

Ta có:

tan tan 3 1

12 3 4 1 tan tan 1 3

3 4

 



Nên từ giả thiết ta có:

1

tan 12

1 tan

12

n n

n

u u

u













Đặt 2 tan  �u1tan , suy ra

2

tan tan

12 tan

12

1 tan tan

12

u











Theo quy nạp ta dễ dàng suy ra: tan  1 , *

12

n

u  �� n  �� �n

Suy ra: u2014 tan 2013.12 tan 168 4

tan tan 1

4 tan

4 1 tan tan 3

4











Ví dụ 3: Cho dãy số  u n

xác định bởi:

1

2 1

1

( 1) 2

2 1

u

n

� 

�

� Tìm u n

Giải: Ta có

2

;

Dự đoán

1

2

3

n n

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp thấy đúng

BÀI TẬP:

Bài 1 : Cho các dãy số  u n

xác định bởi Tìm số hạng tổng quát của dãy đó

a)

1

1

1

3 6 1

u



�

� ; b)

1

2 1

1 2

u



�

c)

0

1

1

5 3n

u



�

� ; d)

0 1

1

u



�

Bài 2 : Cho các dãy số  u n xác định bởi Tìm số hạng tổng quát của dãy đó

a) u n25u n16u n  b) 0 8 2 6 1 2 n

u   u  u 

c) 2 3 1 2 5n 2 3 3 1

u   u   u   n  n d) 2

u  u   u n .

Bài 3 Cho dãy (xn) xác định như sau: Tìm x2016

Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số(u ) cho bởi n

7, 50

4 5 1975

�

�

a)

1

2

1

2

2

2 1

u

�



�

�

� b)

1

2 1

2

u



�

� ; c)

1

3 1

3 2

4 3

u

�



�

�

BÀI TOÁN 2: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

- Sử dụng cách xác định công thức tổng quát để tìm giới hạn của dãy.

- Một số bài toán khác về giới hạn của dãy số:

Ví dụ 1: Cho dãy số  u n

được xác định như sau: 2 

1 2017; n 1 n 1 n

u  u  n u  u với mọi

n � n Tìm giới hạn dãy số  u n

Lời giải:

Từ công thức truy hồi của dãy ta được

2

 � �  � ��� ��   � ��� ��� �

Do đó

.2017 2017

1

n

u

 Từ đó limu n  20172

Ví dụ 2: Cho dãy số  u n

xác định như sau:

1

2017 1

1

n

n n

u u

u





�

�

�

Tính

2017

2017 2017

n

u

Lời giải:

Ta có:

1

1

n

n

u

u



2017

u

u u   u 

�

Suy ra:

2017

2017 2017

u

Ta chứng minh cho

1

n

u

u

Vậy:

2017

2017 2017

n

u

Ví dụ 3: Cho dãy số u được xác định như sau: n

1 2 1

1

; 1

2 1 2

u

n N n n



�

�

Lời giải: Ta thấy dãy số  u n luôn dương nên từ giả thiết ta có:

Đặt:

2

1

2 3

2

n

thì: v n1   v n v1 6

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi :

1

* 1

1 2

,

1

n n

n

u

u

u



� 

�

�



�

Tính

2017(u 1)( 1) (u 1)

1009

n

u n

Lời giải:

Do u1 0�u n  0, n�� Ta có * 1

1

1

n

u





 

n

Suy ra

2

2017 1

n

� �

Vậy

2017 1 1 1 2017

lim

n

n



BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1 Cho dãy số  u n

được xác định bởi:

1 2

1 3

u u



�

� 

�

� , với n��* Tính limu2n

n

ĐA : 2

1 lim

2

n

u

2 Cho dãy số  u n :

1 1

1

, 1, 2,3,

1





�

�

�

n n

n

u

u

u Tính  1 1  2 1   1

ĐA

 1 1  2 1   1 1

1

2020

u



�

�