Chuyên đề 1: Dãy số và giới hạn của dãy số.I.. Dãy số bị chặn.. Nếu un là dãy số tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.. Nếu un là dãy số giảm và bị chặn dới thì nó có giới hạn.. Các g
Trang 1Chuyên đề 1: Dãy số và giới hạn của dãy số.
I Các kiến thức cần nhớ.
1 Dãy số đơn điệu.
+) Dãy số (un) là dãy số tăng ⇔u n+1 ≥u n với ∀n∈N*
+) Dãy số (un) là dãy số giảm ⇔u n+1≤u n với ∀n∈N*
+) Dãy số (un) là dãy số đơn điệu ⇔(un) hoặc là dãy số tăng hoặc là dãy số giảm
2 Dãy số bị chặn.
+) Dãy số (un) là dãy số bị chặn trên ⇔ ∃M ∈R:u n ≤M với ∀n∈N*
+) Dãy số (un) là dãy số bị chặn dới ⇔ ∃m∈R:u n ≥m với ∀n∈N*
+) Dãy số (un) là dãy số bị chặn ⇔ ∃M,m∈R:m≤u n ≤M với ∀n∈N*
3 Các định lý.
+) Định lý 1
Nếu (un) là dãy số tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn
Nếu (un) là dãy số giảm và bị chặn dới thì nó có giới hạn
+) Định lý 2 Nếu u n ≥v n với ∀n∈N* thì n u n n v n
∞
→
∞
→ ≥ lim
lim
+) Định lý 3 [nguyên lý kẹp giữa] Giả sử ba dãy số thoả mãn:
n n
v ≤ ≤ với ∀n∈N*và v w n a
n n
∞
→
∞
∞
→
lim
4 Các giới hạn cơ bản.
∞
→
lim và lim =0
∞
→
n
n q với q ≠1 +) Nếu u n →0 thì →∞
n
u
1
+) Nếu u n →∞ thì 1 →0
n
u
5 Cấp số cộng và cấp số nhân.
+) Cho ữu1,u2, ,u n, là cấp số cộng với công sai d Khi đó:
d n u d u
u n = n−1+ = 1+( −1) và
] ) 1 ( 2 [ 2 ] [
2
2
u
+) Cho ⋅⋅⋅⋅u1,u2, ,u n, là cấp số nhân với công bội q với q≠1 Khi đó:
1 1
− =
n
q
q u
u u
u
−
−
= + + +
=
1
) 1 (
2 1
II) Các bài toán về dãy số.
Bài 1 Cho dãy số (un) xác định bởi:
+
=
=
+
n n
u
u
2 1
1
1
1
với ∀n∈N*
a) Tính (un) theo n b) Tìm n u n
∞
→
lim
HD Giải
a) Theo giả thiết ta có:
1 1
2
1 −
+
=
n n
n u
2
1 −
−
+
=
n n
2
1 −
−
+
=
n n
2
1
+
=u
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có:
Trang 21 3
2 1
2
1
2
1 2
1 2
+ +
+
+ +
=
n
n u
2
1
2
1 2
1 2
1 1
−
+ +
+
+ +
n
=
−
=
−
2
1 1 2 2
1 1
2
1
1
1
b) Ta có: →∞ = →∞
n n
nlimu lim
−
n
2
1 1
Bài 2 Cho dãy số (un) xác định bởi:
+
=
=
3 1
1
1
1
n
u
u
với ∀n≥1
a) Tính (un) theo n b) Tìm n u n
∞
→
lim
HD Giải
a) Theo giả thiết ta có:
1 3
1
1 +
= n−
3
1 3
1 3
1
2 2
3
1 3
1 3
1
+
3
1 3
1 3
1
−
−
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có:
2 3
2 1
1
3
1 3
1 3
1 1 3
+ +
+
+ + +
1 2
3
1
3
1 3
1 1
−
+ +
+
=
−
=
−
n
3
1 1 2 3 3
1 1
3
1
1
1
b) Ta có:
∞
→
∞
n n
nlimu lim
3
1 1 2
2
3
Bài 3 Cho dãy số (un) xác định bởi:
− +
=
=
u
u
n
11
1
Xác định số hạng tổng quát (un) theo n
HD Giải (Phơng pháp quy nạp)
Theo giả thiết ta có: u1 =11=10+1
Với n = 1 ta có: 10 1 9.1 102 102 2
1
u
Với n = 2 ta có: 10 1 9.2 1003 103 3
2
u
……….…
Ta chứng minh đợc u n =10n +n với ∀n≥1
Ta giả sử (*) đúng với n = k (k≥1) tức là ta có u k =10k +k
Ta sẽ chứng minh: 10 1 1
u k 10 k 1 9 10(10k 1 ) 1 9
Chứng tỏ: u n =10n +n với ∀n≥1
Bài 3 Cho dãy số (un) xác định bởi:
−
+
=
=
+
n
n
u u
u
1 1 3
1
1
với ∀n≥1
Xác định số hạng tổng quát (un) theo n
HD giải.
Trang 3Ta có:
3 tan 3
1
π
=
=
+
=
−
+
=
−
+
=
⇒
4 3 tan 4
tan 3 tan 1
4
tan 3
tan 1
1
1
1
π π
π π
u
u u
+
=
+
−
+
+
=
−
+
=
⇒
4 2 3 tan 4
tan 4 3 tan 1
4
tan 4
3 tan 1
1
2
2 3
π
π π
π π
π π
π
u
u
u
=
4 )
1 ( 3
Khi đó:
3
1 6
5 tan 2
501 3
tan 4
2006 3
tan
=
=
+
u
3 1
1 3 4
3
tan 4
502 3
tan 4
2007 3
tan
2008
+
−
=
−
=
=
+
u
Bài 4 Cho dãy số (un) xác định bởi:
−
+
=
=
+
n
n n
u
u u
u
3 1
3
2
1
1
với ∀n≥1
Xác định số hạng tổng quát (un) theo n
HD giải Ta có: u1 = 2=tanα với
−
∈
2
; 2
π π α
+
=
−
+
=
−
+
=
⇒
3 tan
3 tan tan 1
3 tan tan
3 1
3
1
1
π α
π α
u
u u
+
=
+
−
+
+
=
−
+
=
⇒
3 2 tan
3
tan 3 tan
1
3
tan 3
tan
3 1
3
2
2 3
π α
π π
α
π π
α
u
u
u
=
3 ) 1 (
3 2006 tan
+
u
6 1
3 2 3
tan 3
502 tan
3 2007 tan
2008
+
−
=
−
=
=
+
u
Bài 5 Cho dãy số (un) xác định bởi:
+
=
=
u
u
2008
1
2 1
1
với ∀n≥1
a) CMR: (un) là dãy tăng
b) CMR: (un) là dãy không bị chặn trên
Trang 4c) Tính giới hạn:
+
∞
2 2
lim
n
n
u u
u u
HD giải.
2008
2
n
u u
u với ∀n≥1⇒{ }u là dãy tăng n
b) (Phơng pháp phản chứng)
Giả sử (un) là dãy bị chặn trên Do nó là dãy tăng nên nó có giới hạn,
tức là: u n a
∃
∞
→
lim ⇒a≥1 Mặt khác lấy giới hạn các vế của đẳng thức đã cho ta có:
a
a
2008
2
⇔ a=0 (vô lý)
Chứng tỏ (un) là dãy không bị chặn trên, tức là: =+∞
∞
nlimu
c)Từ giả thiết ta biến đổi:
2008
2
n n
u u
1
1 1
+ +
=
−
n
n n
u u
) 1 1
( 2008
1
+
−
=
n n n
n
u u u
u
Suy ra: 2008( 1 1 )
2 1 2
1
u u u
u
−
3 2 3
2
u u u
u
−
1
+
−
=
n n n
n
u u u
u
Vậy
+ +
+
+
∞
2 2
lim
n
n
u u
u u
u
=
−
+
∞
1 1
2008 lim
n
Bài 6 Cho dãy số dơng (an) thoả mãn: 2
a + < − với ∀n≥1
Chứng minh rằng:
n
a n < 1 với ∀n≥1
HD: (Phơng pháp quy nạp)
Với n = 1 ta có: 2
1 1
a < − ⇒a1−a12 >0⇒a1 <1 Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k≥1), tức là
k
a k < 1
Ta cần chứng minh:
1
1
1< +
a k
a + < − Hàm số:f(x)=x−x2đồng biến trên
2
1
;
2
1 1
0< < <
k
a k nên ( )< (1)⇔
k f a
k
k k k a
a k − k < − = −
Do vậy
1
1 ) 1 (
1 1
1 ) 1 (
1 1
2 2
2 2
−
=
−
<
k k
k
a k
Chứng tỏ
n
a n < 1 với ∀n≥1(đpcm)
Bài tập tự luyện.
Bài 7 Cho hai dãy số (un) và (vn) xác định bởi:
Trang 5
−
−
=
=
1
1 1 2
2
2
2
n
u
u
và
− +
=
=
+
n
n
v v
v
1 1
1
2 1
1
với ∀n≥1
Tìm công thức tổng quát của hai dãy số (un) và (vn)
Bài 8 Cho dãy số (un) xác định bởi:
+
=
=
=
+
1
; 0
1 2
2 1
n n
n
u u
u
u u
2
1
u
b) Xác định công thức tổng quát của (un) theo n
c) Tìm n u n
∞
→
lim
Bài 9 Cho dãy số (xn) xác định bởi:
≥
−
≥
∀
<
<
1 ) 1 (
1 ,
1 0
n
n
x x
n x
a) CMR: (xn) là dãy số tăng
b) Tìm n x n
∞
→
lim
Bài 10 Cho dãy số (un) xác định bởi:
−
=
−
=
+
n
n
u u
u
1
2
1
1
với ∀n≥1
a) CMR: un < 0 với ∀n≥1
b) Đặt
n
n
u
v =1+
CMR: (vn) là một cấp số cộng và suy ra biểu thức của (un) và (vn)
Bài 11 Cho dãy số (un) xác định bởi:
+
=
=
8
1
1
1
n n
u u
u
với ∀n≥1
Đặt v n =u n −2 CMR: (vn) là một cấp số nhân và suy ra biểu thức của (vn) và (un)
Bài 12 Cho dãy số (un) xác định bởi:
+
=
=
u
u
2
2
1
Tìm biểu thức của (un)
Bài 13 Cho dãy số (un) xác định bởi:
+
=
=
u
u
2007
với ∀n≥1&α >1
a) CMR: (un) là dãy tăng
b) CMR: lim 1 =0
∞
c) Tính giới hạn:
− +
+
−
+
∞
lim
1 3
2 2
1
n
n
u u
u u
u
Trang 6
Bài 14 a) Rút gọn biếu thức:
)!
1 (
! 4
3
! 3
2
! 2
1
+ + + + +
=
k
k
x k
b*) Cho dãy số (xk) đợc xác định nh sau:
)! 1 (
! 4
3
! 3
2
! 2
1
+ + + + +
=
k
k
x k
nlim x1 +x2 + +x2007
∞
→ II) Các bài toán về giới hạn của dãy số.
Bài toán 1 Tính các giới hạn sau:
a)
n
n
a a
a
+ + + +
+ + +
+
∞
1
2
với a <1& b<1 b)
+ +
+
+
∞
1
3 2
1 2
1
1
lim
n n
n
c)
+ +
+ + + +
+ +
∞
1
3 2 2 3
1 2
1
2
1 lim
n n n n
n
3
1 1 )(
2
1
1
(
n
∞
→
e) lim( 12 32 52 2 2 1)
n
n n
n n
n
− + + +
+
∞
→
g)
+
+
+ +
+ +
∞
1
2
1 1
1
lim
h*)lim[cos( 3 3 +3 2 + +1) (+sin 3 3 +3 2 + +1) ]
∞
- stop