CHUYÊN ĐỀ VÀI DẠNG TOÁN VỀ DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT I.. Dạng 1: Tính tổng các phân số Khi giải các bài toán về phân số, ta thường gặp các bài toán về tính tổng mà tử và mẫu c
Trang 1CHUYÊN ĐỀ VÀI DẠNG TOÁN VỀ DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
I Dạng 1: Tính tổng các phân số
Khi giải các bài toán về phân số, ta thường gặp các bài toán về tính tổng mà tử và mẫu của các phân số thường được viết theo quy luật Nếu nhận biết được quy luật của chúng, ta có thể tính toán một cách nhanh chóng
Ví dụ 1: Tính tổng: 2 2 2
3.5 5.7 97.99
Ta nhận thấy các phân số có tử không thay đổi và đúng bằng hiệu của hai thừa số ở mẫu Hơn nữa, thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số đầu ở mẫu sau
Phương pháp chung để giải dạng toán này là ta sử dụng công thức tách:
n
a b n a b n
Ví dụ 2: Tính tổng:
a) 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 49.50
Ta nhận thấy 1 = 2 – 1 = 3 – 2 = 4 – 3 = … = 50 – 49
Do đó ta biến đổi tổng trên như sau:
1.2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 49.50 49.50
1.2 2.3 3
11
4 199.200
Ở câu b, ta thấy tử số không phải bằng hiệu của hai thừa số ở mẫu số Nếu ta đặt 11 làm thừa
số chung của các phân số thì lại được ngay dạng tổng của câu a
1.2 2.3 3.4 199.200
1.2 2.3 3.4 199.200
11
Ví dụ 3: Tính tổng:
A
Ta có:
3 3 3 3 3.
A
3A 1
Trang 22 3 8
A
Suy ra:
8
6560
2
6561
3280 6561
A A
A
A
Ví dụ 4: Tính tổng:
A =
A =
Ta có A =
A =
A = = 81
Ví dụ 5: Tính
19 10
1 19
9
1
7 4
1 7 3
1 5 3
1 5 2
1
19 10 9
9 19
10 9
10
7 4 3
3 7 4 3
4 5 3 2
2 5
3
2
3
19 10 9
19
7 4 3
7 5
3
2
5
10 9
1
4
3
1
3
2
1
10
1 9
1
4
1 3
1 3
1
2
1
5
2
A
Ví dụ 6: Tính tổng:
4 4 4 4 4 4
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 17.20
M = 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 5 5 8 8 11 11 14 14 17 17 20
Trang 3M = 4 1 1
3 2 20
M = 3
5
Ví dụ 7: Tính A = 8400.( 1
1.5 +
1 5.9 +
1 9.13 +
1 13.17 +
1 17.21 +
1 21.25)
= 2100.( 4
1.5 +
4 5.9 +
4 9.13 +
4 13.17 +
4 17.21 +
4 21.25)
= 2100.(1
1 –
1
5 +
1
5 –
1
9 +
1
9 –
1
13 +
1
13 –
1
17 +
1
17 –
1
21 +
1
21 –
1
25)
= 2100.(1
1 –
1
25) = 2100.
24
25 = 2016
Ví dụ 8: Tính:
50 48
5
8 6
5 6 4
5 4 2
5
50 48
2
8 6
2 6 4
2 4 2
2 (
2
5
=
5
6 50
24 2
5 ) 50
1 50
25 (
2
5 ) 50
1 2
1 (
2
5 ) 50
1 48
1
8
1 6
1 6
1 4
1 4
1 2
1 (
2
Ví dụ 9:
Cho A = 1 1 1 1
1.2 3.4 5.6 2015.2016 và B =
1008 1009 1010 2016 Tính B – A
Ta có :
A = 1 1 1 1 1 1
2 3 2016 2 4 2016
100910101011 2016
Do đó : B – A = 1
1008
Ví dụ 10:
Tính tổng
1400
10
260
10 140
10 56
28 25
3
13 10
3 10 7
3 7 4
3 3
5 700
5
130
5 70
5 28
5 1400
10
260
10
140
10
56
10
=
14
5 28
6 3
5 28
1 4
1 3
5
Ví dụ 11: Tính:
154
1 88
1 40
1 10
1
A
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 5 5 8 8 11 11 14
3 2 14 7
Các bài toán tương tự:
Trang 42 2 2 2 2 2
)
3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 13.15
10.11 11.12 12.13 69.70
1
)
25.27
75 73
1
31 29
1 29
27
1
d)
11
8
32 +
14 11
32 +
17 14
32 + +
200 197
32
e)
18 15
6 +
21 18
6 +
24 21
6 + +
90 87 6
f)
27 25
1 +
29 27
1 +
31 29
1 + +
75 73 1
g)
94 90
15 +
98 94
15 +
102 98
15 + +
150 146 15
II Dạng 2: Tính tích các phân số
Ví dụ 1: Tìm tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy:
3
1
1 ; 1
8
1
; 1
15
1
; 1
24
1
; 1
35
1
Ta viết lại các số hạng của dãy:
3
4
;
8
9
;
15
16
;
24
25
;
35
36
hay
3 1
22
;
4 2
32
;
5 3
42
;
6 4
52
;
7 5
62
Số hạng thứ 98 có dạng:
100 98
992
Gọi A là tích của 98 số hạng trong dãy:
A =
100 98
99
7 5
6 6 4
5 5 3
4 4 2
3 3 1
=
) 100
6 5 4 3 ).(
98
4 3 2 1 (
) 99
5 4 3 2 ).(
99
5 4 3 2 (
=
100
2 1
99
=
50 99
Ví dụ 2: Tính nhanh:
A
Ở ví dụ trên, ta thấy chỉ cần tính các số ở trong ( ) thì ta nhận ra quy luật của các phân
số trong dãy
1.2 2.3 3.4 99.100 2 3 4 100 100
C
4 10 18 28 40 54 70 1.4 2.5 3.6 4.7 5.8 6.9 7.10 5
2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 12
Các bài toán tương tự:
a)
1.2 2.3 3.4 99.100
Trang 5c) 1 1 1 11 1 1 1 .1 1
2 3 4 2014 2015 d) 11 11 11 1 1 1 1
III Dạng 3: Tìm x
Ví dụ 1: CMR: Với mọi n thì ta luôn có:
) 6 5 )(
1 5 (
1
176
1 66
1 6
1
n
1
n n
Biến đổi vế trái ta có:
) 6 5 )(
1 5 (
1
176
1
66
1
6
1
n
n = (5 1)(55 6)
16 11
5 11 6
5 6 1
5 5
1
n n
6 5
1 -1 5
1
16
1 -11
1 11
1 -6
1
6
1
1
5
1
n n
6 5
1
1
5
1
6 5
) 1 ( 5 5
1
n
6 5
1
n
n = VP đpcm
Ví dụ 2: Tìm x biết:
a) x -
55 53
20
17 15
20 15 13
20 13
11
11 3
x =
55 53
20
17 15
20 15
13
20 13
11
20 11
3
55 53
2
17 15
2 15 13
2 13 11
2 10 11 3
55
1 53
1
13
1 13
1 11
1 10 11 3
55
1 11
1 10 11
3
=
11
8 11
3 =1
b)
) 1 (
2
36
1 28
1 21
1
x
x = 9
2
9
2 ) 1 (
2
72
2 56
2 42
x x
2
9
2 1
1 1
9
1 8
1 8
1 7
1 7
1 6
x x
2
9
2 1
1 6
x
18
1 9
1 6
1 1
1
x + 1 = 18
x = 17
2.3 3.4 4.5 49.50
x
Trang 6
1 1
2 50
x
Các bài toán tương tự:
a)
5.88.11 x x 3 1540
b)
3 6 x x 1 : 2 1993
c) 1 1 1 1 1 1 2
2013x 2 6 12 2012.2013
d) 2 7 13 21 31 43 57 73 91 10
6 12 20 30 42 56 72 90
x
IV Dạng 4: So sánh
Ví dụ 1: CMR:
a) A =
20 19 18
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3 2 1
1
4 1
Ta có:
20 19 18
2
5 4 3
2 4 3 2
2 3 2 1
2 2
1
20 19
1 19 18
1
4 3
1 3 2
1 3 2
1 2 1
1
2
1
=
380
189 2
1 20 19
1 2 1
1
2
760 189
Mà
4
1 756
189
760
189 A <
4 1
b) B =
29 27 25
36
9 7 5
36 7 5 3
36 5 3 1
36 < 3
Ta có:
29 27 25
4
9 7 5
4 7 5 3
4 5 3 1 4
29 27
1 27 25
1
9 7
1 7 5
1 7 5
1 5 3
1 5 3
1 3 1
1
= 9
87
260 783
260 9 783
1 3
87
261
87
260 B < 3
Ví dụ 2: CMR:
4
1 3
1 2
1
2 2
2
Ta có: M =
n n.
1
4 4
1 3 3
1 2 2
1 <
n
n 1)
(
1
4 3
1 3 2
1 2 1
1
Trang 7 M <
n n
n
1 1
1 1
1
4
1 3
1 3
1 2
1 2
1
Mà 1 1 1
n M < 1
) 2 (
1
8
1 6
1 4
1
2 2
2
n
(n ; n2)
2 2
2 2 2
1
4
1 3
1 2
1 2
1
n
Mà
2 2
2 2
1
4
1 3
1 2
1
n
< 1 (theo câu a)
N <
2
2
1
.1 =
4 1
!
! 2
! 5
! 2
! 4
! 2
!
3
!
2
!
1
! 5
1
! 4
1
! 3
1
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3 2 1
1
P < 2. (n11).n
5 4
1 4 3
1 3 2 1
P < 2 1 1 2 1
2
1
n n
Các bài toán tương tự:
a) Cho A = 2015 2016
20162017 và B = 2015 2016
2016 2017
Hãy so sánh A và B (không dùng
máy tính)
b) Chứng tỏ rằng : A 12 12 12 1 1
c) Không dùng máy tính, hãy so sánh hai phân số sau: 31
61 và 311
611 d) Cho S = + + + +
Chứng minh rằng : 1 < S < 2
V Dạng 5: Chứng minh
Ví dụ 1: Cho 1 1 1 1 1
A Hãy chứng minh rằng tổng A không là một số tự nhiên
Ta nhận thấy:
Để quy đồng các phân số trong tổng A, ta chọn mẫu chung là tích của 6
2 với các thừa
số lẻ nhỏ hơn 100 Gọi k k1, 2, ,k100 là các thừa số phụ tương ứng Khi đó, tổng A có dạng:
6
2 3.5.7.9 99
Trang 8Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số 1
64 có mẫu chứa 6
2 nên trong các thừa số phụ k k1, 2, ,k100 chỉ có k64 là số lẻ (bằng 3.5.7.9…99), còn các thừa số phụ khác đều chẵn (vì chứa ít nhất một thừa số 2)
Phân số B có mẫu chia hết cho 2, tử không chia hết cho 2, do đó B (hay A) không thể là
số tự nhiên
Ví dụ 2: Tổng 1 1 1 1
505152 99bằng phân số a
b Chứng minh rằng a chia hết cho 149 Chú ý rằng: 149 = 50 + 99, ta cộng 50 phân số trên theo từng cặp, mỗi cặp gồm hai phân số đầu và cuối hoặc các phân số cách đều đầu và cuối Do đó:
50.99 51.98 74.75
a b
Chọn mẫu chung là 50.51…98.99, gọi các thừa số phụ làk k1, 2, ,k25 thì
149 , , , 50.51 98.99
a
b
Tử chia hết cho 149 (số nguyên tố), còn mẫu không chứa thừa số nguyên tố 149 nên khi rút gọn đến tối giản, a vẫn chia hết cho 149
Tổng quát:
Nếu phân số a
b bằng 1 1 1
1
mm n
trong đó m + n là số nguyên tố thì a chia hết cho
m + n
Các bài toán tương tự:
a) Chứng minh rằng số tự nhiên A chia hết cho 2009, với:
1.2.3 2007.2008 1
2 2007 2008
b) Chứng minh 1 1 1 1 1
E không phải là số nguyên
1.2 3.4 5.6 97.98 99.100
a F
b Chứng minh a 151