Chuyên đề dãy số

Dãy số

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THÀNH PH C N TH Ở Ụ Ạ Ố Ầ Ơ

Tr ườ ng THPT Chuyên Lý T Tr ng ự ọ

CHUYÊN ĐỀ

DÃY SỐ

Giáo viên h ướ ng d n: ẫ Huỳnh B u Tính, Tr n Di u Minh. ử ầ ệ

Bùi T n Phấ ương Nguy n Anh L cễ ộ

Tr n M Hoa Dầ ỹ ương Minh Quân Tiêu Ng c Di m Quỳnh Bùi Tu n Anhọ ễ ấ

Tr n Th Thanh Huy n T ng Trung Thànhầ ị ề ố

Lê Thanh Tú

L I NÓI Đ U Ờ Ầ

Trong chương trình toán h c THPT, các bài toán liên quan đ n dãy s là m t trong nh ngọ ế ố ộ ữ

v n đ quan tr ng trong ph n đ i s và gi i tích l p 11 Dãy s là d ng toán khá ph c t p, c nấ ề ọ ầ ạ ố ả ớ ố ạ ứ ạ ầ rèn luy n, h c t p thệ ọ ậ ường xuyên thì m i gi i nhanh và t t đớ ả ố ược Vì th , dãy s thế ố ường xu t hi nấ ệ trong các kỳ thi h c sinh gi i, thi Olympic toán đ đánh giá kh năng t duy c a h c sinh Do đóọ ỏ ể ả ư ủ ọ

đ có th h c t t môn dãy s , ta c n luy n t p gi i các bài toán liên quan dãy s đ ng th i tíchể ể ọ ố ố ầ ệ ậ ả ố ồ ờ

c c tìm ra nh ng phự ữ ương pháp hay đ gi i toán dãy s m t cách h p lý nh t ể ả ố ộ ợ ấ

chuyên đ này, t p th t 02 l p 11A1 đã t ng h p và biên so n m t s v n đ liên

quan đ n dãy s đ làm tài li u h c t p cho môn chuyên cũng nh đ nghiên c u v m t d ngế ố ể ệ ọ ậ ư ể ứ ề ộ ạ toán khá lí thú

Chuyên đ g m các ph n ề ồ ầ :

:

1 Đ nh nghĩa và các đ nh lý c b n v dãy s ị ị ơ ả ề ố

2 Các d ng dãy s đ c bi t.ạ ố ặ ệ

3 M t s phộ ố ương pháp xây d ng dãy s ự ố

4 Phương trình sai phân tuy n tính.ế

5 Dãy s và các v n đ liên quan đ n gi i h n.ố ấ ề ế ớ ạ

PH N 01: Đ NH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CH T C B N C A DÃY S Ầ Ị Ấ Ơ Ả Ủ Ố

I)Cac đinh nghia vê day sô: ́ ̣ ̃ ̀ ̃ ́

Day sô: la ham sô ̃ ́ ̀ ̀ ́ f S: →¡

S= {1; 2;3; ;n đ i v i dãy h u h n.} ố ớ ữ ạ

S= ¥ đ i v i dãy vô h n b t đ u là ch s 0.ố ớ ạ ắ ầ ỉ ố

S= *¥ đ i v i dãy vô h n b t đ u là ch s 1.ố ớ ạ ắ ầ ỉ ố

V i dãy ớ f: S→¡

na f n( ).

Ky hiêu: ́ ̣ ( ) { }u n ; u ; v i n ớ u n = f(n).

Trong đó:

+u hay 0 u đ1 ược goi la sô hang đâu.̣ ̀ ́ ̣ ̀

+u đ n ược goi la sô hang tông quat.̣ ̀ ́ ̣ ̉ ́

+n được goi la chi sô cua cac sô hang.̣ ̀ ̉ ́ ̉ ́ ́ ̣

Day sô co thê đ ̃ ́ ́ ̉ ượ c cho theo cac cach sau đây: ́ ́

1)Cho day sô b i công th c cua sô hang tông quat:̃ ́ ở ứ ̉ ́ ̣ ̉ ́

VD: Cho day sô ̃ ́ ( )u v i n ớ 10

n

n u n

+

=

− .

2)Cho day sô b i hê th c truy hôi:̃ ́ ở ̣ ứ ̀

n n

u

=



 = + ≥

3)Cho day sô b i ph̃ ́ ở ương phap liêt kê cac phân t ́ ̣ ́ ̀ ử

VD: dãy 0;1;2;3;4;5;……

II)Tinh chât: ́ ́

1)Day sô tăng, day sô giam: ̃ ́ ̃ ́ ̉

Day sô (̃ ́ u ) đ n ược goi la day sô tăng nêu v i moi n ta co: ̣ ̀ ̃ ́ ́ ớ ̣ ́ u n <u n+1

Day sô (̃ ́ u ) đ n ược goi la day sô giam nêu v i moi n ta co: ̣ ̀ ̃ ́ ̉ ́ ớ ̣ ́ u n >u n+1

Day sô tăng hay day sô giam đ̃ ́ ̃ ́ ̉ ược coi la day đ n điêu.̀ ̃ ơ ̣

VD: Xét tính đ n đi u c a dãy s sau: ơ ệ ủ ố u n= n + (1

2)

n v i ớ ∀ ∈n ¢ +

Gi i: ả ∀ ∈n ¢ + Ta có: u n+1 - u n= (1- 1

2n ) + 11

2n+ > 0 ⇒ (u n) là dãy tăng

Day sô (̃ ́ u ) đ n ược goi la day sô bi chăn trên nêu tôn tai sô ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ́ ̀ ̣ ́ M sao cho:∀ ∈n ¥*,u n ≤M

Sô ́ M nho nhât đ̉ ́ ược goi la cân trên đung cua (̣ ̀ ̣ ́ ̉ u ).Ky hiêu n ́ ̣ supu n

Day sô (̃ ́ u ) đ n ược goi la day sô bi chăn ḍ ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ưới nêu tôn tai sô ́ ̀ ̣ ́ m sao cho:∀ ∈n ¥*,u n ≥m

Sô ́ m l n nhât đớ ́ ược goi la cân ḍ ̀ ̣ ưới đung cua (́ ̉ u ).Ky hiêu n ́ ̣ infu n

Day sô (̃ ́ u ) đ n ược goi la day sô bi chăn nêu no v a bi chăn trên, v a bi chăn ḍ ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ́ ́ ừ ̣ ̣ ừ ̣ ̣ ướ ứi, t c la tôǹ ̀ tai sô ̣ ́ m va sô ̀ ́ M sao cho∀ ∈n ¥* m u≤ n ≤M

VD: Xét tính b ch n c a dãy s sau: ị ặ ủ ố u n= (-1)n + cos n, n∀ ∈¢ +

Gi i: ả u n= (-1)n + cos n, ∀ ∈n ¢ +;

Ta có: -1≤ cos n ≤ 1 ⇒ -2≤ (-1)n + cos n ≤ 2

V y (uậ n) b ch n.ị ặ

Chu y: ́ ́

Moi day sô (̣ ̃ ́ u ) giam luôn bi chăn trên b i n ̉ ̣ ̣ ở u1

Moi day sô (̣ ̃ ́ u ) tăng luôn bi chăn d n ̣ ̣ ướ ởi b i u 1

3) Dãy con và dãy tu n hoàn: ầ

Dãy con:

Cho dãy (u n ) n∀ ∈¢ +

L p dãy (Vậ n ) v i các s h ng: V k ớ ố ạ n1

, Vn2 ,… , Vn k

,…….

Trong đó dãy (nk) là các s t nhiên tăng vô h n.ố ự ạ

Dãy (Vn k

) được g i là dãy con c a (uọ ủ n)

Nh n xét: ậ (u n) là dãy con c a chính nó v i nủ ớ k=k

VD: Cho dãy (un) xác đ nh b i:ị ở

1

1

n n n

u

≤ <



 = −

 v i ớ ∀ ∈n ¢

+

CMR: dãy (u 2n+1) là dãy gi m và dãy (ả u 2n) là dãy tăng

Gi i: Áp d ng phả ụ ương pháp quy n p ta d dàng suy ra đpcm.ạ ễ

Dãy tu n hoàn: ầ

Dãy tu n hoàn c ng tính: ầ ộ

Dãy (u n) được g i là tu n hoàn c ng tính khi và ch khi ọ ầ ộ ỉ ∃ ∈l ¢ + sao cho u n+l = u n ∀ ∈n ¢ +

S ố l min được g i là chu kì c s c a dãy (ọ ơ ở ủ u n)

Đ c bi t: (ặ ệ u n) tu n hoàn c ng tính, chu kì ầ ộ l=1 là dãy h ng.ằ

VD: Dãy s (ố u n) xác đ nh b i uị ở 0= 1, u1= 0, un+1= un + un-1 v i n = 1,2,3,…… tu n hoàn v i chu kì 6:ớ ầ ớ 1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,1,……

Dãy tu n hoàn nhân tính: ầ

Dãy (u n) được g i là tu n hoàn nhân tính khi và ch khi ọ ầ ỉ ∃ ∈l ¢ +, l>1 sao cho u n.l = u n ∃ ∈n ¢ +

S ố l min được g i là chu kì c s c a dãy (ọ ơ ở ủ u n)

Bài t p: ậ

1) Cho dãy (u n) v i ớ u n= ( 2)2 ,

n n

n n

+ ∈ + ¥ và dãy (x n) xác đ nh b i ị ở x n = u 1 u 2 u 3 …u n

a) CMR dãy (u n ) tăng, (x n) gi m.ả

n n

+ + .

2) Dãy (u n) xác đ nh b i:ị ở

1 2 3

1 3

1

n n n

= = =



 = +

 , ∀ ≥n 4.

CMR: dãy (u n) tăng ∀ ≥n 3

3) Xét tính b ch n c a dãy ị ặ ủ u n:

u n= (1+ 1

n)

n n∀ ∈¢ +

4) Dãy (u n) xác đ nh b i:ị ở

1

1

4

n

n n

u

< <





 − > ∀ ∈

5) Dãy (u n) xác đ nh b i:ị ở

1

1

1

2

1

n n

n

u

u u

u

+

=



 +

 =

 +



v i ớ ∀ ≥n 1

CM: dãy (u 2n+1 ) tăng và dãy (u 2n) gi m.ả

6) Cho k∈¤ ¢\ CMR dãy (u n) xác đ nh b i:ị ở

0

1

1 1

1

1

*

n n n

u

u

=



 = −



 = − ∀ ∈

Không là dãy tu n hoàn ầ

PH N 02: M T S D NG DÃY S Đ C BI T Ầ Ộ Ố Ạ Ố Ặ Ệ

C p s c ng: ấ ố ộ

Đ nh nghĩa: ị

Dãy được g i là c p s c ng khi và ch khi k t s h ng th 2 tr đi m i s h ng b ngọ ấ ố ộ ỉ ể ừ ố ạ ứ ở ỗ ố ạ ằ

s h ng đ ng trố ạ ứ ước nó c ng v i s không đ i S không đ i độ ớ ố ổ ố ổ ược g i là công sai.ọ

Ký hi u: ệ

Có

: s h ng đ u tiênố ạ ầ

: s h ng th n (t ng quát)ố ạ ứ ổ

: công sai

­

­ Dãy xác đ nh b i:ị ở

( là các s th c) ố ự

là 1 c p s c ng.ấ ố ộ

Tính ch t: ấ

1 Công th c s h ng t ng quát:ứ ố ạ ổ

Ch ng minh: ứ

…

Suy ra:

thì

2 (Thường dùng ch ng minh CSC):ứ

3. T ng c a n s h ng đ u tiên:ổ ủ ố ạ ầ

là c p s c ng đ t:ấ ố ộ ặ

Hay

Ch ng minh:ứ

Có

Nh n xét:ậ

Ví d :ụ

Gi i:ả

theo th t l p thành m t c p s c ng khi và ch khiứ ự ậ ộ ấ ố ộ ỉ

T c là khi và ch khi ứ ỉ theo th t l p thành m t c p s c ng.ứ ự ậ ộ ấ ố ộ

C p s nhân: ấ ố

Đ nh nghĩa: ị

Dãy được g i là c p s nhân khi và ch khi k t s h ng th 2 tr đi m i s h ng b ngọ ấ ố ỉ ể ừ ố ạ ứ ở ỗ ố ạ ắ

s h ng đ ng trố ạ ứ ước nó nhân v i s không đ i S không đ i đớ ố ổ ố ổ ược g i là công b i.ọ ộ

Ký hi u: ệ

Có

: s h ng đ u tiênố ạ ầ

: s h ng th n (t ng quát)ố ạ ứ ổ

: công b iộ

Nh n xét: ậ

­

( là các s th c khác không) ố ự

là 1 c p s nhân.ấ ố

Tính ch t: ấ

1. Công th c s h ng t ng quát:ứ ố ạ ổ

Ch ng minh: ứ

…

Suy ra:

thì 2

3 T ng c a n s h ng đ u tiên:ổ ủ ố ạ ầ

là c p s nhân đ t:ấ ố ặ

Ch ng minh:ứ

Có

T ng các s h ng c a CSN lùi vô h n:ổ ố ạ ủ ạ

1 CSN được g i là lùi vô h n khi và ch khi công b i ọ ạ ỉ ộ th a ỏ

Dãy là CSN lùi vô h n v i công b i ạ ớ ộ

Có

Ví d :ụ

Gi i: ả

2. Cho dãy s ố xác đ nh b i ị ở và v i m i ớ ọ Ch ng minhứ

r ng dãy s ằ ố xác đ nh b i ị ở v i m i ớ ọ là m t c p s nhân Hãy cho bi tộ ấ ố ế

s h ng đ u và công b i c a c p s nhân đó.ố ạ ầ ộ ủ ấ ố

Gi i: ả

T công th c xác đ nh dãy s ừ ứ ị ố và , ta có:

v i m i ớ ọ

T đó suy ra dãy s ừ ố là m t c p s nhân v i s h ng đ uộ ấ ố ớ ố ạ ầ

3. Các s ố theo th t đó l p thành m t c p s c ng; đ ng th iứ ự ậ ộ ấ ố ộ ồ ờ các số theo th t đó l p thành m t c p s nhân Tìm ứ ự ậ ộ ấ ố và

Gi i: ả

V i ớ theo th t đó l p thành m t c p s c ng, ta có:ứ ự ậ ộ ấ ố ộ

hay

Ta l i có: ạ

)

4. Tìm 3 s t o thành c p s c ng có t ng b ng 6, bi t r ng n u hoán đ i v trí s h ng thố ạ ấ ố ộ ổ ằ ế ằ ế ổ ị ố ạ ứ

nh t và s h ng th hai đ ng th i gi nguyên s h ng th ba ta đấ ố ạ ứ ồ ờ ữ ố ạ ứ ượ ấ ốc c p s nhân

Gi i: ả

G i 3 sọ ố c n tìm theo thầ ứ tự là :

Ta có: (thay vào dưới) và

Ta có 2 dãy số thoả mãn: +v iớ ta có dãy là dãy h ng: 2 , 2 , 2ằ +v i ớ ta có dãy -4 , 2, 8

Bài t p:ậ

1. Ch ng minh các m nh đ sau đúng v iứ ệ ề ớ :

3 Cho l p thành c p s nhân Cmr:ậ ấ ố

4 Tìm đ dài ộ các c nh tam giác ABC vuông t i A theo th t l p thành c p s nhân.ạ ạ ứ ự ậ ấ ố Tìm công b i c a c p s đó.ộ ủ ấ ố

5 Cmr đi u ki n c n và đ đ 3 s ề ệ ầ ủ ể ố t o thành c p s c ng là 3 s ạ ấ ố ộ ố

l p thành c p s nhân.ậ ấ ố

M t s dãy s đ c bi t: ộ ố ố ặ ệ

1.1 Đ nh nghĩa: Dãy ị xác đ nh b i:ị ở

được g i là dãy Fibonacciọ

Dãy Fibonacci vi t d ng li t kê:ế ạ ệ

1.2 Các đ nh lý:ị

Khi đó:

Đ nh lý 2: (Công th c Binet)ị ứ

S h ng t ng quát c a dãy là:ố ạ ổ ủ

H qu :ệ ả

b

Đ nh nghĩa: Dãy Farey b c n là dãy s g m các phân s t i gi n n m gi a 0 và 1 có m u sị ậ ố ồ ố ố ả ằ ữ ẫ ố không l n h n n và s p theo th t tăng d n.ớ ơ ắ ứ ự ầ

Ví d :ụ

b c 1ậ

b c 2ậ

b c 3ậ

b c 4ậ Tính ch t:ấ

a. N u ế và là các s k nhau trong dãy Farey v i ố ề ớ thì

nhau trong dãy Farey b c Maxậ

mediant c a ủ và )

3 Dãy Lucas:

Đ nh nghĩa: Dãy ị xác đ nh b i:ị ở

Dãy Lucas vi t d ng li t kê:ế ạ ệ

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,

Tính ch t: ấ

a.

V i ớ là t l vàng (ỉ ệ

b Tính chia h t gi a các s Lucas ế ữ ố

chia h t choế n u m là s l ế ố ẻ

c M i liên h v i các s Fibonacci: ố ệ ớ ố

1 S Lucas liên h v i s Fibonacci b i cácố ệ ớ ố ở h ng đ ng th cằ ẳ ứ sau:

Ho c t ng quát h n là công th c sau:ặ ổ ơ ứ

v i m i ớ ọ

2

3

4

d Khi ch s là s nguyên t ỉ ố ố ố

Ln đ ng d v i 1 mod n n u n làồ ư ớ ế s nguyên tố ố

e S nguyên t Lucas ố ố

S nguyên t Lucasố ố là s Lucas, và đ ng th i là m tố ồ ờ ộ nguyên tố Các s nguyên t Lucas nhố ố ỏ

nh t đấ ược bi t là:ế

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349,

4 C p s nhân c ng: ấ ố ộ

là các h ng s )ằ ố

Đ c bi t:ặ ệ

dãy là CSC công sai là

Dãy s th c: ố ự

Đ nh nghĩa: ị

Theo quan đi m c a lý thuy t t p h p dãy s là m t ánh xể ủ ế ậ ợ ố ộ ạ , trong đó là t p h p sậ ợ ố

t nhiên, ho c t p con c a t p s t nhiên nh h n / l n h n m t s t nhiênự ặ ậ ủ ậ ố ự ỏ ơ ớ ơ ộ ố ự m nào đó Khi đó

N u ế là h u h n ta có dãy h u h n:ữ ạ ữ ạ

Ngượ ạc l i nó được xem là vô h n:ạ

Đôi khi, dãy h u h n cũng có th đữ ạ ể ược xem là vô h n v i các ph n t t thạ ớ ầ ử ừ ứ m tr đi là b ngở ằ nhau

Khi b t đ u t ph n tắ ầ ừ ầ ử dãy thường được ký hi u: ệ

v iớ là ph n t thầ ử ứ

Người ta thường xét h n các dãy b t đ u t ph n tơ ắ ầ ừ ầ ử a1

v iớ là ph n t thầ ử ứ

Ý nghĩa th c t : ự ế

Trong nhi u bài toán, dãy s có th đề ố ể ượ ạc t o d ng qua quá trình thu th p d li u Các d li uự ậ ữ ệ ữ ệ thu th p có th g m nhi u s tậ ể ồ ề ố ừ T p h pậ ợ các s nàyố có th t ứ ự, nghĩa là có số

đ u tiên (ầ ), s th 2 (ố ứ ) và các s ti p theo.ố ế

Biên c a dãy: ủ

Cho dãy T p h p các giá tr c a dãy:ậ ợ ị ủ

Biên này không có th t Ví d , cho dãyứ ự ụ , có biên là {-1,1} Nó có 2 ph n t thay đ iầ ử ổ

là 1 và -1

Dãy s th c đ n đi u: ố ự ơ ệ

Đ nh nghĩa ị

Cho dãy s th cố ự v iớ x n là các s th cố ự Nó là

N u dãy có đế ược m t trong hai tính ch t này, ta g i dãy đó làộ ấ ọ dãy đ n đi u ơ ệ

Ví d : v i dãy ụ ớ

Tính đ n đi u và d u c a đ o hàm: ơ ệ ấ ủ ạ

M t cách đ xác đ nh m t dãy có đ n đi u hay không là d a vào đ o hàm c aộ ể ị ộ ơ ệ ự ạ ủ hàm số tươ ng ng

ứ

v iớ

L yấ đ o hàmạ c a nó, ta thu đủ ược:

gi m.ả

Dãy s th c b ch n: ố ự ị ặ

Dãy bị ch n trênặ khi và ch khiỉ t n t iồ ạ đóở , Số được g i làọ giá

tr ch n trên ị ặ

được g i làọ giá tr ch n d ị ặ ướ i

N u m t dãy có c 2 tính ch t trên thì dãy đó đế ộ ả ấ ược g i làọ dãy b ch n ị ặ

Ví d : dãyụ b ch n dị ặ ướ ởi b i 0 vì nó luôn có giá tr dị ương

Gi i h n c a m t dãy s th c: ớ ạ ủ ộ ố ự

Khái ni m gi i h n c a dãy s b t ngu n t vi c kh o sát m t s dãy s th c, có th ti nệ ớ ạ ủ ố ắ ồ ừ ệ ả ộ ố ố ự ể ế "r t ấ

g n" ầ m t s nào đó Ch ng h n, xét dãy s th c:ộ ố ẳ ạ ố ự

Hay

Khi cho n tăng lên vô h n thì phân sạ ố tr nên nh tuỳ ý, do đó s h ng th ở ỏ ố ạ ứ c a dãyủ có

th ti n g n đ n 1 v i kho ng cách nh tuỳ ý Ngể ế ầ ế ớ ả ỏ ười ta di n đ t đi u đó b ng đ nh nghĩa sau:ễ ạ ề ằ ị

Đinh nghĩa

Cho dãy s th c ố ự và m t s th cộ ố ự Khi đó n u:ế

thì được g i làọ gi i h n c a dãy ớ ạ ủ Khi đó ta cũng nói dãy h i t ộ ụ

Gi i h n c a dãy thớ ạ ủ ường được kí hi u:ệ

Ho cặ

Các đ nh lý c b n ị ơ ả

1. N u dãyế có gi i h n h u h n thì nó b ch n.ớ ạ ữ ạ ị ặ

2 Dãy h i t ch có m t gi i h n.ộ ụ ỉ ộ ớ ạ

3.

4

5. Dãy đ n đi uơ ệ tăng (gi m) h i t khi và ch khi nó b ch n trên (dả ộ ụ ỉ ị ặ ưới)

Tính ch t: ấ

N u các dãy ế và h i t vàộ ụ

thì

và (n uế L2 và khác 0)

M t s gi i h n c b n: ộ ố ớ ạ ơ ả

Vô cùng bé, vô cùng l n: ớ

N u m t dãy s có gi i h n là 0 thì nó đế ộ ố ớ ạ ược g i là m t vô cùng bé N uọ ộ ế :

thì dãy được g i là vô cùng l n Khi đó taọ ớ cũng vi t:ế

Dãy tu n hoàn: ầ

1 Dãy tu n hoàn c ng tính:ầ ộ

Dãy được g i là dãy tu n hoàn c ng tính khi và ch khi ọ ầ ộ ỉ sao cho

S ố nh nh t đỏ ấ ược g i là chu kì c s c a dãy ọ ơ ở ủ

Đ c bi t: ặ ệ tu n hoàn c ng tính, chu kì ầ ộ là dãy h ng.ằ

S ố nh nh t đỏ ấ ược g i là chu kì c s c a dãy ọ ơ ở ủ

nó b ch nị ặ

Ví d : Cm dãy ụ tu n hoàn c ng tính chu kì 2 khi và ch khi có d ng:ầ ộ ỉ ạ

Gi i:ả

Xét dãy xác đ nh b i:ị ở

B ng quy n p ta cm ằ ạ có:

Ngượ ạc l i, v i dãy ớ có:

s là dãy c ng tính, chu kì 2.ẽ ộ

PH N 03: M T S PH Ầ Ộ Ố ƯƠ NG PHÁP XÂY D NG DÃY S Ự Ố

Xây d ng dãy h i t b ng ph ự ộ ụ ằ ươ ng trình

Có th xây d ng dãy s h i t v m t s ể ự ố ộ ụ ề ộ ố xu t phát t m t phấ ừ ộ ương trình có nghi m là ệ theo cách sau:

Ví d 1 ụ : Xét = , là nghi m c a phệ ủ ương trình 2=2 Ta vi t l i dế ạ ướ ại d ng

và ta thi t l p dãy s th a mãn ế ậ ố ỏ N u dãy này h i t thì gi i h n s là ế ộ ụ ớ ạ ẽ

Tương t nh v y, ta có th xây d ng đự ư ậ ể ự ược dáy s ti n v căn b c ố ế ề ậ c a ủ nh sau:ư

Cũng v i gi i h n c n đ n là ớ ớ ạ ầ ế , ta có th xây d ng dãy khác theo “phong cách” nh v y:ể ự ư ậ