CHUYÊN đề dãy số

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ, GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐI.. Cấp số cộng: a Định nghĩa: Dãy được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nó cộng với

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ, GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I GIỚI THIỆU MỘT SỐ DÃY ĐẶC BIỆT.

1 Cấp số cộng:

a) Định nghĩa:

Dãy được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nó cộng với số không đổi Số không đổi được gọi là công sai

Ký hiệu

1, , ,2 n

÷

Có

: số hạng đầu tiên

: số hạng thứ n (tổng quát)

: công sai

b) Nhận xét:

Dãy xác định bởi:

(là các số thực)

là 1 cấp số cộng

c) Tính chất:

1.Công thức số hạng tổng quát:

là CSC có

Nhận xét: mà:

thì

2 (Thường dùng chứng minh CSC):

3 Tổng của n số hạng đầu tiên:

là cấp số cộng đặt:

Có

Hay

2 Cấp số nhân.

a) Định nghĩa:

Dãy được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bắng số hạng đứng trước nó nhân với số không đổi Số không đổi được gọi là công bội

Ký hiệu:

Có

: số hạng đầu tiên

: số hạng thứ n (tổng quát)

: công bội

b) Nhận xét:

3 2

n n

u

q

Dãy xác định bởi:

(là các số thực khác không)

là 1 cấp số nhân

c) Tính chất:

1.Công thức số hạng tổng quát:

là CSN có

Nhận xét: mà:

thì

2

3. Tổng của n số hạng đầu tiên:

là cấp số nhân đặt:

Có

II BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ.

DẠNG 1: DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP

Ví dụ 1: Cho dãy số

( )u n

xác định bởi :

1 1

11

10 1 9 ,

u

=





Xác định số hạng tổng quát của dãy đã cho

Hướng dẫn giải

Ta có:

1

2

3

11 10 1

10.11 1 9 102 100 2

10.102 1 9.2 1003 1000 3

u

u

u

= = +

Dự đoán:

( )

10n 1

n

Chứng minh theo quy nạp ta có

1

1 11 10 1

, công thức

( )1 đúng với n=1

Giả sử công thức

( )1 đúng với n k=

ta có

10k

k

Ta có:

1 10 10k 1 9 10k 1

k

Công thức

( )1

đúng với n k= +1

Vậy

10n

n

, ∀ ∈n N.

.

Ví dụ 2 Cho dãy số

( )u n

xác định bởi:

1 1

7

( , 1)

15 14 1

u

n N n

=



Tìm

n

u

Giải:

Giải Ta có f(n) = - 14n + 1 là đa thức bậc nhất, λ

= 15 ≠

1 nên ta chọn u*n = an+b Thay vào phương trình đã cho ta được: a(n+1) + b= 15 (an+b) – 14n +1

Suy ra a=1, b=0 Vậy u*n = n còn

n

u = q λ

( với q là hằng số) và nghiệm tổng quát là: 15

n

n

q

, mà

1 7

nên q = 7

Vậy : un = 7.15 n + n

Ví dụ 3: Tìm công thức tổng quát của dãy số

( )u n

xác định bởi:

1 1

99

( 1)

2 1

n n

u

n

=



Giải: f(n)= - 2n - 1 là đa thức bậc nhất, λ

= 1 nên ta chọn u*n = n(an + b) Thay vào ta được:

(n + 1)[a(n + 1) + b] = n (an + b) – 2n – 1 ⇒

a = -1 ; b = 0 ⇒

u*n = - n2;

0

n

2

n

u = −q n

, mà 1

99

q = 99 Vậy un = 99 – n2

DẠNG 2: SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Ví dụ 1: Cho dãy số

( )u n

biết

1

1

2

n n

u

= −





Xác định số hạng tổng quát của dãy

Hướng dẫn giải

Đặt

1 1

n n

v = − ⇒ = − =u v u −

1

(1)⇒ =v n 3v n−,∀ ≥n 2

Dãy

( ) là v n

cấp số nhân với công bội là

3

q=

Nên

1

5

2

n

v =v q − =− −

Do đó

1

3 , 1, 2,

n

n n

u = + =v − − + ∀ =n

Ví dụ 2: Cho dãy số

( )u n

xác định bởi:

1 1;

*

n n

n

u

u

Tìm công thức số hạng

tổng quát

n

u

theo n.

Hướng dẫn giải

Ta có

*

n

u > ∀ ∈n ¥

Khi đó

1

1

n n

u u

+

+

+

Với mọi

*,

n∈¥

đặt

1

1

1;

n n

u

n n

v + = +v ∀ ∈n ¥*

Suy ra, dãy số

( )v n

là cấp số cộng có

1 1

và công sai d =2.

Do đó,

n

v = + −v n d = n− ∀ ∈n ¥*

Vậy

2 1

n

n

u

−

Ví dụ 3: Cho dãy số

( )u n

xác định bởi:

1 1;

u + = u + ∀ ∈n ¥

Tìm công thức số hạng

tổng quát

n

u

theo n

Hướng dẫn giải

Với mọi

*

n∈¥

, ta có

1

1 2 3n 1 3n 2( 3 )n

Xét dãy số

( ),v n

với

*

3 ,n

n n

v = −u ∀ ∈n ¥

Ta có: 1

2

Do đó, dãy số

( )v n

là một cấp số nhân có công bội

2

q=

và số hạng đầu bằng −2.

Suy ra

1

1 n 2 n

n

v =v q − = −

Vậy

3n 3n 2 n

n n

u = + = −v

DẠNG 3: SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 1: Cho dãy số(un) xác định như sau:

1

1

2

2 1

1 ( 2 1)

n n

n

u

u

u

+

 =



a) Chứng minh:

8

π = −

b) Tính:

2015

u

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

2

2 tan 8

1 tan tan

8

π

π

tan 2 1

8

8

π

π



⇔ 

π

(Vì

tan 8 π dương)

b) Đặt

1 2 tan

, ta có:

2

tan tan

8 tan( )

8

1 tan tan

8

a

a

π

π π

+

−

,

3

tan( ) tan

8 8 tan( 2 )

8

1 tan tan( )

a

a

π

+ +

Ta chứng minh:

tan( ( 1) ), 1,

8

n

(*)

Với n=1

: 1

tan

đúng

Giả sử (*) đúng với n k=

, k≥1 , hay ta có:

tan( ( 1) )

8

k

Ta có:

1

tan( ( 1) ) tan

tan( )

8

1 ( 2 1) 1 tan( ( 1) ).tan

k k

k

u

π

+

Vậy (*) đúng với n k= +1

Vậy

tan( ( 1) ), 1,

8

n

Cho n=2015

, ta có:

2015

tan( 2014 ) tan( 251 ) tan( )

2 1 tan( )

+ ( 2 1)2 tan2 8

π

Ví dụ 2: Cho dãy số xác định như sau:

1

* 1

2

n n

n

u

u

u

+

=





+ −



¥

Tính

2014

u

Hướng dẫn giải

Ta có:

tan tan 3 1

12 3 4 1 tan tan 1 3

3 4

+

Nên từ giả thiết ta có:

1

tan 12

1 tan

12

n n

n

u u

u

π π

+

+

=

−

Đặt

1

2 tan= α ⇒ =u tanα

, suy ra

2

tan tan

12 tan

12

1 tan tan

12

u

π

α π

α

−

Theo quy nạp ta dễ dàng suy ra:

12

n

u = α+ −n π  ∀ ∈n

Suy ra:

2014 tan 2013 tan 168

tan tan 1

4 tan

4 1 tan tan 3

4

π α

π

α

−

Ví dụ 3: Cho dãy số

( )u n

xác định bởi:

1

2 1

1

( 1) 2

2 1

u

n

 =





Tìm n

u

Giải: Ta có

2

u = =cosπ u = cos π − =cos π

;

Dự đoán

1

2

3

n n

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp thấy đúng

BÀI TẬP:

Bài 1 : Cho các dãy số

( )u n

xác định bởi Tìm số hạng tổng quát của dãy đó

a)

1

1

1

3 6 1

u

=





; b)

1

2 1

1 2

n n

u

=





;

c)

0

1

1

5 3n

u

=





; d)

0 1

1

u

=





;

Bài 2 : Cho các dãy số

( )u n

xác định bởi Tìm số hạng tổng quát của dãy đó

a)

b)

u + − u + +u =

c)

3

d)

2

u + −u + + u =n

Bài 3 Cho dãy (xn) xác định như sau: Tìm x2016

Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số(

n

u

) cho bởi

a)

1

2

1

2

2

2 1

u



=







b)

1

2 1

2

u

=





; c)

1

3 1

3 2

4 3

u



=







BÀI TOÁN 2: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

- Sử dụng cách xác định công thức tổng quát để tìm giới hạn của dãy.

7, 50

4 5 1975





- Một số bài toán khác về giới hạn của dãy số:

Ví dụ 1: Cho dãy số ( )u n

được xác định như sau:

2

1 2017; n 1 n 1 n

với mọi

*, 2

n∈¥ n≥ Tìm giới hạn dãy số ( )u n

Lời giải:

Từ công thức truy hồi của dãy ta được

2

= − ÷ = − ÷ − ÷÷ = = − ÷ − ÷÷  − ÷

Do đó

.2017 2017

1

n

u

−

Từ đó

2017 lim

2

n

u =

Ví dụ 2: Cho dãy số

( )u n

xác định như sau:

1

2017 1

1

n

n n

u u

u

+

=





Tính

2017

2017 2017

n

u

Lời giải:

Ta có:

1

1

n

n

u

u

+

2017

u

Suy ra:

2017

2017 2017

u

Ta chứng minh cho

1

n

u

u

Vậy:

2017

2017 2017

n

u

Ví dụ 3: Cho dãy số n

u

được xác định như sau:

1 2 1

1

; 1

2 1 2

u

n N n n

=





Tìm

limu n

Lời giải: Ta thấy dãy số

( )u n

luôn dương nên từ giả thiết ta có:

Đặt:

2

1

2 3

2

n n n

n

v =u + +− ∀ ≥n

thì:

n n

v + = = = =v v

Suy ra:

u = v − +− = − +− ∀ ≥ ⇒n u =

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi :

1

* 1

1 2

,

1

n n

n

u

u

u

+

 =





+



Tính

2017(u 1)( 1) (u 1)

1009

n

u n

Lời giải:

Do 1

u > ⇒u > ∀ ∈n ¥

Ta có

1

1

1

n

u

+

+

n

Suy ra

2

2017 1

n

 + 

Vậy

2017 1 1 1 2017

lim

n

n

=

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1 Cho dãy số

( )u n

được xác định bởi:

1 2

1 3

u u

=



 =





, với

*

n∈¥ Tính

2 limu n

n

ĐA :

2

1 lim

2

n

u

2 Cho dãy số

( )u n

:

1

1

1

, 1, 2,3,

1

+

=







n n

n

u

u

u

Tính

( 1 1) ( 2 1 ) ( 1)

n

ĐA

( 1 1) ( 2 1 ) ( 1) 1

1

2020

u

=



