BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH hàm NHIỀU BIẾN

Tính hội tụ của một chuỗi không thay đổi khi ta thay đổi một số hữu hạn các xn là một chuỗi hội tụ và nkk là một dãy tăng thực sự các số nguyên tự nhiên... Tương tự với định nghĩa của ch

Bài giảng

GIẢI TÍCH HÀM

NHIỀU BIẾN

1

CHƯƠNG 7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 95

3 Một Số Phương Trình Cấp Cao Giải Được Bằng Cầu Phương 105

5 Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp Hai Với Hệ Số Hằng 114

2

CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT CHUỖI

1 Chuỗi số1.1 Các Khái Niệm Cơ Bản và Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Giả sử (xn)n là một dãy số Ta lập một dãy mới, ký hiệu (sn)n được xác địnhbởi

Khi ấy dãy số (sn)n này được gọi là một chuỗi số, và được ký hiệu là

∞

P

i=1

xi Ta gọi sn là tổngriêng thứ n của chuỗi, xn là số hạng tổng quát (thứ n) của chuỗi Ta gọi chuỗi số

∞

P

i=1

xi là hội

tụ nếu dãy tổng riêng (sn)n hội tụ Lúc ấy, đặt s = lim

n→∞sn và gọi s là tổng của chuỗi Ta viết

xi, ta vừa dùng để chỉ một chuỗi vừa chỉ tổng của

nó nếu chuỗi này hội tụ Một chuỗi không hội tụ thì gọi là chuỗi phân kỳ

Nhận xét 1.1 a) Ta có thể đánh số của chuỗi từ một số n ∈ Z nào đó chứ không nhất

x1 = s1

x2 = s2− s1

xn = sn− sn−1

.Khi ấy (sn)n trở thành chuỗi số, cấu tạo từ dãy (xn)n

3

1n(n + 1) =

1.3 Một số tính chất của chuỗi hội tụ

Chứng minh Theo giả thiết, tồn tại lim

n→∞sn = s Khi ấy dãy con (sn)n≥2 của dãy (sn)ncũng hội tụ về s nên lim



Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho dãy (sn)n, ta thấy điều này tương đương với mệnh đề của định

< ε

!

4

Định lí 1.3 Cho hai chuỗi hội tụ

Mệnh đề 1.5 Tính hội tụ của một chuỗi không thay đổi khi ta thay đổi một số hữu hạn các

xn là một chuỗi hội tụ và (nk)k là một dãy tăng thực sự các số nguyên

tự nhiên Khi ấy chuỗi

yk = xnk−1+1+ xnk−1+2+ · · · + xnk

5

Việc khảo sát sự hội tụ của một chuỗi số dương là khá thuận lợi vì có nhiều dấu hiệu để nhậnbiết sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số dương đó.

Định lí 1.7 Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương

Ví dụ 1.2 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

1.5 Một số dấu hiệu hội tụ

Định lí 1.8 (Dấu hiệu so sánh) Giả sử

* Chuỗi (1.2) hội tụ thì chuỗi (1.1) hội tụ

* Chuỗi (1.1) phân kỳ thì chuỗi (1.2) phân kỳ

Về mặt thực hành, chúng ta thường sử dụng dấu hiệu so sánh dưới dạng sau

Hệ quả 1.9 Giả sử lim

n→∞

xn

yn

= A, (0 ≤ A ≤ +∞)

* Nếu A ∈ [0, +∞) và chuỗi (1.2) hội tụ thì chuỗi (1.1) hội tụ

* Nếu 0 < A ≤ +∞ và chuỗi (1.2) phân kỳ thì chuỗi (1.1) phân kỳ

Chứng minh Giả sử 0 ≤ A < +∞ và chuỗi (1.2) hội tụ Theo giả thiết lim

n→∞

xn

yn = A nênvới ε = 1 > 0, tồn tại n0 để mọi n ≥ n0, ta có xn

yn < A + 1, từ đó xn < (A + 1)yn, ∀n ≥ n0.Vậy chuỗi (1.2) hội tụ thì chuỗi (1.1) hội tụ Nếu 0 < A < +∞ thì ta có

xn

yn

− A

n→∞

xn

yn = +∞ thì xn > k · yn với k > 0 và

Nhận xét 1.5 Nếu 0 < A < +∞ thì hai chuỗi (1.1) và (1.2) đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ

6

Ví dụ 1.3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

n2+ n + 1

·

x

n2+ n + 1x

xn ≥ 0 nên ` ≥ 0 Ta xét các trường hợp sau a) 0 ≤ ` < 1 Chọn

n

Ta có an =

2n4n − 3

2 < 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ.

Định lí 1.11 (Dấu hiệu Dalambert) Cho chuỗi số dương

∞

P

n=1

xn, xn > 0 ∀n ∈ N Giả sử tồntại lim

n + 1

n

1 + 1n

Định lí 1.12 (Tiêu chuẩn Raabe) Cho

Định lí 1.13 (Tiêu chuẩn Gauss) Cho

λ = 1 thì chuỗi đã cho hội tụ khi µ > 1 và phân kỳ khi µ ≤ 1

Định lí 1.14 (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho f là một hàm liên tục, dương và giảm trên[a, +∞), a ∈ N Đặt

- Nếu α ≤ 0, ta thấy lim

∞

P

n=1

1

nα hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1

Lưu ý khi α = 1, chuỗi

1.7 Chuỗi đan dấu

Định nghĩa 1.3 Ta gọi chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng

n→∞an = 0 Khi ấy chuỗi (1.5) hội tụ

Chứng minh Ta chứng minh dãy tổng riêng (sn)n của (1.5) hội tụ Để ý rằng một dãy(sn)n hội tụ khi và chỉ khi 2 dãy con (s2n)n và (s2n+1)n hội tụ về cùng một giới hạn Với mọi

k ≥ 2, ta có s2k− s2k−2= a2k−1− a2k ≥ 0 nghĩa là (s2n)n là dãy tăng Hơn nữa

s2k = a1− a2+ a3− a4+ · · · + a2k−1− a2k

= a1− (a2 − a3) − (a4− a5) − · · · − (a2k−2− a2k−1) − a2k

≤ a1.Vậy s2k bị chặn trên Do đó dãy (s2n)n hội tụ, nghĩa là chuỗi (1.5) hội tụ 

n Ta thấy các điều kiện của định lý Leibnitz thỏa mãn.

Ta thường gọi chuỗi này là chuỗi điều hòa đan dấu

1.8 Chuỗi hội tụ tuyệt đối

Định nghĩa 1.4 Ta gọi chuỗi số

Định lí 1.16 Mọi chuỗi số hội tụ tuyệt đối đều hội tụ

Chứng minh Ta sử dụng tiêu chuẩn Cauchy Với số ε > 0 cho trước, vì

Mệnh đề 1.17 Việc khảo sát sự hội tụ của chuỗi

=

xr

xr

·

xr

=