Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 5 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Chuỗi cung cấp cho người học các kiến thức: Chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, chuỗi đan dấu, chuỗi lũy thừa, chuỗi Taylor - Maclaurint. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trang 1

CHƯƠNG IV: CHUỖI

§1 CHUỖI SỐ

1.CHUỖI SỐ DƯƠNG

2.CHUỖI ĐAN DẤU

3.CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ

§2 CHUỖI LŨY THỪA

1.CHUỖI LŨY THỪA

2.CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT

Trang 2

§1 Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số

Định nghĩa: Cho dãy số {un} Ta gọi tổng tất cả các

số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN)

1 n

n

u là chuỗi số

Ta gọi: 1 un là số hạng tổng quát của chuỗi

2 Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : Sn=u1+u2+…+un

3 Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có)

n n

S lim S

Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ Ngược lại, tức là hoặc

không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta

nói chuỗi phân kỳ

Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng u lim S S

Trang 3

Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi:

Trang 4

Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi

Rõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ

1

n n

q

qn→0 khi n→∞ nên Tức là chuỗi hội tụ và có tổng là S Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳ Khi |q|>1:

Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân

0

n n

q

Vậy chuỗi cấp số nhân n

q hội tụ khi và chỉ khi |q|<1

Trang 5

Trang 6

Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của 2

Trang 7

Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

1

1ln(1 )

Trang 8

§1 Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ

Điều kiện cần của sự hội tụ :

n n

u u

Trang 9

§1 Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ

Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay

đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

Trang 10

Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên

chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {S n } bị chặn trên

§1 Chuỗi số - Chuỗi không âm

Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng

ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn :

1.Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy

Trang 11

Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy:

Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞)

Khi ấy, chuỗi

Trang 12

n n Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1

Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi

2

1(ln )

Trang 13

Mặt khác

(ln )(ln ) (ln )

khi 11

khi >1( 1)(ln 2)

Vậy chuỗi

2

1(ln )

n n n HT khi β>1 và PK khi β≤1

Trang 14

Trang 15

n n

q q là chuỗi hội tụ Suy ra chuỗi đã cho hội tụ

Trang 16

Trang 17

Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau

Trang 18

Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2

3 1

(hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK)

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

3 1

Trang 19

1

n

n n n

n

n hội tụ Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi

đã cho HT

Trang 20

Trang 21

16

Trang 22

2

3 2

1ln

1

n n

n n phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ

Trang 23

n

u D

u





1lim n lim n

Trang 24

Tiêu chuẩn Cauchy :

Trang 25

Tiêu chuẩn Rapb :

lim

n n

n

n n

n

n n

Trang 26

Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:

2 4 1

( 1)

1

ln 1

n n n n n

Trang 27

2 4 1

.(2 1)!

u u

Chuỗi PK theo tiêu chuẩn d’Alembert

Trang 28

1

n n

Trang 29

2 1

(2 1)!! 1

(2 1)

(2 2)!! 2 3(2 1)!! 1 (2 2).(2 3)(2 )!! 2 1

n n

Trang 30

6 5 (2 2)(2 3)

n n

 chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb

Trang 31

(Ta không dùng được tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert) Biến đổi alnn  elnnlna  nlna

Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa ln

Trang 32

§1 Chuỗi số - Chuỗi đan dấu

n n

Khi ấy, ta gọi chuỗi đó là chuỗi Leibnitz và tổng S

của chuỗi thỏa 0≤S≤u1

Trang 33

( 1)

2 /

1

n n

n

n n

n

n n

2/

1

n

n u

n đơn điệu giảm và dần về 0 Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz

Trang 34

1

( 1)( 1)

Trang 35

Vậy chuỗi đã cho là chuỗi PK vì là tổng của 1 chuỗi

n n

Chuỗi là chuỗi số dương phân kỳ

2

11

Trang 36

Trang 37

§1 Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ

Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối:

Trang 38

không suy ra chuỗi

mà biết được chuỗi

Trang 39

Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:

n n

n

Trang 40

2 1

1( 1)

n n

Rõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0 nên

chuỗi HT theo t/c Leibnitz

1 Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu với

n

1, khi n

Trang 41

n n

n

n u

e n

Vậy chuỗi u n PK theo t/c Cauchy nên

Trang 42

2

arcsin( 1)( 1)( 1)

n

2arcsin( 1)

1

khi n2

Trang 43

Trang 44

§2 Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) hoặc

un(x)=anxn (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm

lũy thừa theo x hoặc (x-x0)

tổng quát dạng (2)

Trang 45

§2 Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ

Miền HT của chuỗi lũy thừa

1

n n n

x

Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|<1

Suy ra MHT của chuỗi là (-1,1)

Trang 47

§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT

Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa

1

n n n

Trang 48

Định lý Abel :

Nếu chuỗi lũy thừa

1

n n n

a x HT tại x0 0 thì nó HTTĐ tại mọi điểm x ( | x0 |,| x0 |)

thì nó PK với mọi x thỏa |x|>|x1|

Bán kính hội tụ (BKHT):

1

n n n

a x HT với mọi x: |x|<R và

Số R>0 sao cho chuỗi

1

n n n

a x PK tại x1

PK với mọi x: |x|>R được gọi là BKHT của chuỗi

Trang 49

Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa

Đặt:

Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa

Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận

n n

n

a a a

Trang 50

Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi sau

n

x nx

Trang 51

Trang 52

2 Chuỗi lũy thừa với

Trang 53

3 Chuỗi lũy thừa với

→ R=0 Vậy BKHT R=0, MHT là {0}

( 1)!

5

n a

n

Trang 54

4 Chuỗi lũy thừa với n ! , 1

n

x n

n e n

Trang 55

4 Chuỗi lũy thừa với n ! , 1

Trang 56

§2 Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi

Tính chất của chuỗi lũy thừa:

Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D

có tổng là S(x) Ta có các kết luận sau:

1

(1)

n n n

a x

1 Hàm S(x) liên tục trong MHT D

3.Trong MHT D, ta có thể lấy tích phân từng số hạng

Trang 57

x nx

Trang 58

Trang 59

3 Dễ dàng thấy R=1, x ( 1,1) ta đặt

2 1 1

Trang 60

4 Dễ dàng thấy R=1, x ( 1,1) ta đặt

1( )

Trang 61

§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint

Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0

Ta gọi chuỗi Taylor của f(x) là chuỗi

( )

0

0 0

x x n

Khi x0=0, ta được chuỗi Maclaurint của hàm

( ) 0

(0)

!

n

n n

f

x n

Tuy nhiên, các chuỗi trên chưa chắc đã HT với mọi

x, tức là chưa chắc chúng đã có tổng để tổng có thể

bằng f(x)

Trang 62

Định lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành

Trang 63

Một số chuỗi Maclaurint cơ bản

x x

n n n

x x

n

x e

n





  M H T : D  R

Trang 64

1 1

4 / ln(1 ) ( 1) ,

n n

n

x x

n

n n

n

x x

n

x x

n

D

x x

Trang 65

Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint các hàm:

2 2

Trang 66

n

Trang 67

x x

Trang 68

2 1

1.3.5 (2 1) ( ) 1 ( 1)

2 !

n n

Hàm khai triển được nếu 0  x2      1 1 x 1

Trang 69

Ví dụ: Tìm chuỗi Taylor ở lân cận x0=3 của hàm

1( )

n

x

1 0

n

Trang 70

Ngoài việc áp dụng khai triển các hàm cơ bản thành chuỗi Maclaurint vào việc tìm chuỗi Taylor , chuỗi

Maclaurint các hàm bình thường Ta còn có thể áp dụng để tính tổng các chuỗi lũy thừa, chuỗi số

Ví dụ: Tính tổng của chuỗi lũy thừa

0

( )

, ( 1,1)( 1)

a

n n

Nên dễ thấy BKHT R=1, tức là với -1<x<1 ta đặt

( )( )

n

x

S x

Trang 71

1 0

1 ( 1)

n

n n

1( 1)ln(1 x) ln(1 x) 1

x

Trang 72

Ví dụ: Tính tổng của chuỗi 1

1

1(2 )!!

n n

n

x n

1

.(2 )!! 2.4.6 (2 )

n x x x

Trang 73

1 1

1(2 )!!

n n

n

x n

x

Trang 74

Ví dụ: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dưới dấu

tích phân bằng chuỗi, tính tích phân

1

0

1ln

1

x

1 1

1

n n

n

x x

1

1 0

( )( 1)

n n

Thay vào tích phân trên

Ta tính tổng của chuỗi số bằng định nghĩa

Tổng riêng : S = u +u +…+u và tổng S

Trang 75

Trang 76

!

n

n n

Trang 77

Trang 78

3 1 1

( 1) 2.5.8 (3 4)

2 !

n

n n

1 3 1

n n

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	2,06 MB