BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ, bài giảng dành cho các bạn nghiên cứu, tham khảo trong quá trình học, cũng như tìm hiểu về môn học giải tích và hàm nhiều biến số, tài liệu hữu ích cho các bạn nghiên cứu, tham khảo.

TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

PGS TS Phạm Ngọc Anh

HÀ NỘI-2013

PTIT

Chương 1 Php tính vi phân hàm nhiều biến số 7

1.1 Không gianRn

7

1.1.1 php toán 7

1.1.2 Chuẩn và hàm khoảng 7

1.1.3 Tôpô 7

1.2 Hàm số nhiều biến 8

1.2.1 Mặt 8

1.2.2 Mặt elipxoit 9

1.2.3 Mặt một tầng 9

1.2.4 Mặt hai tầng 10

1.2.5 Mặt 1

1.2.6 Mặt tr 12

1.2.7 Mặt nón hai 12

1.3 Giới hạn hàm hai biến 13

1.4 Hàm liên 15

1.5 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến số 15

1.5.1 Đạo hàm riêng 15

1.5.2 Hàm khả vi 16

1.6 Đạo hàm theo phương 18

1.7 Quan hệ giữa đạo hàm theo phương và đạo hàm riêng 19

1.8 Đạo hàm riêng hàm hợp 20

1.9 Đạo hàm riêng và vi phân 21

1.10 Công Taylor hàm hai biến số 23

1.11 Hàm ẩn 24

1.12 trị hàm hai biến số 27

1.12.1 trị không điều kiện 27

1.12.2 trị điều kiện 31

2

PTIT

1.13.1.Định nghĩa 33

1.13.2.Phương pháp tìm 33

Bài tập 1 35

Chương 2 Tính phân bội 41 2.1 phân ph tham số 41

2.1.1 phân định 41

2.1.2 phân suy rộng 44

2.2 phân kp 50

2.2.1 Định nghĩa 50

2.2.2 Điều kiện khả 50

2.2.3 tính 51

2.2.4 Định lý Fubini 52

2.2.5 Công đổi biến 56

2.2.6 Công đổi biến trong tọa độ 58

2.2.7 ng dng phân kp 59

2.3 phân bội ba 63

2.3.1 Định nghĩa 63

2.3.2 Công tính 64

2.3.3 Phương pháp đổi biến 66

Bài tập 2 68

Chương 3 phân đường và mặt 73 3.1 phân đường loại một 73

3.1.1 Định nghĩa 73

3.1.2 Tính 73

3.1.3 Công tính 73

3.2 Tính phân đường loại hai 78

3.2.1 Định nghĩa 78

3.2.2 Nhận xt 79

3

PTIT

3.2.4 tính 79

3.2.5 Chú ý 80

3.2.6 Công Green 82

3.2.7 Định lý bốn mệnh đề tương đương 85

3.3 phân mặt loại một 90

3.3.1 khái niệm về mặt 90

3.3.2 Định nghĩa 92

3.3.3 Công tính 92

3.4 Tính phân mặt loại hai 95

3.4.1 Định nghĩa 95

3.4.2 tính 95

3.5 Quan hệ giữa phân 98

3.5.1 Công Stokes 98

3.5.2 Công Ostrogradski 100

3.6 tơ rôta và trường thế 101

Bài tập 3 105

Chương 4 Phương trình vi phân 110 4.1 Khái niêm 110

4.1.1 bài toán 110

4.1.2 Định nghĩa 110

4.2 Phương trình vi phân 1 1 1 4.2.1 Định nghĩa và sự tồn tại nghiệm 1 1 4.2.2 Phương trình biến 112

4.2.3 Phương trình tuyến tính 114

4.2.4 Phương trình Bernoulli 116

4.2.5 Phương trình vi phân toàn phần 118

4.3 Phương trình vi phân hai 119

4.3.1 Định nghĩa và sự tồn tại nghiệm 119

4.3.2 Phương trình khuyết 120

4

PTIT

4.3.3.1 Cấu nghiệm 123

4.3.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính hai với hệ số hằng số 126

4.4 Hệ phương trình vi phân 134

4.4.1 Hệ phương trình vi phân 1 134

4.4.2 Phương pháp giải hệ phương trình vi phân 1 135

4.4.3 Phương pháp giải hệ phương trình vi phân 1 với hệ số hằng số 136 Bài tập 4 137

Tài liệu tham khảo 143

5

PTIT

Trong hoạt động khoa và kỹ thuật thường gặp nhiều vấn đề liên quan đến hàm nhiều

biến số và ứng dng Do vậy, giải hàm nhiều biến số là một môn đang giữ

một vị trí quan trọng trong lĩnh ứng dng và trong hệ thống môn viện

Công nghệ Bưu Viễn thông kiến và phương pháp tiếp giải hàm nhiều

biến số đã hỗ trợ hiệu quả kiến nền tảng môn như vật lý, suất thống kê,

toán kỹ thuật, toán rời và môn ngành

Bài giảng "Giải hàm nhiều biến số" biên soạn lại theo trình qui định

viện hệ đại ngành Điện tử-Viễn thông-Công nghệ thông tin với hình

đào tạo theo tín Do đối tượng sinh viên rất đa dạng với trình độ bản nhau, tôi

đã gắng tìm tiếp đơn giản và hợp lý để trình bày nội dung theo phương pháp dễ hiểu

hơn, nhằm giúp sinh viên nắm kiến bản nhất.

Để vừa ôn tập, vừa tự kiểm tra kiến và để hình dung độ một đề thi hết

môn, sau mỗi phần lý thuyết quan trọng tôi thường đưa ra ví d minh họa tiết Nội

dung thành 4 Chương 1 dành php tính vi phân hàm nhiều biến số.

Chương 2 và 3 trình bày tiết về phân đường và phân mặt Phương trình vi phân và

phương pháp giải đưa ra trong 4 khái niệm và trình bày tương

đối đơn giản và minh họa bằng nhiều ví d với hình vẽ sinh động minh khó

bớt để giúp giáo trình không quá kềnh nhưng vẫn đảm bảo

để tiện sinh viên tập sâu và tra v quá trình tập môn

Cuối mỗi đều bài tập để sinh viên tự giải nhằm giúp em hiểu sâu hơn

về lý thuyết và rèn luyện kỹ năng hành.

giả hy vọng rằng giáo trình này em sinh viên và bạn đồng nghiệp

trong quá trình tập và giảng dạy về môn giải hàm nhiều biến số giả

ơn mọi ý kiến góp ý để giáo trình bài giảng này hoàn thiện hơn nhằm nâng lượng

dạy và môn này.

11/2013, giả: PGS TS Phạm Anh

PTIT

+ B(x, ǫ) ={y ∈ Rn : ky − xk < ǫ}gọi là hình mở tâm tại điểmxvà bán kính làǫ + B(x, ǫ) =¯ {y ∈ Rn : ky − xk ≤ ǫ}gọi là hình đóng tâm tại điểmx và bán kính làǫ + Điểmx∈ M ⊆ Rn

gọi là điểm trong, nêu tồn tại một hình mởB(x, ǫ)sao B(x, ǫ)⊆ M Tập hợp điểm trong M gọi là phần trong M và ký hiệu bởiintM.

+ TậpM ⊆ Rn

gọi là tập mở, nếuintM = M.

+ ChoM ⊆ Rn

Điểmx gọi là điểm biên M, nếu với mọiǫ >0thìB(x, ǫ) những

điểm M và những điểm không M Tập hợp điểm biên M ký hiệu là

∂M.

+ TậpM ⊆ Rn

gọi là một tập đóng, nếu∂M ⊆ M + TậpM ⊆ Rn

gọi là bị bởiα >0, nếukxk ≤ α ∀x ∈ M + TậpM ⊆ Rn

b

a

Iz

aO

víi ®iÒu kiÖnz ≥ 0 mÆt

1.3 Giới hạn hàm nhiều biến số

Để hiểu về giới hạn hàm nhiều biến số trong không gianRn

, ta thể nghiên thông qua

giới hạn hàm hai biến số Một dãy điểm{Mn} ⊂ R2

gọi là dần tới điểmM0 ∈ R2

, viết

tắt làMn → M0 khi n→ ∞ hay lim

n→∞Mn = M0, nếu với mọi ǫ >0tồn tại số tự nhiênn(ǫ)sao

Mn ∈ B(M0, ǫ) ∀n ≥ n(ǫ)

Trong trường hợp biệt: Nếu lim

n→∞xn = x0 và lim

n→∞yn= y0 thì điểmMn(xn, yn)→ M0(x0, y0)khin → ∞.

Cho một hàm 2 biến số z = f (x, y) định trong lân điểmM0 ∈ R2

yz

x2y2x2+ y2

≤ lim

Giải.

Hàm số f(x, y) = 2x2xy+y 2 định trênD=R2\{(0, 0)} Ta xt 2 trường hợp biệt sau:

PTIT

+ Điểm(x, y)∈ d : y = x Khi đó(x, y)→ (0, 0)khi và khix→ 0 Khi đó, ta

I2 = lim

(x,y)→(0,0)

xy2x2+ y2 = lim

x→0

x22x2+ x2 = 1

Cho hàm sốz = f (x, y) định trên miềnDvà điểmM0 ∈ D Khi đó,

+ Hàm sốf liên tại điểmM0 nếu tồn tại giới hạn

lim

M →M 0

f(M) = f (M0)

+ Hàm sốf liên trên miềnDnếu f liên tại mọi điểmM ∈ D.

+ Hàm sốf liên đều trên miềnD nếu với mọiǫ >0, tồn tạiδ >0sao

∀(x, y), (x′, y′)∈ D : k(x, y) − (x′, y′)k < δ ⇒ |f(x, y) − f(x′, y′)| < ǫ

Bằng dùng định nghĩa, ta nhận xt sau.

Nhận xt 1.4 + Nếu hàm f : D ⊆ R2 → R liên đều trên miềnD, thì f liên trên miền

D Điều lại không đúng.

+ Nếu f liên trên miềnDvàDlà tập thìf liên đều trên miềnD.

+ Nếu f liên trên miền D, thìf đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên miềnD.

1.5 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần hàm nhiều biến số

Cho hàm sốz = f (x) định trên miềnD⊆ Rn

và điểmx¯= (¯x1,x¯2, ,x¯n)∈ D 1.5.1 Đạo hàm riêng

Nếu hàm một biến sốx1 7−→ f(x1,x¯2, ,x¯n) đạo hàm tạix1, thì đạo hàm đó gọi là

đạo hàm riêng f theo ẩn x1 tại điểmx¯và ký hiệu

df = A1∆x 1 + A2∆x 2 + + An∆x n

gọi là vi phân toàn phần f tại điểmx¯.

+ Hàm sốf gọi là khả vi trên miềnD, nếuf khả vi tại mọi điểmx¯∈ D.

Định lý 1.6 Nếu hàm f : D ⊆ Rn → R đạo hàm riêng liên trong một lân

điểmx¯∈ D, thìf sẽ khả vi tại điểmx¯và

∆f =f (¯x1+ ∆x 1,x¯2+ ∆x 2, ,x¯n+ ∆x n)− f(¯x1,x¯2, ,x¯n)

=f (¯x1+ ∆x 1,x¯2+ ∆x 2, ,x¯n+ ∆x n)− f(¯x1,x¯2+ ∆x 2, ,x¯n+ ∆x n)+ã ã ã

+ f (¯x1,x¯2, x¯n−1,¯xn+ ∆x n)− f(¯x1,x¯2, ,x¯n)

Theo số gia giới nội, tồn tại sốθ1, θ2, , θn∈ (0, 1)sao

f(¯x1, ,x¯i−1,x¯i+ ∆x i, ,x¯n+ ∆x n)− f(¯x1, ,x¯i,x¯i+1+ ∆x i+1, ,¯xn+ ∆x n)

αi(∆x) = 0 ∀i = 1, 2, , n Do vậy, định lý minh.

Nhận xt 1.7 T rong trường hợp hàm 3 biến sốf(x, y, z) đạo hàm riêng liên trong lân

x + ∆2

y+ ∆2

z)p∆2

x+ ∆2

y + ∆2 z

=pα2+ β2+ γ2

Do đó

lim

(∆ x ,∆ y ,∆ z )→0ǫ= 0và

Theo định nghĩa, đạo hàm Ddf(¯x) định bởi

gọi là hàm hợp 2 hàm số g và f Nếu hàm số g, hàm số trong tọa độ thành phần

f và đạo hàm riêng liên tại điểmx= (x1, , xn)và f(x)tương ứng Khi

đó đạo hàm riêng hàm hợph định bởi

y 2 = 6y sin 2y + 6y2cos 2y + 6y3cos 2y− 4(x2+ y3) sin 2y

= 2(3y− 2x2 − 2y3) sin 2y + y2(1 + y) cos 2y

Khi đó, ta dễ dàng thử lại rằng

g(x, y + ∆y)− g(x, y) = h(x + ∆x, y)− h(x, y) (1.5) Theo định lý Lagrange, ta

2f(x0, y0) + + 1

n!d

nf(x0, y0)

+ 1(n + 1)!d

Theo Taylor hàm một biến sốg(t), ta

g(1)− g(0) = 1

1!g

′(0) + 12!g

g(n)(0) = dnf(x0, y0)

g(n+1)(θ) = dn+1f(x0+ θ∆x, y0+ θ∆y)

Trong trường hợp biệtn= 1, ta

f(x0+ ∆x 0, y0+ ∆y 0)− f(x0, y0) = df (x0+ θ∆x, y0+ θ∆y) với 0 < θ < 1gọi là số gia giới nội hàmf(x, y)tại điểm(x0, y0).

Ví d 1.15 Khai triển hàm số

f(x, y) = 2x2− xy − y2− 6x − 3y + 5theo Taylor trong lân điểmM0(1,−2).

Giải: Theo (1.8), ta tính đạo hàm riêng 1

F′ y

Nh­ vËy, mçix ∈ (x0 − δ, x0 + δ), tån t¹i y ∈ (y0− α, y0+ α) sao F(x, y) = 0 MÆt

F(x,·)t¨ng ngÆt theoy, nªn tån t¹i duy nhÊty= f (x).

x =−Fx′

F′ y

F′ z

F′ z

= 1

ez− 1.1.12 trÞ hµm nhiÒu biÕn

Nếu hàm sốf : D⊆ R2 → Rđạt trị tại điểmM0(x0, y0)và đạo hàm riêng trong lân

gọi là điểm dừng hàm sốf Trong trường hợp tổng quát, định lý Fermat ra rằng một

điểm trị là điểm dừng Xong lại, một điểm dừng đã là một điểm

trị Như vậy, khi nào thì điểm dừng sẽ là điểm trị? Định lý dưới đây khẳng định điều này.

Định lý 1.20 Cho điểm M0(x0, y0) là điểm dừng hàm sốf(x, y)và hàm sốf(x, y)

đạo hàm riêng 2 liên trong một lân điểmM0 Đặt

A= f ”x 2(M0), B = f ”xy(M0), C = f ”y 2(M0), ∆ = B2− AC

Khi đó,

(i)Nếu ∆ > 0, thì hàm số không đạt trị tại điểmM0

(ii)Nếu∆ = 0, thì hàm sốf(x, y) thể đạt trị tạiM0 không đạt trị tại điểmM0.(iii) Nếu ∆ < 0và

trong đó0 < θ < 1 DoM0 là điểm dừng, nên df(x0, y0) = 0 Khi đó

Theo định nghĩa, điểm M0 không là điểm trị.

(ii)Giả sử∆ = 0 Với hàm số

f(x, y) = x4+ y4

PTIT

ta∆ = 0 tại điểmO(0, 0)và điểmO là điểm tiểu.

Với hàm số

f(x, y) = x3+ y3

ta∆ = 0 tại điểmO(0, 0)và điểmO là không là điểm trị.

(iii) Giả sử∆ < 0và A >0 Theo giả thiết liên đạo hàm riêng 2, ta

trường hợp∆ < 0 vàA <0 Như vậy, định lý minh.

Do đó hàm số đạt tiểu tại điểm(1, 1)và giá trị tiểuf(−1, −1) = −2.

Chứng minh: Hàm số f(x, y) với rằng ϕ(x, y) = 0 đạt trị tại điểm (x0, y0), nênϕ(x0, y0) = 0 Giả sử ϕ′

x(x0, y0) 6= 0, theo định lý hàm ẩn, tồn tại hàm ẩn y = y(x) từ phương

PTIT

trìnhϕ(x, y) = 0 Khi đó, hàm sốz = f (x, y(x))đạt trị tại điểmx0 Theo định lý Fermat, ta

gọi là hàm Lagrange Bây giờ ta xt điều kiện đủ trị điều kiện Với mỗi λ0

định, ta xt xem điểm dừng điều kiện(x0, y0) là điểm trị hàmf(x, y)với ràngϕ(x, y)không? Từ hệ

∆F (x0, y0, λ0) =f (x, y)− f(x0, y0) + λ0

ϕ(x, y)− ϕ(x0, y0)

=f (x, y)− f(x0, y0)

=∆f (x0, y0)

Như vậy, với mỗi λ0 định, nếu điểm (x0, y0) là điểm trị hàm L(x, y, λ0) thì (x0, y0)

là điểm trị hàmf(x, y) trị hàm L(x, y, λ0)là trị không điều kiện, do vậy điểm(x0, y0)là điểm trị hay không, hoàn toàn ph vào dấu

vào biểu d2f(x0, y0, λ0), ta nhận

d2F(x0, y0, λ0) = G(x0, y0, λ0)dx2

Do đó,

+ NếuG(x0, y0, λ0) > 0thì điểm(x0, y0)là điểm tiểu điều kiện.

+ NếuG(x0, y0, λ0) < 0thì điểm(x0, y0)là điểm đại điều kiện.

2 ,

1

2), A2(−

√2

2 ,

√2

2 ,

1

2), A3(

√2

2 ,

√2

2 ,−1

2), A4(−

√2

2 ,−

√2

Chú ý rằng mọi hàmf(x, y)liên trên một miền đóng và bị D ⊆ R2

đều tồn tại giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miềnD.

1.13.2 Phương pháp tìm

Ta nhận thấy rằng: Nếu hàm sốf(x, y)đạt giá trị nhỏ nhất lớn nhất tai điểm(x0, y0)∈

D ⊆ R2

và (x0, y0) ∈ intD, thì (x0, y0) sẽ là điểm trị không điều kiện Khi đó, điểm này

là điểm dừng hàm sốf(x, y) Do vậy, ta quy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

đồ thị hàm sốf(x, y)trên miềnDnhư sau:

1 Tìm điểm dừng không điều kiện trên miền D:(x1, y1), (x2, y2), (xn, yn).

2 Tìm điểm dừng điều kiện trên miền biên∂D tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên biên∂D:(xn+1, yn+1), (xn+2, yn+2), (xm, ym).

3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất hàm sốf(x, y)trên miềnD định bởi

fLN = max{f(x1, y1), f (x2, y2), f (xm, ym)},

fN N = min{f(x1, y1), f (x2, y2), f (xm, ym)}

Ví d 1.24 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất hàm số

f(x, y) = 8x2+ 3y2− (2x2 + y2+ 1)2,trên miềnD={(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 1}

Giải: MiềnD là một hình tròn đơn vị Do đó, Dlà đóng và bị Hàm số f(x, y) liên trên miền D, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên miềnD.

+ Tìm điểm dừng không điều kiện: Giải hệ phương trình

PTIT

Giải: + Tìm điểm dừng không điều kiện: Giải hệ phương trình

Điểm(x1, y1)∈ (OAB)thỏa mãn Điểm(x2, y2)không miền ràng

+ Xt hàm số f(x, y) trên biên OA : y = 0, x ∈ [−5, 0] Thay y = 0 vào hàm số f(x, y), ta nhận

+ Xt hàm sốf(x, y)trên biênOB : x = 0, y ∈ [0, 5] Thay x= 0 vào hàm số f(x, y), ta nhận

f(x, 0) =−y2+ 4y,với y∈ [0, 5] Ta f′(0, y) =−2y + 4 Khi đó, ta thêm điểm đầu mút(x5 = 0, y5 = 5) + Xt hàm sốf(x, y)trên biênAB : y = x + 5, x∈ [−5, 0] Thayy= x + 5vào hàm sốf(x, y),

Tính gần đúng giá trị z tại điểm(0.99, 0.02).

Bài 1.6 Tìm trị không điều kiện hàm số sau:

PTIT

víi ®iÒu kiÖnx2+ y2 = 1.

Bµi 1.9 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt hµm sè

z = lnpx2+ y2+ arctany

x.

PTIT

2 ,

1

2), (−

√2

3 ) = 2(1 +

√3

3 ), f (−

√3

3 ) = 2(1−

√3

2 d®fg

PTIT

Chứng minh Với mọi y0 ∈ (c, d), ∆y ∈ (c, d) sao y = y0+ ∆y ∈ (c, d) Từ giả thiết

f (x, y) liên trên hình nhật [a, b]ì [c, d] suy ra f (x, y) liên đều trên miền đó Theo

định nghĩa hàm liên đều, với mọiǫ > 0 tồn tạiδ > 0, với mọi∆y thỏa mãn|∆y| < δ, ta

Chú ý 2.2 Nếu hàmf (x, y)liên trên hình nhật[a, b]ì [c, d], hàm sốα(y), β(y)liên trên[c, d] và

a≤ α(y) ≤ b, a ≤ β(y) ≤ b ∀y ∈ [c, d]

Bài giải: Giả sử y0 > 0, tồn tại số c, d sao 0 < c < y0 < d < +∞ Ký hiệu

D := [0, 1]ì [c, d] Theo giả thiếtf (x)liên trên[0, 1], nên hàm dưới dấu phân

Định lý 2.4 tổng quát bởi kết quả dưới đây.

Chú ý 2.5 Nếu hàmf (x, y) đạo hàm riêng f′

y(x, y)liên trên hình nhậtD = [a, b]ì[c, d], hàm sốα(y), β(y)khả vi trên [c, d]và

a≤ α(y) ≤ b, a ≤ β(y) ≤ b ∀y ∈ [c, d]

0

ln(y2− sin2x)dx (y > 1)

PTIT

Bài giải: Hàm số f (x, y) = ln(y2− sin2x)liên trên miềnD = [0,π

g′(y) =

π 2Z

0

2y

y2− sin2xdx = 2y

π 2Z

0

dx(y2− 1) + cos2x.

Đổi biến t = tan x, ta

py2− 1ty

+∞

0

= π2ypy2− 1.

Định lý 2.7 phân) Cho hàmf (x, y)liên trên hình nhậtD = [a, b]ì [c, d] Khi đóg(y) =

(Chứng minh định lý này trình bày ở phần phân kp).

Ví d 2.8 Cho0 < a < b, hãy tính phân sau:

Cho hàm 2 biếnf (x, y) định trênD = [a, +∞] ì [c, d] Khi đó, hàm số

gọi là phân suy rộng ph vào tham sốy.

•Hàm sốg(y) gọi là hội t với mỗiy∈ [c, d], nếu

∀ǫy > 0,∃n0 = n0(ǫy) > 0,∀b > n0 ⇒

... lớn nhỏ miềnD.

1.5 Đạo hàm riêng vi phân toàn phần hàm nhiều biến số< /small>

Cho hàm số< /small>z = f (x) định miềnD⊆ Rn... Đạo hàm riêng

Nếu hàm biến số< /small>x1 7−→ f(x1,x¯2, ,x¯n) đạo hàm tạix1, đạo hàm gọi... data-page="46">

Cho hàm biến< /small>f (x, y) định trênD = [a, +∞] ì [c, d] Khi đó, hàm số< /small>

gọi phân suy rộng ph vào tham số< /small>y.

•Hàm