Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 2 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Tích phân bội cung cấp cho người học các kiến thức: Một số mặt bậc hai thường gặp, tích phân kép, tích phân bội ba. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trang 1

CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI

§0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

§1: TÍCH PHÂN KÉP

I Định nghĩa và Cách tính

II Đổi biến trong tích phân kép

III Ứng dụng hình học của tích phân kép

§2: TÍCH PHÂN BỘI BA

I Định nghĩa và Cách tính

II Đổi biến trong tích phân bội ba

III Ứng dụng hình học của tích phân bội ba

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trang 2

3 Cách vẽ hình

Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ

Trang 7

cho z=c, c>0 ta được đường còn lại là 1 đường

Ellipse Tức là nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là

2 Parabol, giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là Paraboloid Elliptic

3 Vẽ hình

Trang 8

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

Vẽ đường parabol y 2 = z trên mặt phẳng x = 0

Trang 9

Vẽ đường ellipse x 2 +y 2 = 1 trên mặt phẳng z = 1

Trang 10

Vẽ mặt parabolid x 2 +y 2 = z

Trang 12

Trang 13

Thông thường, ta sẽ chỉ gặp các mặt trụ có đường

sinh song song với 1 trong 3 trục tọa độ Mặt trụ song song với trục nào thì phương trình mặt sẽ thiếu biến

đó, còn phương trình chứa 2 biến còn lại là phương trình đường chuẩn của mặt trụ trong mặt tọa độ

tương ứng và ta gọi tên mặt trụ theo tên của đường chuẩn

Trang 14

song song với Oz

và tựa lên đường

tròn trên

Ví dụ: Mặt x 2 +y 2 = 1

Phương trình không chứa z nên nó biểu diễn mặt trụ

đường sinh song song với trục Oz, đường chuẩn là đường tròn x2+y2=1 trong mặt phẳng z = 0 và ta gọi đây là mặt trụ tròn xoay theo tên của đường chuẩn

Trang 15

sinh song song với trục

Oy, tựa lên đường

chuẩn là parabol z=x 2

ở trên

Trang 16

IV Mặt nón bậc 2 :

Mặt nón bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng đi qua

1 điểm cố định và tựa lên 1 đường cong cố định Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt nón, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt nón

và điểm cố định gọi là đỉnh của nón

Ví dụ: Mặt nón x 2 +y 2 =z 2

Cắt dọc mặt nón bởi các mặt x=0 hoặc y=0 ta được 2 đường thẳng cùng đi qua gốc tọa độ O, cắt ngang bởi mặt z = c và z = -c , c tùy ý, ta được giao tuyến là 2 đường tròn tâm tại (0,0,c) và (0,0,-c) bán kính bằng c

Trang 18

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Thể tích các hình hộp nhỏ với đáy dưới là Dij, trên là

phần mặt z=f(x,y) sẽ được tính xấp xỉ với hình hộp

chữ nhật đáy là Dij, chiều cao là f(xi,yj)

Dij

Trang 20

Chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau là D1,

D2, D3, …(các phần không có phần chung) tương ứng

có diện tích là ΔS1, ΔS2, ΔS3, …

Trên mỗi miền Dk ta lấy 1 điểm Mk(xk,yk) tùy ý.

Lập tổng (gọi là tổng tích phân kép của hàm f(x,y))

Hiển nhiên tổng trên phụ thuộc vào cách chia

miền D và cách lấy điểm Mk

Định nghĩa tích phân kép : Cho hàm f(x,y) xác định

trong miền đóng, bị chặn D

Trang 21

Cho n→∞ sao cho max{d(D)} →0 (d(D) là kí hiệu

đường kính của miền D tức là khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm bất kỳ thuộc D)

Nếu khi ấy tổng Sn tiến đến giới hạn hữu hạn S

không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng như

cách lấy điểm Mk thì giới hạn S được gọi là tích

phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và kí hiệu là

( , )

D

f x y ds



Hàm f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D là

miền lấy tích phân, ds là yếu tố diện tích Khi ấy, ta nói hàm f(x,y) khả tích trên miền D

Trang 22

Chú ý : Nếu f(x,y) khả tích trên D thì ta có thể chia D bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ Lúc đó Dij sẽ là hình chữ nhật với các cạnh là Δxi,

Δyj nên ΔSij = Δxi Δyj và ds được thay bởi dxdy Vì vậy, ta thường dùng kí hiệu

Trang 23

Điều kiện khả tích :

Định nghĩa đường cong trơn : Đường cong C có phương trình tham số y = y(t), x = x(t) được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục và không đồng thời bằng 0 Đường cong C được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó

thành hữu hạn các cung trơn

Định lý: Hàm liên tục trên 1 miền đóng, bị chặn và có

biên trơn từng khúc thì khả tích trên miền đó

Trang 25

Định lý: (Về giá trị trung bình )

Ý nghĩa hình học của tích phân kép :

Với cách tính thể tích hình trụ cong ở trên ta có

( , )

D

V   f x y dxdy

Đại lượng được gọi là

giá trị trung bình của hàm f(x,y) trên miền D

1

( , )( ) D f x y dxdy

S D

Cho hàm f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn, liên thông D Khi ấy trong D có ít nhất 1 điểm (x0,y0) sao cho : ( , ) ( 0, 0) ( )

Trang 26

Ví dụ : Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc

hai f(x,y) = 16 – x2 – 2y2, giới hạn dưới bởi hình

vuông D = [0,2]x[0,2] và giới hạn xung quanh bởi

4 mặt phẳng x=0, x=2, y=0, y=2 Ước lượng thể

tích của vật thể trong các trường hợp sau :

Trang 28

b Chia thành 16 phần, V≈ 41,5

Trang 29

c Chia thành 64 phần, V≈44,875 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trang 30

d Chia thành 256 phần, V≈46,46875 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trang 31

Định lý Fubini: (Cách tính tích phân kép) Cho hàm f(x,y)

liên tục trên miền đóng và bị chặn D

Trang 34

Ta đi tích phân này bằng 2 cách

Cách 1 : Chiếu miền D xuống trục

Ox ta được đoạn [1,4]

Đi theo trục Oy từ dưới lên

4 2

1 ( 4) 3

4 1

y= 1 / 3 (x-4)

y=4-x

4

2 1

Trang 35

3

Đi theo trục Ox từ trái

sang thì không giống

Trang 36

2 2

(2 ) ((2 ) )

2

22

Trang 37

Ta còn có thể xác định cận của tích phân trên mà

không cần vẽ hình như sau:

Tìm giao điểm của 2 đường biên của miền D:

y = x = 2-x 2 x 2 +x-2 = 0 x = -2, x = 1

Vậy ta có -2 ≤ x ≤ 1, tức là ta lấy trong khoảng 2 nghiệm của tam thức f(x) = x 2 +x-2 nên ta có bất đẳng thức:

x2+x-2 ≤ 0 x ≤ 2-x 2

Tức là, với x nằm trong khoảng (-2,1) thì đường

thẳng y=x nằm dưới đường parabol y = 2-x 2 Vậy ta

Trang 39

Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình

vuông nhỏ

4 1

Trang 40

11 15

Trang 41

Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích

phân này thì ta chiếu D xuống

trục nào cũng như nhau

Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích

phân sẽ buộc ta phải chiếu D

Trang 42

Chiếu miền D vừa vẽ xuống

Trang 43

cos sin

Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Trang 44

Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực

Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt :

Thì ta được pt r = 1

1 (x-a) 2 + y 2 = a 2 ↔ x 2 + y 2 = 2ax ↔ r = 2acosφ

r

↔

Trang 45

Công thức đổi biến sang tọa độ cực

Trang 46

Để xác định cận của tích

phân theo φ, ta quét từ dưới

lên theo ngược chiều kim

đồng hồ bởi các tia màu đỏ

phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia

màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường nào trước thì pt đường đó là cận trên

Trang 47

2cos 2

Nếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận

dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi

đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ

Vậy :

Trang 48

0 3

Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ

Trang 49

Trong đó D giới hạn bởi

Trang 50

Trong đó D giới hạn bởi :

2cos 3

Trang 51

mới đổi sang tọa độ cực

Thực hiện 2 việc trên bằng 1

phép đổi biến sang tọa độ

Trang 52

Khi đó, miền D giới hạn bởi 0

Trang 53

0 2

Trang 54

2 Thể tích vật thể Ω giới hạn trên bởi mặt

giới hạn dưới bởi mặt S z f x y2 :  2( , )

và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song với trục

Oz có đường chuẩn là biên miền D được tính bởi:

Trang 55

C Diện tích mặt cong : Diện tích phần mặt cong S có phương trình z = f(x,y) và có hình chiếu xuống mặt

phẳng Oxy là miền D được tính bởi

Như vậy, để tính thể tích vật thể hoặc tính diện tích 1 phần mặt cong thì trước tiên ta phải xác định được

hình chiếu D của vật thể hoặc phần mặt cong cần

tính xuống 1 trong 3 mặt tọa độ Oxy, Oyz, Ozx

Với vật thể cần tính thể tích, sau đó ta phải xác

định trong vật thể đó thì mặt nào giới hạn trên,

mặt nào giới hạn dưới vật thể

Trang 56

Ví dụ 1: Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi

Tức là chiếu miền D xuống trục Oy được đoạn [-2,3]

Khi -2 ≤ y ≤ 3, suy ngược lại phương trình (1)

ta sẽ được y 2 + 2y + 1 ≤ 3y + 7

2

1 (3 7)

Trang 57

§1: Tích phân kép – ƯD hình học

Ví dụ 2: Tính diện tích phần mặt phẳng nằm ngoài đường tròn r = 1 và trong đường tròn 2 cos

Vậy :

2 cos3 6

1 6

( )

3 3( )

18

S D

Trang 58

Hình chiếu của giao tuyến là

đường tròn thì hình chiếu của

Trang 59

Với bất đẳng thức hình tròn, ta thay ngược lên phương trình (1) để được 2 2 2 2

Trang 60

Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x2 + y 2 = 4,

y 2 = 2z, z=0

Trong 3 mặt tạo nên vật thể, có 1 hình trụ kín (đường

chuẩn là đường cong kín) x 2 +y 2 =4 song song với trục

Oz nên hình chiếu của nó xuống mặt z = 0 là hình tròn, tức là ta có miền lấy tích phân D: x2 + y2 ≤ 4

Trang 61

Trang 62

Ta sẽ tìm hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy dựa trên các hình trụ có đường sinh song song với trục Oz

có trong phương trình V

Trong 4 mặt đã cho có 2

mặt trụ (phương trình

không chứa z) cùng song

song với Oz là y=1, y = x 2

Trang 63

Trang 65

4 0

Trang 66

y=0

3/2x+y=4

3x+y=4 z=1/2x2+1/4y2

Trang 68

Rõ ràng, trên hình vẽ ta có

ΔABC nằm phía dưới đường

thẳng a-x-y=0 tức là trong

miền D ta có bất đẳng thức

0 ≤ a-x-y Suy ra hàm dưới

dấu tích phân là f(x,y) = a-x-y

0

3

a y a

a y

dy a x y dx

Trang 69

Ta xoay trục Oy thẳng đứng, ta

sẽ thấy vật thể chính là hình chóp tứ giác, thể tích bằng 1/3 chiều cao nhân diện tích đáy

Trang 70

đường chuẩn là 2 đường

thẳng không đủ cho ta miền

đóng D Vì vậy, ta sẽ tìm

thêm giao tuyến của các mặt

còn lại với mặt z=0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trang 71

Cho z = 0 và thay vào phương trình Paraboloit ta

được x2+y2 =1, tức là giao tuyến của mặt Paraboloit với mặt tọa độ z = 0 là đường tròn 1 phần đường tròn đó sẽ “ĐẬY KÍN” phần còn mở giữa 2 đường thẳng trên

Trang 72

0 4

(1 )

Trang 73

Hai mặt trụ cùng song song với trục Ox là

Trang 74

Trang 75

Ví dụ 10 : Tính diện tích phần mặt S : x2+y2+z2 = 4nằm phía trên mặt nón 2 2

z  x  y

Để tính diện tích mặt cong S nhờ tích phân kép, ta phải xác định được hình chiếu D của mặt cong

xuống 1 trong 3 mặt tọa độ

Với ví dụ này, ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống

Trang 76

Vì mặt S nằm phía trên mặt nón tức là z ≥ 0 nên ta lấy

y z

Trang 77

2 mặt phẳng đã cho đều song song với trục Ox (Pt

không chứa x) nên ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống

mặt phẳng x = 0

Chiếu 2 mặt phẳng xuống mặt x = 0

ta được 2 đường thẳng cùng đi qua

gốc tọa độ tức là chưa có miền

Do đó, ta sẽ phải lấy thêm hình

chiếu của mặt cầu xuống mặt

phẳng x = 0 là hình tròn

z

y

O CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trang 78

rồi nhân đôi

Ta viết lại phương trình mặt S theo y, z: x=f(y,z) và x ≥ 0

Miền D trên mp x=0 x 2 +y 2 +z 2 =2

Trang 79

z x

2 0

4

1 2

Trang 81

2 4

4 0

x

z

x y

4 0

Trang 82

4 mặt phẳng x-y = 1, x+y = 1, x-y = -1, x+y = -1 cùng

song song với trục Oz, tạo trong không gian 1 hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt Oxy là hình vuông ABCD

Trang 83

y z

Trang 84

-y+x=1 y+x=1

y-x=1 y+x=-1

z2=x2+y2, z≥0

Trang 90

Bài tập phần UD hình học của tích phân kép Tính diện tích miền D giới hạn bởi

1 x=y2-2y, x+y=0

Trang 91

Bài tập phần UD hình học của tích phân kép

1 Ta tìm cận tích phân theo dy bằng cách khử x từ

2 phương trình 2 mặt

x=y2-2y=-y (1) ↔ y2-y=0 ↔ y=0, y=1

Từ đó suy ra 0≤y≤1, ta lấy ngược lại phương trình

1 để được tiếp cận đối với tích phân theo dx

Trang 92

Suy ra cận tích phân theo dy, tương tự như trên, ta

thay vào phương trình (1) để có cận tích phân theo dx Vậy :

2

1 (9 )

Trang 93

2

S D

e

=27/2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trang 94

5 Tìm giao điểm của 2 đường đã cho

3

S D

Trang 95

Bài 1: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt

Trang 96

1 z2 = 2-x2-y2=x2+y2 ↔ 1= x2+y2

Như vậy, hình chiếu của V1 xuống mp z=0 là hình tròn

x2+y2 ≤1 ↔ x2+y2 ≤2-x2-y2 (Làm ngược lại với pt trên) Tức là ta cũng xác định được mặt nằm trên, nằm dưới trong miền V1

Vì miền lấy tích phân là hình tròn có tâm là gốc tọa

độ nên ta sẽ đổi biến tp trên sang tọa độ cực bằng

Trang 97

1

0≤φ≤2π 0≤r ≤1

Trang 98

2 Trong 2 mặt đã cho có 1 mặt trụ kín nên hình

chiếu chính là hình tròn x2+y2≤2x

2 mặt còn lại là nửa dương và nửa âm của mặt cầu

Vì cả 2 mặt đã cho đều nhận z=0 là mặt đối xứng

nên ta sẽ tính thể tích nửa phía trên và nhân đôi

2 2

0 2

Trang 99

2

-π/2≤φ≤π/2 0 ≤r ≤2cos φ

Trang 100

3 Vật thể giới hạn bởi 2 hình trụ kín nên ta có thể

chọn 1 trong 2 hình trụ đó để chiếu xuống mặt z=0

hoặc y=0 Chẳng hạn, ta chọn chiếu xuống mặt z=0

để hình chiếu là hình tròn D: x2+y2≤1

Cả 2 hình trụ tạo nên V3 đều nhận cả 3 mặt tọa độ là các mặt đối xứng nên ta sẽ chỉ tính thể tích V3 phần ứng với x, y, z ≥ 0 rồi nhân với 8

Khi đó, hình chiếu chỉ còn là ¼ hình tròn với x, y ≥ 0

và giới hạn bởi 2

2 3

8 d r 1 r cos dr

Trang 101

1 4

3

0 0

Trang 102

3a Ta sẽ khử x từ 2 phương trình 2 mặt để tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oyz

Trang 103

Định dạng
Số trang	166
Dung lượng	2,82 MB