Bài giảng bộ môn toán ứng dụng giải tích hàm nhiều biến

Đạo hàm riêng theo x của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T1 với đường cong C1 tại P(a,b,c). Tương tự, đạo hàm riêng theo y của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T2 với đường cong C2 tại P(a,b,c).

Trang 1

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-Giải tích hàm nhiều biến

Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân

dangvvinh@hcmut.edu.vn

Trang 2

Nội dung

Trang 3

I Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

-Định nghĩa đạo hàm riêng theo x

Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm cố định M x y0( ,0 0)

Xét hàm một biến F(x) = f(x,y0) theo biến x

của f(x,y) tại , ký hiệuM x y0( ,0 0)

Trang 4

-Định nghĩa đạo hàm riêng theo y

Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm cố định M x y0( ,0 0)

Xét hàm một biến F(y) = f(x0,y) theo biến y

của f(x,y) tại , ký hiệuM x y0( ,0 0)

Trang 5

Qui tắc tìm đạo hàm riêng

Để tìm đạo hàm riêng của f theo biến x, ta coi f là hàm một biến x, biến còn lại y là hằng số

Trang 6

f(x,y) biễu diễn bởi mặt S (màu xanh)Giả sử f(a,b) = c, nên điểm P(a,b,c) S.

Cố định y = b Đường cong C1 là giao của S và mặt phẳng y = b

Trang 7

Ví dụ Cho hàm Tìm và biễu diễn hình học của

đạo hàm riêng này

Tiếp tuyến với C1 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng

Hệ số góc của tiếp tuyến với C1 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm

Trang 8

Biễu diễn hình học của f x'(1,1) với f x y( , ) 4  x2  2y2

Trang 9

Ví dụ Cho hàm Tìm và biễu diễn hình học của

đạo hàm riêng này

Tiếp tuyến với C2 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng

Hệ số góc của tiếp tuyến với C2 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm

Trang 10

Biễu diễn hình học của f y' (1,1) với f x y( , ) 4  x2  2y2

Trang 11

I Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) -

Tính chất của đạo hàm riêng

Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên tính chất của đạo hàm riêng cũng là tính chất của đạo hàm của hàm một biến

Trang 12

Trang 13

Trang 14

I Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) -

'(0,0)

x

f 3) Tìm

lim

y

y y

 



Trang 15

-Giải

2 2 2 ' '

Trang 16

Trang 17

-Cho hàm hai biến f = f(x,y)

Đạo hàm riêng theo x và theo y là những hàm hai biến x và y:

Ta có thể lấy đạo hàm riêng của hàm :f x y x'( , )

Tiếp tục quá trình, ta có khái niệm các đạo hàm cấp cao

Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên việc tính đạo hàm riêng cấp cao cũng tương tự tính đạo hàm cấp cao của hàm một biến: dùng công thức Leibnitz và các đạo hàm cấp cao thông dụng

Trang 18

Trang 19

Trang 20

Trang 21

8

x a t xx

12

Trang 22

Trang 23

Chú ý Để tìm đạo hàm riêng cấp hai tại (x0, y0) ta phải tìm đạo hàm

riêng cấp một tại mọi điểm (tức là tìm hàm ).f x y x'( , ) f x y x'( , )

Hàm này có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (0,0) nhưng không liên tục tại đây

Trang 24

Trang 25

Cho f có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục

C1 và C2 là hai đường cong tạo nên do hai mặt y = b và x =a cắt S

Điểm P nằm trên cả hai đường này Giả sử T1 và T2 là hai tiếp tuyến với hai đường cong C1 và C2 tại P

0 x( ,0 0)( 0) y ( ,0 0)( 0)

z z  f x y x x  f x y y y

Mặt phẳng chứa T1 và T2 gọi là mặt phẳng tiếp diện với mặt S tại P

Trang 26

Trang 27

Nếu tại điểm tiếp xúc ta phóng

to lên thì mặt paraboloid gần trùng với mặt phẳng tiếp diện

Trang 28

Hàm tuyến tính L(x,y) = 4x +2y – 3 là hàm xấp xỉ tốt cho f = 2x2 + y2

khi mà (x,y) gần với điểm (1,1)

f x y  x  y (1.1,0.95)  f (1.1,0.95) 4(1.1) 2(0.95) 3 3.3   

Gần bằng với giá trị thực: f (1.1,0.5) 2(1.1) 2  (0.95)2 3.3225

Nếu ta chọn điểm xa điểm (1,1) thì kết quả không còn đúng nữa (2,3)  f (2,3) 4(2) 2(3) 3 11   

Khác xa với giá trị thực: f (2,3) 2(2) 2  (3)2 17

Trang 29

-Định nghĩa

Cho hàm f = f(x,y) và (x0, y0) là điểm trong của miền xác định

Hàm f được gọi là khả vi tại (x0, y0) nếu số gia toàn phần

có thể biễu diễn được ở dạng

Trang 30

Mặt tiếp diện

z  f a b  f x a  f y b

Trang 31

-Định lý (điều kiện cần khả vi)

Nếu hàm f = f(x,y) khả vi tại (x0, y0), thì:

Trang 32

Trang 33

Công thức (1) dùng để tính gần đúng giá trị của f tại (x,y).

Công thức (1) có thể viết lại: f x y( , )  f x y( , )0 0  f x y dx x'( , )0 0  f x y dy y' ( , )0 0

hay ta có: f df

Trang 34

-Qui tắc dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng

Để tính gần đúng giá trị của hàm f tại điểm cho trước (x,y) Ta thực hiện

1) Chọn một điểm (x0,y0) gần với điểm (x,y) sao cho f(x0,y0) được tính dễ dàng

Chú ý: Nếu điểm (x0,y0) xa với điểm (x,y) thì giá trị tính được không phù hợp

Trang 35

Trang 37

-Định nghĩa vi phân cấp cao

Cho hàm f = f(x,y) khi đó df(x,y) cũng là một hàm hai biến x, y

Vi phân (nếu có) của vi phân cấp 1 được gọi là vi phân cấp 2

Trang 38

Trang 39

Trang 40

Trang 42

II Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

Trang 43

2sin( )xy e xy cos( )y xy



2 sin ( )

Trang 44

Trang 45

Trang 46

-Trường hợp 4

( , )( )

Trang 47

Trang 48

-Đạo hàm cấp hai của hàm hợp

( , )( , )( , )

'

u

f

Trang 49

Trang 50

-Đạo hàm cấp hai của hàm hợp

( )( , )

'( )

f u

Trang 51

u u

Trang 52

-Vi phân cấp một của hàm hợp

( , )( , )( , )

u, v là hai biến hàm, x và y là hai biến độc lập

Khi thay u(x,y), v(x,y) vào ta được hàm f theo hai biến

Trang 53

Chú ý: Trong hai ví dụ này ta đều có thể dùng df  f dx x'  f dy y'

nhưng việc tính toán phức tạp hơn

Trang 54

Trang 55

-Vi phân cấp hai của hàm hợp

( , )( , )( , )

Trang 56

-Vi phân cấp hai của hàm hợp

( )( , )

Trang 57

Trang 58

Trang 59

III Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn

-Giả sử phương trình xác định một hàm ẩn F x y ( , ) 0 y y x( )

sao cho với mọi x thuộc miền xác định của f F x y x ( , ( )) 0

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp:

//

x y

Trang 60

II Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn

'

2( )

2

xy x

xy y

Chú ý Cần phân biệt đạo hàm theo x ở hai cách Cách 1, đạo hàm hai vế coi y

là hàm theo x Cách 2, đạo hàm riêng của F theo x, coi y là hằng

Trang 61

-Giả sử phương trình xác định một hàm ẩn F x y z ( , , ) 0 z z x y ( , )

sao cho với mọi (x,y) thuộc miền xác định của z F x y z x y ( , , ( , )) 0

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp, chú ý x, y là hai biến độc lập, z

//

Trang 62

z x y

e z

'

1

11

z x y x

Trang 63

-Định lý (về hàm ẩn)

Cho hàm thỏa các điều kiện sau:F x y( , )

2) F x y(( , )) 00 0 

1) Xác định, liên tục trong hình tròn mở tâm bán kính B M r( 0, ) M x y0( , )0 0 r

4) Tồn tại trong các đạo hàm riêng liên tục F F,

Khi đó xác định trong lân cận U của một hàm thỏa F x y ( , ) 0 x0 y y x( )

và trong U Ngoài ra y = y(x) khả vi, liên tục trong U 0 ( )0

y y x F x y x ( , ( )) 0

' '

//

x y

Trang 64

-Chú ý Vì z = z(x,y) là hàm hai biến độc lập x và y Nên vi phân cấp một, cấp hai hoặc cấp cao của hàm ẩn cũng giống như vi phân cấp 1 và cấp hai của hàm f = f(x,y) trong phần I

Đạo hàm riêng cấp hai của hàm ẩn: z = z(x,y)

1) Tìm đạo hàm riêng cấp 1 (bằng 1 trong hai cách)

2) Chú ý:   x là hằng, y là biến, z là hàm theo y

' ' '

Trang 65

Trang 66

Trang 67

'

x x

'

22

x xy

Trang 68

II Bài tập

Trang 69

-II Bài tập

Trang 70

-II Bài tập

Tiêu đề	Giải tích hàm nhiều biến
Người hướng dẫn	Ts. Đặng Văn Vinh
Trường học	Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán Ứng Dụng
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2008
Thành phố	Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	70
Dung lượng	2,69 MB