2 cuc tri người dạy toán

 Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.. Giá trị cực đại giá trị cực tiểu còn gọi tắt là cực đại cực tiểu và được gọi chung là cực trị của hàm số... Dựa vào bảng b

CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên khoảng K và x0� K

 Nếu tồn tại số h sao cho 0 f x   f x 0 với mọi x�x0h x; 0h và x x� thì ta nói hàm số0

2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y f x( ) liên tục trên K (x0h x; 0h)

và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{ }x , với 0 h 0

 Nếu f x'  0 trên khoảng (x0h x; )0 và f x'( ) 0 trên ( ;x x0 0 thì h) x là một điểm cực đại 0

 Nếu hàm số f x  đạt cực đại (cực tiểu) tại x thì 0 x được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) 0

của hàm số; f x 0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu f CD f CT ,

còn điểm M x f x 0;  0 

được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

 Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi tắt là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

 Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y f x  có đạo hàm trên khoảng K và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x thì 0 f x' 0 0.

 Khi ta xét từ trái sang phải nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x thì 0 x là điểm 0

cực đại; ngược lại đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x thì 0 x là điểm cực tiểu.0

 Ta quan sát hai đồ thị dưới đây:

Như vậy nếu x là điểm cực trị của hàm số 0 f x 

Cách 1 : Trình bày tự luận (dùng quy tắc 1).

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận điểm cực tiểu của hàm số là x 2

Cách 2 : Trình bày tự luận (dùng quy tắc 2).

Lại có y�6x6; với y�� 0   6 0 và y�� 2  6 0.

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là x 2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại 2; 25 .

Ví dụ 3: Xét x�0; 2020

thì hàm số y2sin 2x có bao nhiêu điểm cực đại ?3

Lời giải Chọn B

vậy có 2020 điểm cực đại cần tìm

Ví dụ 4: Cho hàm số xác định và liên tục trên tập � và có đạo hàm

A 1 B 2 C 3 D 0

Lời giải Chọn B

Ta có   3  2 

f x� x x  x

012

x x x

đổi dấu khi đi qua x và 0 x nên hàm số có 2 2 điểm cực trị

Ví dụ 5: Cho hàm số y f x  Đồ thị của hàm số như hình bên.

Hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn C

Dựa vào đồ thị ta thấy:

Dựa vào BBT suy ra hàm số y f x  có 3 điểm cực trị.

Câu 4 [2D1-2.2-1] (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên Tìm giá trị





 có baonhiêu điểm cực trị?

Với m  thì 2 f �� 1 12 0 nên loại.

 Phương pháp tổng quát: Nếu hàm số f x 

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn sao cho hàm số y x 8m3x5m29x4 1

đạt cực tiểu tại x 0

Lời giải Chọn B

2 3

Nếu y 4  0 0�m 3�m3�x0

là điểm cực đại của hàm số

Nếu y 4  0 0�m� �3 ta phải đi xét dấu của y�.

Với m 3�y�8x730x4 không đổi dấu khi qua x0�x0 không là điểm cực trị của hàm số

Với m3�y�8x7 đổi dấu từ “âm” sang “dương” khi qua x0�x0 là điểm cực tiểu củahàm số

Vậy m� 2; 1;0;1; 2;3 thỏa mãn yêu cầu đề bài

BÀI TẬP LUYỆN DẠNG 2

Câu 1 [2D1-2.8-2](THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018) Hàm số đạt

cực tiểu tại x khi2

Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào ?

A Sai từ bước 2 B Đúng C Sai từ bước 1 D Sai từ bước 3.

Câu 6 [2D1-2.8-2] (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho biết hàm số

m m

x x x

x x x

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại x  Chọn 1 m 2

     

.Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m

Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Từ đó ta nhận xét

Để hàm số f x 

có cực trị khi và chỉ khi 2

000

a b a

a b

Chú ý: Khi hàm số bậc ba đã có hai điểm cực trị.

 Giả sử x x là hai điểm cực trị thì 1, 2 x x là nghiệm của phương trình 1, 2 y�0.

 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:    ��  �� 

m m

Hàm số có hai điểm cực trị khi b23ac0

có hai điểm cực trị A và B khi và chỉ khi 3�۹m 0 m 3

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:   ��  �� 

a/ có hoành độ cực trị x x sao cho 1; 2 x1  2 x2

b/ có hoành độ cực trị x x sao cho 1; 2 2

� ��   ��  ��c/ uuurABm1;3m2m33m1  2  2 3 2 0

0

m

�

3.2

m 

C

32

m�

32

m

Câu 2 [2D1-2.7-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 ) Với giá trị nào của tham số

thì đồ thị hàm số y2x33m1x26m2x1 có cực đại, cực tiểu thỏa mãn

Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

A, B sao cho ba điểm O , A, B thẳng hàng, trong đó O là gốc tọa độ.

22

m

Câu 4 [2D1-2.7-3](THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Gọi m , 1 m là các giá trị của2

tham số m để đồ thị hàm số y2x33x2  có hai điểm cực trị là m 1 B , C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 2, với O là gốc tọa độ Tính m m 1 2

có đồ thị là đường cong  C Biết rằng tồn tại hai số thực m , 1 m2

của tham số m để hai điểm cực trị của  C và hai giao điểm của  C với trục hoành tạo thành bốn đỉnh của một hình chữ nhật Tính T m14m24.

A T 22 12 2 B T  11 6 2. C

3 2 22

T  

15 6 22

T  

Câu 6 [2D1-2.10-4] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hàm số f x  x3mx2,

m là tham số Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ là a , b ,

Câu 7. [2D1-2.13-4] Xác định các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số

13

m

12

m

16

m

14



1625

2

a ����  ���

75;

a ����  ���

BẢNG ĐÁP ÁN DẠNG 3

1.A 2.C 3.C 4.A 5.B 6.A 7B 8.D 9.B 10.B

Hướng dẫn

Câu 5. Ta có y�3x26x m 22 Ta có   �9 3m2 6 3m2 3 0 nên đồ thị hàm số luôn có hai

điểm cực trị với m �� Gọi x , 1 x là hai nghiệm của 2 y�.

Điểm uốn: y�6x6, y�0 �x1 �y0 Vậy điểm uốn U 1;0 .

Ta có, hai điểm cực trị luôn nhận điểm uốn U là trung điểm.

m  

�

12

m m  

�

nên T  11 6 2.

Câu 6 Đồ thị hàm số f x  x3mx2 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ là a , b , c

khi m 3

Theo định lý vi-et ta có:

02

a b c

ab bc ca m abc

333

Ta có tam giác ABC vuông tại C nên gọi M là điểm uốn của đồ thị hám số đồng thời là trung

điểm của AB Khi đó tam giác vuông có đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền do vậy ta có

Hệ số góc đường thẳng qua hai cực trị: 2 1

M �� ��

� � (Chú ý điểm uốn 3

b x a

R

90

AIB

� hay AIB vuông tại I

Gọi M là trung điểm AB, ta có M m ; 4 m và IM 12AB

m m

Vậy

259

Tam giác ABC đều b3  24a

Tam giác ABC có diện tích SABC S0 a S3 2 b5

b a

a

2 3

Tam giác ABC có cực trị B C, �Ox b2  4ac

Tam giác ABC có 3 góc nhọn b a b(8  3) 0

Tam giác ABC có trực tâm O b38a4ac 0

Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi b2 2ac

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b38a4abc 0

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại

Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC

Trục hoành chia tam giác ABC thành

Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục

 C :y ax 4bx2c

và trục hoành có diện tíchphần trên và phần dưới bằng nhau

Ví dụ : Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 3 điểm

cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân

1 . 2

C

1 . 2

Cách 1: Trình bày tự luận

TXĐ: D �.

Ta có: y' 4 x x 24m2

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' 0 có 3 nghiệm phân biệt .

Lúc đó, gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A m2 ; 16 m43 , B 0;3 ,C2 ; 16m  m43

Theo yêu cầu bài toán suy ra BA BCuuuruuur. 0� 4m2256m8 0

01212

m m

Câu 1. [2D1-2.7-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x 42mx2 có ba

điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1

A m 1 B 0  m 1 C 0 m 34. D m 0

Câu 2 [2D1-2.7-3] (SGD Bắc Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho hàm số y mx 4(2m1)x2 Tìm1.

tất cả các giá trị của m để hàm số có một điểm cực đại?

Câu 3. [2D1-2.7-3] Với tất cả giá trị nào của m thì hàm số y mx 4m1x2 1 2m

chỉ có mộtcực trị:

01

Câu 4 [2D1-2.7-3] [THPT An Lão lần 2- 2017] Cho hàm số y mx 4m26x24. Có bao nhiêu

số nguyên m để hàm số có 3 điểm cực trị trong đó có đúng 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại?

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x 42m1x2m2

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

A m 0 B m 1;m0. C m 1 D m1;m0.

Câu 6. [2D1-2.14-4] (Sở GD Thanh Hoá – Lần 1-2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao

cho đồ thị hàm số y x 42mx22m4 có ba điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độm

12

m

Câu 7 [2D1-2.14-3] Cho hàm số y x 42mx2 2m2m4 có đồ thị  C Biết đồ thị  C có ba điểm

cực trị A, B , C và ABDC là hình thoi trong đó D0; 3 , A thuộc trục tung Khi đó mthuộc khoảng nào?

A

9

; 25

�� �� �

11;

Câu 8. [2D1-2.14-3] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

thực của tham số m để đồ thị  C của hàm số y x 42m x2 2m4 có ba điểm cực trị, đồng5

thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp Tìm số phần tử của S

Câu 9. [2D1-2.14-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số

y=x - x + có ba điểm cực trị m A, B , C sao cho tam giác ABC bị trục tọa độ Ox chia

thành hai phần có diện tích bằng nhau

A

12

m= �

12

m= �

12

m=

Câu 10 Tìm tất cả các giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số y x 42m1x2m2 có ba điểm cực

trị nội tiếp đường tròn bán kính bằng 1

m m

, Cm;5 lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC khi đó ta có ba điểm A, I , O thẳng hàng.

Mặt khác do hai điểm B và C đối xứng nhau qua AO nên AO là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC � AB OB � uuur uuurAB OB 0.

Gọi M N, lần lượt là giao của Ox với AB ; AC

Suy ra: ABCD �DAMN

2 2

;

;

AMN ABC

d A ox S

m

S d A BC

D D