ỨNG DỤNG đạo hàm PHIẾU ôn tập và GIẢNG dạy bài 2 cực TRỊ PHIẾU 3 vận DỤNG THƯỜNG

TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ HOẶC KHÔNG CÓ CỰC TRỊ..  tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm... Với giá trị nào

Trang 1

TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ HOẶC KHÔNG CÓ CỰC TRỊ.

Phương pháp

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2

 Tìm f ' x 

điểm

i

x i 1, 2,3  tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

 Xét dấu của f ' x  Nếu f ' x đổi dấu khi xqua điểm x0 thì hàm số có cực trị tại điểm x0

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

 Tìm f ' x 

PHIẾU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY

Trang 2

 Tìm các nghiệm x i 1, 2,3 i  của phương trình f ' x  0.

 Với mỗi x i tính f '' x  i

 Nếu f '' x i  0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

 Nếu f '' x i  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

Các ví dụ

Ví dụ 1 :

1 Định m để hàm số y x2 mx 2

x 1



 không có cực trị

2 Cho hàm số: y m 2 x   3 mx 2  Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại

và điểm cực tiểu

Lời giải.

1 Hàm số đã cho xác định D ¡ \{1}    ;1  1; 

Ta có: y' x2 2x m 22

(x 1)





Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi y' 0  vô nghiệm hoặc có nghiệm kép , tức phải có:

       

Vậy, với m  3 thì hàm số không có cực trị

2 Hàm số đã cho xác định trên ¡

Ta có: y   3 m 2 x   2 m

Để hàm số không có cực trị thì phương trình y   0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

         

Ví dụ 2 :

1 Định m để hàm số y (m   2)x 3  3x 2  mx 5  có cực đại, cực tiểu

Trang 3

2 Tìm m ¡ để hàm số: y  mx4m 1 x   2  1 2m chỉ có một điểm cực trị.

Lời giải.

1 Hàm số đã cho xác định D ¡

Ta có: y' 3(m 2)x   2  6x m 

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y' 0  có 2 nghiệm phân biệt , tức phải có:

2

 

      

Vậy, với m 2

3 m 1

 



  

 thì hàm số có cực đại, cực tiểu

2 Hàm số đã cho xác định D ¡

Ta có y' 4mx  3 2 m 1 x   và

 

 

  

 2

x 0 y' 0

Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình y' 0  có một nghiệm duy nhất và y' đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó Khi đó phương trình 2mx2 m 1 0    * vô nghiệm hay có nghiệm kép x 0 

 



 

    

    



m 0

' 2m m 1 0

Ví dụ 3: Tìm m  ¡ để hàm số 2

y  2x 2 m x    4x 5  có cực đại

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D ¡

Ta có:

2

y' 2 m ; y"



 Nếu m  0 thì y  2 0    x ¡ nên hàm số không có cực trị

Trang 4

 m  0 vì dấu của y''chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm có cực đại thì trước hết y" 0   m 0  Khi đó hàm số có cực đại  Phương trình y' 0  có nghiệm  1

Cách 1:

Ta có: y' 0   2 x 2  2  1 m x 2    2

Đặt t   x 2 thì  2 trở thành :

2

t 0

t

 

      



có nghiệm  m 2  4 0   m   2 (Do m 0  )

Vậy m   2 thì hàm số có cực đại

Cách 2: Với m 0  hàm số đạt cực đại tại x  x0

2

0

x 4x 5

     



Với m 0  thì  1  x 0  2 Xét hàm số :  

2

0

x 4x 5

x 2

Ta có  

2



Bảng biến thiên :

x   2

 

f ' x 

 

f x

1



Trang 5

 

Phương trình  1 có nghiệm x0 2 m 1 m 2

2

      

Ví dụ 4: Tìm m  ¡ để hàm số y x2 mx 2

x 1



 có điểm cực tiểu nằm trên Parabol  P : y  x 2   x 4

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D ¡ \ 1 

Ta có

2

x 2x m 2

x 1

 Đặt g x  x 2  2x m 2   Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình g x  0 có hai nghiệm

 

        



    





A 1  m 3; m 2 2 m 3     là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

A  P  m 2 2 m 3     1  m 3    1 m 3   4  m  2

Ví dụ 5: Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3 m 2  1 x m  3  m 1  , m là tham số Tìm m để hàm số  1 có cực đại, cực tiểu đồng thời thời khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị đến O

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D ¡

y' 3x   6mx 3 m   1

y' 0   3x  6mx 3 m   1   0 x  2mx m   1 0   x  m 1   x  m 1 

àm số có cực đại, cực tiểu  m  ¡

Điểm cực đại của đồ thị là A m 1; 2 2m   ;

Điểm cực tiểu của đồ thị là B m 1; 2 2m    

Trang 6

OB 3OA  m 1  2  2 2m  2  3 m 1  22 2m  2

m 12  2 2m2 9 m 1 2 2 2m2 2m 2 5m 2 0

            

m 2

  hoặc m 1

2



Ví dụ 6: Tìm m  ¡ để hàm số x 2 m 1 x m 2 4m 2

y

x 1



 có cực trị đồng thời tích các giá trị cực đại

và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D ¡ \ 1 

Ta có

 

g x

g x  x  2x m   3m 3 

Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình g x  0,x 1 

có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2khác 1

 

' 0

1 m 2

g 1 0

 



   





Gọi A x ; y , B x ; y 1 1  2 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x , x1 2

là nghiệm của phương trình g x  0,x 1 

Khi đó

y' 0



 





1 2

y y  1 m   4  m  3m 2 

 

2

1 2

y y  5m  14m 9 f m   và f m  có đỉnh S 7; 4

5 5



Với 1 m   2, xét f m  có  

   

m 1;2

1 2

min y y khi m

Trang 7

Câu 25 Đồ thị hàm số 4 2 2

y=mx +(m - 9)x +10 có 3 điểm cực trị thì tập giá trị của m là:

A ¡ { }0 B.(- 3;0) (È 3;+¥ ) C.(- ¥ -; 3) ( )È 0;3 D.(3;+¥ ”)

' 3 2 2 2

y =4mx +2(m - 9)x=2x(2mx +m - 9)

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ( 2) m 3

é <-ê

ê < <

ë

“Tìm m để hàm số y= -x3 3x2+mx- có hai điểm cực trị x1 1, x2 thỏa 2 2

1 2

A.m 3

2

= ”

/ 2

y =3x - 6x+ , hàm số có cực trị m /

Û = có 2 nghiệm phân biệt

2

Û - + = có 2 nghiệm phân biệt Û m<3

Khi đó:

1 2

m

x x

3

ïï

ïí

ïïî

2 2

1 2 1 2 1 2

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM

Phương pháp

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x 0

Khi đó để giải bài toán này ,ta tiến hành theo hai bước

Bước 1 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x ) 00  , từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số

Bước 2 Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa

tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

Chú ý:

Trang 8

Định lý 3: Giả sử hàm số fcó đạo hàm cấp một trên khoảng a; b chứa điểm x0, f ' x 0  0và fcó đạo

Nếu f '' x 0  0thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0.

Nếu f '' x 0  0thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.

Trong trường hợp f x'( ) 00  không tồn tại hoặc 0

0

'( ) 0 ''( ) 0

f x









 thì định lý 3 không dùng được.

Các ví dụ

Ví dụ 1 : Cho hàm số:  1 3 2 2   

3 Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 1 

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định trên ¡

y'  x  2mx m   m 1  , y'' 2x 2m  

Điều kiện cần: y' 1    0 m 2  3m 2 0    m 1  hoặc m  2

Điều kiện đủ:

Với m  1 thì y'' 1   0 hàm số không thể có cực trị

Với m  2 thì y'' 1  2 0   hàm số có cực đại tại x 1 

Vậy, m  2 là giá trị cần tìm

Nhận xét:

 Nếu trình bày lời giải theo sơ đồ sau: Hàm số đạt cực đại tại x 1 y'(1) 0

y''(1) 0

  



   thì lời giải chưa chính xác

Vì dấu hiệu nêu trong định lí 3 chỉ phát biểu khi y''(x ) 0 0  Các bạn sẽ thấy điều đó rõ hơn bằng cách giải bài toán sau:

Trang 9

2 Tìm m đề hàm số y  x 3  3(m 2)x  2  (m 4)x 2m 1    đạt cực đại tại x  1.

 Nếu ta khẳng định được y''(x ) 0 0  thì ta sử dụng   được

Ví dụ 2 : Tìm các hệ số a, b sao cho hàm số y ax2 bx ab

ax b



 đạt cực trị tại điểm x 0  và x  4

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định trên x b,a 0

a

Ta có đạo hàm

2

a x 2abx b a b y'

ax b





 Điều kiện cần :

Hàm số đạt cực trị tại điểm x 0  và x  4 khi và chỉ khi  

 

2

b a b

0

y' 4 0

0 4a b

 





 







 Điều kiện đủ :

2 2

Từ bảng biến thiên : hàm số đạt cực trị tại điểm x 0  và x  4

Vậy a  2, b  4 là giá trị cần tìm

Ví dụ 3 : Cho hàm số: y  2x2 3(m 1)x  2 6mx m  3 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB  2

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định trên ¡

Ta có: y   6(x 1)(x m)  

Hàm số có cực đại, cực tiểu  y   0 có 2 nghiệm phân biệt tức là m 1 

Trang 10

Với m  1, thì đồ thị của hàm số có các điểm cực trị là A(1; m3 3m 1), B(m; 3m )  2



AB 2  (m 1)  2 (3m2 m3 3m 1)   2 m 0; m   2 (thoả điều kiện)

Câu 101 Đồ thị hàm số 3 2

y= -x 3mx +3mx+3m+ không có cực trị khi:4

y=2x - (m- 2)x + -(6 3m)x+ + không có cực trị khi:m 1

A m<- 16 B m³ 2 C - 16< £m 2 D : - £2 m£16

y=mx +3mx - (m- 1)x- không có cực trị khi:1

A 0 m 1

4

< £ × C m<0 D m 1

4

y= +(x a) + +(x b) - x có cực đại, cực tiểu khi:

A a.b>0 B a.b<0 C a.b³ 0 D a.b£ 0

Câu 105 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2 2

y=x - 2(m- 3) x +m có 3 điểm cực trị ?

A m¹ 3 B m=0 C m<0 D m¹ 0

Câu 106 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2

y=x - mx + có 3 điểm cực trị ?3

A m>0 B m=0 C m<0 D Không có m

y=- x +2mx - 2m+ có 3 điểm cực trị ?1

Câu 108 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y=x4- m x2 2+ có 3 điểm cực trị ?3

A m<0 B m¹ 0 C m>0 D mÎ ¡

y=x - 2(m+1)x - có 3 điểm cực trị ?3

A m 0. B m>- 1 C m>1 D m>0

y=x +(m+1)x - 2m- có 3 điểm cực trị ?1

Trang 11

A m=- 2 B m<- 1 C m>0 D m>2.

y=x - 2(m- 1)x + có 3 điểm cực trị ?m

A Không có m B m³ 1 C m<1 D m>1

Câu 113 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y=x4+2(m- 2)x2+m2- 5m+ có 3 điểm cực trị ?5

A m<2 B m>2 C m<1 D m>1

y=x - 2(m+1)x + + có đúng 1 cực trị ?m 1

A m<- 1 B m=- 1 C A, B đều đúng D A, B đều sai

y=- x +2(2m- 1)x + có đúng một điểm cực trị khi:3

A m 1

2

y=x - 2(3- m)x + có đúng 1 điểm cực trị khi:2

A m<3 B m>3 C m£ 3 D m³ 3

( )C : y=- x 2 2m+ ( - 1 x 3) + có đúng 1 điểm cực trị khi:

A m 1

2

< ×

Câu 118 Đồ thị hàm số m 4 2

4

= + - + + có đúng 1 điểm cực trị khi:

C m<0 D mÎ - ¥( ;0] [È +¥1; )

y=x +2(1- m)x + có cực tiểu mà không có cực đại khi:2

A m£1 B m<1 C m>1 D m³ 1

y=- x +2(5- m)x + có cực đại mà không có cực tiểu khi:2

A m<5 B m³ 5 C m>5 D m£ 5

Câu 121 Đồ thị hàm số m 1 4 2 5

+

= - + có cực đại mà không có cực tiểu khi:

A mÎ -[ 1;0 ] B mÎ -( 1;0 ] C mÎ -[ 1;0 ) D m ( 1;0).Î

Trang 12

-Câu 122 Đồ thị hàm số 4 2

y=- x +(2m- 4)x + có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi:m

A m=2 B m>2 C m£ 2 D m<2

Câu 123 Đồ thị hàm số nào sau đây chỉ có 1 điểm cực trị ?

y=(m +4)x +9x - 1

y=- x +(m +1)x - 1

Câu 124 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y= -(1 m)x4- mx2+2m- có đúng 1 cực trị ?1

A mÎ Æ B m£ 0 C 0< <m 1 D ¡ \ (0;1)

Câu 125 Hàm số y 2x2 mx 2m 1

2x 1

=

- có hai điểm cực trị khi:

Câu 126 Hàm số

2

y

=

+ luôn có cực trị khi:

A m=0 B m 1.= C " Î ¡m D mÎ Æ

y=ax +bx + + có hai điểm cực trị A(0;0), B(1;1) thì các hệ sốcx d

a, b, c, d có giá trị lần lượt là:

A a=- 2, b=0, c=0, d=3 B a=0, b=0, c=- 2, d=3

C a=- 2, b=0, c=3, d=0 D a=- 2, b=3, c=0, d=0

ĐÁP ÁN

Trang 13

31A 32A 33A 34A 35A 36B 37A 38B 39A 40D

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	0,98 MB