ỨNG DỤNG đạo hàm PHIẾU ôn tập và GIẢNG dạy bài 2 cực TRỊ PHIẾU 4 vận DỤNG CAO

Bài toán 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC... Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đườn

BÀI 2 C C TR ỰC TRỊ Ị

PHI U 4 V N D NG CAO ẾU 4 VẬN DỤNG CAO ẬN DỤNG CAO ỤNG CAO

BÀI 2 CỰC TRỊ

PHIẾU 4 VẬN DỤNG CAO – CỰC CAO

TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp Tiến hành theo các bước sau:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số f.

Bước 2 Tính f '(x)

Bước 3.Sử dụng định lí sau: “ Nếu hàm số f có đạo hàm liên tục trên (a,b) và x0 (a; b).Thế thì điểm x0

là điểm cực trị của hàm số f nếu và chỉ nếu đạo hàm f '(x)đổi dấu khi x đi qua x0”

Bước 4.Giải quyết yêu cầu của cực trị (nếu có).

Chú ý:

* Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét

* Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau:

Định lí 1: Cho hàm đa thứcy P x   , giả sử y ax b P' x     h x  khi đó nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là: y x 0  h x 0 và y  h x  gọi là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị

Chứng minh: Giả sử x0 là điểm cực trị của hàm số, vì P x  là hàm đa thức nên P' x 0  0

 y x0  ax0  b P' x0  h x0  h x0 (đpcm)

Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ  

 

 u x y

v x khi đó nếu x0 là điểm cực

trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số:    

Vậy, với   1 m 1  thì hàm số có cực trị trái dấu nhau

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.

Phương pháp

Giả sử y' ax  2  bx c 

 Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung  y y 1 2  0

 Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  x x 1 2  0

 Hàm số có hai cực trị nằm trên trục hoành  y 1  y 2  0, y y 1 2  0

 Hàm số có hai cực trị nằm dưới trục hoành  y 1  y 2  0, y y 1 2  0

 Hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành  y y1 2 0

Vậy, với m  3 thì hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

Vậy, với 1 m   2 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

Bài toán 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC.

Phương pháp

1 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trướC.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Gọi I là trung điểm của AB.

– Giải điều kiện:  





d

I d

2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trướC.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: d(A,d) d(B,d) 

3 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị)

– Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB.

Cực trị hàm đa thức bậc 3:

1 Hàm số: y ax  3  bx 2  cx d a    0

2 Đạo hàm: y' 3ax  2  2bx c 

3 Điều kiện tồn tại cực trị

Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y   0 có 2 nghiệm phân biệt

Hoành độ x ,x1 2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y   0

Hệ quả:

Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y r x   

Đối với hàm số tổng quát : y  ax 3  bx 2  cx d (a   0) thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phươngtrình: y 2 c b 2 x d bc

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

1 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d : y  px q  .

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: k  p (hoặc  1

k

p)

2 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y  px q 

một góc .

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện:  

Ví dụ 1 : Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3m 1  (m là tham số) có đồ thị là C m. Với giá trị nào của m

thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x 8y 74 0   

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D ¡

Ta có: y'  3x 2  6mx

Đồ thị Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu  y' 0  có 2 nghiệm phân biệt x ; x1 2  m0

Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; 3m 1), B(2m; 4m   3  3m 1)  3

Chú ý: Bài toán có thể yêu cầu như sau:

‘’ Cho hàm số yx3  3mx2  3m 1 có đồ thị là Cm. Tìm trên đồ thị hàm số điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d x:  8y 74 0  ’’.

Ví dụ 2 : Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx 2  (m là tham số) có đồ thị là Cm. Xác định m để Cmcó các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y   x 1.

Gọi hai điểm cực trị là A x ; 1 y 1 ; B x ; 2 y 2

Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y   x 1 xảy ra 1 trong 2 trường hợp:

TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y   x 1

Ví dụ 3 : Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx 2  (m là tham số) có đồ thị là Cm. Tìm m để Cm có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y  4x 3 

x ; x  y' 0  có 2 nghiệm phân biệt x ; x1 2    ' 9 3m0m 3

Gọi hai điểm cực trị là A x ; 1 y1 ; B x ;2 y2

Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D ¡

Ta có: y' 3x  2  6x m 

Đồ thị Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu  y' 0  có 2 nghiệm phân biệt x ; x1 2

y' 0

  có 2 nghiệm phân biệt x ; x 1 2     ' 9 3m  0  m   3

Gọi hai điểm cực trị là A x ; 1 y1 ; B x ;2 y2

Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

 Đối chiếu điều kiện, ta thấy m  1 thỏA.

Vậy, với m  1 thỏa mãn bài toán

Với m 0 hoặc  m 1 thì Cm luôn có 2 cực trị, đồng thời hoành độ cực trị thỏa mãn phương trình

bằng IM khi và chỉ khi IM  tức k kIM  1  2 2m .11

5m

2.

Bài toán 04: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU THỎA MÃN HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC.

Phương pháp

1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trướC.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et

2 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1    ( ; ) hoặc K2   ( ; ).

Ví dụ 1 : Cho hàm số y (m 2)x   3  3x 2  mx 5  (m là tham số) có đồ thị là Cm. Tìm các giá trị của

m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D ¡

Ta có: y' 3(m 2)x   2  6x m 

Đồ thị Cm có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương y' = 0

có 2 nghiệm dương phân biệt

Khi m  0 hoặc m  9 thì đồ thị cho có cực trị tại những điểm có hoành độ x ,x 1 2 là hai nghiệm của phương trình  

Để thỏa mãn điều kiện x1 2 x  2 ta cần có :

Vậy, m  0 thỏa mãn đề bài

Ví dụ 5 : Cho hàm số y  x3 3x2 3mx 2  Tìm giá trị của tham số thực m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu và các cực trị x , x 1 2 thỏa mãn 3x12 2x22 77

25 thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 6 : Cho hàm số: y  x3 (1 2m)x  2 (2 m)x m 2    Với giá trị nào của m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng ( 2; 0) 

2 2

Th3:  

2 2

Phương pháp

1 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox,

Oy tại hai điểm A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Tìm giao điểm A, B của  với các trục Ox, Oy.

– Giải điều kiện S IAB S

2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là

điểm cho trước).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện S IAB S

3 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân hoặc tam giác đều.

– Tìm điều kiện để phương trình y   0 có 3 nghiệm phân biệt

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C Lập luận chỉ ra ABC cân tại A.

– Giải điều kiện: ABC vuông tại A  AB.AC  0

uuur uuur

; ABC đều  AB  BC

4 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S cho trướC.

– Tìm điều kiện để phương trình y   0 có 3 nghiệm phân biệt

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C Lập luận chỉ ra ABC cân tại A.

– Kẻ đường cao AH

– Giải điều kiện:  ABC  1

Ví dụ 1

1 Tìm tham số thực m để hàm số: y  x 4  2 m 1 x   2  m 1  có 3 cực trị A, B,Csao cho: OA  BC, O

là gốc tọa độ , A là cực trị thuộc trục tung, B,Clà 2 điểm cực trị còn lại

Đề thi Đại học khối B – năm 2011

2 Cho hàm số y  x 4  2(m 1)x  2  m 2  1 ,với m là tham số thựC Tìm m để đồ thị hàm số  1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Đề thi Đại học khối A,A1 – năm 2012

3 Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3 m 3  1 , m là tham số thựC Tìm mđể đồ thị hàm số  1 có hai điểm cực trị Avà B sao cho tam giác OABcó diện tích bằng 48.

Đề thi Đại học khối B– năm 2012

Khi đó y' 4x x    m 1 x     m 1   đổi dấu qua các điểm x 0,x   m 1,x   m 1  nên hàm số

có 3 cực trị tại 3 điểm này

Gọi M là trung điểm của BC  M 0; 2m – 1  

Do đó để tam giác ABC vuông cân  BC  2AM (đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền)

So với điều kiện m   1, m cần tìm là m  0.

Cách 3: ABCvuông cân  AB.AC  0  m 1    2m 1 m   22 0 

Cách 4:

Sử dụng góc ABC vuông cân  cos AB, BC·  45 0

Để hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y' 0  có 2 nghiệm phân biệt và đổi

dấu qua mỗi nghiệm, nghĩa là phải có: 2

2 Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O.

Đối chiếu điều kiện, ta thấy m  1 thỏA.

Ví dụ 3 : Cho hàm số y  x 2x 2  a; với a là tham số thực, x là biến số thựC.Chứng minh rằng đồ thị hàm

số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi a   2

Vậy, hàm số có 3 cực trị lập thành tam giác nhọn khi và chỉ khi a   2.

Ví dụ 4 : Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2  1 Xác định m để hàm số  1 có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân

  là đường thẳng d qua 2 điểm cực trị

Giả sử đường thẳng d cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tại A 6 m ; 0 ,

Tam giác OAB cân  OA OB  m 6 6 m 9 3

  ¡ , hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

Tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị là A(m; 2m 3  3m 2  1), B(m 1; 2m  3 3m )2

Suy ra AB 2 và phương trình đường thẳng AB : x y 2m   3  3m 2  m 1 0  

Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất

Vậy, với m = 0 thỏa mãn bài toán

Ví dụ 6 : Cho hàm số: y  x 3  3mx 2  (m là tham số) có đồ thị là Cm. Tìm tất cả các giá trị của tham

số m để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số C m cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định trên ¡

Ta có:y' 3x  2  3m và với mọi m  0 thì hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là  : 2mx y 2    0

Điều kiện để đường thẳng  cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt là

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi IAvuông góc IB

Gọi H là trung điểm của AB, ta có HI HA HB  

 thỏa mãn bài toán

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU LIÊN QUAN ĐẾN

Vậy, với m  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2 Giả sử đồ thị y x= 4- 2 m( 2+1 x) 2+3 có 3 cực trị A, B, C Tìm m để đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1

Diện tích tam giác ABC : 1.BC.AI 1(AB AC BC r)

2 =2 + + với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giácABC

t m= + 1

Phương trình ( )* viết lại: t2= +1 1 t+ 3

2 2

Û íï - = + Þ =ïïïî

Với t 2= tức m2+ = Û1 2 m=±1.

Ví dụ 3 Giả sử đồ thị y  mx 3  3mx 2 2m 1 x 3 m     , có đồ thị Cm có 2 cực trị Tìm m để khoảng cách từ I 1; 4

Gọi N là hình chiếu vuông góc của I lên , khi đó d I;   IN IM  , do đó khoảng cách từ I đến  bằng

là VTPT của đường thẳng AB, nuurd =( )1;8

Gọi I là trung điểm của AB, ta có: ( 3 )

I m;2m - 3m- 1

A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d

2 d

= + + - + Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực

tiểu tại x=2 Kết quả nào sau đây đúng?

y= +x 3mx +3(m - 1)x+m - 3m Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm

số có cực đại và cực tiểu Chọn kết quả đúng:

Câu 13.Tìm tất cả giá trị của m để hàm số 4 2 2

y=x - 2m x + có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam 1giác vuông cân

y=- x +2(2m+1)x - 2m Tìm giá trị của tham số m để đồ thi hàm số (1) có bađiểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1

ê =ê

ê =ê

ê =ê

Câu 15 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số 4 2

y=x - 2mx + +1 m có ba cực trị tạo thành tam giác đều

y=x - 2mx +2m+m Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có cực đại

và cực tiểu đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành tam giác đều

3

=-Câu 26: Hàm số y = │x│ Phát biểu nào sau đây sai?

A Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0 C Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

B Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0) và đồng biến trên (0; +∞) D Hàm số có đạo hàm tại x = 0 Câu 27: Hàm số: y = x3 – 3mx2 + m có hai điểm cực trị tại B và C, sao cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng,biết điểm A(-1; 3)

A Đường thẳng nối hai điểm cực trị qua gốc tọa độ O.

B Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị có dạng y=ax+b

A T= +m 1 B T= -m 1 C T=m D T=1.

Câu 42 Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số 3 2

y=4x +mx - 3x có 2 điểm cực trị với hoành

A 0< <m 3 B 0£ m£ 3 C m>3 D m<0

Câu 48 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số 2 3 1 2 2

A 1 m< <2 B 1< £m 2 C 1£ m<2 D 1£ m£ 2

Câu 51 Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số 3 2

y= -x 6x +3(m+2)x- m- 6 có hai điểmcực trị với hoành độ cùng dấu ?

A - £2 m<2 B - < £2 m 2 C 2- < <m 2 D 1 m- < <3

Nhóm 2 Điều kiện K liên quan đến tính chất hình học

Câu 52 Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 4 2

y=x - 4mx +3m- 2 có ba điểmcực trị tạo thành một tam giác nhận G 0; 5

A m= ×1 B m=2 C m¹ 0 D m=3

Câu 54 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 4 2

y=x +2mx + có ba điểm1cực trị tạo thành một tam giác vuông cân ?

A m= ±2016 B m= ±1 C m=±2 D Đáp án kháC.

Câu 56 Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số 4 2 2

y=x +2(m- 2)x +m - 5m+ có ba điểm5cực trị tạo thành một tam giác vuông cân ?

A m=1 B m= ±1 C m=- 1 D m=- 2

Câu 57 Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số 4 2 2

y=x +2(m- 2)x +m - 5m+ có ba điểm5cực trị tạo thành một tam giác đều ?

A m 2= - 3 B m 2= + 3 C m= -2 33 D m= +2 33

Câu 58 Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số 4 2 2

y=x +2mx +m + có ba điểm cực trị tạomthành một tam giác có một góc bằng 0