2 2 CUC TRI

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ... Bài toán 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI P

Dạng 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA

MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.

Phương pháp Tiến hành theo các bước sau:

x (a; b) Thế thì điểm x là điểm cực trị của hàm số f nếu và chỉ nếu đạo hàm0

f '(x) đổi dấu khi x đi qua x ”.0

Bước 4.Giải quyết yêu cầu của cực trị (nếu có).

Chú ý:

* Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểmcực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét

* Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau:

Định lí 1: Cho hàm đa thứcy P x , giả sử    yax b P' x   h x khi đó nếu   x 0

là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là: y x 0 h x 0 và yh x 

gọi là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị

Chứng minh: Giả sử x là điểm cực trị của hàm số, vì 0 P x là hàm đa thức nên 

v x khi đó nếu x là điểm cực 0trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số:    

 Hàm số có hai điểm cực trị dương  y' 0 có hai nghiệm dương phân biệt :

Vậy, với 1 m 1   thì hàm số có cực trị trái dấu nhau

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

3 có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu.

2 yx3 6x23 m 2 x m 6 đạt cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị     cùng dấu

3 y x3 3mx23(m2 1)x 6m 2 có hai cực trị trái dấu. 

2 y (m 1)x 3 3(m 1)x 22mx m có các điểm cực đại, cực tiểu Chứng minh rằng khi đó hai điểm cực trị luôn cách đều đường thẳng d : x 1 

3 y x3 (2m 1)x 23mx m có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số trái dấu nhau

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.

Phương pháp

Giả sử y' ax 2bx c

 Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung  y y1 20

 Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  x x1 20

 Hàm số có hai cực trị nằm trên trục hoành y1y20, y y1 2 0.

 Hàm số có hai cực trị nằm dưới trục hoành  y1y20, y y1 2 0

 Hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành  y y1 2  0

Cm có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành khi  1 có

3 nghiệm phân biệt tức phương trình  2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

Đồ thị Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng phía đối với trục tung 

y có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu  0

của trục tung

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D ¡

y'x  2m 1 x (m   3m 2)

Đồ thị Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung  y  0

có 2 nghiệm trái dấu  3(m2 3m 2) 0   1 m 2

Vậy, với 1 m 2 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho hàm số y x42mx2 4 Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trịcủa đồ thị đều nằm trên các trục toạ độ

tương ứng có một điểm cực trị thuộc góc phần tư

thứ  II và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ  IV của mặt phẳng tọa độ

Bài toán 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC.

Phương pháp

1 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Gọi I là trung điểm của AB

– Giải điều kiện:  





d

I d .

2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: d(A,d) d(B,d) 

3 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B

là lớn nhất (nhỏ nhất).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua haiđiểm cực trị)

– Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB.

Cực trị hàm đa thức bậc 3:

1 Hàm số: y ax 3bx2cx d a  0

2 Đạo hàm: y' 3ax 22bx c

3 Điều kiện tồn tại cực trị

Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y 0 có 2 nghiệm phân biệt

Hoành độ x ,x1 2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y 0

Hệ quả:

Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y r x  

Đối với hàm số tổng quát : y ax 3bx2cx d (a 0) thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình: y 2 c b2 x d bc

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

1 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d : ypx q 

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: k p (hoặc k 1

p).

2 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : ypx q một góc  .

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện:  

Chú ý: Bài toán có thể yêu cầu như sau:

‘’ Cho hàm số yx33mx2 3m 1 có đồ thị là Cm. Tìm trên đồ thị hàm số điểm cực

đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng : d x8y 74 0 ’’.

Ví dụ 2 : Cho hàm số yx3 3x2 mx 2 ( m là tham số) có đồ thị là Cm Xác định m để Cmcó các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1

Gọi hai điểm cực trị là A x ; 1 y1 ; B x ;2 y2

Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng

m để Cm có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị

song song với đường thẳng d: y4x 3

x ; x  y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x ; x 1 2    ' 9 3m0m 3

Gọi hai điểm cực trị là A x ; 1 y1 ; B x ;2 y2

Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d : y4x 3

  có 2 nghiệm phân biệt x ; x 1 2    ' 9 3m0m 3

Gọi hai điểm cực trị là A x ; 1 y1 ; B x ;2 y2

Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

Ví dụ 5 : Cho hàm số y x36mx29x 2m ( m là tham số) có đồ thị là  Cm Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ

O đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 4

 Đối chiếu điều kiện, ta thấy m1 thỏa

Vậy, với m1 thỏa mãn bài toán

Để  Cm có 2 cực trị khi và chỉ khi y' 0  có 2 nghiệm phân biệt đồng thời đổi dấu

2 lần qua mỗi nghiệm đó , tức là ta luôn có:

Với m 0  hoặc m 1  thì  Cm luôn có 2 cực trị, đồng thời hoành độ cực trị thỏa

mãn phương trình 3mx2 6mx 2m 1 0       .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho hàm số y x3 3x2mx Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cho có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d:

1 Cho hàm số y x3mx2 x3 Tìm m để đồ thị các điểm cực đại, cực tiểu và

đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d: y 3x 7 

2 Tìm m để hàm số: 1 3 2   

thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng  d :

8x 3y 9 0

Bài 4: Tìm m để hàm số :

1 y x3 3mx 3m 1 (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường  thẳng có phương trình x y 0

1 Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng y 4x

2 Đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D ¡

Ta có: y' 3(m 2)x  26x m

Đồ thị Cm có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là

các số dương y' = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D ¡

Ta có: y' 3x 2 6(m 1)x 9 

Đồ thị Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x ; x1 2

m thì hàm số đạt cực trị tại tại những điểm có hoành độ x ,x sao cho 1 2 x12 x 2

Khi m hoặc m 90  thì đồ thị cho có cực trị tại những điểm có hoành độ x ,x là1 2

hai nghiệm của phương trình  

Để thỏa mãn điều kiện x12 x 2 ta cần có :

Vậy, m thỏa mãn đề bài.0

Ví dụ 5 : Cho hàm số y x3 3x23mx 2 Tìm giá trị của tham số thực m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu và các cực trị x , x thỏa mãn 1 2 3x122x2277

25 thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 6 : Cho hàm số: y x3(1 2m)x 2(2 m)x m 2 Với giá trị nào của m   

để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng ( 2; 0)

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡

Ta có:  y 3x22(1 2m)x 2 m và      y 0 g(x) 3x 22(1 2m)x 2 m   0  Hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc ( 2; 0)    có 2 nghiệm phân biệt x , x và có ít 1 2

2 2

có điểm cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1

4 Tìm các giá trị của m để hàm số: ymx3 (2m 1)x 2 mx 1 có điểm cực đại vàđiểm cực tiểu ,đồng thời điểm cực đại của đồ thị hàm số có hoành độ lớn hơn 1

x m có điểm cực đại và cực tiểu tại các điểm

có hoành độ x ,x thỏa mãn 1 2 y(x ) y(x )1  2 8

3 Cho hàm số     

3 2

5 Tìm m để đồ thị hàm số: yx – 3x3 26m 3 x – 3m đạt cực trị tại hai điểm có  

Bài 4 : Tìm các giá trị của m để hàm số 1 3 1 ( ) 2 ( )

2 Tìm giá trị của m để đường thẳng d : y3 x 10 cắt đồ thị hàm số     1 tại haiđiểm phân biệt A x ; y , B x ; y 1 1  2 2 Trong trường hợp này, tìm một hệ thức giữa

 có hai điểm cực trị x ,x thỏa mãn 1 2 2 x 1  1 x20

2 yx3 3 m 1 x   23m m 2 x 12m 8     có hai điểm cực trị A và B sao cho

1 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox,

Oy tại hai điểm A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Tìm giao điểm A, B của  với các trục Ox, Oy.

– Giải điều kiện SIABS

2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện SIABS

3 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân hoặc tam giác đều.

– Tìm điều kiện để phương trình  y 0 có 3 nghiệm phân biệt

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C Lập luận chỉ ra ABC cân tại A

– Giải điều kiện: ABC vuông tại A  AB.AC 0

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C Lập luận chỉ ra ABC cân tại A.

– Kẻ đường cao AH

– Giải điều kiện:  ABC1

Ví dụ 1

1 Tìm tham số thực m để hàm số: yx4 2 m 1 x   2m 1  có 3 cực trị A, B,Csao cho: OABC, O là gốc tọa độ , A là cực trị thuộc trục tung, B,C là 2 điểm cực trị còn lại Đề thi Đại học khối B – năm 2011

2 Cho hàm số yx4  2(m 1)x 2m2  1 ,với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số  1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Đề thi Đại học khối A,A1 – năm 2012

3 Cho hàm số yx3 3mx23m3  1 , m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm

số  1 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

Đề thi Đại học khối B– năm 2012

Khi đó y' 4x x   m 1 x    m 1  đổi dấu qua các điểm

x 0,x  m 1,x  m 1 nên hàm số có 3 cực trị tại 3 điểm này

Với m 1 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là :

A 0; m , B  m 1; –2m – 1 ,  C m 1; –2m – 1 

Cách 1: Nhận xét: A Oy , B và C đối xứng qua Oy nên tam ABC cân tại A

tức là AB AC nên tam giác chỉ có thể vuông cân tại A

Gọi M là trung điểm của BC  M 0; 2m – 1  

Do đó để tam giác ABC vuông cân  BC2AM (đường trung tuyến bằng nửa

So với điều kiện m 1, m cần tìm là m0

Cách 3: ABC vuông cân AB.AC 0  m 1   2m 1 m  22 0

1 Đường thẳng đi qua hai điểm này tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích

a 2 Kết hợp điều kiện có 3 cực trị của hàm số ta được a 2

Vậy, hàm số có 3 cực trị lập thành tam giác nhọn khi và chỉ khi a 2

Ví dụ 4 : Cho hàm số yx3 3x2 mx2  1 Xác định m để hàm số  1 có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân

  là đường thẳng d qua 2 điểm cực trị

Giả sử đường thẳng d cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tại A 6 m ; 0 ,

  ¡ , hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.

Tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị là A(m; 2m33m21),

3 2

B(m 1; 2m 3m )

Suy ra AB 2 và phương trình đường thẳng AB : x y 2m  3 3m2 m 1 0 

Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới ABnhỏ nhất

Cm cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định trên ¡

Ta có:y' 3x 2 3m và với mọi m thì hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.0

Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là : 2mx y 2 0   Điều kiện để đường thẳng  cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt là

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi IA vuông góc IB

Gọi H là trung điểm của AB , ta có HIHAHB

 thỏa mãn bài toán

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1

1 Cho hàm số y x4(3m 1)x 2 3 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng 2

3 lần độdài cạnh bên

yx  2mx 2m 1 1 Định m để hàm số  1 có ba cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số  1 tạo thành một tam giác có chu vi bằng

số cho có hai điểm cực trị A, B sao cho OAB vuông tại O

2 Cho hàm số yx4 2(m 2)x 2m2 5m 5 Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân

Bài 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:

1 yx3 3mx23(m2 1)x m 34 có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB

có diện tích bằng 4 ( O là gốc tọa độ )

2 y x4 2m x2 21 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

3 y x4  2m(m 1)x 2m 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

4 y =- x3+ 3x2+ 3 m ( 2- 1 x 3m ) - 2- 1 có 2 cực trị cùng điểm O tạo thành tam giác vuông tại O

Bài 4

1 Cho hàm số y x33x2m Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho có hai

điểm cực trị A, B sao cho ·AOB 120 0

2 Cho hàm số y x42mx2 m2m Với những giá trị nào của m thì đồ thị của

có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 120 0

Bài 5

1 Tìm m để đồ thị hàm số: y x4 2mx2m 1 có 3 điểm cực trị và tam giác mà 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của đồ thị có diện tích bằng 1

2 Cho hàm số y x3 3x2m2 m 1 Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B để diện tích tam giác ABC bằng 7, với điểm C(–2; 4 ).

3 Cho hàm số yx3 3x24mx 1 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho

diện tích tam giác OAB bằng 9

20, trong đó O là gốc tọa độ

Bài 6

1 Với giá trị nào của m¡ thì đồ thị của hàm số y x44mx2 4m có 3 cực trị

là 3 đỉnh của 1 tam giác nhận điểm  

4 Tìm m để đồ thị hàm số: y x4 mx24x m có ba điểm cực trị Sao cho tam giác có đỉnh là ba điểm cực trị đó nhận gốc toạ độ làm trọng tâm

Bài 7 Tìm tham số thực m để hàm số: y2x3 3 m 1 x   26mx m 3 có cực đại

A và cực tiểu B sao cho:

1 Khoảng cách giữa A và B bằng 2

2 Hai điểm A và B tạo với điểm C 4; 0 một tam giác vuông tại C. 

Bài 8 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 4 2 m2

2

    có 3 cực trị

A Oy , B , C sao cho:

1 Tam giác ABC vuông tại A 2 Diện tích tam giác ABC bằng 32

3 Diện tích tứ giác OABC bằng 52 4 Tứ giác ABOC là hình bình hành

1 Đường thẳng đi qua hai điểm này tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích

bằng 1 ;

2 Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN, HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH THOI….