ỨNG DỤNG đạo hàm PHIẾU ôn tập và GIẢNG dạy bài 2 cực TRỊ PHIẾU 4 vận DỤNG CAO image marked

Bài toán 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC.. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường

TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP

BÀI 2 CỰC TRỊ

PHIẾU 4 VẬN DỤNG CAO

BÀI 2 CỰC TRỊ

PHIẾU 4 VẬN DỤNG CAO – CỰC CAO

TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp Tiến hành theo các bước sau:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số f

Bước 2 Tính f '(x)

Bước 3.Sử dụng định lí sau: “ Nếu hàm số f có đạo hàm liên tục trên (a,b) và x0 (a; b).Thế thì điểm x0

là điểm cực trị của hàm số f nếu và chỉ nếu đạo hàm f '(x)đổi dấu khi x đi qua x0”

Bước 4.Giải quyết yêu cầu của cực trị (nếu có)

Chú ý:

* Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét

* Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau:

Định lí 1: Cho hàm đa thứcy = P x( ), giả sử y =(ax b P' x + ) ( ) ( )+ h x khi đó nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là: y x( ) ( )0 = h x0 và y = h x( ) gọi là phương trình quỹ tích của các

v x khi đó nếu x0 là điểm cực

trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: ( )= ( ) ( )0

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Phương pháp

Giả sử y' ax = 2 + bx c +

 Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung  y y1 2 0

 Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  x x1 2  0

 Hàm số có hai cực trị nằm trên trục hoành  y1+ y2  0, y y1 2  0

 Hàm số có hai cực trị nằm dưới trục hoành  y1+ y2 0, y y1 2 0

 Hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành  y y1 2= 0

Vậy, với 1 m 2   có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

Bài toán 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC

Phương pháp

1 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trướC

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Gọi I là trung điểm của AB

– Giải điều kiện:  ⊥ I dd

2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trướC

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: d(A,d) d(B,d) =

3 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất)

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị)

– Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB

Cực trị hàm đa thức bậc 3:

y ax = + bx + cx d a +  0

2 Đạo hàm: y' 3ax = 2 + 2bx c +

3 Điều kiện tồn tại cực trị

Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y =0 có 2 nghiệm phân biệt

Hoành độ x ,x1 2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y =0

Bước 1: Thực hiện phép chia y cho y' ta có: y (1x b)y' 2 c b 2 x ( )d bc

Hệ quả:

Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y = r x( )

Đối với hàm số tổng quát : y ax = 3 + bx 2 + cx d (a 0) +  thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình: y 2 c b 2 x ( )d bc

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

1 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d : y px q = +

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: k = p (hoặc k = − 1

p)

2 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y px q= +

một góc 

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: − =

Các ví dụ

Ví dụ 1 : Cho hàm số y = − x3+ 3mx2− 3m 1 − (m là tham số) có đồ thị là ( )Cm . Với giá trị nào của m

thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x 8y 74 0 + − =

Lời giải

Hàm số đã cho xác định D = ¡

Ta có: y' = − 3x2+ 6mx

Đồ thị ( )Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu  y' 0 = có 2 nghiệm phân biệt x ; x1 2  m  0

Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; 3m 1), B(2m; 4m− − 3−3m 1)−  AB(2m; 4m )uuur 3

Trung điểm I của AB có toạ độ: I(m; 2m3− 3m 1) −

Chú ý: Bài toán có thể yêu cầu như sau:

‘’ Cho hàm số y= −x3 + 3mx2 − 3m− 1 có đồ thị là ( )Cm . Tìm trên đồ thị hàm số điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d x: + 8y− 74 0 = ’’

Ví dụ 2 : Cho hàm số y = x3− 3x2− mx 2 + (m là tham số) có đồ thị là ( )C m Xác định m để ( )C m có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1 = −

Lời giải

Hàm số đã cho xác định D = ¡

Đồ thị ( )Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu  y' 0 = có 2 nghiệm phân biệt

x ; x   = + ' 9 3m   0 m  − 3

Gọi hai điểm cực trị là A x ;( 1 y1) (; B x ;2 y2)

Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y x 1 = − xảy ra 1 trong 2 trường hợp:

TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng

Lời giải

Hàm số đã cho xác định D = ¡

Ta có: y' 3x 6x m = − −

Đồ thị ( )Cm có 2 điểm cực đại và cực tiểu  y' 0 = có 2 nghiệm phân biệt

x ; x  y' 0 = có 2 nghiệm phân biệt x ; x1 2   = + ' 9 3m   0 m  − 3

Gọi hai điểm cực trị là A x ;( 1 y 1) (; B x ; 2 y 2)

Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

Gọi hai điểm cực trị là A x ;( 1 y1) (; B x ;2 y2)

Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

=  Đối chiếu điều kiện, ta thấy m =  1 thỏA

Vậy, với m =  1 thỏa mãn bài toán

Ví dụ 6 Giả sử đồ thị y mx= 3- 3mx2+(2m 1 x 3 m+ ) + - , có đồ thị ( )Cm có 2 cực trị Tìm m để khoảng cách từ  

1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trướC

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

Ví dụ 1 : Cho hàm số y (m 2)x = + 3+ 3x2+ mx 5 − (m là tham số) có đồ thị là ( )Cm . Tìm các giá trị của

m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

Lời giải

Hàm số đã cho xác định D = ¡

Ta có: y' = 3(m 2)x + 2+ 6x m +

Đồ thị ( )Cm có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương y' = 0

có 2 nghiệm dương phân biệt

Ví dụ 6 : Cho hàm số: y = x 3 + − (1 2m)x 2 + (2 m)x m 2 − + + Với giá trị nào của m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng ( 2; 0) −

Th2: ( )

2 2

TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CÙNG ĐIỂM K TẠO THÀNH TAM GIÁC THỎA MÃN TÍNH CHẤT NÀO ĐÓ

Phương pháp

1 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox,

Oy tại hai điểm A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước)

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Tìm giao điểm A, B của  với các trục Ox, Oy

– Giải điều kiện SIAB= S

2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước)

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện SIAB= S

3 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân hoặc tam giác đều

– Tìm điều kiện để phương trình y  = 0 có 3 nghiệm phân biệt

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C Lập luận chỉ ra ABC cân tại A

– Giải điều kiện: ABC vuông tại A  AB.AC 0 =

uuur uuur

; ABC đều  AB = BC

4 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S cho trướC

– Tìm điều kiện để phương trình y  = 0 có 3 nghiệm phân biệt

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C Lập luận chỉ ra ABC cân tại A

– Kẻ đường cao AH

– Giải điều kiện: S S = ABC =1AH.BC

Ví dụ 1

1 Tìm tham số thực m để hàm số: y x = 4 − 2 m 1 x( + ) 2 + m 1( ) có 3 cực trị A,B,Csao cho: OA = BC, O

là gốc tọa độ , A là cực trị thuộc trục tung, B,Clà 2 điểm cực trị còn lại

Đề thi Đại học khối B – năm 2011

2 Cho hàm số y x = 4 − 2(m 1)x + 2 + m 2 ( )1 ,với m là tham số thựC Tìm m để đồ thị hàm số ( )1 có ba

điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Đề thi Đại học khối A,A1 – năm 2012

3 Cho hàm số y x = 3 − 3mx 2 + 3 m 3 ( )1 , m là tham số thựC Tìm mđể đồ thị hàm số ( )1 có hai điểm

cực trị Avà B sao cho tam giác OABcó diện tích bằng 48.

Đề thi Đại học khối B– năm 2012

m 1 0 +   m  − 1.

Khi đó y' 4x x = ( − m 1 x + )( + m 1 + ) đổi dấu qua các điểm x 0,x = = − m 1,x + = m 1 + nên hàm số

có 3 cực trị tại 3 điểm này

( 2) ( )

A 0;  m  , B −   m  1; –2m – 1 ,  + C( m  1; –2m – 1 + )

Cách 1: Nhận xét: A Oy  , B và C đối xứng qua Oy nên tam ABCcân tại A tức là AB = AC nên tam giác chỉ có thể vuông cân tạiA

Gọi M là trung điểm của BC  M 0;  2m – 1( − )

Do đó để tam giác ABC vuông cân  BC = 2AM (đường trung tuyến bằng nửa cạnh

So với điều kiện m  − 1, m cần tìm là m = 0.

Cách 3: ABCvuông cân  AB.AC = 0 ( ) ( )2

Nhận xét: A thuộc Oy nên OA = yA = 3m ,d B,OA3   = 2 m và SABC= 48

Để hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y' 0 = có 2 nghiệm phân biệt và đổi

dấu qua mỗi nghiệm, nghĩa là phải có:    y' 0 36m2   0 m  0

1 Đường thẳng đi qua hai điểm này tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1;

2 Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O

Lời giải

TXĐ: D =¡ \ − m

Hàm số có có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu khi phương trình 2 + − 2 − =

x 2mx 2m m 0 có hai nghiệm phân biệt khác −m tức m  − 1

3 hoặc m  0

1 Phương trình đường thẳng qua hai cực trị là : y 2x m = − , theo bài toán ta có: A m; 0( ) và B 0; 2m( − )

y = x x + a ; với a là tham số thực, x là biến số thựC.Chứng minh rằng đồ thị hàm

số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi a  − 2

Vậy, hàm số có 3 cực trị lập thành tam giác nhọn khi và chỉ khi a  − 2

Ví dụ 4 : Cho hàm số y x= 3−3x2−mx 2+ ( )1 Xác định m để hàm số ( )1 có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân

  là đường thẳng d qua 2 điểm cực trị

Giả sử đường thẳng d cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tại A 6 m ; 0 ,

Ví dụ 5 : Cho hàm số y = 2x3− 3(2m 1)x + 2+ 6m(m 1)x 1 + + ( )1 Xác định m để M(2m ; m)3 tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ( )1 một tam giác có diện tích nhỏ nhất

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên ¡

Ta có:y' 6x = 2− 6(2m 1)x 6m(m 1) + + + và y' 0 =  = x m, x m 1 = +

m

   ¡ , hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

Tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị là A(m; 2m3+ 3m2+ 1), 3 2

B(m 1; 2m + + 3m )

Suy ra AB = 2 và phương trình đường thẳng AB : x y 2m + − 3− 3m2− m 1 0 − =

Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất

Vậy, với m = 0 thỏa mãn bài toán

Ví dụ 6 : Cho hàm số: y = x3− 3mx 2 + (m là tham số) có đồ thị là ( )Cm . Tìm tất cả các giá trị của tham

số m để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ( )C m cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên ¡

Ta có:y' = 3x2− 3m và với mọi m  0 thì hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là  : 2mx y 2 0 + − =

Điều kiện để đường thẳng  cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt là

2 IAB

=  = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi IAvuông góc IB

Gọi H là trung điểm của AB, ta có HI HA HB = =

= thỏa mãn bài toán

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU LIÊN QUAN ĐẾN

Vậy, với m 2 = thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2 Giả sử đồ thị y x= 4- 2 m( 2+1 x) 2+ 3 có 3 cực trị A, B, C Tìm m để đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1

Lời giải

Diện tích tam giác ABC: 1.BC.AI 1(AB AC BC r)

2 = 2 + + với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

ïïïîVới t 2= tức m2+ = Û1 2 m= ±1

Ví dụ 3 Giả sử đồ thị y mx = 3 − 3mx 2 +(2m 1 x 3 m + ) + − , có đồ thị ( )Cm có 2 cực trị Tìm m để khoảng cách từ I 1; 4

+ +

Câu 3 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y= - x3+ 3mx2- 3m 1

-có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0?

= + + - + Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực

tiểu tại x= 2 Kết quả nào sau đây đúng?

m7

= D Kết quả khác

Câu 3.Cho hàm số y= x3+ 3mx2+ 3(m2- 1)x+ m3- 3m Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm

số có cực đại và cực tiểu Chọn kết quả đúng:

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

m2

=

Câu 11.Cho hàm số y= 4x3+ mx2- 3x Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho có 2 điểm

cực tri ̣ x ,x tho1 2 ̉a x1= - 4x2

Câu 13.Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y= x4- 2m x2 2+ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam 1

giác vuông cân

A m= ±1 B m= 1 C m= 0 D m= - 1

Câu 14 Cho hàm số y= - x4+2(2m 1)x+ 2- 2m Tìm giá trị của tham số m để đồ thi hàm số (1) có ba

điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1

ê =êë

ê =êë

ê =êë

Câu 15 Tìm tất cả các giá trị của mđể đồ thị hàm số y= x4- 2mx2+ +1 m có ba cực trị

tạo thành tam giác đều

A m= 33 B m> 0 C 3

m2

=

Câu 18 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 3 2 ( 2 ) 3

y= x - 3mx + 3 m - 1 x- m có hai điểm cực trị trái dấu

Câu 25 Cho hàm số y= x4- 2mx2+2m+m4 Vớ i giá tri ̣ nào của m thì đồ thi ̣ hàm số đã cho có cực đa ̣i

và cực tiểu đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành tam giác đều

3

1m3

= D

3

1m

3

=

-Câu 26: Hàm số y = │x│ Phát biểu nào sau đây sai?

A Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0 C Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

B Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0) và đồng biến trên (0; +∞) D Hàm số có đạo hàm tại x = 0 Câu 27: Hàm số: y = x3 – 3mx2 + m có hai điểm cực trị tại B và C, sao cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, biết điểm A(-1; 3)

A Đường thẳng nối hai điểm cực trị qua gốc tọa độ O

B Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị có dạng y= ax+ b

C Tổng hai giá trị cực trị là b

D Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía so với trục tung

Câu 29 Hàm số y= x3- (m 1)x- 2- x+ 2 có 2 điểm cực trị x , x thỏa mãn điều kiện 1 2 3(x1+ x )2 = 2khi:

A m= - 2 B m= - 1 C m= 1 D m= 2

m2

m3

m2

Câu 36 Hàm số y= x3- 3(m 1)x+ 2- 9x- m có 2 điểm cực trị x , x thỏa mãn điều kiện 1 2 2 2

1 2

x + x = 10 khi:

m4

-Câu 46 Đồ thị hàm số y  ax= 3+ bx2+ cx  d+ đạt cực trị tại x , x nằm về hai phía so với trục tung khi 1 2

A 1< m< 2 B 1< m£ 2 C 1£ m< 2 D 1£ m£ 2.

Câu 51 Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y= x3- 6x2+ 3(m+ 2)x- m 6- có hai điểm cực trị với hoành độ cùng dấu ?

A 2- £ m< 2. B 2- < m£ 2 C - 2< m< 2 D - 1 m< <3

Nhóm 2 Điều kiện K liên quan đến tính chất hình học

Câu 52 Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y= x4- 4mx2+3m 2- có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận 5

m8

9

3

1m9