+ Số âm không có căn bậc hai.. Căn bậc hai số học + Với số a không âm, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.
Trang 1BÀI 1: CĂN BẬC HAI I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1 Căn bậc hai: Căn bậc hai của số thực a không âm là số thực x sao cho x2 = a
Chú ý:
+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai, là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là a , số âm kí hiệu là a
+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0
+ Số âm không có căn bậc hai
2 Căn bậc hai số học
+ Với số a không âm, số a được gọi là căn bậc hai số học của a
+ Chú ý: Ta có 2
0
x
a x
x a
�
�
� �
�
3 So sánh các căn bậc hai số học
Ta có : a < b 0 a b
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học của một số Phương pháp giải:
Nếu a > 0 thì các căn bậc hai của a là �a; căn bậc hai số học của a là a
Nếu a = 0 thì căn bậc hai của a và căn bậc hai số học của a cùng bằng 0
Nếu a < 0 thì a không có căn bậc hai và do đó không có căn bậc hai hai số học
Bài 1: Tìm các căn bậc hai và căn bậc hai số học của các số sau:
a) 0 b) 64 c) 9
16 d) 0,04 e) -81 f) 0,25 g) 1,44 h) 140
81 HD:
a) Căn bậc hai và căn bậc hai số học của 0 cùng là 0
b) Căn bậc hai của 64 là ±8; căn bậc hai số học của 64 là 8
c) Tương tự, các căn bậc hai và căn bạc hai số học của 9
16 lần lượt là 3
4
� và 3
4 d) Các căn bậc hai và căn bậc hai số học của 0.04 lầ lượt là ±0,2 và 0,2
Trang 2e)Không tồn tại f) ±0,5 và 0,5
g) ±1,2 và 1,2 h) 11
9
� và 11
9 Bài 2: Tìm căn bậc hai số học của các số sau
9
1
HD:
a) 12 có căn bậc hai số học là: 12 b) 121 có căn bậc hai số học là: 121
c)4
9 có căn bậc hai số học là:
4
9 d) 0,09 có căn bậc hai số học là: 0,3
e) 40
1
81 có căn bậc hai số học là:
11
9 f) 0 có căn bậc hai số học là 0
g) 64 có căn bậc hai số học là: 8 h) -81 không có căn bậc hai số học n) 9
16có căn bậc hai số học là:
3
4 m) 0,04 có căn bậc hai số học là: 0,2
Dạng 2: Tìm số có căn bậc hai số học là một số cho trước Phương pháp giải:
Với số thực a� 0 cho trước ta có a2 chính là số có căn bậc hai số học bằng a
Bài 1: Mỗi số sau đây là căn bậc hai số học của số nào?
a) 12 b) -0,36 c) 2 2
7 d) 0, 2
3
e) 13 f) 3
4
g) 1 2
2 5 h) 0,120,3
n) – 0,49 m) 1
7
l) 1 2
0,12 0,7
HD:
a) Số có căn bậc hai số học bằng 12 là 144
Trang 3c) Tương tự, số có căn bậc hai số học bằng 2 2
7 là 8 7
d) Số có căn bậc hai số học bằng 0, 2
3 và 0,04
3
g) 1
3 n)Không tồn tại số nào có căn bậc hai số học là -0,49
m) Không tồn tại số nào có căn bậc hai số học bằng 1
7
l) Số có căn bậc hai số học bằng 1 2
2 7 là
1 10
r) Số có căn bậc hai số học bằng 0,12
0,7 là
0,12 7
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai Phương pháp giải: Với số a�0 ta có a2 a v� a 2a
Bài 1: Tính:
a) 9 b) 4
25 c) 2
( 6)
d)
2 3 4
49
B f) C ( 8)2 g) A 121 h) 121
169
B
n) C ( 2)2 m)
2
3 5
D � �
� �
� �
HD:
a) Ta có 9 32 3 b) Ta có
2
� �
� �
� �
c) Ta có 2 2
d) Ta có
Trang 4e)Ta có: 4 2
B �B f) Ta có: C ( 8)2 �C 64 �C 8 g)
B �B
n)C ( 2)2 �C 2 m)
2
D � �� � �D
� �
Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức sau
B
c) 2 81 1 16
2 9 5 16
e) A = 49 25 4 0, 25 f) B = ( 169 121 81) : 0, 49
g) C = 1 9 9 18
16 16
HD:
a) A0,5 0, 04 5 0,36 �A0,5.0, 2 5.0,6 �A3,1
B �B �B
e) A = 49 25 4 0, 25 7 5 4.0,5 14
f) B = ( 169 121 81) : 0, 49 (13 11 9) : 0,7 10
g) C = 1 9 9 18 25 3 18 1.18 9 3
Trang 5Bài 5:Tính
a 52 42 b 262242 c 852842
HD:
a 5242 (5 4)(5 4) 9 3
b 262242 100 10
c 852842 169 13
Dạng 4: Tìm giá trị của x thỏa mãn biểu thức cho trước Phương pháp giải: Ta sử dụng chú ý:
x2a2�x �a
Với số a 0� , ta có x a �x a 2
Bài 1:Tìm x không âm biết :
d) 2 1 3
3
x e) 2x 1 3 0 f) 2
4 13 3
x x
HD :
a) x 5�x52 25
b) x 2�x( 2)2 2
c) x 2�không x
x � x
f) x24x13 3 � x2
Bài 2: Tìm giá trị của x biết :
a) 9x2 – 16 = 0 b) 4x2 = 13 c) 2x2 + 9 = 0
Trang 6d) 2x 1 2 0
3 e) x 1 3(x�0) f) x2 1 2 g) x25x20 4 n) 2x 1 3
3 m) 2x 1 3 0 l) x24x 13 3
HD:
a) Ta có
2
9 16 0
x x � x � �� �� x�
� � b) Ta có
2
4 13
� �� ��� �
c) Vì x2 � �0 2x2 9 0� ��x
2 1 6 2 1 6
2
x � x �x e) x 1 3(x� �0) x 4�x16
f) x2 1 2 �x2 1 2�x2 1�x�1
g) 2 5 20 4 2 5 20 16 2 5 4 0 1
4
x
x
�
� � � � � n) 13
3
x m) x�� l) x = 2
Bài 3: Tìm giá trị của x, biết:
a) 2x1
3 b) �3x 1 5
2 c) 2x 1 7 d) 2x 1 �3
2 e) x 3 f) 3x 9
HD:
a) Ta có 2x<<�<<1 2x 1 0 2x 1 0 x 1
b) ĐK : �3x 1 0 x 1
Ta có �3x���1 5 3x 1 25 x 49
Trang 7c) ĐK: x�1 Ta c� -2x+ 1>49 �x 24
d) ĐK: x���1 Ta c� 2x-1 9 x 13
2 4 8 Kết hợp ĐK ta được � �
1 13 x
e) x 3 � x 9 0 x 9
f) 3x 9� 3x 81�3x81� x27
Dạng 5: So sánh các căn bậc hai số học Phương pháp giải:
Phương pháp 1: Ta có : a< b 0 a b
Phương pháp 2 :
Bước 1 : Xác định bình phương của hai số Bước 2 : So sánh các bình phương của hai số Bước 3 : So sánh giá trị các CBHSH của các bình phương của hai số
Bài 1: So sánh các số sau
a) 2 38 và 151 b) 7 11 và 11 7 c)2 3 và 3 2
d)6 7 và 7 6 e)4 3 và 7 f) 4 17 và 17
HD:
a) Cách 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh a với b
Ta có 2 38 2 382 152 151�2 38 151 Cách 2: So sánh bình phương của hai số
Ta có: 2 2
2 38 4.38 152; 151 151
Do 152 151 và 2 38 0 2 38 151
151 0
�
b) Ta có 7 11 và 11 7 là hai số âm
Nên ta cần so sánh 7 11 7 11 và 11 7 11 7 Cách 1:Đưa thừa số vào trong căn để so sánh a với b
11 7 11 7 847;7 11 7 11 539
Do 539 847 �7 11 11 7 �7 11 11 7
Trang 8Vậy 7 11 11 7 Cách 2:So sánh bình phương của hai số
11 7 11 7 847; 7 11 7.11 539
539 847 � 7 11 11 7 �7 11 11 7 �7 11 11 7 Vậy 7 11 11 7
c) Cách 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh a với b
Ta có 2 3 2 32 12;3 2 3 22 18
Vì 12 18 � 12 18 �2 3 3 2 Cách 2: So sánh bình phương của hai số
Ta có: 2 2
2 3 4.3 12; 3 2 9.2 18
12 18 � 2 3 3 2 � 2 3 3 2 d)Cách 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh a với b
Ta có 6 7 6 72 252; 7 6 7 62 294
Vì 252 294 � 252 294 � 252 294 �6 7 7 6 Cách 2: So sánh bình phương của hai số
Ta có: 2 2
6 7 36.7 252; 7 6 49.6 294
252 294 � 6 7 7 6 � 6 7 7 6 � 6 7 7 6 e)Cách 1:Vì 48 49 � 48 49 �4 3 7
Cách 2: So sánh bình phương của hai số
2
2
4 3 7 �4 3 7 f)Cách 1: Vì 272 289 � 272 289� 272 289 �4 17 17 Cách 2: So sánh bình phương của hai số
2
272 289 � 4 17 17 �4 17 17 �4 17 17 Bài 2: So sánh:
a) 3 và 2 2 b) 5 và 17 1 c) 3 và 15 1 d) 1 3 và 0,2 e) 120 và 97 f) 81 và 19
Trang 9g) 2 và 1 2 h) 1 và 3 1
HD:
a) Ta có 329 v� 2 2 28 m� 9>8 n�n 3>2 2
b) Ta có 5 4 1 16 1 m� 16 17 (v� 16<17) n�n 5< 17 1
c) Tương tự câu b, 3 4 1 16 1 m� 16 15 (v� 16>15) n�n 3 > 15 1
d) Ta có 1 3 1- 3<0 m� 0< 0,2 n�n 1- 3< 0,2
e) Vì :120 97 � 120 97
f) Ta có: 81 = 9 < 19
g)Ta có: 2 1 1 1 2 �2 1 2
h)Ta có: 1 2 1 4 1 3 1 �1 3 1
Bài 3: So sánh các số sau
a) 7 15 và 7 b) 3 26 và 15 c) 2 11 và 3 5
d) -30 và 5 35 e) 30 2 45
4
và 17 f)
15 24 và 101 1
g) 17 2 15
6
và
2
HD :
a) Ta có: 7 9 9; 15 16 4 �7 15 3 4 7
b Ta có: 26 25 5 �3 26 3.5 �3 26 15
c) Ta có : 2 3; 11 25 � 2 11 3 5
d) Ta có : 35 36 6 �5 35 5 36 30 �5 35 30
e) Ta có : 30 2 45 30 2 49 30 2.7 4 16 17
f)Ta có
Trang 10Vậy 101 1 15 24
g) Ta có 17 2 15 17 2 16 3 17 2 15 2 2 17 2 15
Vậy 17 2 15 2
6
Bài 4: So sánh các số sau
c)5 5 3 và 1 d) 11 145 và 2
e)7 4 5 và 2 f) 9 4 5 và 18
HD:
a) Xét 11 7 16
Vì 14 16 � 14 16 �7 14 7 16�7 14 11 b) Xét 7 9 4
Vì 4 5�9 4 9 5 �7 9 5 c) Xét 1 5 16;5 5 3 5 15
Vì 16 15�5 16 5 15�1 5 5 3 d) Xét 2 11 169
Vì 145 169 � 11 145 11 169� 11 145 2 e) Xét 2 7 9 7 81;7 4 5 7 80
Vì 81 80 �7 81 7 80� 2 7 4 5 f) Xét 18 9 81; 9 4 5 9 80
Vì 81 80 � 9 81 9 80 � 18 9 4 5
Bài 5: So sánh các số sau
a) 15 1 và 10 b) 17 3 và 4 3
c) 4 5 3 và 37 d) 37 5 và 120 e) 2 11 và 3 5
HD:
a) Xét 15 16 � 15 1 3, mà 3 9 10 � 15 1 10
b)Xét 17 16 � 17 3 7 48 � 17 3 4 3
c)Xét 80 81 � 4 5 3 6, mà 36 37 � 4 5 3 37
Trang 11d)Xét 37 36 � 37 5 11 � 37 5 121
mà 121 120 � 37 5 120 e)Xét 2 3 và 11 25 � 2 11 3 5
Bài 6: So sánh các số sau
c) 3 2 và 2 6 d) 8 và 15 7
3 12 và 4 37
HD:
Đưa về so sánh A2 và B2
2 3 5 2 6 5 24; 10 10 5 25
24 25 � 2 3 10 � 2 3 10
5 2 9 4 5 9 80; 2 6 8 2 12 8 48
9 80 8 48 � 5 2 2 6 � 5 2 2 6
3 2 7 4 3 7 48; 2 6 8 2 12 8 48 � 3 2 2 6
3 2 2 6 3 2 2 6
d) Xét
2
2
2 2
15 7 22 2 105;8 22 2 441
15 7 8
15 7 8 15 7 8
�
e) Xét 2
3 2 2 17 12 2 17 288 và 22 17 169
17 288 17 169 � 3 2 2 2 �3 2 2 2 f) Ta có
3 12 108 4 3 48
Vì
2 2
48 108 4 3 3 12 4 3 3 12
��� � �� �� ���� Bài 7: So sánh các số sau
a) 30 29 và 29 28 b) 27 6 1 và 48
c) 15 10 và 18 d) 22 35 và 16
e) 21 2 và 14 3 f) 17 6 và 21 2
g) 15 2 và 14 3 h) 9 và 6 + 2 2
Trang 12n) 2+ 3và 3 m)16 và 9 + 4 5 l) 11 3 và 2
HD:
a) Ta có 30 29 30 29 1; 29 28 29 28 1
30 29 29 28
b) 27 6 1 3 3 6 1 và 48 4 3 3 3 3
mà 6 1 3 1 3� 27 6 1 48
c) Xét 18 15 3 15 9
Vì 9 10�15 9 15 10 Vậy 15 10 18. d) Xét 16 22 6 22 36
Vì 35 36�22 35 22 36 Vậy 22 35 16
e) Ta có 2 2 2
21 2 21 2 21 2 2 23 2 42
14 3 14 2 14 3 3 14 2 42 3 17 2 42
23 17 23 2 42 17 2 42 21 2 14 3
21 2 14 3
� Vậy 21 2 14 3
17 6 23 2 102; 21 2 23 2 42
23 2 102 23 2 42 � 17 6 21 2 � 17 6 21 2 Vậy 17 6 21 2
g) Ta có 2
15 2 15 2 15 2 2 17 2 30 ; 2
14 3 17 2 42
17 2 42 17 2 30 � 14 3 15 2 � 14 3 15 2 Vậy 14 3 15 2
h) Ta có : 9 6 3 6 9 ; 6 2 2 6 8
Vậy 9 6 2 2
n) Ta có : ( 2 3) 2 5 2 6; 9 5 4 5 2.2
Trang 13Do 6 2 nên 2 3 3
m) Ta có : 16 4 2 (2 2) ; 9 4 5 (2 2 5) 2
Vậy 16 9 4 5
l) Ta có : 11 3 12 3 2 3 3 3 4 2
Vậy 11 3 2
Nhận xét: Khi so sánh a b và c d mà 2 2 2 2
a b c d thì ta sẽ đi so sánh bình phương của hai số, rồi từ đó suuy ra kết quả
Bài 8: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần 23;2 7;5 6; 8 2; 127
HD:
Ta có 8 2 8 22 128 127 0
Ta so sánh các số dương23;2 7;5 6 như sau:
23 23 529; 2 7 2 7 28;5 6 5 6 150
Do 28 150 529 � 28 15 529�2 7 5 6 23
Vậy 128 127 2 7 5 6 23.
Bài 9: So sánh hai số sau 29 28 và 28 27
HD:
29 28 29 28 29 28 1 29 28
29 28
28 27 28 27 28 27 1 28 27
28 27
28 27 29 28
Vậy 28 27 29 28
Nhận xét: Để so sánh hai số dạng a b và b d (a, b, c, d là các số dương) mà a b b d
ta làm như sau:
a b a b a b; b d b d b d
Sau đó từ việc so sánh hai số a b và b d ta sẽ só sánh được hai số a b và b d Bài 10: So sánh
Trang 14a 2 2 2 2 2 và 2 b x 13 15; y 11 17
c x 23 21; y 19 17 d x 12 5; y 20 3
HD :
b Ta có:
(13 15 11 17); , x y0�x 28 2 13.15; y 28 2 11.17 �x y �x y
c Ta có: (23 21 19 17); 23 21 2 ; 2
vì 23 21 19 17�x y Chú ý:a b, 0 a b a b a b a b a b
a b
d Ta có12.5 20.3; x2 17 2 60;y2 23 2 60 �x2 y x y2 , 0�x y
Bài 11: Tìm số lớn hơn trong các cặp số sau:
a) 11 và 2 30 b) 2 và 1 2
c) 1 và 3 1 d) -10 và 3 11
HD:
a) 2 30 b) 1 2 c) 3 1 d) 3 11
Dạng 6: Chứng minh một số là số vô tỉ:
Bài 1: Chứng minh:
a) 3 là số vô tỉ b) 2 3 là số vô tỉ
HD:
a) Giả sử 3 m
n là số hữu tỉ với m,n Z,n 0 và (m,n) =1
Từ 3 m�m23n2�m 32M�m 3M�m 3k
Thay m=3k vào m2 3n2 ta được n2 3k2� n 32M � n 3 M
Như vậy m,n có ước chung là 3, trái với giả thiết (m,n)=1
Trang 15Vậy 3 là số vô tỉ.
b) Giửa sử 2 3 a là số hữu tỉ Ta có � 2
Tương tự ý a, ta chứng minh được 6 là số vô tỉ (2)
Tuy nhiên, vì a là số hữu tỉ nên a2 5
2 cũng là số hữu tỉ (3)
Từ (1),(2), (3) dẫn đến điều vô lý
Vậy 2+ 3 phải là số vô tỉ
Bài 2: Chứng minh các số sau là số vô tỷ
HD :
b) Giả sử 7 3 m là số hữu tỉ � 7 m 3�Q
mà 7 là số vô tỉ, trái với giả thiết nên 7 3 là số vô tỉ
Bài 3: Chứng minh:
a) 5 là số vô tỉ b) 3 5 là số vô tỉ
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Mỗi số sau đây là căn bậc hai số học của số nào?
a) 7 b) � �� �
� �
3
4 c) 3 2
2 3 d) 0, 250,5
HD: a) 49 b) 9
16 c)
3
2 d)
0,625 2
Bài 2: Tính: a) 225
9 b) 2
111 c)
2 1 400
�� ��
� � d)
2 7 3
HD: a) 15
3 b) 111 c)
-1
400 d)
7 3
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:
Trang 16a) 2 259 16 144
5 2 81 b) 0,5 0,09 2 0,25 1
4
c) 19 3 64
289 10 0,09
HD:
a) 12 b) -0,35 c) -11
4 d)
-13 4
Bài 4: Tìm giá trị của x biết:
a) –x2 + 324 =0 b) 16x2 – 5 = 0
x 3 d) 4x24x 1 3
HD:
a) x = � 18 b) x = 5
4
� c) 13
x 4
d) x � 1;2 Bài 5: So sánh các cặp số sau:
a) 4 và 1 2 2 b) 4 và 2 6 1
c) 0,5 và 3 2 d) 3 3 và 2 7
HD:
a) 4 1 2 2 b) 4 2 6 1 c) 0,5 3 2 d) 3 3 2 7
Bài 6: So sánh : 2015 2018 và 2016 2017
HD:
Đặt A 2015 2018 và B 2016 2017
Ta có A22015 2018 2 2015.2018 4033 2 2015.2018
Tương tự B 4033 2 2016.2017
Mặt khác 2015.2018= (2016-1)(2017+1)= 2016.2017- 2<2016.2017
Bài 7: Tìm x thỏa mãn
Trang 17HD :
b) Điều kiện: 1
2
x� , bình phương hai vế ta được: x ≥ 2 ( thỏa mãn )
Bài 8: tìm x thỏa mãn: a) 2x 1 7 b) x 9 31 � HD:
a) x<-24 b) 0 x 484� � Bài 9: Tìm x biết:
a) 2x 1 � x 1 b) 2x� x2
HD:
a) ĐK: 1
x 2
� Bình phương hai vế ta tìm được x 2� (TMĐK)
b) ĐK; x 0 � Bình phương hai vế ta có
x 0
�
�
�
Kết hợp ĐK ta được x=0 hoặc x 2�
Bài 10: Chứng minh:
a) 7 là số vô tỉ b) 7 3 là số vô tỉ
HD:
a) Tương tự
b) Giả sử 7 3 a là số hữu tỉ Suy ra 7 a 3 Q �
Mà 7là số vô tỉ, trái với giả thiết � 7 3 là số vô tỉ
Bài 11: Cho biểu thức : P x 2 2x 3
a) Đặt t 2x 3 Hãy biểu thị P theo t
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
HD:
a) Đặt
2
2
� � từ đó P 1t2 2t 3
Trang 18b) Ta có 1 2 1
Từ đó tìm được min 1 7
�
Bài 12: So sánh:
a) 1 1 1 1
1 2 3 100 và 10 b) 4 4 4 4 và 3
HD:
b) Ta có
�
�