Chuyên đề phương trình mặt phẳng

D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của phương trình mặt phẳng... Phương trình mặt ph ẳng trung trực của đoạn AB có m ột VTPT là:.[r]

• Gọi n

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α Ta có : n ⊥a

, n ⊥b

và a, b

là hai vectơ không cùng phương ⇒ =  n a b , 

 Ký hiệu nα

là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α , ud

là véctơ chỉ phương của đường thẳng d

• Đường thẳng d song song hoặc nằm trong mặt phẳng ( )α suy ra n α ⊥u d

• Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )α suy ra nα

, ud

là hai véctơ cùng phương

• Hai mặt phẳng ( )α và ( )β song song với nhau suy ra nα, nβ

là hai véctơ cùng phương

• Hai mặt phẳng ( )α và ( )β vuông góc với nhau suy ra n α ⊥nβ

 Mặt mặt phẳng ( )α đi qua điểm M x y z( 0; 0; 0) và nhận n=(A B C; ; )

là vectơ pháp tuyến có phương trình dạng : A x( −x0)+B y( −y0)+C z( −z0)= 0

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Tìm VTPT, các vấn đề về lý thuyết

 PTMP trung trực của đoạn thẳng

 PTMP qua 1 điểm, dễ tìm VTPT (không dùng tích có hướng)

 PTMP qua 1 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng

 PTMP qua 1 điểm, tiếp xúc với mặt cầu

 PTMP qua 1 điểm, cắt mặt cầu

 PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách

 PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

 PTMP qua 2 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng

 PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách

 PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK khác

 PTMP qua 3 điểm không thẳng hàng

 PTMP theo đoạn chắn

 PTMP song song với mp, thỏa ĐK

 PTMP qua 1 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng (đường-mặt)

 PTMP qua 1 điểm và chứa đường thẳng

 PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

 PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách

 PTMP ch ứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với đường thẳng khác

 PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với mặt phẳng

 PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK về góc, khoảng cách

 PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với mặt cầu

 PTMP theo đoạn chắn thỏa ĐK với đường thẳng

 PTMP song song với mp, thỏa ĐK

 Toán Max-Min liên quan đến mặp phẳng

 Điểm thuộc mặt phẳng thỏa ĐK

BÀI T ẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( )P : 2x+3y+ + =z 2 0 Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của ( )P ?

A n3(2;3; 2). B n1(2;3; 0). C n2(2;3;1). D n4(2; 0;3)

Phân tích hướng dẫn giải

1 D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )α :− +y 2z− =3 0 Vectơ nào

dưới đây là vectơ pháp tuyến của ( )α ?

Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )α : 2x− + − =y z 1 0 Vectơ nào

dưới đây không là vectơ pháp tuyến của ( )α ?

Vectơ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α là n=(2;1;1)

Câu 7. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng

(Oxy)?

A y= 0 B x= 0 C z=0 D z− = 1 0

Lời giải

Ch ọn C

Mặt phẳng (Oxy) đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến là k=(0; 0;1)

nên có phương trình z= 0

Câu 8. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(3; 0; 0), N(0; 2; 0− ) và P(0; 0; 2)

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(−1; 4; 2) Mặt phẳng ( )α

tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại điểm A(1; 2; 1− có một vectơ pháp tuyến là )

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α là n=(3; 6; 2− )

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )α đi qua M(0; 0;1) và song song với

giá của hai vectơ a =(1; 2;3− )

đi qua M(0; 0;1) và có một véc tơ pháp tuyến n= −( 10; 4; 6)

Ta xét hai mặt phẳng  R và  S lần lượt có véctơ pháp tuyến là:

Xét các cặp còn lại ta thấy chúng không song song với nhau

Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 1;1− ), B(1; 2; 4) Viết phương trình

mặt phẳng ( )P đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB

⇒ − − + + + − = ⇔ − +x 3y+3z+ =2 0⇔ −x 3y− − = 3z 2 0

Câu 5 Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(1;3; 2− ) và song song với mặt

Gọi I là trung điểm của AB Ta có: I(1; 0;1)

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I(1; 0;1) và có vec tơ pháp tuyến là

(4; 2; 0)

n = AB=

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 4(x− +1) (2 y−0)=0⇔2x+ − = y 2 0

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) 2 2 2

S x +y +z + x− y− = và một điểm A(1;1; 0) thuộc ( )S Mặt phẳng tiếp xúc với ( )S tại A có phương trình là

Ch ọn D

Mặt phẳng (P) đi qua điểm ( 1;2;0)A − và nhận ( 1;0;2)n −

là VTPT có phương trình là: 1(x 1) 0(y 2) 2(z 0) 0

Vậy − +x 2z− = 1 0

Phương pháp trắc nghiệm (nên có)

Từ tọa độ VTPT suy ra hệ số B= 0, vậy loại ngay đáp án − +x 2y− = và 5 0 − +x 2y− = 5 0

Chọn 1 trong 2 PT còn lại bằng cách thay tọa độ điểm A vào

Câu 9 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A(3; 2; 2− − ), B(3; 2; 0), C(0; 2;1)

(ABC): 2x 3y 6z 0

Phương pháp trắc nghiệm

Sử dụng MTBT tính tích có hướng

Hoặc thay tọa độ cả 3 điểm A B C, , vào mặt phẳng xem có thỏa hay không?

Câu 10 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Phương trình mặt phẳng qua A(2;5;1) và song

song với mặt phẳng (Oxy) là

 M ức độ 3

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho phương trình của mặt cầu

S x +y +z − x+ y+ z = Gọi ba điểm A, B, C lần lượt là giao điểm ( khác gốc

tọa độ O ) của mặt cầu ( )S với các trục tọa độ , ,Ox Oy Oz Phương trình mặt phẳng (ABC) là

Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M(−3;1; 4) và gọi , ,A B C lần lượt là hình

chiếu của M trên các trục Ox Oy Oz, , Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt

Từ giả thiết ta có : n P ⊥n Q

và n P ⊥u d

nên chọn nP =n u Q, d=(3;1;1)

( )P đi qua điểm A(0;1; 0) và có VTPT nP =(3;1;1)

là VTPT của ( )P

Do ( )

( )

/ // / '

có phương trình là: x−4y+5z− = 2 0

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 4;1), B(−1;1;3) và mặt phẳng

( )P :x−3y+2z− =5 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )Q đi qua hai điểm ,A B và vuông góc

( )Q : 2y 3z 11 0

Câu 7 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm , A(2;1;1 , 3; 0; 1) (B − ) Mặt phẳng ( )α đi qua

hai điểm ,A B và song song trục Ox có phương trình là

là :2y− − = z 1 0

Câu 8 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm , A(2;1;1 , 3; 0; 1) (B − ) Mặt phẳng ( )α đi qua

hai điểm ,A B và song song trục Oy có phương trình là

là : 2x+ − = z 5 0

Câu 9 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm , A(2;1;1 , 3; 0; 1) (B − ) Mặt phẳng ( )α đi qua

hai điểm ,A B và song song trục Oz có phương trình dạng ax+by+cz− =3 0 với a b c, , ∈  Tính giá trị của biểu thức P=2a b+ −10c

Mặt phẳng ( )α đi qua hai điểm ,A B và song song trục Oz nên ( )α có một vectơ pháp tuyến

Khi đóP=2.1 1 10.0+ − = 3

Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;1;1 , 3; 0; 1 , 2; 0;3) (B − ) (C ) Mặt phẳng ( )α đi

qua hai điểm ,A B và song song v ới đường thẳng OC có phương trình là

d d

Câu 2 Trong không gian Oxyz cho điểm H(1;1;3) Phương trình mặt phẳng ( )P đi qua H cắt

các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (khác O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC là

Tương tự: OH ⊥AB ⇒OH ⊥(ABC) hay OH=(1;1;3)

là vectơ pháp tuyến của mặt

phẳng ( )P

Mặt phẳng ( )P đi qua H(1;1;3) nên phương trình mặt phẳng ( )P là: x+ + − =y 3z 11 0

Câu 3 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm S(−1; 6; 2), A(0; 0; 6), B(0;3; 0), C(−2; 0; 0) Gọi

H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện S ABC Mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H

− ⇔ − +3x 2y+ − =z 6 0 Đường thẳng d qua điểm Svà vuông góc với mặt phẳng (ABC) là:

A

H S

1 3: 6 22

1 3

6 22

x y z t

Câu 4 Trong không gian mặt phẳng qua G(1; 2;3) cắt các trục tọa độ tại điểm , ,A B C

sao cho G là tr ọng tâm tam giác ABC có phương trình ax+by+cz−18= T0 ổng

Câu 5 Trong không gian phương trình mặt phẳng ( )P đi qua M(1; 2; 4) và cắt các tia

Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ

a b

Câu 6 Trong không gian Oxyz cho hai điểm C(0; 0;3) và M( 1;3; 2)− Mặt phẳng ( )P qua C,

M đồng thời chắn trên các nửa trục dương Ox Oy, các đoạn thẳng bằng nhau Mặt

Câu 7 Trong không gian Oxyz, biết mặt phẳng ( )P :ax+by− 2z+ =d 0 với a>0 đi qua hai

điểm A(0;1; 0), B(1; 0; 0) và tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc 60° Khi đó tổng a b d+ +

Măt phẳng (yOz) có vectơ pháp tuyến là i=(1; 0; 0)

Câu 8 Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng ( )P qua M(1; 2;1), lần lượt cắt các tia

Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho hình chóp O ABC đều là

Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Ozyzcho điểm A(2; 1; 2− − ) và đường thẳng d có

z

t t

x y z t

Ta có d d( ,( )P )=d K( ,( )P )=KH ≤KA= 14 Nên khoảng cách từ d đến ( )P đạt giá

trị lớn nhất bằng 14 khi mặt phẳng ( )P qua A và vuông góc với KA

Khi đó có thể chọn VTPT của ( )P là KA=(1; 2; 3)− −

(1; 2; 3)

Vậy ( )P vuông góc với mặt phẳng 3x+ + =z 2 0

Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; 0; 0), B(1; 2;1) và C(2; 1; 2− ) Biết mặt phẳng

( )P qua B, C và tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC Khi đó mặt phẳng ( )P có

Phương trình (OBC) qua O và có VTPT a =(1; 0; 1)−

Phương trình (ABC) qua A và có VTPT b=(5;3; 4)

là: 5x+3y+4z−15=0 Tâm I cách đều hai mặt phẳng (OBC) và (ABC) suy ra:

Nhận xét: Hai điểm A và O nằm về cùng phía với ( )α nên loại ( )α

Hai điểm A và O nằm về khác phía ( )β nên nhận ( )β

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P là (10; ;a b) thì a=3, b= −1

Vậy a b+ =2

• Gọi n

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α Ta có : n ⊥a

, n ⊥b

và a, b

là hai vectơ không cùng phương ⇒ =  n a b , 

 Ký hiệu nα

là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α , ud

là véctơ chỉ phương của đường thẳng d

• Đường thẳng d song song hoặc nằm trong mặt phẳng ( )α suy ra n α ⊥u d

• Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )α suy ra nα

, ud

là hai véctơ cùng phương

• Hai mặt phẳng ( )α và ( )β song song với nhau suy ra nα, nβ

là hai véctơ cùng phương

• Hai mặt phẳng ( )α và ( )β vuông góc với nhau suy ra n α ⊥nβ

 Mặt mặt phẳng ( )α đi qua điểm M x y z( 0; 0; 0) và nhận n=(A B C; ; )

là vectơ pháp tuyến có phương trình dạng : A x( −x0)+B y( −y0)+C z( −z0)= 0

 PTMP trung trực của đoạn thẳng

 PTMP qua 1 điểm, dễ tìm VTPT (không dùng tích có hướng)

D ẠNG TOÁN 24: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

 PTMP qua 1 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng

 PTMP qua 1 điểm, tiếp xúc với mặt cầu

 PTMP qua 1 điểm, cắt mặt cầu

 PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách

 PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

 PTMP qua 2 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng

 PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách

 PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK khác

 PTMP qua 3 điểm không thẳng hàng

 PTMP theo đoạn chắn

 PTMP song song với mp, thỏa ĐK

 PTMP qua 1 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng (đường-mặt)

 PTMP qua 1 điểm và chứa đường thẳng

 PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

 PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách

 PTMP ch ứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với đường thẳng khác

 PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với mặt phẳng

 PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK về góc, khoảng cách

 PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với mặt cầu

 PTMP theo đoạn chắn thỏa ĐK với đường thẳng

 PTMP song song với mp, thỏa ĐK

 Toán Max-Min liên quan đến mặp phẳng

 Điểm thuộc mặt phẳng thỏa ĐK

BÀI T ẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng: ( )P : 2x+3y+ + =z 2 0 Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( )P ?

Phân tích hướng dẫn giải

1 D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của phương trình mặt phẳng

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1;0;1),B(−2;1;1) Phương trình mặt

phẳng trung trực của đoạn AB có một VTPT là:

Câu 4 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm A( 1;0;1)− và

song song với mặt phẳng ( )P x: −2y z− + =1 0 có một VTPT là

Câu 5 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Phương trình mặt phẳng qua A(2;5;1) và song

song với mặt phẳng (Oxy)có vectơ pháp tuyến là:

L ời giải:

Ch ọn C

Mặt phẳng (Oxy ) có vectơ pháp tuyến là n=(0; 0;1)

Nên mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy)có vectơ pháp tuyến là n =(0; 0;1)

Thay tọa độ điểm M vào các pt của các mp ta thấy tọa độ điểm M chỉ thỏa mãn ptmp ( )R

Câu 8 Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 3− ) đến mp( )P x: +2y−2z− = 2 0

Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A2; 1;1 ,  B 1; 0; 4và C0; 2; 1  

Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC có VTPT là:

Gọi ( )α là mặt phẳng chứa AB và song song với CD

Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2x+5y+ −z 18=0

Câu 4 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (P)là mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc

với

mặt phẳng (Q):x+ y+z−3=0 Phương trình mặt phẳng (P) là:

A. y + z=0 B. y − z=0 C y − z−1=0 D.y − z2 =0

L ời giải Chọn B

A. d song song với ( )P B. d nằm trong ( )P

C. d cắt và không vuông góc với ( )P D. d vuông góc với ( )P

Ta có I(1;2;3) là tâm của mặt cầu ( )S ⇒= − −( )= − ( − ⇒) ( − )

Ta có ud =(2; 3;1− )

, nβ =(1;1; 1− )

Mặt phẳng ( )α đi qua M(0; 2;3− ) và có vectơ pháp tuyến nα =u n d, β=(2;3;5)

( )α : 2x 3y 5z 9 0

Câu 8 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi   là mặt phẳng qua các hình chiếu của A5; 4;3

lên các trục tọa độ Phương trình của mặt phẳng   là:

Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho hai mặt phẳng ( )α :x−2y+2z− = , 3 0

( )β :x−2y+2z− = Khoảng cách giữa hai mặt phẳng 8 0 ( ) ( )α , β là bao nhiêu ?

=

−0

0

z x

z x

B 





=+

=

−0

0

y x

y x

01

z x

z x

D 





=+

=

−0

02

z x

z x

−0

0

z x

z x

Câu 3 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

S x− + y− + −z = , điểm A(0; 0; 2) Phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và cắt mặt cầu ( )S theo thiết diện là hình tròn ( )C có diện tích nhỏ nhất ?

Câu 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( )P

cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1; 2;1),

Cách 1: Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của C trên AB , Klà hình chiếu vuông góc B trên

AC M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M BKCH

K

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm M(1; 2;3)

và cắt các tia Ox , Oy, Oz lần lượt tại các điểm , ,A B C sao cho T 12 12 12

Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;3) và mp

( )P x my: + +(2m+1)z− +(2 m) 0,= với m là tham số Gọi H a b c là hình chi( ; ; ) ếu vuông góc

của điểm A trên ( )P Tính a b+ khi khoảng cách từ điểm A đến ( )P lớn nhất