Bổ chính QCD cho sinh cặp squark trong quá trình hủy cặp e+e

Trong tương lai, khi máy va chạm haron lớn, LHC,vận hành trơn tru, ta mới đặt vấn đề xét chi tiết những quá trình hủy cặp quark.Trong luận văn này, chúng tôi trình bày những tính toán bổ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-Nguyễn Bá Linh

BỔ CHÍNH QCD CHO SINH CẶP SQUARK TRONG QUÁ TRÌNH

HỦY CẶP e+e

-LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán

Mã số: 60.44.01

Cán bộ hướng dẫn: TS Toán lý Phạm Thúc Tuyền

Hà Nội – 2011

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG I: SUSY VÀ LÝ THUYẾT CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG I.1 Sự cần thiết của siêu đối xứng 7

I.2 Susy 9

I.3 Tính chất cơ bản của biểu diễn nhóm Susy 13

I.4 Siêu không gian 17

I.5 Siêu trường thuận tay 21

I.6 Siêu trường vectơ 27

I.7 Lý thuyết chuẩn siêu đối xứng 32

CHƯƠNG II: MSSM TRONG CHUẨN ‟t HOOFT - FEYNMAN II.1 Nội dung trường trong MSSM 39

II.2 Lựa chọn chuẩn và Lagragean tương tác 50

II.3 Kết luận về MSSM trong chuẩn ‟t HOOP -FEYNMAN 65

CHƯƠNG III : BỔ CHÍNH QCD CHO SQUARK TRONG QUÁ TRÌNH HỦY CẶP ELECTRON - POSITRON III.1 Các phương trình cơ bản 69

III.2 Hủy cặp e +e− trong SM 73

III.3 Hủy cặp trong MSSM 76

KẾT LUẬN 85

TÀI LIỆU THAM KHẢO 86

MỞ ĐẦU

cách hấp dẫn nhất Nó không những giữ ổn định [2] hệ thống thứ bậc giữa thangtương tác yếu với thang Planck của Mô hình Thống nhất lớn (viết tắt là GUT)ngay cả khi xét đến các bổ chính bức xạ Nếu xét vi phạm ở thang năng lượngtương đối lớn, ví dụ như trong trường hợp của Siêu hấp dẫn (viết tắt là SUGRA[3]) ta có thể tìm được nguồn gốc của sự phân chia thứ bậc thông qua những sốhạng vi phạm bức xạ của đối xứng chuẩn [4] Thêm nữa, các mô hình SUSY cho

ta một trong những giải pháp tự nhiên đối với bài toán Vật chất Tối [5], và cho tamột lý thuyết Thống nhất lớn tương thích cho tất cả bốn loại tương tác chứkhông bỏ sót tương tác hấp dẫn như SM Tất cả những đặc tính hấp dẫn nói trên

có thể tìm thấy trong Mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (viết tắt là MSSM)

Hệ quả của tính siêu đối xứng là sự tồn tại của các siêu hạt đồng hành chotất cả các hạt đã biết với spin sai khác 1/2 Siêu hạt đồng hành của hạt chất sẽ làcác hạt vô hướng slepton và squark Siêu hạt đồng hành của các hạt trường sẽ là

nên chúng có thể đọc là Win và Zin và do đó, siêu hạt đồng hành sẽ là Wino vàZino) và gluino Siêu hạt đồng hành của các hạt Higgs là Higgsino Nếu có hạtgraviton, truyền tương tác hấp dẫn, siêu hạt đồng hành sẽ là gravitino

Tuy vậy, cho đến nay chưa có dấu hiệu trực tiếp nào chứng tỏ sự tồn tạicủa siêu hạt đồng hành; Những tìm kiếm thực nghiệm chỉ cho ta giới hạn thấpnhất của khối lượng của chúng (LEP [6],[7] và Tevatron [8]) Vì vậy, nhữngphép đo chính xác các bổ chính bức xạ có chứa siêu hạt đồng hành sẽ đóng vaitrò quan trọng Những bổ chính quan trọng nhất là liên quan đến tương tácmạnh, tức là có xét những vòng của squark và gluino Quá trình tốt nhất hiện nay

để thực hiện việc đo đạc đối với quá trình sinh cặp squark từ quá trình hủy cặp

1 Supersymmetry, viết tắt SUSY, là đối xứng mở rộng của không-thời gian Nó được coi mở rộng như duy nhất thỏa mãn định lý no-go của Sidney Coleman và Jeffrey Mandula.

2 Standard Model, viết tắt là SM

2

hành ở năng lượng cỡ TeV Trong tương lai, khi máy va chạm haron lớn, LHC,vận hành trơn tru, ta mới đặt vấn đề xét chi tiết những quá trình hủy cặp quark.

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày những tính toán bổ chính QCDsiêu đối xứng cho sự sinh cặp squark trong phản ứng hủy cặp e+e− trong đó cóxét đến việc pha trộn giữa squark tay đăm và tay chiêu (left-handed và right-handed squark), đồng thời tính cả đến hiệu ứng khối lượng khác không củaquark

Nội dung chính của Luận văn được trình bày trong ba chương Chươngthứ nhất sẽ trình bày về SUSY và sự mở rộng SM thành lý thuyết chuẩn siêu đốixứng SGFT (Supersymmetric Gauge Field Theory) Chương thứ hai sẽ trình bàymột trong những mô hình của SGFT là MSSM khi nhóm chuẩn là tích của banhóm chuẩn của SM trong chuẩn ‟t Hooft-Feynman Chương thứ ba sẽ tính cáccông thức bổ chính vòng cho quá trình sinh cặp quark có tính đến đóng góp mộtvòng kín của squark, gluino và thảo luận kết quả số với những kết quả thựcnghiệm thu được ở LEP Các kết luận tóm tắt sẽ được trình bày ở phần kết luận

Bổ chính SUSY QCD cho quá trình sinh cặp squark ở phản ứng hủy e+e−

đã được thảo luận trong [9], [10] trong đó đã bỏ qua hiệu ứng pha trộn squark vàảnh hượng của khối lượng quark

Trong [11] cũng đã xét đến hiệu ứng của pha trộn squark và thấy rằng nórất nhỏ và có thể bỏ qua Tuy vậy, ở đó chỉ tính đến sơ đồ cây Trong luận vănnày chúng ta xét đến cả bổ chính một vòng kín Ta cũng chỉ tính cho đóng gópcủa gaugino tương tác điện yếu và Higgs boson vì đóng góp một vòng kín của K

và B meson đã được tính trong [9] và cũng được coi là nhỏ

Trong giới hạn khối lượng quark bằng không và không tính đến sự phatrộn squark kết quả của chúng tôi trùng với [10] và [11] Kết quả thực nghiêmtrên LEP [12] đã được dùng và thang năng lượng cho quá trình hủy e+e− là

s = 500 GeV

Các tính toán số sẽ được thực hiện nhờ gói phần mềm FeynArts vàFormCalc do nhóm Hagen Eck and Sepp Küblbeck [13] thiết kế Tuy nhiên, để

làm điều đó chúng ta phải tính bằng tay Lagrangian tương tác trong một chuẩnnhất định Trong [1] đã làm điều đó cho chuẩn unitary và trong [4] đã làm điều

đó cho trường thành phần nguyên thủy Các kết quả trong những công trình trên

đã được dùng làm chuẩn để so sánh với kết quả mà chúng tôi thu được Trongluận văn này chuẩn được chọn là ‟t Hooft-Feynman và trường trong lý thuyết làtrường vật lý, nghĩa là đã xét đến sự pha trộn của các trường nguyên thủy Cáclựa chọn này có ưu điểm là dễ so sánh với các kết quả thực nghiệm mà chúng tôi

có được

CHƯƠNG I

SUSY VÀ LÝ THUYẾT CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG

I 1 Sự cần thiết của siêu đối xứng.

Một trong những nguyên nhân dẫn đến giả thiết siêu đối xứng của thế giớivật chất là tìm cách khử những phân kì xuất hiện trong tính toán các đại lượngvật lý của lý thuyết trường lượng tử Nếu lý thuyết trường bất biến siêu đốixứng, mỗi bậc tự do fermion sẽ tương ứng với một bậc tự do boson và ngượclại Mặt khác, vì sự đóng góp phân kỳ của hai bậc tự do này bằng nhau và tráidấu nhau, cho nên, các phân kỳ đều tự khử, ít nhất là các phân kỳ bình phương.Như vậy, phân kỳ logarithm được khử nhờ đối xứng tương đối tính, phân kỳbình phương được khử nhờ siêu đối xứng [14]

Thêm vào nữa, trong mô hình tiêu chuẩn, ngoài vật chất thông thường là

quark và lepton, ta còn cần đến trường Higgs H để sinh khối cho các hạt và cho

boson chuẩn (gauge boson) truyền tương tác yếu, thông qua cơ chế Higgs Tuy

H

trong thế Higgs :

U = m H2

4

tương tác diễn ra ở thang năng lượng của tương tác yếu Tuy nhiên, vấn đề ở

lần lớn hơn bậc giá trị cần có

Tuy nhiên, nếu xét đến bổ chính năng lượng riêng với sơ đồ một vòng kín

(Hình 1.1a), trong đó hạt ảo là fermion f, tương tác với trường Higgs bằng

Lagrangian -λf H f f , thì đóng góp vào m2H sẽ có

Nếu giả thiết tồn tại thêm một hạt bosson vô hướng s tương tác với trường

H

Hình 1.1 Sơ đồ năng lượng riêng của trường Higgs

Như vậy, nếu cả hai hạt cùng tồn tại, tổng của (1.2) và (1.3) sẽ bằngkhông nếu mỗi bậc tự do quark và lepton trong mô hình tiêu chuẩn có “các bạn

(× 10 30)

5

spinơ và bậc tự do tensơ cũng là rất hợp lý Rất khó giải thích vì sao trong tựnhiên, một bậc tự do nào đó là ưu tiên hơn so với bậc tự do khác Hơn nữa,người ta đã chứng minh rằng, siêu đối xứng là đối xứng cực đại của S - ma trận.Khi đó, tự nhiên sẽ bị khống chế bởi nhiều sự ràng buộc hơn và do đó, ta có cơhội tìm lời giải thích hợp lí cho hiện tượng như giam cầm quark, lượng tử hóađiện tích v.v….

Từ những lý do, mặc dù đến nay chưa có bằng chứng nào về sự tồn tạicủa các siêu hạt đồng hành, nhưng lí thuyết trường phải là tái chuẩn hóa và thực

tế về sự phân cấp tương tác ở thang năng lượng của tương tác yếu là những luận

cứ có tính chất thuyết phục để chúng ta tin rằng, thế giới tự nhiên thực sự là siêuđối xứng

Đối xứng ngoài của lý thuyết trường tương tác (S-ma trận) là nhóm

nhóm đối xứng ngoài là nhóm bảo giác (conformal group) Tuy nhiên, chúng vẫnchỉ là vô hướng, vectơ hay tensơ, mà ta gọi chung là vi tử sinh boson hay vi tửsinh chẵn

Nhóm đối xứng trong gồm các phép biến đổi tác dụng lên hàm trường

hương của quark Theo định lý no-go, vi tử sinh của đối xứng trong luôn là các

vô hướng đối với nhóm đối xứng ngoài

SUSY giả thiết rằng, bên cạnh các vi tử sinh vô hướng của nhóm đối xứngtrong, ta còn có một số vi tử sinh spinơ Q a , sao cho giao hoán tử của chúng với

hay fermion và là các spinơ Majorana Phép toán Lie giữa chúng không phải là

giao hoán tử mà là phản giao hoán tử Đại số giữa các vi tử sinh sẽ bao gồm các

giao hoán tử cho chẵn với chẵn, chẵn với lẻ, còn sẽ là phản giao hoán tử cho các

lẻ với lẻ, thỏa mãn quy tắc sau đây:

[chẵn, chẵn] → chẵn, [chẵn, lẻ] →lẻ, {lẻ, lẻ} →chẵn

Đồng nhất thức Jacobi cũng được tổng quát hóa một cách tương ứng, chú ý

thêm đến tính phản giao hoán của spinơ:

Bằng quy tắc nói trên và sử dụng đồng nhất thức Jacobi, ta có thể chứng

minh được rằng, ngoài những giao hoán tử quen thuộc của đại số Poincaré:

trong đó, Ξ

αβ

hợp có một vi tử sinh lẻ, đối xứng được gọi là siêu đối xứng, còn trường hợp có

N = 2,3, vi tửsinh lẻ, siêu đối xứng được gọi là mở rộng Trong luận án này takhông xét đến siêu đối xứng mở rộng

Để dễ kết hợp siêu đối xứng với đối xứng trong thông thường, ta thườngdùng không phải ngôn ngữ spinơ Dirac bốn chiều mà diễn đạt nó thông qua

là biểu diễn (0,1 / 2) , còn Q là biểu diễn (0,1 / 2) của nhóm SL(2,C) Chỉ số của

thành phần của ma trận Pauli, ta dùng vectơ bốn thành phần:

Chúng có một chỉ số có chấm và một chỉ số không chấm Khi đó, hai biểu diễn

Qα ,T 

 ak với S kαβ là ma trận biểu diễn

δ A = −iε

trường fermion, và ngược lại, nó biến trường fermion thành trường boson Vì lẽ

đó, ta thường nói, phép biến đổi siêu đối xứng biến trường boson thành fermion

và ngược lại Nếu cho trước một đa tuyến fermion, để nó đóng kín đối với phépbiến đổi siêu đối xứng, ta phải mở rộng đa tuyến sao cho nó chứa cả thành phầnboson Đa tuyến thu được bằng cách siêu đối xứng hóa như vậy, được gọi làsiêu đa tuyến Siêu đa tuyến thu được từ một đa tuyến fermion, sẽ chứa thêmthành phần boson, chúng có thể coi là thành phần của hạt boson đồng hành vớihạt fermion ban đầu Tương tự, nếu siêu đối xứng hóa đa tuyến boson, ta sẽđược siêu đa tuyến có chứa thêm thành phần fermion Các thành phần fermiontạo nên hạt siêu đồng hành của hạt boson ban đầu Kết quả là, nếu tự nhiên làsiêu đối xứng, mỗi hạt boson sẽ có hạt fermion đồng hành, ngược lại, mỗi hạtfermion sẽ có hạt boson đồng hành

Từ (1.13) suy ra, hạt siêu đồng hành của hạt có spinơ 1/2 là hạt vô hướng,còn hạt siêu đồng hành của hạt vectơ là hạt fermion có spin 1/2 Như vậy, tươngứng với mỗi hạt chất ta có hạt siêu đồng hành vô hướng Tên hạt đồng hành củahạt chất được tạo nên từ tiếp đầu tố “s” và tên của hạt tương ứng Như vậy ta sẽ

có slepton, bao gồm selectron, smuon và stauon và squark, bao gồm sup, sdown,sstrange, scharm, sbottom và stop Tương ứng với mỗi hạt lực, ta sẽ có hạt siêuđồng hành là các fermion Majorana chứ không phải fermion Dirac Tên hạt đồnghành của hạt lực được tạo nên từ việc thay thế vĩ tố “on” bằng (nếu không có thì

thêm) “ino” ở tên hạt tương ứng Như vậy, ta sẽ có ba loại gaugino đồng hành

Hạt siêu đồng hành của hạt Higgs là Higgsino Trường của Higgsino là

spinơ Majorana chứ không phải là spinơ Dirac

tử Casimir, tức là nó giao hoán với mọi vi tử sinh của biểu diễn, cho nên các hạttrong một siêu đa tuyến có cùng một khối lượng Tuy nhiên, khác với đại sốPoincaré, bình phương toán tử Pauli-Lubanski:

Wµ=1 2 εµνρσPνMρσkhông còn là toán tử Casimir, cho nên, các hạt trong cùng một siêu đa tuyến cóthể có spin khác nhau

I 3 Tính chất cơ bản của biểu diễn nhóm SUSY

Sử dụng đại số siêu đối xứng ở trên ta dễ dàng xác định được một số tínhchất cơ bản của lý thuyết siêu đối xứng [15] Vì đại số siêu đối xứng đầy đủ chứađại số Poincaré như một đại số con, cho nên, mọi biểu diễn của đại số siêu đốixứng đầy đủ đều chứa một biểu diễn của đại số Poincaré, mặc dù nói chung nó làbiểu diễn khả quy Vì mỗi biểu diễn bất khả quy của đại số Poincaré tương ứngvới một hạt, một biểu diễn bất khả quy của đại số siêu đối xứng nói chung sẽtương ứng với nhiều hạt Các trạng thái tương ứng sẽ liên quan đến nhau thông

hạt và siêu hạt đồng hành của nó được gọi là siêu đa tuyến Để đơn giản, ta sẽcoi mỗi biểu diễn bất khả quy của đại số siêu đối xứng đơn giản là một siêu đatuyến Như vậy, ta có:

Tất cả các hạt thuộc biểu diễn bất khả quy của siêu đối xứng, nghĩa làthuộc cùng một siêu đa tuyến, thì có cùng khối lượng Như đã nói ở trên, điềunày suy từ tính Casimir của toán tử P2

10

P2 = PµPµ

điều này ta xét Φ là một trạng thái bất kỳ Do tính xác định dương của khônggian Hilbert ta có, theo (1.9):

0 ≤|| Q a | Φ || 2 + || (Q a)+ | Φ || 2= Φ | ( (Q a)+ Q a

{ a b }

vì (Q b )+ ≡Q b Lấy tổng theo α ≡b= 1, 2 và do tr σµ= 2 δµ0 , ta được 0 ≤ 4 Φ P0 Φ

Trong một siêu đa tuyến, số bậc tự do boson và fermion phải bằng nhau

Tr (−)N

F = 0

đối với mọi biểu diễn với số chiều hữu hạn bất kì Để chứng minh điều này, ta

hoán vị vòng quanh, ta thu được:

0 = Tr

Siêu đa tuyến không khối lượng Đầu tiên ta xét biểu diễn bằng hạt

nên ta chọn hệ quy chiếu trong đó

vậy ta được :

(−)N

F

11

suy ra Q= Q

1

tử sinh fermion Nếu ta định nghĩa :

= 1, a,a+

Trạng thái đó là một biểu diễn bất khả quy của đại số Poincaré, và do có khối

dạng:

λ0 , a+

(fermion), trạng thái sau sẽ có độ xoắn nguyên (boson) và ngƣợc lại Nhƣ vậy,

các siêu đa tuyến sẽ không thể bất biến CPT, bởi vì CPT là đảo dấu của độ xoắn

Để thoả mãn bất biến CPT, ta cần phải gấp đôi những đa tuyến này bằng cách

thêm vào phần liên hợp CPT với độ xoắn ngƣợc lại và số lƣợng tử ngƣợc lại

Nhƣ vậy, ta sẽ có:

(vectơ không khối lượng) và một fermion Weyl , cả hai đều cần thiết trong biểu

diễn phó của nhóm chuẩn

Đa tuyến gravitinomột boson chuẩn

Đa tuyến graviton

Nói chung đến nay không có hạt với độ xoắn lớn hơn 2 Thêm nữa,

gravitino chỉ có mặt trong một lý thuyết có hấp dẫn, cho nên, nó chỉ phải xuất

hiện một lần trong đa tuyến hấp dẫn Vì vậy đa tuyến gravitino không thể xuất

hiện trong siêu đối xứng không mở rộng Tuy nhiên nó lại xuất hiện trong siêu

đối xứng mở rộng khi phân tích các đa tuyến lớn hơn thành các đa tuyến có

N=1.

Siêu đại số có khối lượng Bây giờ ta sẽ xem xét trường hợp P2 > 0 Sử

Nếu ta đặt:

c a

Khi đó, c và liên hợp hermitian của chúng thoả mãn đại số của dao động tử điềuhoà :

{c a ,c b+}= mδab

Nhƣ vậy, ta thu đƣợc 4 trạng thái, đƣợc đánh số thứ tự lại theo độ xoắn của nó

nhƣ là đa tuyến không khối lƣợng trong đó mở rộng CPT sẽ trùng với chính nó)

13

(1,1 / 2,1 / 2, 0) Trường hợp sau giống như trạng thái vectơ không khối lượngcộng với một đa tuyến thuận tay và khối lượng sẽ thu được từ chúng thông qua

cơ chế Higgs Theo cách biểu diễn trường hợp khối lượng này thì đây là mộtvectơ, một fermion Dirac và một vô hướng thực duy nhất

I 4 Siêu không gian

Để đưa siêu đối xứng vào lý thuyết trường lượng một cách tự nhiên ta sẽdùng khái niệm siêu không gian [16]

Siêu không gian là tập hợp bao gồm không gian “chẵn” Minkowski với

Grassmann

Phép tịnh tiến trong không gian lẻ sẽ cảm sinh một phép biến đổi lên siêutrường, tức là phép biến đổi “trong”, đồng thời, nó cũng cảm sinh ra một phépbiến đổi lên tọa độ không thời gian thông thường, tức là phép biến đổi ngoài, bởi

một vectơ [17] Như vậy, đối xứng trong và đối xứng ngoài được liên kết mộtcách rất đơn giản thông qua tịnh tiến trong không gian lẻ

theo quy tắc thông thường, nghĩa là:

θθ =θαθ

α

và để dễ nhớ, ta gọi quy tắc cộng chỉ số không chấm là “tây bắc-đông nam” cònchỉ số có chấm là “tây nam-đông bắc” Ta dễ dàng chứng minh các đồng nhấtthức sau đây:

14

công thức (1.25) ta có:

triển nhƣ sau:

Tích phân theo biến Grassmann trong siêu không gian đƣợc định nghĩa

nhƣ sau:

Dễ dàng kiểm tra lại:

∫

15

trong trường hợp biến boson (∂ µ)+ = −∂ µ

Bây giờ chúng ta có thể biểu diễn các vi tử sinh lẻ Qα , Qα = (Qα )+ của đại

số siêu đối xứng bằng đạo hàm theo biến siêu không gian Để đơn giản, ta xétphép tịnh tiến vi phân lên θ Chúng ta muốn iε α Qα + iε αQα tạo ra sự tịnh tiến

thuộc tọa độ θ và tham số ε Do ε cự nhỏ, ta có thể thấy δxµ=iθσµε −iεσµθ Khiđó:

Từ đó suy ra:

D ,Q

{ α β

I 5 Siêu trường thuận tay (chiral superfield)

Trường xác định trong siêu không gian sẽ được

Taylor sau đây:

gọi là siêu trường Do tọabất kỳ luôn có khai triển

F (x,θ ,θ)= f (x)+θψ ( x) +θχ( x)+θθ m (x)+θθn (x)+

1.40

+θσµθυ µ(x)+θθθλ( x)+θθθρ( x)+θθθθd (x)

17

Như vậy, siêu trường là tập hợp hữu hạn các trường thành phần f,ψ χ,m,

Số lượng trường thành phần tuy hữu hạn, những cũng đủ lớn gây khó khăn choviệc tính toán và đoán nhận ý nghĩa vật lý của chúng Vì vậy, tùy theo việc tìnhtrạng cổ điển mà ta muốn mô tả, ta sẽ yêu cầu siêu trường thỏa mãn những điềukiện nhất định

Do SM ta cần trường thuận tay, chiral, cho nên, ta cũng sẽ đề ra tiêu

(siêu trường tay chiêu), nếu nó thỏa mãn điều kiện sau đây:

kiện sau đây:

Các siêu trường tay đăm và tay chiêu, theo (1.41) và (1.42) không chỉ phụ thuộcvào một biến lẻ, bởi vì, đạo hàm trong đó đạo hàm không phải là đạo hàm riêngtheo biến lẻ mà là đạo hàm hiệp biến Có thể thấy rằng:

Dαθ= D α θ= Dα y µ= D α y µ= 0

yµ = xµ + i θσ µ θ , y µ = xµ − i θσ µ θ 1.43

cho nên, siêu trường thuận tay sẽ chỉ còn phụ thuộc tường minh vào một biến lẻ

vả vào yµ hoặc

dạng:

φ( y,θ)= z (y )+

( y ,θ)= z (x )+ 2θψ( x )+ iθσµθ∂µ z (x )+θθ f (x )

i

2

nó thích hợp để mô tả trường chất Một siêu đa tuyến tay chiêu sẽ chứa trường

trong khai triển (1.45) không có số hạng đạo hàm của nó theo biến tọa độ chẵn

3/2 thì θ có thứ nguyên − 1/ 2 , do đó, thứ nguyên của f phải bằng 2 Điều này

Ta có thể dẽ dàng tìm quy luật biến thiên của trường thành phần khi siêutrường chịu một phép biến đổi siêu đối xứng Đầu tiên, với các siêu trường tay

= 2εψ− 2εθ f + 2iθσ µε

 2εψ+ 2θ− 2ε f + 2iσµε∂µ z−θθ( 2i ∂µψσµε)

19

So sánh lũy thừa của θ ở hai vế, ta thu được quy luật biến đổi các trường thành

phần như sau:

 z = 2εψ

δψ =

f = 2i∂µψσµε

Tính chất cuối cùng là đặc điểm chung của trường thành phần có thứ nguyên lớn

nhất Biến thiên của nó bao giờ cũng là đạo hàm toàn phần theo biến tọa độ chẵn

Để xây dựng hàm tác dụng bất biến siêu đối xứng chúng ta cần đưa ra

một số nhận xét sau đây

Nhận xét đầu tiên là: tích các siêu trường hiển nhiên là một siêu trường

Tương tự, tích của các siêu trường thuận tay cũng là một siêu trường thuận tay

các biến y,θ , ta được:

( )

là một siêu đa tuyến với thành phần là hàm đối với trường vô hướng

Nhận xét quan trọng thứ hai là: Lagrangian siêu đối xứng là một hàm bất

biến siêu đối xứng của các siêu trường Nếu siêu trường là bất kì, Lagrangian sẽ

những số hạng, mỗi số hạng chỉ phụ thuộc vào một “nửa” trong số các biến đó.

Lagrangian cổ điển sẽ phải là tích phân theo tất cả các biến không gian lẻ của

Lagrangian siêu đối xứng Dạng tổng quát nhất của Lagrangian cổ điển sẽ là:

∫

d 2θ d 2

F

θtrong đó, số hạng đầu tiên cho động năng của trường vật chất, nó thường phụ

thuộc vào tất cả các biến lẻ, còn số hạng sau là siêu thế, vốn chỉ gồm các số hạng

phụ thuộc vào một nửa trong số các biến đó Lagrangian như trên là tự động bất

biến siêu đối xứng Thực vậy, biến phân siêu đối xứng của siêu trường cho bởi

trong siêu không gian, ta có:

δ F =

∂

(−εαF)

∂θα

∂θαVới tính tích phân ∫d 2θ , số hạng cuối cùng trở thành ∂∂xµ [ ] và là đạo hàm toàn

phần trong không thời gian Kết quả tương tự khi ta tính cho trường siêu thế tay

đăm W(φ)= 

W(φ)+ và tích phân ∫d2θ Điều này chứng minh tác dụng của siêu

đối xứng thu được từ các tích phân không thời gian của Lagrangian (1.65)

thông thường

Lagrangian Để tính toán φ + φ đầu tiên ta phải khai triển yµ theo xµ Do phải lấy

tích phân theo toàn bộ biến không gian lẻ, chúng ta chỉ cần số hạng tỉ lệ với

(φi+ ,φj) Một trong các lý thuyết tổng quát này là mô hình σphi tuyến Trong

chẵn), do đó nó chỉ có vai trò của trường phụ trợ, bù đắp để lý thuyết bất biếnsiêu đối xứng Đó là lý thuyết off-shell Các trường này sẽ được loại bỏ bằngphương trình chuyển động:

22

Để minh họa, ta xem xét trường hợp đơn giản nhất trong đó có một siêu

Khi đó

W ( φ ) =m 2 φ 2 +g 3 φ 3

1.60

Lưu ý rằng các tương tác Yukawa xuất hiện với hằng số liên kết g , hằng số này

I 6 Siêu trường vectơ (vector superfield)

Để mô tả tương tác chuẩn ta cần đến siêu đa tuyến có thành phần làtrường vectơ (trường chuẩn) Siêu trường như vậy, được gọi là siêu trường

được lựa chọn một cách đặc biệt Sự lựa chọn này là cố ý Thực vậy, nếu chọn

với khai triển, theo (1.61) là:

v = Λ + Λ+,

trườngv

χ , M,N trong (1.61) sẽ bị triệt tiêu, còn số hạng chứa trường vectơ sẽ

Aµ→ Aµ+ ∂µ(2 Im z)Như vậy, phép biến đổi siêu trường vectơ:

V →V′=V +Λ+Λ+được gọi là “phép biến đổi gradiên siêu đối xứng hóa”

Tổng quát hóa (1.65) ta xét phép biến đổi sau đây tác động lên trường

vectơ:

eV →eV ′=ei Λ+eV e−iΛ

trong khai triển Taylor ta chỉ giữ lại hai số hạng đầu tiên, thì (1.66) sẽtrở thành (1.65) Như vậy, (1.66) mới phép biến đổi gradient trong lýthuyết trường siêu đối xứng Để (1.66) trở thành phép biến đổi

φ→φ′ = e iΛφ

24

Do Λ là tay chiêu, cho nên, φ′ cũng là tay chiêu Tuy nhiên, biểu thức động năng:

K =φ+φ

Công thức (1.72) chính là quy luật gradiên cho nhóm non-Abel

Chuẩn (gauge) được cho bởi (1.63) được gọi là chuẩn Wess-Zumino Siêutrường vectơ trong chuẩn Wess-Zumino sẽ có dạng:

V WZ = −θσµ

25

=θσµ