Bổ chính SUSY QCD cho sinh cặp SQUARK trong quá trình hủy cặp e+ e với tham số phức

Nếu tự nhiên là siêu đối xứng, ngoài việc ta sẽ cómột lý thuyết trường lượng tử tự tái chuẩn và ngoài việc thống nhất boson với fermion, ta còn có cơ hội để xây dựng một lý thuyết trường

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Đức Vinh

BỔ CHÍNH SUSY-QCD CHO SINH CẶP SQUARK

THAM SỐ PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên Ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã Số

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS PHẠM THÚC TUYỀN

Hà Nội-2011

Luận văn thạc sĩ khoa học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Đức Vinh

BỔ CHÍNH SUSY-QCD CHO SINH CẶP SQUARK

THAM SỐ PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội-2011

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I : MSSM TRONG NGÔN NGỮ TRƯỜNG THÀNH PHẦN 4

1.1 SM 4

1.2 Siêu đối xứng, SUSY 12

1.3 Các thành phần bất biến siêu đối xứng của tổ hợp siêu trường 18

1.4 Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng, SGFT 20

1.5 MSSM 22

1.6 Vi pham siêu đối xứng 28

CHƯƠNG II : LAGRANGIAN VÀ ĐỈNH TƯƠNG TÁC TRONG MSSM 35

2.1 Phổ khối lượng của siêu hạt đồng hành 35

2.1a Lĩnh vực sfermion 35

2.1b Lĩnh vực trường Higgs vô hướng 36

2.1c Lĩnh vực chargino 37

2.1d Lĩnh vực neutralino 38

2.2 Lagrangian tương tác và quy tắc Feynman trong MSSM 38

2.2.1.Quark-quark-gauge boson: 40

2.2.2 Squark-squark-gauge boson: 41

2.2.3 Quark-quark-Higgs boson: 42

2.2.4 Squark-squark-Higgs boson: 43

2.2.5 Quark-squark-chargino 47

2.2.6 Quark-squark-neutralino 48

2.2.7 Tương tác với gluino 49

2.2.8 Squark-squark-gauge boson-gauge boson 50

2.2.9.Tương tác bốn squark 53

2.2 Hàm truyền của các hạt 53

CHƯƠNG III : BỔ CHÍNH QCD CHO CẶP SQUARK VỚI THAM SỐ PHỨC 55 KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU DẪN (REFERENCES) 62

Luận văn thạc sĩ khoa học

MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, càng ngày càng có nhiều cơ sở để tin rằng thế giới tựnhiên thực sự là siêu đối xứng [1] Nếu tự nhiên là siêu đối xứng, ngoài việc ta sẽ cómột lý thuyết trường lượng tử tự tái chuẩn và ngoài việc thống nhất boson với fermion,

ta còn có cơ hội để xây dựng một lý thuyết trường tương thích về hấp dẫn Nó cũng làmột đảm bảo để lời giải đối với bài toán phân hóa tương tác thành các bậc khác nhau sẽkhông bị ảnh hưởng bởi các bổ chính bức xạ Điều này cũng có nghĩa là, các siêu hạtđồng hành1có thể tồn tại ở trong vùng năng lượng cỡ TeV và do đó không ít cơ hội đểchúng ta tìm thấy chúng trong các điều kiện kỹ thuật hiện nay

Các kết quả nghiên cứu thực nghiệm về siêu hạt đồng hành sẽ cho phép ta xâydựng thử nghiệm những mô hình bán hiện tượng luận cho các quá trình sinh hủy và tán

xạ phi đàn tính sâu của các hạt cơ bản Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu bánhiện tượng luận về stop và sbottom (siêu hạt đồng hành của quark đỉnh, top quark, vàquark đáy, bottom quark) trong khuôn khổ của sự mở rộng tối thiểu mô hình tiêu chuẩn,

mà ta sẽ gọi là Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu Để tránh dài dòng, ta sẽ kýhiệu Mô hình tiêu chuẩn (Standard Model) bằng SM và Mô hình tiêu chuẩn siêu đốixứng tối thiểu (Minimal Supersymmetric Standard Model) là MSSM

Các nghiên cứu thực nghiệm về siêu hạt đồng hành cho ta hai kết quả rất quantrọng sau đây:

Một là: trong một quá trình phân rã hoặc sinh hủy, siêu hạt bao giờ cũng có đôi.Hai là: siêu hạt nhẹ nhất, Lightest Supersymmetric Particle, mà sau đây ta sẽ kýhiệu là LSP, sẽ là hạt bền

Nghiên cứu trong những năm gần đây thuộc lĩnh vực hạt cơ bản đã chứng tỏrằng, thế hệ thứ ba của sfermion, stop sbottom, stau và tauonic sneutrino, tỏ ra có vai tròđặc biệt Điều này do hai nguyên nhân chính sau đây:

Thứ nhất, vì hệ số Yukawa của chúng rất lớn làm cho chúng khác biệt so vớiđồng bạn ở các thế hệ khác

Thứ hai, sfermion của thế hệ thứ ba nói chung lại nhẹ hơn sfermion của hai thế

hệ đầu [2] Vì lẽ đó, có thể là một trong số những hạt của thế hệ này sẽ là siêu hạt tích

1 Tiếng Anh là superpartner Khi có siêu đối xứng mỗi hạt thông thường như quark, lepton và các hạt chuẩn đều có những hạt có spin nhỏ hơn ½ đồng hành với chúng Các hạt này được gọi là siêu hạt đồng hành với các hạt thông thường Để ngắn gọn, siêu hạt đồng hành sẽ được gọi là siêu đồng hành.

điện nhẹ nhất, và sự lộ diện của nó, ví dụ trong các thí nghiệm đang được tiến hành trênmáy gia tốc LHC hiện này và sau này, sẽ là bằng chứng thực nghiệm đầu tiên của siêuđối xứng.

Vì những lý do đã trình bày ở trên, việc nghiên cứu lý thuyết các quá trình liênquan đến siêu đồng hành thuộc thế hệ thứ ba như phân rã, tán xạ, … sẽ là một việc làmmang tính chất thời sự

Mục tiêu được đặt ra cho Luận văn này là nghiên cứu quá trình hủy cặp e e trong

đó có sự hình thành của siêu đỉnh stop và siêu đáy, sbottom Chúng ta lựa chọn quá trìnhtrong máy gia tốc lepton (LEP và LEP2) bởi vì dữ liệu thực nghiệm về quá trình này rấtphong phú và thường xuyên được phân tích kỹ lưỡng Vì vậy, mỗi thông tin lý thuyết sẽđược kiểm chứng nhanh nhất

Điều khác biệt so với những nghiên cứu tương tự là một số tham số được coi làphức Vấn đề này cũng đã được tiến hành đối với một số sản phẩm của phản ứng trong[7,8,9] Thông thường tham số phức sẽ dẫn đến vi phạm đối xứng CP Người ta chorằng, SM đã chứa đựng hầu như tất cả các nguồn dẫn đến vi phạm CP và do đó khôngcần có thêm những nguồn vi phạm CP khác của MSSM Vì vậy, những tham số khôngnằm trong tương tác Yukawa dẫn đến vi phạm CP đều được giả định là thực Tuy nhiên,đây chỉ là giả thiết Ta sẽ bàn kỹ vấn đề này trong phần cuối của chương 1 và trongchương 3

Luận văn này có cấu trúc như sau:

Chương I sẽ được dùng để nhập môn lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng(SGFT) Đây là vấn đề khó khăn nhất vì tài liệu về SUSY xuất hiện nhiều hơn bất cứ vềlĩnh vực nào của vật lý lý thuyết, cho nên, đọc và lĩnh hội chúng là một việc rất nặngnhọc Chúng tôi chỉ muốn tóm lược những điểm chính yếu và nhất là chỉ nêu lên những

gì chúng tôi cần đến ở những phần sau của luận án Phần cuối của chương, chúng tôicũng sẽ điểm qua nội dung vật chất của mô hình MSSM và diễn giải vai trò quan trọngcủa stop và sbottom trong mô hình đó Bàn đến số tham số độc lập khả dĩ của MSSM

Chương II sẽ được dùng để cụ thể hóa MSSM, trong đó, trường thành phần sẽkhông còn là trường nguyên thủy mà là trường vật lý Như vậy, ta sẽ phải bàn đến viphạm đối xứng (cả vi phạm mềm lẫn vi phạm tự phát) và thông qua cơ chế Higgs ta sẽ

có phổ khối lượng các hạt vật lý Ta cũng sẽ bàn đến quá trình sinh ra stop và sbottom

Luận văn thạc sĩ khoa học

trong các máy va chạm lepton Chúng tôi sẽ tìm biểu thức giải tích cho thiết diện sinhcác siêu hạt đồng hành này trong quá trình hủy cụ thể e e Các ước lượng số có thể

phần nào kiểm chứng được tính khả tín của kết quả thu được khi sử dụng kết quả thựcnghiệm từ LEP, LEP2, e e - Linear Collider hoặc Muon Collider [3]

Chương III sẽ được dành cho quá trình phân rã stop và sbottom khi tính đến bổchính SUSY–QCD 1–vòng với tham số trong siêu thế Higgs là phức

Biện luận về các kết quả thu được sẽ được trình bày trong phần kết luận

-Mô hình tiêu chuẩn là một lý thuyết bất biến chuẩn với nhóm chuẩn G là tích

trực tiếp của ba nhóm đơn SU(3)C, SU(2)L và U(1) vốn được dùng để mô tả tương tácmạnh, yếu, điện từ một cách riêng rẽ:

G SU3 C SU2 L U1 Y

Nội dung hạt nguyên thủy của SM được tóm tắt như sau:

-Tất cả hạt chất trong SM được chia thành ba thế hệ, với các đặc trưng giốngnhau, chỉ khác nhau về khối lượng Thành phần thuận phải, tay đăm (right-handed), vàthành phần thuận trái, tay chiêu (left-handed), của chất được coi là các hạt khác nhau vìchúng tương tác yếu khác nhau Vì tính đăm, chiêu là bất biến tương đối tính khi và chỉkhi khối lượng của hạt chất bằng không, cho nên, ta giả thiết điều này cho khối lượng

“trần” và coi khối lượng “vật lý” khác không là do cơ chế Higgs với số hạng vi phạm tựphát dạng Yukawa

a) Để mô tả thế hệ thứ nhất của tương tác yếu, ta cần năm trường lượng tử nhưsau:

e l

e

trong đó, các nhãn dưới L và R được dùng để chi thành phần thuận trái, thuận phải của

spinơ:

Luận văn thạc sĩ khoa học

L

Thực nghiệm chứng tỏ rằng, không tồn tại neutrino tay đăm và phản neutrino taychiêu Phần tay chiêu của neutrino và electron tạo thành lưỡng tuyến của nhóm tương

tác yếu SU 2 L , còn phần tay đăm e R , là đơn tuyến của nhóm đó

Cả phần tay đăm và tay chiêu của quark u , d đều tồn tại, phần tay chiêu của

chúng tạo nên lưỡng tuyến q còn phần tay đăm, u R ,d R sẽ là các đơn tuyến của nhómtương tác yếu

Các hạt nói trên, còn tham gia tương tác điện với nhóm chuẩn là U 1 Y Siêu tích

yếu Y của chúng cũng thỏa mãn hệ thức Gell-Man – Nishijima như với đối xứng

isospin của tương tác hạt nhân:

QI31

Y

2

trong đó, I 3 là hình chiếu isospin yếu (không nhầm với isospin hạt nhân do Heisenberg

đề xuất) Như vậy, l là một lưỡng tuyến, isospin yếu của nó bằng 1 / 2 , hình chiếuisospin yếu của neutrino lên trục thứ ba là 1 / 2 , điện tích của nó bằng không, vậy siêu

tích của nó Y 1, và để đảm bảo bất biến U 1 Y , electron tay chiêu cũng có siêu tích yếubằng 1 Cho lưỡng tuyến quark tay chiêu q u L ,d L , ta có:

3

1

Với các đơn tuyến isospin yếu của electron và quark tay đăm, e R , u R , d R , siêu tích sẽ

bằng hai lần điện tích tương ứng của chúng: Y e R 2 , Y u R 4 / 3, Y d R 2 / 3

Do không tham gia tương tác mạnh, các lepton là các đơn tuyến màu, trong khi

đó, các quark đều là tam tuyến màu của SU 3 Như vậy, u R chẳng hạn sẽ có ba thànhphần màu: đỏ (Red), xanh (blue) và vàng (yellow) Các chỉ số màu và chỉ số Lorentz

Luận văn thạc sĩ khoa học

b) Hạt trường sẽ là lượng tử của trường chuẩn Trường chuẩn sẽ bao gồm: một

trường B , tương ứng với nhóm U 1 Y , ba trường Yang-Mills W i , i 1,2,3 , tương ứng

với nhóm SU 2 L và tám trường gluon G a , a 1,2, ,8 , tương ứng với

nhóm SU 3

Tương tác mạnh giữa các hạt quark sẽ được thực hiện thông qua trường gluon

G a có mặt trong đạo hàm hiệp biến:

cho dù quark là tay chiêu hoặc tay đăm, còn g S

sinh của nhóm SU 3

0

1 10

0 0

0 0

5

Tương tác yếu và điện từ giữa các hạt sẽ được thực hiện thông qua trường

Yang-Mills W i , i 1,2,3 và trường B có mặt trong đạo hàm hiệp biến của chúng Khác với

tương tác mạnh, các hạt có các “tích” điện yếu khác nhau, cho nên, đạo hàm hiệp biến

của chúng cũng khác nhau Ví dụ, với trường lepton tay chiêu, do vi tử sinh của SU 2 U

Luận văn thạc sĩ khoa học

c) Như đã nói ở trên, trong Lagrangean (1.8) và (1.10) không có số hạng khối

lượng các hạt bởi vì sự có mặt của chúng sẽ làm vi phạm đối xứng thuận tay (chiral)

gọi là trường Higgs:

Luận văn thạc sĩ khoa học

h H

h

trong đó, nhãn “+” và “0” là chỉ điện tích của nó (đừng lầm lẫn với dấu liên hợpHermite “† ” mà đôi khi để tiện chế bản, ta cũng dùng dấu ) Do là phức, một lưỡngtuyến Higgs sẽ có bốn bậc tự do thực Với cách lựa chọn điện tích như trên và do trườngHiggs có isospin yếu bằng 1/2, siêu tích yếu của nó sẽ là Y 1 Tương tác giữa trườngHiggs và trường chuẩn, như thường lệ, sẽ được diễn tả thông qua đạo hàm hiệp biến:

Khi đó, với Lagrangian cho trường Higgs sẽ có dạng:

L H 1 (D H)†D H V H

2

1.12

1.13

Phần đầu chính là “động năng” của trường Higgs (trong đó có cả phần tương tác của nó

với trường gauge), phần sau là thế Higgs Thế năng V H được chọn dưới dạng:

M W

trong đó, W W1 iW2 , Z là sự pha trộn giữa

Luận văn thạc sĩ khoa học

Bậc tự do còn lại của trường Higgs sẽ diễn tả hạt vô hướng thực có khối lượng:

Yang-M W 80,398 0,023 GeV / c 2 , M z91,1876 0,0021 GeV / c2

Khối lượng của hạt Higgs được cho bởi (1.17) trong đó được cho bằng (1.18).Tuy nhiên, do M H còn phụ thuộc vào , cho nên, hiện chưa có đủ cơ sở để xác định giá trịcủa nó Thực nghiệm hiện nay mới chỉ tìm được giá trị giới hạn dưới M H 60 GeV , bởi vìnếu không, quá trình phân rã Z thành phản hạt của nó và hạtHiggs Z ZH đã có thể nhìn

thấy Với việc vận hành của máy gia tốc LHC, hy vọng sẽ tìm được hạt Higgs

Để sinh khối cho các trường chất, lepton và quark, ta phải đưa vào các số hạngtương tác dạng Yukawa giữa trường Higgs và trường vật chất Những số hạng này nóichung là tổ hợp tuyến tính giữa trường chất và trường Higgs sao cho chúng là vô hướngLorentz, vô hướng SU2L và siêu tích yếu bằng không Các số hạng đó có dạng:

qHd R , lHe R ,

và các liên hợp Hermitian của chúng Dẫu gạch ngang trên ký hiệu spinơ, ví dụ q , là chỉ

liên hợp Dirac của chúng Ta thấy số hạng thứ ba không thỏa mãn điều kiện siêu tíchbằng không, vì tổng siêu tích các thừa số của nó bằng 1 Tuy nhiên, nếu không có sốhạng này, cơ chế Higgs không thể sinh khối cho quark u và không thể khử được dị

thường dòng trục Vì vậy, thay cho việc phải đưa thêm vào một lưỡng tuyến Higgs mới,

Tóm lại, Lagrangian của SM có dạng sau đây:

khác nhau cho trường tay đăm và tay chiêu một cách riêng rẽ Từ các ma trận này ta thuđược ma trận pha trộn kiểu CKM (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa) Khi sử dụng ma trận

để xây dựng dòng trung hòa, ta thấy không có sự pha trộn nào giữa

lepton và quark Sự tự khử những số hạng làm thay đổi hương trong dòng trung hòa đãđược Glashow, Iliopoulos và Maiani giải thích là nhờ một cơ chế, sau này được gọi làGIM Cơ chế GIM đòi hỏi tồn tại một hương quark mới, đó là quark duyên mà sau đó

Thứ hai, mô hình không giải thích được tại sao nhóm chuẩn là tích trực tiếp của

SU 3 C SU 2 L U 1 Y nhưng chỉ có tương tác yếu là vi phạm chẵn lẻ Nó không giải thích

được sự lượng tử hóa điện tích

Thứ ba, nó không giải thích được tại sao dù có ba thế hệ chất nhưng trong thếgiới quen thuộc lại chỉ thế hệ thứ nhất có mặt Nó không cho phép xác định khối lượngquark và lepton (mà phải dùng giá trị thực nghiệm của các đại lượng khác để xác địnhchúng và qua chúng để xác định hệ số tương tác Yukawa)

Thứ tư, nó chưa có cơ chế để xác định khối lượng hạt Higgs Sự tồn tại củatrường Higgs kéo theo rất nhiều sơ đồ có bổ chính phân kỳ khối lượng của Higgs, ví dụ

bổ chính QCD một vòng Nếu tính đến các bổ chính này, điều kiện 2 0 có thể sẽ bị viphạm

Thứ năm, nó không giải thích được vấn đề vi phạm CP của tương tác mạnh.Cuối cùng, nó không giải quyết được bài toán phân hóa tương tác thành các cấpkhác nhau (hierarchy problem) Nghĩa là nó không giải thích được tại sao tương tácthống nhất, thống trị thế giới vật chất ở thời điểm ban đầu sau Big Bang, lại bị phân hóathành bốn loại tương tác có các cấp khác nhau ở mức năng lượng hiện nay (cỡ GeV )

Để giải quyết các vấn đề trên đã có rất nhiều phương pháp khác nhau được đưa

ra nhằm mở rộng mô hình tiêu chuẩn

Luận văn thạc sĩ khoa học

1.2 Siêu đối xứng, SUSY

Một trong những ý tưởng tự nhiên giúp giải quyết những khó khăn kể trên của

mô hình tiêu chuẩn là mở rộng nhóm đối xứng chuẩn, thu được từ việc định xứ (local)hóa nhóm đối xứng trong Việc thay đổi nhóm chuẩn (1.1) của SM bằng những nhómđơn khả dĩ như SU5 , SO10 , là một xu hướng nổi bật vào những năm 70 của thế kỷtrước Chúng được gọi là lý thuyết thống nhất lớn, Grand Unified Theory (GUT)

Một xu hướng khác là tìm cách mở rộng nhóm đối xứng ngoài, tức là đối xứngkhông thời gian, sao cho liên kết của nó với đối xứng trong là không tầm thường, tức làkhông đơn giản là tích trực tiếp giữa hai loại đối xứng đó

Đối xứng ngoài là những phép biến đổi không thời gian, không làm thay đổi cácphương trình động lực của hệ vật lý Trong vật lý cổ điển, đó là nhóm quay một góc bất

kỳ quanh một trục đi qua gốc tọa độ Trong vật lý tương đối tính, đó là nhóm Lorentzcủa không gian Minkowski, đó là nhóm Poincaré khi ngoài nhóm Lorentz có thêm vàophép tịnh tiến và đối với hệ hạt không khối lượng, đó là nhóm bảo giác, khi ngoài nhómPoincaré có tính thêm phép co giãn (dilatation) và phép nghịch đảo (inversion) khônggian

Đối xứng trong là những phép biến đổi tác động trực tiếp lên hàm trường (trong

cơ học lượng tử là hàm sóng) không làm thay đổi quy luật của hệ vật lý Ví dụ nhóm

phép biến đổi pha toàn xứ Abelian U 1 , liên quan đến bảo toàn điện tích, siêu tích, siêu tích yếu, nhóm toàn xứ non-Abelian SU 2 , liên quan đến bảo toàn isospin, isospin yếu hay phép biến đổi toàn xứ non-Abel SU 3 liên quan đến bảo toàn màu tích Các nhóm

trong đóng vai trò quan trọng trong vật lý đều là nhóm tựa đơn vị (unitary)

Nếu khả năng liên kết giữa đối xứng trong và ngoài tồn tại, phép biến đổi trong

sẽ cảm sinh một phép biến đổi ngoài, và nhóm đối xứng ngoài sẽ được mở rộng hơn,ngoài những nhóm đã được liệt kê Đối xứng này là dấu hiệu tồn tại của một số hạt cơbản mới, gọi là hạt siêu đồng hành, giống như bất biến chuẩn là dấu hiệu tồn tại củaboson chuẩn Sự có mặt của của những hạt mới sẽ cho ta các hệ quả vật lý mới

Tuy nhiên, hướng này ban đầu đã gặp phải một trở ngại lớn, đó là định lý no-gocủa Coleman và Mandula Theo định lý này, đối xứng trong và đối xứng ngoài chỉ có

thể là tích trực tiếp với nhau, vì nếu không, sự hạn chế do việc kết hợp không tầmthường của chúng gây ra sẽ làm nhiều đại lượng vật lý có phổ cố định, trong khi thực tế,chúng lại có phổ với giá trị tùy ý.

Sau đó đã phát hiện ra rằng, trong khi chứng minh định lý no-go, ta chỉ xét đếnnhững nhóm đối xứng ngoài mà vi tử sinh là các đại lượng “boson” (vô hướng, vectơ,tensơ) Ví dụ, với nhóm Poincaré, vi tử sinh sẽ là xung lượng (vectơ) và mômen gócTensơ) Với nhóm trong SU 2 của isospin yếu, vi tử sinh là / 2 , giao hoán tử của chúngvới vi tử sinh của nhóm Poincaré sẽ luôn bằng không Điều đó nghĩa là vi tử

sinh của đối xứng trong luôn là vô hướng Lorentz

Tuy nhiên, nếu bên cạnh các vi tử sinh boson, mà ta sẽ gọi là “chẵn”, còn có vi tửsinh fermion (spinơ), mà sau đây ta sẽ gọi là “lẻ”, thì những hạn chế do định lý no-go

gây ra sẽ không còn nữa [5] Vi tử sinh lẻ sẽ thỏa mãn điều kiện phản giao hoán, trong khi cho các vi tử sinh chẵn là giao hoán Nhóm đối xứng có chứa cả vi tử sinh chẵn, lẻ

với phép toán giữa các vi tử sinh gồm cả giao hoán tử lẫn phản giao hoán tử, được gọi làsiêu nhóm Đại số với cả hai loại phép toán nói trên, gọi là đại số Lie phân cấp, hay siêuđại số Lie Vì lý do đó, đối xứng cho bởi siêu nhóm và siêu đại số, sẽ được gọi là siêuđối xứng, supersymmetry, mà sau đây ta sẽ ký hiệu là SUSY [6] Như vậy, SUSY khôngphải là thứ đối xứng siêu thực, không tự nhiên, nó chỉ là loại đối xứng có sự kết hợpkhông tầm thường giữa đối xứng ngoài và đối xứng trong Nó là một phép đối xứngngoài

Nếu ký hiệu vi tử sinh lẻ là Q (không nhầm với toán tử điện tích định nghĩatrong (1.3)), do là spinơ, nó sẽ thỏa mãn điều kiện:

Vì lẽ đó, SUSY còn được gọi là đối xứng giữa boson và fermion Ta sẽ thấy, trườngboson có thứ nguyên là 1 và trường fermion có thứ nguyên 3 / 2 , cho nên, sẽ là hợp lýkhi thứ nguyên của Q là 1/ 2

Siêu đối xứng dẫn đến rất nhiều hệ quả [7]

Một là, trong một “siêu đa tuyến” sẽ có cả trường boson lẫn trường fermion và sốlượng của chúng (số bậc tự do) phải bằng nhau Ví dụ, trước ta có đa tuyến gồm mộtlepton, bây giờ ta phải thay nó bằng một siêu đa tuyến có cả lepton lẫn hạt có spinkhông, gọi là lepton vô hướng, scalar lepton, hay ngắn gọn, là slepton Nếu đa tuyến

Luận văn thạc sĩ khoa học

lepton được mô tả bằng một spinơ Dirac phức, tức là có 8 bậc tự do fermion, thì trongsiêu đa tuyến lepton phải tồn tại 8 slepton vô hướng thực hoặc 4 slepton vô hướng phức.Slepton được gọi là hạt siêu đồng hành của lepton Tương tự, quark sẽ có siêu đồnghành là quark vô hướng hay squark Các hạt truyền tương tác, hạt gauge, sẽ có siêu đồnghành là gaugino: photon có photino, gluon có gluino, W có wino, Z có zino Nói ngắngọn, siêu đồng hành của hạt chất thì thêm tiền tố “s”, siêu đồng hành của hạt trường thìthay hậu tố “on” (nếu có) bằng “ino”

Hai là, không có hạt đã biết nào là siêu đồng hành của một hạt đã biết khác Nhưvậy, đến nay chúng ta chưa biết đến bất kỳ một hạt siêu đồng hành nào Số lượng hạt cơbản trong SM sẽ được nhân đôi trong một lý thuyết SUSY tương ứng

Có nhiều cách thức xây dựng lý thuyết trong đó có SUSY Trong luận văn này, tachỉ xét đến một cấu trúc đơn giản nhất, gọi là Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tốithiểu, Minimal Supersymmetric Standard Model, MSSM Trong mô hình này, ta chỉ cómột vi tử sinh lẻ, đó là spinơ Majorana Q , hay spinơ hai thành phần Q và liên hợp

Hermite Q của nó Nó thường được gọi là N1 siêu đối xứng, ký hiệu là

N 1 SUSY [1, 2, 3], mà ta sẽ gọi đơn giản là siêu đối xứng

Để thuận tiện cho việc diễn tả phép biến đổi siêu đối xứng, ta dùng khái niệmsiêu không gian và siêu trường [8]-[9] Spinơ, nếu không nói ngược lại, sẽ được hiểu làspinơ Weyl hai thành phần Khi đó, Q không phải là liên hợp Dirac của Q mà là đối ngẫu của Q* Khi sử dụng spinơ Dirac bốn thành phần, Q là spinơ Majorana Điều kiện

này nhằm giảm đi một nửa số bậc tự do quark, và do đó cũng hạn chế số hạt siêu đồnghành cần thiết phải đưa thêm vào trong lý thuyết

Siêu không gian được hiểu là một đa tạp, trong đó, ngoài tọa độ “boson” x

giao hoán nhau, ta còn có tọa độ “fermion” , thỏa mãn điều kiện phản giao hoán:

là toán tử không có thứ nguyên Q và Q được coi là vi tử sinh của phép tịnh tiến tọa độ

lẻ Tuy nhiên, phép tịnh tiến này cũng cảm sinh một phép tịnh tiến tọa độ boson

Nếu ký hiệu

,

Trong luận văn này, ta xét nhóm đối xứng ngoài là nhóm Poincaré (khi xét đến lý

thuyết trường chuẩn siêu đối xứng, ta phải xét đến nhóm bảo giác) Vi tử sinh của nó

được biểu diễn trong không gian siêu trường bằng xung lượng và mômen góc P , J Khi

đó, giao hoán tử giữa các vi tử sinh chẵn với chẵn và chẵn với lẻ sẽ được cho bằng giao

hoán tử:

1 4

Còn hệ thức giữa các vi tử sinh lẻ sẽ được cho bằng phản giao hoán tử:

Q ,Q

1.24

1.25

(chữ cái giữa bảng, , , , là chỉ số Lorentz không - thời gian, lấy giá trị từ 0 đến 3, các

chữ cái đầu bảng, không chấm , , , hoặc có chấm , , là chỉ số spinơ, chúng lấy hai giá

trị 1,2) Chỉ số không chấm cho spinơ Weyl loại I, có chấm cho spinơ loại

AI.Các hệ thức (1.24) là tính chất của nhóm Poincaré (1.25) là hệ quả của đồng nhất

thức Jacobi cho ba vi tử chẵn lẻ lẻ Chúng cũng có thể đoán nhận được, vì phản giao

hoán tử của hai vi tử sinh lẻ phải là một vectơ và đó cũng là cách lựa chọn duy nhất

Phép biến đổi siêu đối xứng vi phân sẽ được viết là:

Còn phép biến đổi siêu đối xứng hữu hạn sẽ được viết dưới dạng:

U exp i Q Q

Với siêu không gian, đại số siêu đối xứng (1.25) sẽ được biểu diễn bởi:

(chú ý i P )

Siêu trường là hàm phức xác định trong siêu không gian Hàm này có thể là vô

hướng, spinơ,… và có thứ nguyên tùy vào mục tiêu mà siêu trường đó được sử dụng

Một siêu trường vô hướng x, , , khai triển Taylor của nó theo tọa độ fermion chỉ có thể

có hữu hạn số hạng:

1.27

trong đó 1 2 2 1 Mỗi số hạng là một hàm trường thông thường chỉ phụ thuộc vào không

thời gian Như vậy, một siêu trường sẽ là tập hợp của nhiều trường thông thường Tập

hợp này còn gọi là một siêu đa tuyến Siêu trường vô hướng

trong (1.27) diễn tả một siêu đa tuyến bao gồm 4 trường vô hướng , một

trường vectơ A và bốn trường spinơ , , , Nói chung, một siêu đa tuyến thường chứa

nhiều trường thành phần Số lượng đó đôi khi nhiều hơn mức cần thiết đối với một mục

tiêu cụ thể

Đạo hàm theo biến fermion không hiệp biến với phép biến đổi siêu đối xứng

Điều này có thể thấy rõ, vì vi tử sinh Q , Q có chứa tọa độ fermion Ta sẽ thay chúng

bằng đạo hàm hiệp biến Xét phép biến đổi vi phân tác động lên một siêu trường vô

Có thể kiểm tra trực tiến rằng, đạo hàm hiệp biến phản giao hoán với các vi tử sinhfermion Nhờ các đạo hàm này, ta có thể hạn chế số thành phần của siêu trường bằngnhững yêu cầu nào đó, xác định bằng đạo hàm hiệp biến Khi đó, điều kiện mà ta áp đặt

sẽ bất biến đối với phép biến đổi siêu đối xứng

a) Siêu trường thuận tay (chiral superfield)

Do spinơ Dirac là một cặp spinơ Weyl tay chiêu và tay đăm, cho nên, nếu siêutrường chỉ “phụ thuộc” vào một trong hai biến và , nó sẽ được gọi là siêu trường thuậntay (chiral) Theo định nghĩa, siêu trường không “phụ thuộc” vào một biến Grassmannnào đó, nếu đạo hàm hiệp biến theo biến tương ứng là bằng không Như vậy, ta có điềukiện:

D 0 cho siêu trường tay chiêu và

1.29

D 0 cho siêu trường tay đăm

Do định nghĩa bằng đạo hàm hiệp biến, tính thuận tay sẽ bất biến đối với phép biến đổisiêu đối xứng Nhận xét rằng, D x i D y 0 ,cho nên, siêu trường thuận

tay chỉ phụ thuộc vào x dưới dạng tổ hợp y x i Từ (1.27) suy ra, một siêu trường thuậntay có dạng khai triển Taylor như sau:

b) Siêu trường vectơ

Một siêu trường vô hướng được gọi là vectơ, nếu nó thỏa mãn điều kiện

Hermitian, nghĩa là:

V V

Nó được gọi là vectơ bởi vì trong khai triển Taylor của nó

V x , , C x i x i

2

có chứa trường vectơ V

Từ một siêu trường thuận tay ta có thể lập được một siêu trường vectơ:

2 Re 2GG* 2Im

i

2

1.32

Chuẩn (1.35) được gọi là Wess-Zumino và siêu trường vectơ trong chuẩn Wess-Zumino

sẽ chỉ chứa một trường vectơ thực V , một trường spinơ và một trường vô hướng phụ trợ

D Nếu chọn siêu trường vectơ V làm siêu đa tuyến cho trường chuẩn, tức là V có thứ nguyên bằng 1, thì V sẽ có thứ nguyên bằng 0 Tuy gọi là siêu trường vectơ, V vẫn chỉ là

một hàm vô hướng

1.3 Các thành phần bất biến siêu đối xứng của tổ hợp siêu trường

Từ tính chất phản giao hoán của tọa độ lẻ suy ra, tích một số siêu trường thuậntay cũng là siêu trường thuận tay Ví dụ, đối với siêu trường tay chiêu:

Tuy nhiên, tích K , thường được gọi là dạng Kähler, lại không phải là siêu

trường thuận tay:

Khi xây dựng tác dụng, ta phải tính tích phân của Lagrangian trong toàn siêu

không gian Một siêu trường luôn là hàm đối với tọa độ chẵn Đối với tọa độ lẻ, siêu

trường tay chiêu chỉ phụ thuộc vào , còn siêu trường tay đăm chỉ phụ thuộc vào , Vì

thế, nếu Lagrangian chứa dạng Kähler K , độ đo tích phân sẽ là d 4 xd 2 d 2, còn nếu nó

chứa tích của các siêu trường thuận tay, độ đo tích phân chỉ là

d 4 xd 2 hoặc d4xd2 Mặt khác, tích phân theo tọa độ lẻ cũng được định nghĩa giống

như đạo hàm theo biến đó:

d 1 0,

suy ra, Lagrangian khả dĩ cho một số siêu trường tay chiêu là:

L i i

*

i

i

Như vậy, (1.39) rất thích hợp để coi là Lagrangian cho trường chất Số hạng trong ngoặc

vuông thường được gọi là siêu thế Nó thường được chọn tùy thuộc vào mục tiêu sử

dụng

1.4 Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng, SGFT

Với nhóm chuẩn Abel, siêu trường vectơ V đóng vai trò của trường chuẩn Tuy

nhiên, do nó có thứ nguyên bằng 0 cho nên D V sẽ có thứ nguyên 1/2, chứ không phải

bằng 2 như yêu cầu của tensơ cường độ trường chuẩn Để có được tensơ cường độ

trường chuẩn hợp lý, ta lập W DDD V Nó sẽ là siêu trường spinơ tay chiêu và có thứ

nguyên 3 / 2 và do đó, W W sẽ có thứ nguyên bằng 3 Hệ số của khai triển W W sẽ có

thứ nguyên bằng 4, vì cùng với thứ nguyên 1 của ta sẽ có thứ nguyên 3 của W W Đó

chính là tích tensơ cường độ trường vectơ Thực vậy, ta có:

W

1

DDD V i

41

chứa trong khai triển của W

trường thành phần tương ứng với số hạng chứa tích

4 và có dạng:

W W

Số hạng thứ nhất có dạng động năng của trường chuẩn, số hạng thứ hai là dạng động

năng của siêu hạt đồng hành, số hạng thứ ba là bình phương hàm phụ trợ, nó sẽ bị loại

bỏ bằng phương trình chuyển động còn số hạng cuối cùng có biểu thức trùng với dị

thường dòng trục Nó sẽ bị khử khi tính đến đóng góp của một lưỡng tuyến Higgs thứ

hai

Đối với trường chuẩn non-Abelian, siêu trường chuẩn sẽ được cho bằng exp 2gV ,

trong đó hàm mũ được hiểu là khai triển Taylor của nó và g là tích tương

Nguyễn Đức Vinh 20

tác và V là siêu trường vectơ nào đó Ta nhận thấy rằng, do V3 0 , còn chuẩn

e 2ig U

với là siêu trường tay chiêu Khi đó dạng Kähler K

vì siêu trường không phải là siêu trường thực Để khôi phục tính bất biến chuẩn, ta thêmvào siêu trường chuẩn vectơ V cò vai trò “trường bù” biến đổi theo quy luật:

Nguyễn Đức Vinh 21

Khác với (1.40) cho nhóm chuẩn Abelian, siêu trường định nghĩa bằng (1.46a) cho

nhóm chuẩn non-Abelian, không bất biến chuẩn Do là tay chiêu và là tay đăm, ta có thể

MSSM là SQFT với nhóm chuẩn là SU 3 C SU 2 L U 1 Y Khi đó, thay cho các

trường thông thường, ta có các siêu trường sau đây:

Nguyễn Đức Vinh 22

độ trường W bằng công thức (1.46a) (không lầm lẫn với trường Yang – Mills W i ) và từ

đó ta có ba Lagrangian dạng (1.47)

• Mỗi trường chất vốn được diễn tả bằng một spinơ tay chiêu trong SM đượcthay bằng một siêu trường tay chiêu trong MSSM Trong siêu trường này ngoài thànhphần trường spinơ còn có thành phần spin–0 của siêu đồng hành Trường spinơ cùngtrường vô hướng siêu đồng hành lập thành một siêu đa tuyến Ví dụ, với lưỡng tuyếnlepton, trong MSSM ta có lưỡng tuyến gồm hai siêu trường:

eˆ e L yˆ2 eL yˆF e

ˆ L yˆ2 L yˆF

Chú ý, khái niệm tay chiêu có hai định nghĩa khác nhau Cho siêu trường, đó là đạo hàm

hiệp biến của nó theo bằng không, còn cho spinơ e , thì đó là phần 1 5 e / 2 của nó.

Trong (1.48a) tính tay chiêu của siêu trường thể hiện bằng khai triển theo , còn tính tay

chiêu của trường spinơ thể hiện bằng nhãn “ L ” ở bên cạnh hàm trường Ta có thể viết

tường minh spinơ tay chiêu eL như sau:

e1

eL

Do có hai bậc tự do fermion, trong siêu đa tuyến cần có thêm hai trường boson đồnghành Để ký hiệu siêu hạt đồng hành, ta sẽ thêm dấu lượn sóng bên trên ký hiệu các

trường tương ứng: q L , q R ,l L và l R ,… Số hạng F (còn gọi là F term) của siêu trường

sẽ được đánh dấu bằng nhãn dưới Như vậy, ta có các thay thế sau đây cho một thế hệ:

- Lưỡng tuyến SU 2 tay chiêu được thay bằng lưỡng tuyến SU 2 siêu

trường tay chiêu ˆ

Nguyễn Đức Vinh 23