Bổ chính QCD cho sinh cặp Squark trong quá trình hủy cặp e+e-

Nếu xét vi phạm ở thang năng lượng tương đối lớn, ví dụ như trong trường hợp của Siêu hấp dẫn viết tắt là SUGRA [3] ta có thể tìm được nguồn gốc của sự phân chia thứ bậc thông qua những

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG I: SUSY VÀ LÝ THUYẾT CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG I.1 Sự cần thiết của siêu đối xứng 7

I.2 Susy 9

I.3 Tính chất cơ bản của biểu diễn nhóm Susy 13

I.4 Siêu không gian 17

I.5 Siêu trường thuận tay 21

I.6 Siêu trường vectơ 27

I.7 Lý thuyết chuẩn siêu đối xứng 32

CHƯƠNG II: MSSM TRONG CHUẨN ‟t HOOFT - FEYNMAN II.1 Nội dung trường trong MSSM 39

II.2 Lựa chọn chuẩn và Lagragean tương tác 50

II.3 Kết luận về MSSM trong chuẩn ‟t HOOP -FEYNMAN 65

CHƯƠNG III : BỔ CHÍNH QCD CHO SQUARK TRONG QUÁ

TRÌNH HỦY CẶP ELECTRON - POSITRON III.1 Các phương trình cơ bản 69

III.2 Hủy cặp e e  trong SM 73

III.3 Hủy cặp trong MSSM 76

KẾT LUẬN 85

TÀI LIỆU THAM KHẢO 86

MỞ ĐẦU

Việc đưa giả thiết Siêu đối xứng1 (viết tắt là SUSY) vào lý thuyết trường lượng tử [1] đã dẫn đến sự mở rộng Mô hình tiêu chuẩn2

(viết tắt là SM) một cách hấp dẫn nhất Nó không những giữ ổn định [2] hệ thống thứ bậc giữa thang tương tác yếu với thang Planck của Mô hình Thống nhất lớn (viết tắt là GUT) ngay cả khi xét đến các bổ chính bức xạ Nếu xét vi phạm ở thang năng lượng tương đối lớn, ví dụ như trong trường hợp của Siêu hấp dẫn (viết tắt là SUGRA [3]) ta có thể tìm được nguồn gốc của sự phân chia thứ bậc thông qua những số hạng vi phạm bức xạ của đối xứng chuẩn [4] Thêm nữa, các mô hình SUSY cho

ta một trong những giải pháp tự nhiên đối với bài toán Vật chất Tối [5], và cho ta một lý thuyết Thống nhất lớn tương thích cho tất cả bốn loại tương tác chứ không bỏ sót tương tác hấp dẫn như SM Tất cả những đặc tính hấp dẫn nói trên

có thể tìm thấy trong Mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (viết tắt là MSSM)

Hệ quả của tính siêu đối xứng là sự tồn tại của các siêu hạt đồng hành cho tất cả các hạt đã biết với spin sai khác 1/2 Siêu hạt đồng hành của hạt chất sẽ là các hạt vô hướng slepton và squark Siêu hạt đồng hành của các hạt trường sẽ là các hạt spinơ Majorana photino, Yang-Millsino (do hạt có ký hiệu W , Z 0 cho nên chúng có thể đọc là Win và Zin và do đó, siêu hạt đồng hành sẽ là Wino và Zino) và gluino Siêu hạt đồng hành của các hạt Higgs là Higgsino Nếu có hạt graviton, truyền tương tác hấp dẫn, siêu hạt đồng hành sẽ là gravitino

Tuy vậy, cho đến nay chưa có dấu hiệu trực tiếp nào chứng tỏ sự tồn tại của siêu hạt đồng hành; Những tìm kiếm thực nghiệm chỉ cho ta giới hạn thấp nhất của khối lượng của chúng (LEP [6],[7] và Tevatron [8]) Vì vậy, những phép đo chính xác các bổ chính bức xạ có chứa siêu hạt đồng hành sẽ đóng vai trò quan trọng Những bổ chính quan trọng nhất là liên quan đến tương tác mạnh, tức là có xét những vòng của squark và gluino Quá trình tốt nhất hiện nay để thực hiện việc đo đạc đối với quá trình sinh cặp squark từ quá trình hủy cặp

e+e−, bởi vì máy va chạm electron-positron đã được cải thiện và sẽ được vận hành ở năng lượng cỡ TeV Trong tương lai, khi máy va chạm haron lớn, LHC, vận hành trơn tru, ta mới đặt vấn đề xét chi tiết những quá trình hủy cặp quark

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày những tính toán bổ chính QCD siêu đối xứng cho sự sinh cặp squark trong phản ứng hủy cặp e+e− trong đó có xét đến việc pha trộn giữa squark tay đăm và tay chiêu (left-handed và right-handed squark), đồng thời tính cả đến hiệu ứng khối lượng khác không của quark

Nội dung chính của Luận văn được trình bày trong ba chương Chương thứ nhất sẽ trình bày về SUSY và sự mở rộng SM thành lý thuyết chuẩn siêu đối xứng SGFT (Supersymmetric Gauge Field Theory) Chương thứ hai sẽ trình bày một trong những mô hình của SGFT là MSSM khi nhóm chuẩn là tích của ba nhóm chuẩn của SM trong chuẩn ‟t Hooft-Feynman Chương thứ ba sẽ tính các công thức bổ chính vòng cho quá trình sinh cặp quark có tính đến đóng góp một vòng kín của squark, gluino và thảo luận kết quả số với những kết quả thực nghiệm thu được ở LEP Các kết luận tóm tắt sẽ được trình bày ở phần kết luận

Bổ chính SUSY QCD cho quá trình sinh cặp squark ở phản ứng hủy e+e−

đã được thảo luận trong [9], [10] trong đó đã bỏ qua hiệu ứng pha trộn squark và ảnh hượng của khối lượng quark

Trong [11] cũng đã xét đến hiệu ứng của pha trộn squark và thấy rằng nó rất nhỏ và có thể bỏ qua Tuy vậy, ở đó chỉ tính đến sơ đồ cây Trong luận văn này chúng ta xét đến cả bổ chính một vòng kín Ta cũng chỉ tính cho đóng góp của gaugino tương tác điện yếu và Higgs boson vì đóng góp một vòng kín của K

và B meson đã được tính trong [9] và cũng được coi là nhỏ

Trong giới hạn khối lượng quark bằng không và không tính đến sự pha trộn squark kết quả của chúng tôi trùng với [10] và [11] Kết quả thực nghiêm trên LEP [12] đã được dùng và thang năng lượng cho quá trình hủy e+e− là

500

s  GeV

Các tính toán số sẽ được thực hiện nhờ gói phần mềm FeynArts và FormCalc do nhóm Hagen Eck and Sepp Küblbeck [13] thiết kế Tuy nhiên, để

làm điều đó chúng ta phải tính bằng tay Lagrangian tương tác trong một chuẩn nhất định Trong [1] đã làm điều đó cho chuẩn unitary và trong [4] đã làm điều

đó cho trường thành phần nguyên thủy Các kết quả trong những công trình trên

đã được dùng làm chuẩn để so sánh với kết quả mà chúng tôi thu được Trong luận văn này chuẩn được chọn là ‟t Hooft-Feynman và trường trong lý thuyết là trường vật lý, nghĩa là đã xét đến sự pha trộn của các trường nguyên thủy Các lựa chọn này có ưu điểm là dễ so sánh với các kết quả thực nghiệm mà chúng tôi

có được

CHƯƠNG I SUSY VÀ LÝ THUYẾT CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG

I 1 Sự cần thiết của siêu đối xứng

Một trong những nguyên nhân dẫn đến giả thiết siêu đối xứng của thế giới vật chất là tìm cách khử những phân kì xuất hiện trong tính toán các đại lượng vật lý của lý thuyết trường lượng tử Nếu lý thuyết trường bất biến siêu đối xứng, mỗi bậc tự do fermion sẽ tương ứng với một bậc tự do boson và ngược lại Mặt khác, vì sự đóng góp phân kỳ của hai bậc tự do này bằng nhau và trái dấu nhau, cho nên, các phân kỳ đều tự khử, ít nhất là các phân kỳ bình phương Như vậy, phân kỳ logarithm được khử nhờ đối xứng tương đối tính, phân kỳ bình phương được khử nhờ siêu đối xứng [14]

Thêm vào nữa, trong mô hình tiêu chuẩn, ngoài vật chất thông thường là

quark và lepton, ta còn cần đến trường Higgs H để sinh khối cho các hạt và cho

boson chuẩn (gauge boson) truyền tương tác yếu, thông qua cơ chế Higgs Tuy nhiên, cơ chế Higgs chỉ được vận hành và cho kết quả đúng đắn khi thừa số 2

là âm và có độ lớn cỡ - 100 (GeV)2 Độ lớn này cũng giải thích sự phân cấp tương tác diễn ra ở thang năng lượng của tương tác yếu Tuy nhiên, vấn đề ở chỗ, nếu xét đến bổ lượng tử cho 2

Tuy nhiên, nếu xét đến bổ chính năng lượng riêng với sơ đồ một vòng kín

(Hình 1.1a), trong đó hạt ảo là fermion f, tương tác với trường Higgs bằng

Hình 1.1 Sơ đồ năng lượng riêng của trường Higgs

Như vậy, nếu cả hai hạt cùng tồn tại, tổng của (1.2) và (1.3) sẽ bằng không nếu mỗi bậc tự do quark và lepton trong mô hình tiêu chuẩn có “các bạn đồng hành” là hai vô hướng phức với 2

   Khi đó, sự rắc rối về phân kỳ sẽ

bị loại bỏ Khối lượng trường Higgs sẽ không bị phân kỳ khi tính đến bổ chính bức xạ

Xét trên khía cạnh nhận thức luận việc tồn tại đối xứng giữa các bậc tự do spinơ và bậc tự do tensơ cũng là rất hợp lý Rất khó giải thích vì sao trong tự nhiên, một bậc tự do nào đó là ưu tiên hơn so với bậc tự do khác Hơn nữa, người ta đã chứng minh rằng, siêu đối xứng là đối xứng cực đại của S - ma trận Khi đó, tự nhiên sẽ bị khống chế bởi nhiều sự ràng buộc hơn và do đó, ta có cơ hội tìm lời giải thích hợp lí cho hiện tượng như giam cầm quark, lượng tử hóa điện tích v.v…

Từ những lý do, mặc dù đến nay chưa có bằng chứng nào về sự tồn tại của các siêu hạt đồng hành, nhưng lí thuyết trường phải là tái chuẩn hóa và thực tế

về sự phân cấp tương tác ở thang năng lượng của tương tác yếu là những luận cứ

có tính chất thuyết phục để chúng ta tin rằng, thế giới tự nhiên thực sự là siêu đối xứng

I 2 SUSY

Đối xứng ngoài của lý thuyết trường tương tác (S-ma trận) là nhóm Poincaré, với 10 vi tử sinh boson là mômen góc tổng quát M và xung lượng

P Cho lý thuyết trường các hạt không khối lượng, số vi tử sinh sẽ tăng lên 15

vì nhóm đối xứng ngoài là nhóm bảo giác (conformal group) Tuy nhiên, chúng vẫn chỉ là vô hướng, vectơ hay tensơ, mà ta gọi chung là vi tử sinh boson hay vi

vô hướng đối với nhóm đối xứng ngoài

SUSY giả thiết rằng, bên cạnh các vi tử sinh vô hướng của nhóm đối xứng trong, ta còn có một số vi tử sinh spinơ Q a, sao cho giao hoán tử của chúng với

vi tử sinh của nhóm đối xứng ngoài khác không Chúng được gọi là vi tử sinh lẻ

hay fermion và là các spinơ Majorana Phép toán Lie giữa chúng không phải là giao hoán tử mà là phản giao hoán tử Đại số giữa các vi tử sinh sẽ bao gồm các giao hoán tử cho chẵn với chẵn, chẵn với lẻ, còn sẽ là phản giao hoán tử cho các

lẻ với lẻ, thỏa mãn quy tắc sau đây:

[chẵn, chẵn]  chẵn, [chẵn, lẻ]lẻ, {lẻ, lẻ}chẵn 1.4 Đồng nhất thức Jacobi cũng được tổng quát hóa một cách tương ứng, chú ý thêm đến tính phản giao hoán của spinơ:

trong đó, vi tử sinh boson được ký hiệu là B, còn fermion được ký hiệu là F

Bằng quy tắc nói trên và sử dụng đồng nhất thức Jacobi, ta có thể chứng minh được rằng, ngoài những giao hoán tử quen thuộc của đại số Poincaré:

trong đó,    i , / 4 là vi tử sinh của biểu diễn nhóm Lorentz Trường hợp có một vi tử sinh lẻ, đối xứng được gọi là siêu đối xứng, còn trường hợp có

Q và Q, trong đó, dấu gạch ngang không còn ý nghĩa của liên hợp Dirac Q sẽ

là biểu diễn (0,1 / 2), còn Q là biểu diễn (0,1 / 2) của nhóm SL2,C Chỉ số của

Q sẽ không có chấm, trong khi, chỉ số của Q sẽ có chấm Thay cho vectơ ba thành phần của ma trận Pauli, ta dùng vectơ bốn thành phần:

Chúng có một chỉ số có chấm và một chỉ số không chấm Khi đó, hai biểu diễn

cơ bản của nhóm SL2,C sẽ có vi tử sinh là:

kl

C là hằng số cấu trúc của nhóm đối xứng trong Nếu ta có nhiều vi tử sinh lẻ làm thành một biểu diễn của nhóm trong, khi đó:

với S k là ma trận biểu diễn

Do Q là toán tử spinơ, cho nên, tham số biến đổi  cũng phải là spinơ Khi đó, phép biến đổi siêu đối xứng sẽ có dạng expi Q , và phép biến đổi siêu đối xứng vi phân sẽ là 1 i Q  Với trường vô hướng A, ta có:

đó, ta thường nói, phép biến đổi siêu đối xứng biến trường boson thành fermion

và ngược lại Nếu cho trước một đa tuyến fermion, để nó đóng kín đối với phép biến đổi siêu đối xứng, ta phải mở rộng đa tuyến sao cho nó chứa cả thành phần boson Đa tuyến thu được bằng cách siêu đối xứng hóa như vậy, được gọi là siêu

đa tuyến Siêu đa tuyến thu được từ một đa tuyến fermion, sẽ chứa thêm thành phần boson, chúng có thể coi là thành phần của hạt boson đồng hành với hạt fermion ban đầu Tương tự, nếu siêu đối xứng hóa đa tuyến boson, ta sẽ được siêu đa tuyến có chứa thêm thành phần fermion Các thành phần fermion tạo nên hạt siêu đồng hành của hạt boson ban đầu Kết quả là, nếu tự nhiên là siêu đối xứng, mỗi hạt boson sẽ có hạt fermion đồng hành, ngược lại, mỗi hạt fermion sẽ

có hạt boson đồng hành

Từ (1.13) suy ra, hạt siêu đồng hành của hạt có spinơ 1/2 là hạt vô hướng, còn hạt siêu đồng hành của hạt vectơ là hạt fermion có spin 1/2 Như vậy, tương ứng với mỗi hạt chất ta có hạt siêu đồng hành vô hướng Tên hạt đồng hành của hạt chất được tạo nên từ tiếp đầu tố “s” và tên của hạt tương ứng Như vậy ta sẽ

có slepton, bao gồm selectron, smuon và stauon và squark, bao gồm sup, sdown, sstrange, scharm, sbottom và stop Tương ứng với mỗi hạt lực, ta sẽ có hạt siêu đồng hành là các fermion Majorana chứ không phải fermion Dirac Tên hạt đồng hành của hạt lực được tạo nên từ việc thay thế vĩ tố “on” bằng (nếu không có thì

thêm) “ino” ở tên hạt tương ứng Như vậy, ta sẽ có ba loại gaugino đồng hành của ba loại hạt gauge Photon có photino, W, Z có wino và zino, gluon có gluino Hạt siêu đồng hành của hạt Higgs là Higgsino Trường của Higgsino là spinơ Majorana chứ không phải là spinơ Dirac

Giống như đại số Poincaré, đại số siêu đối xứng cũng có 2

P P P  là toán

tử Casimir, tức là nó giao hoán với mọi vi tử sinh của biểu diễn, cho nên các hạt trong một siêu đa tuyến có cùng một khối lượng Tuy nhiên, khác với đại số Poincaré, bình phương toán tử Pauli-Lubanski:

I 3 Tính chất cơ bản của biểu diễn nhóm SUSY

Sử dụng đại số siêu đối xứng ở trên ta dễ dàng xác định được một số tính chất cơ bản của lý thuyết siêu đối xứng [15] Vì đại số siêu đối xứng đầy đủ chứa đại số Poincaré như một đại số con, cho nên, mọi biểu diễn của đại số siêu đối xứng đầy đủ đều chứa một biểu diễn của đại số Poincaré, mặc dù nói chung nó là biểu diễn khả quy Vì mỗi biểu diễn bất khả quy của đại số Poincaré tương ứng với một hạt, một biểu diễn bất khả quy của đại số siêu đối xứng nói chung sẽ tương ứng với nhiều hạt Các trạng thái tương ứng sẽ liên quan đến nhau thông qua toán tử Q avà Q a và do đó sẽ có spin khác nhau nửa đơn vị Đa tuyến gồm hạt và siêu hạt đồng hành của nó được gọi là siêu đa tuyến Để đơn giản, ta sẽ coi mỗi biểu diễn bất khả quy của đại số siêu đối xứng đơn giản là một siêu đa tuyến Như vậy, ta có:

Tất cả các hạt thuộc biểu diễn bất khả quy của siêu đối xứng, nghĩa là thuộc cùng một siêu đa tuyến, thì có cùng khối lượng Như đã nói ở trên, điều này suy từ tính Casimir của toán tử 2

P

Trong lý thuyết siêu đối xứng năng lượng P 0 luôn dương Để thấy được điều này ta xét  là một trạng thái bất kỳ Do tính xác định dương của không gian Hilbert ta có, theo (1.9):

Thực vậy, nếu định nghĩa toán tử số fermion N F, sao cho, nó bằng 1 ở trạng thái fermion và bằng 0 ở trạng thái boson, khi đó,  N F

 phản giao hoán với Q , sử dụng tính bất biến của vết đối với

hoán vị vòng quanh, ta thu được:

Chọn moment P bất kì không bị triệt tiêu, ta sẽ có được kết quả mong muốn

Siêu đa tuyến không khối lượng Đầu tiên ta xét biểu diễn bằng hạt

không khối lượng Khi đó, tất cả các Q a và Q a phản giao hoán nhau Vì 2

Nói riêng, Q Q1 , 1  0 Theo tính xác định dương của không gian Hilbert (1.14):

suy ra Q1Q1  0, như vậy, ta chỉ giữ lại Q2 và Q2, nghĩa là một nửa trong số vi

tử sinh fermion Nếu ta định nghĩa :

2 2

0

 Từ hệ thức giao hoán của Q2 và Q2 với toán tử độ xoắn mà trong hệ quy chiếu hiện tại là J3 M12, người ta sẽ thấy Q2 làm giảm độ xoắn xuống một nửa, trong khi đó Q2lại tăng độ xoắn lên một nửa Do a2 0, siêu đa tuyến sẽ có dạng:

0 , a 0 0 1 / 2

Ta sẽ ký hiệu nó là  0 , 0  1 / 2 Nếu trạng thái đầu có độ xoắn bán nguyên (fermion), trạng thái sau sẽ có độ xoắn nguyên (boson) và ngược lại Như vậy, các siêu đa tuyến sẽ không thể bất biến CPT, bởi vì CPT là đảo dấu của độ xoắn

Để thoả mãn bất biến CPT, ta cần phải gấp đôi những đa tuyến này bằng cách thêm vào phần liên hợp CPT với độ xoắn ngược lại và số lượng tử ngược lại Như vậy, ta sẽ có:

Đa tuyến thuận tay (chiral multiplet) tạo bởi 0,1

Đa tuyến vectơ tạo bởi 1,1

  

 tương ứng với một boson chuẩn (vectơ không khối lượng) và một fermion Weyl , cả hai đều cần thiết trong biểu diễn phó của nhóm chuẩn

Đa tuyến gravitino tạo bởi 1,3

  

 , nghĩa là một gravitino và một boson chuẩn

Đa tuyến graviton tạo bởi 3, 2

đối xứng mở rộng khi phân tích các đa tuyến lớn hơn thành các đa tuyến có N=1

Siêu đại số có khối lượng Bây giờ ta sẽ xem xét trường hợp 2

0

P  Sử dụng hệ quy chiếu đứng yên P m, 0, 0, 0, đại số siêu đối xứng trở thành :

(hoặc theo thành phần z của moment góc), ví dụ như  1 / 2,0,0,1 / 2(tương tự như là đa tuyến không khối lượng trong đó mở rộng CPT sẽ trùng với chính nó) hoặc   1, 1 / 2, 1 / 2,0   mà chúng ta phải thêm vào thành phần liên hợp CPT

1,1 / 2,1 / 2,0 Trường hợp sau giống như trạng thái vectơ không khối lượng cộng với một đa tuyến thuận tay và khối lượng sẽ thu được từ chúng thông qua

cơ chế Higgs Theo cách biểu diễn trường hợp khối lượng này thì đây là một vectơ, một fermion Dirac và một vô hướng thực duy nhất

I 4 Siêu không gian

Để đưa siêu đối xứng vào lý thuyết trường lượng một cách tự nhiên ta sẽ dùng khái niệm siêu không gian [16]

Siêu không gian là tập hợp bao gồm không gian “chẵn” Minkowski với tọa độ “boson” x và không gian “lẻ” với tọa độ “fermion” Weyl  , thỏa mãn điều kiện phản giao hoán,    i k k i  0 Tọa độ lẻ thường được gọi là biến Grassmann

Phép tịnh tiến trong không gian lẻ sẽ cảm sinh một phép biến đổi lên siêu trường, tức là phép biến đổi “trong”, đồng thời, nó cũng cảm sinh ra một phép biến đổi lên tọa độ không thời gian thông thường, tức là phép biến đổi ngoài, bởi

vì với hai đại lượng fermion, tọa độ  và tham số biến đổi , chúng sẽ tạo nên một vectơ [17] Như vậy, đối xứng trong và đối xứng ngoài được liên kết một cách rất đơn giản thông qua tịnh tiến trong không gian lẻ

Các toạ độ siêu không gian „lẻ‟  và    được xem như là các spinơ không đổi (độc lập vớix ) Các chỉ số spinơ trong lưỡng tuyến liên hệ với nhau theo quy tắc thông thường, nghĩa là:

Tích phân theo biến Grassmann trong siêu không gian đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

số siêu đối xứng bằng đạo hàm theo biến siêu không gian Để đơn giản, ta xét phép tịnh tiến vi phân lên  Chúng ta muốn iQ i Q 

 tạo ra sự tịnh tiến trong  một tham số spinơ  Phép tịnh tiến này cũng sẽ cảm ứng một phép tịnh tiến trong không gian x với một lƣợng x Ta thấy rằng x phải thực, phụ thuộc tọa độ  và tham số  Do  cự nhỏ, ta có thể thấy x i  i  Khi đó:

I 5 Siêu trường thuận tay (chiral superfield)

Trường xác định trong siêu không gian sẽ được gọi là siêu trường Do tọa

độ lẻ là biến Grassmann, cho nên một siêu trường F bất kỳ luôn có khai triển Taylor sau đây:

Như vậy, siêu trường là tập hợp hữu hạn các trường thành phần f, , , ,   m

Số lượng trường thành phần tuy hữu hạn, những cũng đủ lớn gây khó khăn cho việc tính toán và đoán nhận ý nghĩa vật lý của chúng Vì vậy, tùy theo việc tình trạng cổ điển mà ta muốn mô tả, ta sẽ yêu cầu siêu trường thỏa mãn những điều kiện nhất định

Do SM ta cần trường thuận tay, chiral, cho nên, ta cũng sẽ đề ra tiêu chuẩn để có siêu trường thuận tay Theo định nghĩa, siêu trường thuận tay trái 

(siêu trường tay chiêu), nếu nó thỏa mãn điều kiện sau đây:

cho nên, siêu trường thuận tay sẽ chỉ còn phụ thuộc tường minh vào một biến lẻ

vả vào y hoặc y Nếu là siêu trường tay chiêu,  chỉ phụ thuộc vào , y (chỉ có thể có mặt trong y) Còn siêu trường tay đăm,  chỉ phụ thuộc vào , y

( chỉ có thể có mặt trong y n) Ta thấy rằng, theo (1.40), siêu trường tay chiêu

Như vậy, siêu trường tay chiêu chỉ chứa một trường spinơ tay chiêu , cho nên

nó thích hợp để mô tả trường chất Một siêu đa tuyến tay chiêu sẽ chứa trường chất mô tả bởi fermion Weyl , trường vô hướng phức z x  mô tả hạt siêu đồng hành và một trường vô hướng phụ trợ f Nó được gọi là trường phụ trợ bởi vì trong khai triển (1.45) không có số hạng đạo hàm của nó theo biến tọa độ chẵn Thêm vào nữa, theo (1.44), để z x  có thứ nguyên bằng 1 và  có thứ nguyên

3/2 thì  có thứ nguyên  1/ 2, do đó, thứ nguyên của f phải bằng 2 Điều này chứng tỏ rằng f không phải là trường vật chất Tương tự, với siêu trường tay đăm    ta có:

trong đó,  là spinơ Weyl tay đăm

Ta có thể dẽ dàng tìm quy luật biến thiên của trường thành phần khi siêu trường chịu một phép biến đổi siêu đối xứng Đầu tiên, với các siêu trường tay chiêu việc thay biến x, ,   y, ta thu được biểu thức của vi tử sinh siêu đối xứng:

So sánh lũy thừa của  ở hai vế, ta thu được quy luật biến đổi các trường thành phần như sau:

   chỉ là các hàm lấy tại z(y) Như vậy, mỗi siêu thế

là một siêu đa tuyến với thành phần là hàm đối với trường vô hướng

Nhận xét quan trọng thứ hai là: Lagrangian siêu đối xứng là một hàm bất biến siêu đối xứng của các siêu trường Nếu siêu trường là bất kì, Lagrangian sẽ phụ thuộc vào cả  lẫn  , còn nếu siêu trường là thuận tay, Lagrangian có gồm

những số hạng, mỗi số hạng chỉ phụ thuộc vào một “nửa” trong số các biến đó Lagrangian cổ điển sẽ phải là tích phân theo tất cả các biến không gian lẻ của Lagrangian siêu đối xứng Dạng tổng quát nhất của Lagrangian cổ điển sẽ là:

 , chỉ có số hạng cuối cùng của khai triển (1.40) là khác

không Nếu F là một siêu trường thuận tay giống như  (1.51), ta có thu được:

tích phân theo toàn bộ biến không gian lẻ, chúng ta chỉ cần số hạng tỉ lệ với

, gọi là số hạng D Theo công thức (1.59), ta có:

K   Một trong các lý thuyết tổng quát này là mô hình  phi tuyến Trong

trường hợp bất kỳ, trường f i không có số hạng động năng (đạo hàm theo biến chẵn), do đó nó chỉ có vai trò của trường phụ trợ, bù đắp để lý thuyết bất biến siêu đối xứng Đó là lý thuyết off-shell Các trường này sẽ được loại bỏ bằng phương trình chuyển động:

i

i

W f

Để minh họa, ta xem xét trường hợp đơn giản nhất trong đó có một siêu trường tay chiêu duy nhất , và siêu thế là đa thức đến bậc 3:   2 3

thông qua siêu đối xứng

I 6 Siêu trường vectơ (vector superfield)

Để mô tả tương tác chuẩn ta cần đến siêu đa tuyến có thành phần là trường vectơ (trường chuẩn) Siêu trường như vậy, được gọi là siêu trường vectơ, ký hiệu là V x , ,  Để có siêu trường như vậy, ta sẽ đặt điều kiện Hermitian (thực) cho siêu trường tổng quát: VV Thực vậy, khai triển siêu trường thực, ta có:

được gọi là “phép biến đổi gradiên siêu đối xứng hóa”

Tổng quát hóa (1.65) ta xét phép biến đổi sau đây tác động lên trường vectơ:

trong đó,  là siêu trường tay chiêu Nếu  chứa tham số cực nhỏ, trong khai triển Taylor ta chỉ giữ lại hai số hạng đầu tiên, thì (1.66) sẽ trở thành (1.65) Như vậy, (1.66) mới phép biến đổi gradient trong lý thuyết trường siêu đối xứng Để (1.66) trở thành phép biến đổi “gauge”, ta xét phép biến đổi “pha” cho siêu trường chất :

i

e

Do  là tay chiêu, cho nên,  cũng là tay chiêu Tuy nhiên, biểu thức động năng:

Nhận xét rằng, V và pha  đều là siêu trường trong biểu diễn phó của nhóm chuẩn G, cho nên, nếu G là nhóm Abel, thì theo công thức Baker - Campbell – Hausdorff [18], (1.66) sẽ trở thành (1.65)

Nếu biểu diễn phó của nhóm non-Abel G có vi tử sinh là T i:

Chuẩn (gauge) được cho bởi (1.63) được gọi là chuẩn Wess-Zumino Siêu trường vectơ trong chuẩn Wess-Zumino sẽ có dạng:

2 WZ n WZ

Có siêu trường vectơ ta sẽ xây dựng “tensơ cường độ trường” Do trong

SM tensơ cường độ trường là đạo hàm của trường thế cho nên khi siêu đối xứng hóa tensơ cường độ siêu trường cũng sẽ được tìm dưới dạng như vậy

Để xây dựng số hạng động năng cho trường vectơ A, ta phải tác dụng đạo hàm hiệp biến D D, lên V Đối với nhóm chuẩn Abell, ta định nghĩa siêu

vì  là siêu trường tay chiêu cho nên D D  0 Như vậy, ta sẽ sử dụng

chuẩn WZ để tính W Nhằm tạo thuận lợi cho những tính toán sau này, ta sử dụng biến y, , 

I 7 Lý thuyết chuẩn siêu đối xứng

Xét một nhóm đối xứng unitary G nào đó Nếu trường chất được mô tả bằng một siêu trường tay chiêu thực hiện một biểu diễn nào đó của G, trường

chuẩn được diễn tả bằng siêu trường vectơ diễn tả biểu diễn phó của G, kết quả thu được sẽ là lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng (Supersymmetric Gauge Field Theory), ký hiệu là SGFT Như vậy, có thể nói rằng, SGFT cũng giống như lý thuyết trường chuẩn (Gauge Field Theory), vắt là GFT, chỉ khác là, thay cho trường, ta sẽ dùng siêu trường Để có SGFT diễn tả trường của các hạt, ta phải lấy tích phân theo các biến số lẻ, và để diễn ta các hạt vật lý, ta phải dùng một chuẩn nào đó rồi chéo hóa các ma trận khối lượng Nếu siêu đối xứng hóa

SM, tức là chọn nhóm chuẩn là:

thì mô hình thu được sẽ là siêu đối xứng tối thiểu, viết tắt là MSSM Việc này ta

sẽ tiến hành trong chương hai của luận án

Trong luận văn này GFT mà ta quan tâm là SM Các spinơ diễn tả hạt chất, lepton và quark, tay đăm và tay chiêu của chúng trong SM được xét một cách riêng rẽ chứ không được xét đồng thời như bằng spinơ Dirac Nếu chọn biểu diễn Weyl cho các ma trận gamma, 5 sẽ có dạng:

(u d L, L), nó còn chứa thêm một lưỡng tuyến trường vô hướng đồng hành

(u dL, L) Tương tự như vậy cho trường Higgs, ngoài lưỡng tuyến vô hướng

Đối với trường Higgs, khi xây dựng SGFT cũng cần có sự thay đổi Trong

SM ta chỉ cần một lưỡng tuyến, và khi cần, ta dùng lưỡng tuyến liên hợp của nó Tuy nhiên, trong SGFT, ta chỉ dùng siêu trường tay chiêu, cho nên, việc dùng liên hợp là không được phép Để giải quyết khó khăn này, ta dùng hai lưỡng tuyến, ký hiệu là H u và H d với siêu tích yếu là 1 và 1

Các hạt trường cũng được thay thế bằng siêu đa tuyến vectơ Ta có một siêu đa tuyến B-boson mà trong đó ngoài trường B-boson còn có trường bino B Siêu trường Wboson sẽ chứa thêm trường wino tích điện và trung hòa 0

W , W  

Nội dung hạt của SGFT được tổng kết trong hai bảng sau đây:

Tên hạt Spin-0 Spin-1/2 SU c 3 ,SU L 2 ,U y 1

Squark, quark

(3 thế hệ)

Q u d

Tên hạt Spin-1/2 Spin-1 SU c 3 ,SU L 2 ,U y 1

Bảng thứ hai cho ta nội dung hạt lực Trường B-boson chính là trường chuẩn tương ứng với nhóm U(1) Nó sẽ pha trộn với thành phần trung hòa của trường W-boson sẽ cho photon Ngoài photon ta còn có photino

Bảng thứ hai cho ta nội dung hạt trường của SGFT Các trường được thay thế bằng siêu đa tuyến vectơ Siêu đa tuyến B-boson sẽ chứa trường B-boson có spin-1 và trường spinơ bino B có spin-3/2 Siêu trường Wboson sẽ chứa trường W-boson có spin-1 và trường wino có spin-3/2 0

W , W   Trường B-boson

và trường W-boson trung hòa điện sẽ tạo thành photon Tương tự, các hạt siêu đồng hành tương ứng sẽ tạo nên photino Siêu trường gluon sẽ chứa gluon có spin-1 và trường gluino có spinơ-3/2

Lagrangian của các hạt chất sẽ được tạo nên từ các số hạng V

Ke 

Nó bao gồm số hạng động năng và số hạng tương tác của chất với trường chuẩn

Lagrangian của trường chuẩn sẽ bao gồm các số hạng có dạng W W , trong đó,

W được cho băng (1.75)

Để đảm bảo tính bất biến chuẩn, hệ số của những số hạng diễn tả khối lượng và tự tương tác phải thỏa mãn những điều kiện nhất định hoặc phải bằng không Trong SGFT, những hệ số này được chọn bằng không và như vậy, các hạt chất ban đầu không có khối lượng Để mô tả được thực tế, tức là hạt chất có khối lượng, ta cần đưa thêm vào những số hạng dạng Yukawa và thông qua cơ chế Higgs chúng sẽ sinh khối cho các hạt quark Những số hạng Yukawa được coi là nhỏ và do đó, chúng được gọi là số hạng “vi phạm mềm” (soft breaking terms) Có những giả thiết cho rằng, vi phạm mềm là hệ quả của vi phạm tự phát

ở một vùng nào đó không nhìn thấy (không có trường chất) và sau đó hiệu ứng của nó được truyền tải đến vùng có vật chất Ta sẽ chấp nhận những số hạng vi phạm mềm dạng sau đây cho SGFT:

soft u i k u d i k d e i k d u d

L  y u Q H y d Q H  y e L H H H 1.88 trong đó, y là ma trận ba hàng cột vì ta có ba thế hệ Trong (1.88), nếu ta viết tường minh chỉ số màu, thì u Q i k u Q i k,  1,2,3 (trong đó, 1 = đỏ, 2 = vàng, 3

= xanh) Biểu thức này, trừ số hạng có hệ số , tương tự như trong SM Khối lượng của fermion thu được tất nhiên tỷ lệ với hệ số Yukawa Các hệ số này chỉ đáng kể cho fermion thuộc thế hệ thứ ba gồm bottom, top và tau, cho nên, ta thường giả thiết chỉ có y y y t, b,  là thực sự khác không Vì lẽ đó, số hạng vi phạm mềm sẽ là (trừ số hạng ) sẽ có dạng:

cho việc sinh khối của top, bottom và tau khi H u0 0 và H d0 0

Số hạng thứ tư trong (1.88) không có dạng của khối lượng:

Số hạng thứ hai của (1.92) cho đóng góp vào khối lượng của Higgsino

Tóm lại SGFT sẽ được diễn tả bằng Lagrangian sau đây:

Do mục tiêu tính toán của luận văn là MSSM cho nên ta sẽ chi tiết hóa SGFT bằng các trường thành phần Trong chương tiếp theo đây, ta sẽ khai triển các công thức của MSSM theo các trường thành phần, lấy tích phân theo biến lẻ

và chọn một chuẩn thích hợp để có một mô hình cho các trường vật lý

CHƯƠNG II MSSM TRONG CHUẨN ’t HOOFT-FEYNMAN

II 1 Nội dung trường trong MSSM

MSSM là lý thuyết đơn giản nhất có tính đến vi phạm mềm, chứa đựng tất cả các hạt của SM và được thu xếp sao cho không mâu thuẫn gì với các dữ liệu thực nghiệm hiện có Nó tỏ ra là một phòng thí nghiệm tuyệt vời dùng để kiểm nghiệm những giả thiết lý thuyết và những tiên đoán thực nghiệm Tuy vậy, trong một mô hình thực tiễn đơn giản nhất, các tính toán đã tỏ ra cực kỳ phức tạp Để đơn giản, người ta thường chỉ tính các sơ đồ cây cho tương tác của hạt Higgs và của những hạt liên quan đến nó, như chargino và neutralino Trong chương II của luận văn này, ta xét các quy tắc Feynman cho MSSM trong chuẩn

‟t Hooft-Feynman

Mục tiêu của chương này là viết cụ thể Lagrangian siêu đối xứng (1.93,94) theo các trường thành phần Nhóm chuẩn của MSSM là nhóm nửa đơn, tức là tích của ba nhóm unitary (1.85), cho nên, cùng một lúc ta phải dùng nhiêu siêu trường Để tránh nhầm lẫn, ta sẽ có định ký hiệu cho các trường thành phần

sẽ xuất hiện trong tính toán

Trường Yang-Mills siêu đối xứng có chứa hai loại trường cơ sở, đó là lưỡng tuyến a,Va trong biểu diễn phó của nhóm chuẩn G, trong đó, chỉ số a

tùy thuộc vào nhóm chuẩn Siêu đa tuyến cho trường chất sẽ là A i,i trong một biểu diễn nào đó của G  và  là fermion trong ký hiệu spinơ hai thành phần, A i là trường vô hướng phức, a

V là trường vectơ thực

Lagrangian của lý thuyết sẽ bao gồm:

1) Số hạng động năng,

2) Số hạng tự tương tác của các đa tuyến gauge, chứa đựng trong tích

W W , và số hạng giữa gaugino và trong gauge, dạng:

a b a abc

trong đó, H c là liên hợp Hermite của biểu thức trước đó

Trong trường hợp của chúng ta nhóm chuẩn là nửa đơn

Vô hướng Fermion Siêu tích U y 1

*

*

1 1 1 1 2 1 2 2

2 2

I I

I L

R I L I

I L

d

H H

H H H

1 1

1

2 2

2

I I

L c

I L I

L c

H H H

H

e e u d d u

Để có thể viết tường minh siêu thế, ta viết lại (1.88) dưới dạng thành phần:

tự do không cần thiết Thứ nhất là thay đổi pha (toàn xứ) của một trường hợp hai

đa tuyến Higgs ( 2

H chẳng hạn) để hằng số h S là thực Khi đó, phương trình cho giá trị trung bình chân không của trường Higgs chỉ chứa các tham số thực Song

song với việc đó, ta có thể định nghĩa lại hằng số cho liên kết bậc ba (như u ,

trong đó, không cộng theo chỉ số i Ta cũng làm tương tự cho lepton Kết quả là

ta có thể chéo hóa ma trận l I J, u IJ và d IJ và do đó liên kết Yukawa sẽ có dạng:

a) Boson chuẩn: 8 hạt Ga và photon A vẫn không có khối lượng, các hạt truyền tương tác yếu W , Z  có khối lượng là:

Z

e m

e m